2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題10 解直角三角形之實(shí)際應(yīng)用模型（原卷版）

專題10解直角三角形之實(shí)際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識(shí)是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時(shí)要注意三角函數(shù)的選取，避免計(jì)算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點(diǎn)講解解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用模型。【重要模型】模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時(shí)，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵.【重要關(guān)系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，輪船甲和輪船乙同時(shí)離開海港O，輪船甲沿北偏東的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時(shí)后，輪船甲到達(dá)A處，輪船乙到達(dá)B處，此時(shí)輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時(shí)25海里，求輪船乙的速度．（結(jié)果保留根號(hào)）例2．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

例3．（2023年湖北中考數(shù)學(xué)真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

例4．（2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個(gè)三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1.（2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某育苗基地為了能夠最大限度地遮擋夏季炎熱的陽光和充分利用冬天的光照，計(jì)劃在苗圃正上方搭建一個(gè)平行于地面的遮陽蓬．已知苗圃的（南北）寬米，該地區(qū)一年中正午時(shí)刻太陽光與地平面的最大夾角是，最小夾角是．求遮陽蓬的寬和到地面的距離．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．

例2．（2023年內(nèi)蒙古數(shù)學(xué)真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得河流左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．

例3．（2023春·浙江金華·九年級校考期中）春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時(shí)出現(xiàn)了“新年快樂”幾個(gè)大字，小明想利用剛學(xué)過的知識(shí)測量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測得“新”字底端D的仰角為，再沿著坡面向上走到B處，測得“新”字頂端C的仰角為，坡面的坡度，，(假設(shè)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi))．(1)求點(diǎn)B的高度；(2)求“新”字的高度．(長保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù))例4．（2023年遼寧中考數(shù)學(xué)真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2022?淮濱縣三模）由綠地集團(tuán)耗資22億建設(shè)的“大玉米”位于河南省省會(huì)鄭州市鄭東新區(qū)，因?yàn)槠涫菆A柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計(jì)，因此得名，如今已經(jīng)成為CBD的一座新地標(biāo)建筑．某數(shù)學(xué)興趣小組為測量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測“大玉米”頂端C處的仰角是45°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測“大玉米”底部D處的俯角是30°．已知樓房AB高約是162m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求“大玉米”的高．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點(diǎn)在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點(diǎn)在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時(shí)測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結(jié)果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．例3．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測量物體高度”的活動(dòng)中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點(diǎn)處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，已知為米，且、、三點(diǎn)在同一條直線上．(1)求平房的高度；(2)請求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時(shí)測角器的高度忽略不計(jì)）

例4．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號(hào)）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）為測量此塔頂?shù)母叨龋诘孛孢x取了與塔底共線的兩點(diǎn)、，、在的同側(cè)，在處測量塔頂?shù)难鼋菫?，在處測量塔頂?shù)难鼋菫椋降木嚯x是米．設(shè)的長為米，則下列關(guān)系式正確的是(

)A．B．C．D．2．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，為了測量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點(diǎn)出發(fā)，沿斜坡行走100米至坡頂D處，再從D處沿水平方向繼續(xù)前行若干米到點(diǎn)E處，在E點(diǎn)測得該建筑物頂端C的仰角為59°，建筑物底端B的俯角為，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡的坡度．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算出建筑物BC的高度約為（結(jié)果精確到1．參考數(shù)據(jù)：，，）（）A．158米 B．161米 C．159米 D．160米4．（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．5．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物點(diǎn)處測得乙建筑物點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)的俯角為，為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度為，則甲建筑物的高度為________．（，，，結(jié)果保留整數(shù)）．7．（2023年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，無人機(jī)在空中處測得某校旗桿頂部的仰角為，底部的俯角為，無人機(jī)與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為．（，結(jié)果精確到0.1）

8．（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B到水平地面的距離為米．（結(jié)果保留根號(hào)）

9．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某老年活動(dòng)中心欲在一房前3m高的前墻（）上安裝一遮陽篷，使正午時(shí)刻房前能有2m寬的陰影處（）以供納涼，假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽篷與水平面的夾角為10°，如圖為側(cè)面示意圖，請你求出此遮陽篷的長度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）10．（2022·貴州遵義·中考真題）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長度，他們在地面的點(diǎn)處測得燈管支架底部的仰角為60°，在點(diǎn)處測得燈管支架頂部的仰角為30°，測得m，m（，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求燈管支架的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．11．（2022·山西·中考真題）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：無人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24到達(dá)點(diǎn)F，測得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）．12．（2022·四川宜賓·中考真題）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會(huì)客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺(tái)B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，）13．（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┑?4屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽(yù)，激起了國人對冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺(tái)的跨度米，頂端到的距離為40米，，，，．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)距地面的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）14．（2023年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，）

15．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為，在D處測得建筑物頂端A的仰角為．（已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）(1)求點(diǎn)D到地面的距離；(2)求該建筑物的高度．

16．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是同一水平線上的兩點(diǎn)，無人機(jī)從點(diǎn)豎直上升到點(diǎn)時(shí)，測得到點(diǎn)的距離為點(diǎn)的俯角為，無人機(jī)繼續(xù)豎直上升到點(diǎn)，測得點(diǎn)的俯角為．求無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，．

17.（2023春·遼寧阜新·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點(diǎn)D，測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東方向上．(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，）

18．（2023春·海南·九年級統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，該校數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備借助無人機(jī)來測量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示，無人機(jī)從地面點(diǎn)A處沿著與地面垂直的方向上升，至點(diǎn)B處時(shí)，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機(jī)保持航向不變繼續(xù)上升50米到達(dá)點(diǎn)E