數(shù)列的通項公式的幾種常用求法文科

等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的求法：若在已知數(shù)列中存在：（常數(shù)）或的關系，可采用求等差、等比數(shù)列的通項公式的求法，確定數(shù)列的通項。2、非等差、等比數(shù)列的通項公式的求法。（1）觀察法：通過觀察數(shù)列中的項與項數(shù)的關系，找出項與項數(shù)n的關系。（2）累差法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在：的關系，可用“類差法”求通項。例、在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。分析：由已知，n取1，2，3，…，然后把(n-1)個等式相加。解：由已知得：。把上面（n-1）個等式相加得：（3）累積法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在：的關系，可用“累積法”求通項。例、在數(shù)列中，，且有：，共線，求數(shù)列的通項分析：根據(jù)共線，得：，然后利用累積法求通項。解：由已知得：。3：若在已知數(shù)列中存在：或的關系，可以利用求數(shù)列的通項。例、已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，求數(shù)列的通項公式。分析：根據(jù)已知條件：求出與n的關系式，再根據(jù)，求出數(shù)列的通項。解：由--------------（1）得：------------（2）把代入（2）得：整理得：，易求得，由此可知：數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列。故，即而且n=1時，也滿足上式。對一切的，都有。例.數(shù)列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.解：（1）由得：，于是所以.（2）應用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以4輔助數(shù)列法：對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數(shù)列。類型1遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14）數(shù)列中，若，則通項例.已知數(shù)列中，，，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.例、數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+1（n≥2），求數(shù)列{a}的通項公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴數(shù)列{a－2}是以為公比，－1為首項的等比數(shù)列∴a－2=－（）∴a=2－（）變形.遞推式：解法：只需構造數(shù)列，消去帶來的差異．例．設數(shù)列：，求.解：設，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由,（）兩式相減得轉化為求之.類型2形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)例：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，類型3遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）解法：該類型較類型3要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型3的方法解決。例.已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應用例7解法得：所以例．已知數(shù)列滿足，，求．解：將兩邊同除，得設，則．令．條件可化成，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．因,．類型4遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足，再應用前面類型3的方法求解。例.已知數(shù)列中，,,，求。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。類型5雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。◆例11.已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.解：因所以即…………（1）又因為所以…….即………（2）由（1）、（2）得：，2、通過分解系數(shù)，可轉化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過對系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設，比較系數(shù)得，可解得。例：已知數(shù)列滿足 （I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （II）求數(shù)列的通項公式；例、數(shù)列滿足=0，求數(shù)列{a}的通項公式。分析：遞推式中含相鄰三項，因而考慮每相鄰兩項的組合，即把中間一項的系數(shù)分解成1和2，適當組合，可發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列。解：由得即，且∴是以2為公比，3為首項的等比數(shù)列∴利用逐差法可得====∴例、數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。解：由得設比較系數(shù)得，解得或若取，則有∴是以為公比，以為首項的等比數(shù)列∴由逐差法可得===說明：若本題中取，則有即得為常數(shù)列,故可轉化為例13。例．已知數(shù)列滿足,,求．解：設或則條件可以化為是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以．問題轉化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得．點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可以設，其待定常數(shù)s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型．2、對于由遞推公式，例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)——迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。六、構造法構造法就是在解決某些數(shù)學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式，此類題通常較難，但使用構造法往往給人耳目一新的感覺.1、構造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構造方法.例：設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項an.解：，∴，∵，∴.即是以2為公差的等差數(shù)列，且.∴例：數(shù)列中前n項的和，求數(shù)列的通項公式.解：∵當n≥2時，令，則，且是以為公比的等比數(shù)列，∴.2、構造差式與和式解題的基本思路就是構造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.例：設是首項為1的正項數(shù)列，且，（n∈N*），求數(shù)列的通項公式an.解：由題設得.∵，，∴.∴例：數(shù)列中，，且，（n∈N*），求通項公式.解：∴（n∈N*）3、構造商式與積式構造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.例：數(shù)列中，，前n項的和，求.解：，∴∴4、構造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取