【《冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用探究》9600字（論文）】

冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究摘要 1 1 11.2研究意義 21.3研究現(xiàn)狀 2 42.1冪級數(shù) 42.2冪級數(shù)和函數(shù) 43冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究 53.1函數(shù)展開成冪級數(shù) 5 53.1.2麥克勞林級數(shù) 73.1.3冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用的步驟 83.2冪級數(shù)和函數(shù)的方法探究 93.2.1定義法 93.2.2逐項求導(dǎo)法 9 3.2.4其他方法 3.3函數(shù)和冪級數(shù)的幾點應(yīng)用介紹 3.3.1皮亞諾型余項應(yīng)用于函數(shù)冪級數(shù)的求解 3.3.2Qp函數(shù)空間中的隨機函數(shù) 3.3.3無理性冪級數(shù)理論在函數(shù)上的應(yīng)用 4結(jié)論與展望 參考文獻 11前言冪級數(shù)論起源于18世紀，是數(shù)學(xué)眾多分支學(xué)科中的一門學(xué)科。歐拉以及拉朗貝爾是先驅(qū)者，為建立冪級數(shù)論做了很多方面的工作。177419世紀，冪級數(shù)論實現(xiàn)了全面發(fā)展，就好比微積分在18世紀的數(shù)學(xué)中占據(jù)了統(tǒng)治地位，冪級數(shù)同樣在19世紀的數(shù)學(xué)中占據(jù)了統(tǒng)計地位。黎曼、柯西以及20世紀初期，歷經(jīng)較長時間的發(fā)展，冪級數(shù)論的理論越發(fā)完善，技巧也更2塔-列夫勒等，冪級數(shù)論也涉及到了越來越多的研究領(lǐng)域，他們在發(fā)展、拓展并1.2研究意義1.3研究現(xiàn)狀3率和多循環(huán)繁殖條件的年齡結(jié)構(gòu)種群動力學(xué)模型的行波解的顯式遞歸算法和數(shù)之一，在復(fù)變函數(shù)論中起到了重要作用。金帥等人[74驗關(guān)系進行研究，用三種模型，即對數(shù)線性模型、指數(shù)模型和冪模型，進行擬合和評價。結(jié)果表明，冪函數(shù)模型比指數(shù)衰減模型更準確地描述了亞熱帶森林礦質(zhì)土壤有機碳的分解動態(tài)。Rajat等人9在研究含水層物質(zhì)顆粒粒度分布對其滲透性的影響時建立了冪函數(shù)模型，所建立的冪函數(shù)模型為估算井的產(chǎn)量、土工結(jié)構(gòu)下的滲流和合理精度的過濾器設(shè)計提供了一個有效的工具。Goans[101利用傷口保留度的冪函數(shù)描述，不同傷口類別在對數(shù)尺度上呈直線，不同坡度對應(yīng)不同保留度類別。2.1冪級數(shù)具有下列形式的函數(shù)項級數(shù)稱為在點x=0處的冪級數(shù)。為冪級數(shù)的和函數(shù)。簡單來說，對于冪級數(shù)來說，和函數(shù)是通過若干個冪函數(shù)相加而得到的。所以，以讓冪函數(shù)存在和函數(shù)為前提，自變量x的取值范圍就可以叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間或者是收斂域。其中，收斂域的二分之一就可以叫做收斂半徑R[11]。2.2冪級數(shù)和函數(shù)由冪級數(shù)可知，可以把冪級數(shù)的部分和記為：5涉冪函的和函數(shù)為S(x),收連半徑為R,則：(1)連續(xù)性對于一個冪級數(shù)而言，若其和函數(shù)為S(x),那么屬于收斂區(qū)間(-R,R)的情況下，該函數(shù)是具有連續(xù)性的；也就是收斂區(qū)間中的所有點都是存在極限值的，和函數(shù)值是相等的。即對于一個冪級數(shù)而言，若其和函數(shù)為S(x),那么屬于收斂區(qū)間(-R,R)的情況下，該函數(shù)是存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的，能夠逐項求導(dǎo)，也就是對于任取的一個通過逐項求導(dǎo)可以得到一個冪級數(shù)，與原級數(shù)一樣，它們的收斂半徑是一致的；對于一個冪級數(shù)而言，若其和函數(shù)為S(x),那么屬于收斂區(qū)間(-R,R)的情況下，該函數(shù)是可積的，還可逐項積分，也就是對于任取的一個x∈(-R,R),那么有通過逐項積分可以得到一個冪級數(shù)，與原級數(shù)一樣，它們的收斂半徑是一致的3冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究3.1函數(shù)展開成冪級數(shù)3.1.1泰勒級數(shù)對于一個確定的函數(shù)f(x),需要考慮能不能找出一個冪級數(shù)，不單單在某一區(qū)間表現(xiàn)出了收斂性，而且相加得到的剛好是該函數(shù)f(x)。假使可以找出這67在泰勒級數(shù)中取8f'(x)=a?+2a?x+3a?x2+..+na,x”-1+…,第一步求f'(x),f"(x),.,f(n(x),..第二步求f'(0),f"(0),.,f(n(0),...93.2冪級數(shù)和函數(shù)的方法探究3.2.1定義法極限，也就是存在，那么這個冪級數(shù)就是具有收斂性的，且和函數(shù)該法簡單、方便而且容易操作，僅需對求解得到前n項和進行求極限操作即可，所以不論冪級數(shù)求和是以何種形式出現(xiàn)，該法均可適用。但是應(yīng)當從實際問題出發(fā)來分析，如果冪級數(shù)的通項公式較為復(fù)雜，如,對定義法進行適用并不具有可操作性。3.2.2逐項求導(dǎo)法在冪級數(shù)通項中，如果系數(shù)為下述兩種情況，一種是1除以自然數(shù)，另一種是1除以兩相鄰自然數(shù)，也就是分母中包括了n,那么先進行求導(dǎo)、后進行積分這種方法會較為可行。例3.2-2:求冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)。解：根據(jù)題意不難發(fā)現(xiàn)，對這一冪級數(shù)而言，收斂區(qū)間是[-1,1]當x≠0時，不妨設(shè)先上式兩邊求導(dǎo)得：只需2次求導(dǎo)操作就能夠得到一個特殊冪級數(shù)，系數(shù)是與n無關(guān)的，相當于一個無窮遞縮等比數(shù)列，根據(jù)求和公式可以得到：于是就得到當x≠0時的和函數(shù)為當x=0時，∵綜上所述3.2.3逐項積分法在冪級數(shù)通項中，如果系數(shù)為下述兩種情況，一種是自然數(shù)，另一種是兩相鄰自然數(shù)的乘積，即n在分子上時，那么先進行積分、后進行求導(dǎo)這種方法會較為可行[9]。的和函數(shù)s(x)。解：根據(jù)題意不難發(fā)現(xiàn)，對這一冪級數(shù)而言，收斂區(qū)間是(一1,+1)。兩邊除以x令則將上式兩邊積分得：只需3次求積分操作就能夠得到一個特殊冪級數(shù)，通項公式是與n無關(guān)的，相當于一個無窮遞縮等比數(shù)列，根據(jù)求和公式可以得到：在上式的基礎(chǔ)上第1次求導(dǎo)，可知：第2次求導(dǎo)得：第3次求導(dǎo)得：而可得所求和函數(shù)3.2.4其他方法例3.2-4:存在一個冪級試求其和函數(shù)以及收斂域?？芍趚=-1的情況下級數(shù)是收斂的，x=1的情況下級數(shù)是發(fā)散的，因而收斂區(qū)間為(-1,1)。又由3.3冪級數(shù)和函數(shù)的幾點應(yīng)用介紹3.3.1皮亞諾型余項應(yīng)用于函數(shù)冪級數(shù)的求解分析學(xué)有兩大分支，一個是級數(shù)理論，另一個是微積分學(xué)，它們當作基礎(chǔ)知識和基本工具被廣泛用于其它各個分支，它們是以函數(shù)作為研究對象的，基本工具都是極限，一個是從離散層面，另一個是從連續(xù)層面，綜合在一起來對函數(shù)展開探究。在對函數(shù)進行分析時，級數(shù)是其中的一種重要工具，無論是從理論來看還是從實際應(yīng)用來看，均占據(jù)著非常重要的地位，理由如下：1、通過級數(shù)可讓眾多較為常見的非初等函數(shù)得到表示；2、函數(shù)也可以通過級數(shù)來表達，這樣就可通過級數(shù)來對函數(shù)展開探究。黃勇等人[13]以學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)為例，指出在級數(shù)展開法的作用下，復(fù)雜程度相對較高的變系數(shù)微分方程是可以轉(zhuǎn)化的，得到一組展開的探討中，我國學(xué)者也取得了大量成果，其中較具代表性的就是余家榮教授。隨機級數(shù)可以分為很多種，如隨機Dirichlet級數(shù)和隨機冪級數(shù)等。近年來，許多學(xué)者從值分布、收斂性以及增長性等多個方面展開了探究，得出的成果也是頗具創(chuàng)造性的。全純函數(shù)均可以表示成冪級數(shù)的形式，在對單位圓盤內(nèi)的解析函數(shù)進行分析時，缺項冪級數(shù)或者是一般冪級數(shù)又是其中的重要工具之一，在冪級數(shù)中，隨機冪級數(shù)為其中的特殊形式之一，和缺項冪級數(shù)之間存在諸多相似特征，但是不同之處也是有很多的。例如，對于Hadamard缺項級數(shù)：f∈BMOA<;f∈B而對于一般冪級數(shù)只有因此，研究隨機冪級數(shù)所表示的函數(shù)與函數(shù)空間的關(guān)系是有必要的。隨機Dirichlet級數(shù))是序列{λ,}滿足上世紀九十年代至今，在隨機泰勒級數(shù)方面人們展開了深入地分析，注意，赫克認為，二次域上還是能夠?qū)缂墧?shù)系數(shù)展開討論的。在整系數(shù)的冪級數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合了單位圓范圍內(nèi)的共軛代數(shù)數(shù)類，得出了許多頗有價值的結(jié)論，其中的一個結(jié)論是不在單位圓范圍內(nèi)的整系數(shù)冪級數(shù)能夠開拓，這個結(jié)論起到了重要作用。在Pisot等人進行的工作的基礎(chǔ)上，RSalem對于與整系數(shù)冪級數(shù)相關(guān)的理論進行了證實，指出問題中存在的代數(shù)性質(zhì)。1949年，在《具有整系數(shù)的冪級數(shù)》[29]中，Salem從對PV數(shù)進行探究這一視角著手，對整系數(shù)冪級數(shù)的各種理論展開了分析。Salem總結(jié)得到，赫克定理不以均勻分布定理為前提也能得到證明，同時對下述結(jié)論進行了證明，其中赫克的理論也涵蓋在內(nèi)。用φ(n)代表一個正有理函數(shù)，是會無限增大的，存在一個級數(shù)理數(shù)域k(r)的判定條件全部不符合，則界是單位圓。證明會用到兩個定理，一個是波利亞一卡爾松定理，另一個是普林斯海姆定理。1962年，在《無理性冪級數(shù)》[30]中，得益于擴大數(shù)域法的采用，施瓦茲對這一定理進行了推廣。Salem感謝KurtMahler教授，他是受到Mahler教授所寫的信的啟發(fā)，信中談及了ATllue(1863—1922)于1912年所寫的一篇文章，該文章對PV數(shù)具有的性質(zhì)展開了分析，這讓他也格外的注意。對于一個冪級數(shù)來看，其系數(shù)是會極大地影響到收斂邊界上的各種表現(xiàn)的，1892年阿達瑪就已經(jīng)對此進行了明確。隨后，眾多數(shù)學(xué)家都對不在收斂區(qū)間內(nèi)的函數(shù)能不能夠解析開拓展開了探究，如斯?jié)晒?、波萊爾以及奧斯特洛斯基等，提出了部分極為重要的定理，也舉出了部分極具代表性的無法解析開拓的例子。在數(shù)論理論持續(xù)發(fā)展的同時，人們也構(gòu)造出了越來越多的無法解析開拓的例子，無理性冪級數(shù)便是其中之一。莫德爾、赫克以及紐曼等多位數(shù)學(xué)家展開了深入探討，已有較多深刻結(jié)論得出。在對所得結(jié)論進行證明時，外爾均勻分布定理無疑是其中一個重要基礎(chǔ)。從無理性冪級數(shù)理論后期取得的發(fā)展來看，Caroll等多位數(shù)學(xué)家將該理論歸結(jié)到了不可開拓冪級數(shù)理論的范疇，使之變成了一種特殊情形。4結(jié)論與展望[3]MuhammadS,UIH,IjazH,etEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].Plo[4]ZakaA,AkhterAS.ModififortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&[5]SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNoClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2[6]AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopudeathratesaspowerfunctionswithexponentn2017,133:175-205.decompositionusingapowerfunctionmodel[J].EcologicalProce[9]RajatK,VijayS,AlamMA.Evaluatdistributionparametersusingpowerfunctionmodel[J].WaterScience&TechnologyWSupply,2018:ws2018106-.[10]GoansRE.PowerFunctionRetentionofR(6):137-140.(1):102-104+114.meromorphicfunctiontobenormal,CompleNotesMath.305,LongmanSci.Tech.,Harlow,1994,136-146.[19]S.Stevic,OnCarlesonmeasputationalAnalysisandApplications,12(2010),313-320.[20]H.WulanandK.Zhu,LacunaryseriesinQkspaces,[21]R.Paley,N.WienerandA.Zygmund,NotesonZeitschrift,37(1933),647-668.[22]R.PaleyandA.Zygmund,OnsomeseriesoffuncCambridgePhilosophicalSociety,26([23]J.Anderson,J.ClunieandCh.Pommerenke,OnBlochfReineAngew.Math.,270(1974),12