中考數(shù)學試題分類等腰三角形

一、選擇題1.（2011浙江省舟山，7，3分）如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（）（A） （B） （C） （D）（第（第7題）【答案】B2.（2011四川南充市，10，3分）如圖，⊿ABC和⊿CDE均為等腰直角三角形，點B,C,D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結(jié)論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結(jié)論的個數(shù)是（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個【答案】D3.（2011浙江義烏，10，3分）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點F，連結(jié)BD交CE于點G，連結(jié)BE.下列結(jié)論中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有AABCDEFGA．1個B．2個C．3個D．4個【答案】D4.（2011臺灣全區(qū)，30）如圖(十三)，ΔABC中，以B為圓心，長為半徑畫弧，分別交、于D、E兩點，并連接、．若∠A=30，＝，則∠BDE的度數(shù)為何？A．45B．52．5C．67．5D．75【答案】Ｃ5.（2011臺灣全區(qū)，34）如圖(十六)，有兩全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分別為△ABC、△DEF的重心．固定D點，將△DEF逆時針旋轉(zhuǎn)，使得A落在上，如圖(十七)所示．求圖(十六)與圖(十七)中，兩個三角形重迭區(qū)域的面積比為何？A．2：1B．3：2C．4：3D．5：4【答案】Ｃ6.（2011山東濟寧，3，3分）如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長是A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm【答案】D7.（2011四川涼山州，8，4分）如圖，在中，，，點為的中點，，垂足為點，則等于（）A．B．C．D．【答案】C二、填空題1.（2011山東濱州，15，4分）邊長為6cm的等邊三角形中，其一邊上高的長度為________.【答案】cm2.（2011山東煙臺，14,4分）等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為.【答案】4或63.（2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，過點C作直線l∥AB，F(xiàn)是l上的一點，且AB＝AF，則點F到直線BC的距離為．【答案】4.（2011浙江臺州，14,5分）已知等邊△ABC中，點D,E分別在邊AB,BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在點Bˊ處，DBˊ,EBˊ分別交邊AC于點F，G，若∠ADF=80o，則∠EGC的度數(shù)為【答案】80o5.（2011浙江省嘉興，14，5分）如圖，在△ABC中，AB=AC，，則△ABC的外角∠BCD＝°．（第1（第14題）【答案】1106.（2011湖南邵陽，11，3分）如圖（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，則∠A=_______?！敬鸢浮?0°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。7.（2011山東濟寧，15，3分）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點，且總使AD=BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則．第15題第15題D【答案】8.（2011湖南懷化，13，3分）如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點D，AB=5，BC=6，則AD=__________________.【答案】49.（2011四川樂山16，3分）如圖，已知∠AOB=，在射線OA、OB上分別取點OA=OB，連結(jié)AB，在BA、BB上分別取點A、B，使BB=BA，連結(jié)AB…按此規(guī)律上去，記∠ABB=，∠，…，∠則⑴=；⑵=。【答案】⑴⑵10．（2011湖南邵陽，11，3分）如圖（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，則∠A=_______。【答案】80°。11.（2011貴州貴陽，15，4分）如圖，已知等腰Rt△ABC的直角邊長為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推直到第五個等腰Rt△AFG，則由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為______．（第15題圖）【答案】eq\f(31,2)12.（2011廣東茂名，14，3分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝度．【答案】15三、解答題1.（2011廣東東莞，21，9分）如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）.（1）問：始終與△AGC相似的三角形有及；（2）設CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式（只要求根據(jù)2的情況說明理由）；（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形？【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴，即，所以，（3）當CG＜時，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此時，△AGH不可能是等腰三角形；當CG=時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形；此時，GC=，即x=當CG＞時，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，則AC=CG，此時x=9綜上，當x=9或時，△AGH是等腰三角形．2.（2011山東德州19,8分）如圖AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點O．（1）求證AD=AE；(2)連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關系并說明理由．AABCEDO【答案】（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，ABECDO∴△ACD≌△ABECDO∴AD=AE．……4分(2)互相垂直……5分在Rt△ADO與△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO．……6分∴∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分線．………7分又∵AB=AC，∴OA⊥BC．………8分3.（2011山東日照，23，10分）如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．【答案】（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；（2）如圖，連接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．4.（2011湖北鄂州，18，7分）如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長．

第

第18題圖BAEDFC【答案】連結(jié)BD，證△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=55.（2011浙江衢州，23,10分）是一張等腰直角三角形紙板，.要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由.（第23題）（第23題）（第23題圖1）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為(如圖3)；繼續(xù)操作下去…則第10次剪取時，.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.【答案】(1)解法1：如圖甲，由題意得.如圖乙，設，則由題意，得又甲種剪法所得的正方形的面積更大說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為的中點，解法2：如圖甲，由題意得如圖乙，設甲種剪法所得的正方形的面積更大(2)(3)(3)解法1：探索規(guī)律可知：‘剩余三角形的面積和為：解法2：由題意可知，第一次剪取后剩余三角形面積和為第二次剪取后剩余三角形面積和為第三次剪取后剩余三角形面積和為…第十次剪取后剩余三角形面積和為6.(2011浙江紹興，23，12分)數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目.小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當點為的中點時，如圖1，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結(jié)論：（填“>”,“<”或“=”）.第25題圖2第25題圖1第25題圖2第25題圖1（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，與的大小關系是：（填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如圖2，過點作，交于點.（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設計新題在等邊三角形中，點在直線上，點在直線上，且.若的邊長為1，，求的長（請你直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）=.（2）=.方法一：如圖，等邊三角形中，是等邊三角形，又.方法二：在等邊三角形中，而由是正三角形可得(3)1或3.7.（2011浙江臺州，23,12分）如圖1，過△ABC的頂點A分別做對邊BC上的高AD和中線AE，點D是垂足，點E是BC中點，規(guī)定。特別的，當點D重合時，規(guī)定。另外。對、作類似的規(guī)定。（1）如圖2，已知在Rt△ABC中，∠A=30o，求、；（2）在每個小正方形邊長為1的4×4方格紙上，畫一個△ABC，使其頂點在格點（格點即每個小正方形的頂點）上，且，面積也為2；（3）判斷下列三個命題的真假。（真命題打√，假命題打×）①若△ABC中，，則△ABC為銳角三角形；（）②若△ABC中，，則△ABC為直角三角形；（）③若△ABC中，，則△ABC為鈍角三角形；（）【答案】解:（1）如圖，作CD⊥AB，垂足為D，作中線CE、AF?！?1∵Rt△ABC中，∠CAB=30o，∴AE=CE=BE,∠CEB=60o，∴△CEB是正三角形，∵CD⊥AB∴AE=2DE∴=；∴=1，=；（2）如圖所示：（3）①×；②√；③√。8.（2011浙江義烏，23，10分）如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結(jié)BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在▲關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；（2）如圖2，設∠ABP=β.當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關系；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合.已知AB=4，設DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系圖1圖1圖2圖3PB1FMADOECCBA1PB1FMADOECCBA1PB1ADOCBA1【答案】（1）相似由題意得：∠APA1=∠BPB1=αAP=A1PBP=B1P則∠PAA1=∠PBB1=∵∠PBB1=∠EBF∴∠PAE=∠EBF又∵∠BEF=∠AEP∴△BEF∽△AEP（2）存在，理由如下：易得：△BEF∽△AEP若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可∴∠BAE=∠ABE∵∠BAC=60°∴∠BAE=∵∠ABE=β∠BAE=∠ABE∴即α=2β+60°（3）連結(jié)BD，交A1B1于點G，過點A1作A1H⊥AC于點H.PPB1ADOCBA1HG∵∠B1A1P=∠A1PA=60°∴A1B1∥由題意得：AP=A1P∠A=60°∴△PAA1是等邊三角形∴A1H=在Rt△ABD中，BD=∴BG=∴（0≤x＜2）9.（2011廣東株洲，20，6分）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC．（1）求∠ECD的度數(shù)；（2）若CE=5，求BC長．【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，又∵DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°.（2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，∠BEC=72°=∠B，∴BC=EC=5.解法二：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.10．(2011重慶綦江，24，10分)如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE,連結(jié)BE.(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)延長BE至Q,P為BQ上一點，連結(jié)CP、CQ使CP＝CQ＝5,若BC＝8時，求PQ的長.【答案】：(1)證明ABC和△CDE均為等邊三角形，∴AC＝BC,CD＝CE且∠ACB＝∠DCE＝60°∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H,則PQ＝2HQ在Rt△BHC中，由已知和（1）得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴CH＝4在Rt△CHQ中，HQ＝∴PQ＝2HQ＝611.（2011江蘇揚州，23,10分）已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC，（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由。【答案】（1）證明：∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB∵BD、CE是兩條高∴∠BDC=∠CEB=90°又∵BC=CB∴△BDC≌△CEB（AAS）∴∠DBC=∠ECB∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形。（2）點O是在∠BAC的角平分線上。連結(jié)AO.∵△BDC≌△CEB∴DC=EB,∵OB=OC∴OD=OE又∵∠BDC=∠CEB=90°AO=AO∴△ADO≌△AEO（HL）∴∠DAO=∠EAO∴點O是在∠BAC的角平分線上。12.（2011廣東省，21，9分）如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）.（1）問：始終與△AGC相似的三角形有及；（2）設CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式（只要求根據(jù)2的情況說明理由）；（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形？【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴，即，所以，（3）當CG＜時，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此時，△AGH不可能是等腰三角形；當CG=時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形；此時，GC=，即x=當CG＞時，由（1）可知△AGC∽△HGA所以