第08講一元二次方程?？季C合題精練（8大題型）

第08講一元二次方程?？季C合題精練本講目錄題型01配方法在幾何問題中的應(yīng)用題型02配方法在代數(shù)問題中的應(yīng)用題型03解一元二次方程在幾何問題中的應(yīng)用題型04解一元二次方程在函數(shù)問題中的應(yīng)用題型05一元二次方程根的判別式的應(yīng)用題型06一元二次方程根的實際應(yīng)用增長率問題題型07一元二次方程根的實際應(yīng)用營銷問題題型08一元二次方程根的實際應(yīng)用動態(tài)幾何問題題型01配方法在幾何問題中的應(yīng)用1．如圖，已知，C為線段上的一個動點，分別以，為邊在的同側(cè)作菱形和菱形，點C，E，F(xiàn)在一條直線上，．P、Q分別是對角線，的中點，當(dāng)點C在線段上移動時，點P，Q之間的距離最短為（結(jié)果保留根號）．

【答案】【分析】連接、，首先證明，設(shè)，則，，，得出，利用配方法即可解決問題．【詳解】解：連接、，

∵四邊形，四邊形是菱形，，∴，，∵P，Q分別是對角線，的中點，∴，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∴，∴當(dāng)時，點P，Q之間的距離最短，最短距離是，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、配方法的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，熟練應(yīng)用相關(guān)知識．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點C、B分別在x軸、y軸上，是等腰直角三角形，，已知．M為BC的中點，當(dāng)PM最短時，則M的坐標(biāo)為．【答案】（，）【分析】設(shè)，過A作軸于點D，過C作軸，交AD于點E，證明，進而用b表示C點坐標(biāo)，再由中點公式求得M點的坐標(biāo)．【詳解】解：過A作軸于點D，過C作軸，交AD于點E，如圖所示，∵，∴，設(shè)，則，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵M為BC的中點，∴，∴，當(dāng)時，PM有最小值，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，某小區(qū)有塊長為米，寬為米的長方形地塊，角上有4個邊長為米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分綠化，其中ab．（1）用含有a和b的式子表示綠化的總面積S；（結(jié)果用最簡形式表示）（2）若ab20

且，求S的大??；（3）若ab20，那么當(dāng)a米且b=米時，有S的最大值為：當(dāng)S取最大值時，若甲乙兩個工程隊一起實施綠化，且甲每小時可綠化4平方米，乙每小時可綠化1平方米，且乙的工作時間不低于甲的工作時間，則甲最多工作小時．【答案】（1）；（2）475；（3），，，【分析】（1）用長乘以寬表示出長方形地塊面積，再減去4個小正方形的面積即可；（2）由得，結(jié)合求出a和b的值，再代入（1）中的結(jié)果求出S的值；（3）由得，則，利用配方法求出最值，以及取最值時a和b的值，設(shè)甲工作時間為，乙工作時間為，用x表示出y，然后列不等式求出x的最大值．【詳解】解：（1）；（2）∵，∴，解方程組，解得，則；（3）∵，∴，∴，，當(dāng)時，，S有最大值，最大值是，設(shè)甲工作時間為，乙工作時間為，列方程：，則，∵乙的工作時間不低于甲的工作時間，∴，解得，∴甲最多工作小時，故答案是：，，，．【點睛】本題考查列代數(shù)式和代數(shù)式求值，不等式的應(yīng)用，配方法求最值，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點進行計算求解．4．求最值問題有多種方法，既有代數(shù)法也有幾何法．例如：若代數(shù)式，利用配方法求M的最小值：，，當(dāng)時，代數(shù)式M有最小值為2．再比如：正數(shù)a，b滿足，用幾何法求的最小值．如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度，當(dāng)?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值為．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)若代數(shù)式，求M的最小值；(2)已知正數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查勾股定理的運用，兩點之間線段最短的知識，掌握勾股定理的運算，最短路徑的運用，合理作出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）運用配方法解題即可；（2）運用材料提示，構(gòu)造圖形，運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：，，當(dāng)，時，M有最小值為3；（2）如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度當(dāng)?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值．5．已知，在中，，，點D是邊上一點（點D不與點A，C重合），連接，將繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)①如圖1，當(dāng)，點D是的中點時，請猜想：與數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)，點D是邊上任意一點時，①中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．(2)如圖3，若，，直接寫出的面積的最大值．【答案】(1)①；②成立，見解析(2)【分析】（1）①延長，過點E作于點F，證明，得出，，證明，得出，即，得出，根據(jù)勾股定理得出．②延長，過點E作于點F，證明，得出，，證明，得出，即，得出，根據(jù)勾股定理得出；（2）連接，延長，過點E作于點F，證明、都是等邊三角形，得出，，，證明，得出，，求出，得出，根據(jù)勾股定理得出，設(shè)，則，，根據(jù)三角形面積公式得出，根據(jù)，得出，得出時，最大，且最大值為．【詳解】（1）解：①延長，過點E作于點F，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：；②成立；理由如下：延長，過點E作于點F，如圖所示：則，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：連接，延長，過點E作于點F，如圖所示：

∵，∴，∵，，∴、都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，∴當(dāng)時，最大，且最大值為，∴的面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，含30度角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明三角形全等．6．在中，，，點分別在長方形的邊上．(1)如圖，當(dāng)點在上，且，時，則________；(2)如圖，若，點為線段上一動點（不包括端點），連接，求的度數(shù)；(3)如圖，若矩形中，，，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)取值最小時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)點的坐標(biāo)為．【分析】（）證明，得到，，進而由勾股定理得到，再由勾股定理即可求出；（）過點作軸于，與同理得到，得到，，進而得到，即可得到；（）過點分別作軸，軸，由（）可得，，設(shè)，即可得到，，，在中，由勾股定理可得，由取最小值可求出，即可得到點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是長方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖，過點作軸于，則，同理（）可得，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，過點分別作軸，軸，垂足分別為點，則，，，由（），，∵，∴設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴當(dāng)時，取最小值，∴點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．如圖1，在正方形中，為對角線上一點（），點，關(guān)于直線對稱，過點作的垂線，分別交，于點，．

(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)如圖2，連接并延長與的延長線交于點，連接．若已知，設(shè)，用含的代數(shù)式表示的面積，并求出面積的最大值．【答案】(1)見解析(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)得，再得出，又，從而，進而可證結(jié)論成立；（2）設(shè)，則，，利用勾股定理求出x的值，然后得出的長即可；（3）先計算出，作于點P，作于點N，證，求出和，然后得出的面積為的表達式，最后利用配方法求出最大值即可．【詳解】（1）∵點，關(guān)于對稱，∴，∵，∴，在正方形中，，∴，∴，∴．（2）設(shè)，∵，∴，在正方形中，，又∵，∴，∵，∴，在中，，∴，解得：，（舍），∴．（3）設(shè)，∴，∵，∴，又∵，∴作于，于，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)的面積為，則，當(dāng)時，的最大值為．即面積的最大值為

【點睛】本題考查四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，完全平方公式，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．題型02配方法在代數(shù)問題中的應(yīng)用8．新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式能取的最小值是（

）A．2011 B．2013 C．2018 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：與為同族二次方程．，，∴，解得：．，當(dāng)時，取最小值為2013.故選：B.【點睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．9．一般情形下等式不成立，但有些特殊實數(shù)可以使它成立，例如，時，成立，我們稱是使成立的“神奇數(shù)對”，請完成下列問題：(1)數(shù)對，中，使成立的“神奇數(shù)對”是_________；(2)若是使成立的“神奇數(shù)對”，求的值；(3)若是使成立的“神奇數(shù)對”，且，，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最小值為．【分析】（）按照題中定義將數(shù)對，分別驗算即可；（）根據(jù)題意得到關(guān)于的分式方程，解方程即可求解；（）根據(jù)已知條件，先將和用含的式子表示出來，再根據(jù)題意得出關(guān)于和的等式，然后可得關(guān)于的等式，利用配方即可得到代數(shù)式的最小值；本題考查了分式方程在新定義運算下的應(yīng)用，理解新定義運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴數(shù)對是使成立的“神奇數(shù)對”；∵，∴數(shù)對不是使成立的“神奇數(shù)對”；故答案為；（2）解：∵是使成立的“神奇數(shù)對”，∴，整理得，，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴；（3）解：∵，，∴，，∵是使成立的“神奇數(shù)對”，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴代數(shù)式的最小值為．10．定義一種新運算“”：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：．（1）填空：_；若，則_；（2）已知，求的取值范圍；（3）小明發(fā)現(xiàn)，無論取何值，計算時，得出結(jié)果總是負(fù)數(shù)，你認(rèn)為小明的結(jié)論正確嗎？請說明理由．【答案】（1）13，5；（2）或；（3）小明結(jié)論正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)計算公式即可求解；（2）根據(jù)公式化簡，不等式組即可求解；（3）先利用配方法證明x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＞0，再公式化簡，利用配方法即可求解．【詳解】（1）33×3=﹣13；∵∴x3（x+6）=8解得x=5故答案為：13；﹣5；（2）由題意知或解得或∴或；（3）∵x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6＞0∴x2﹣2x+3＞﹣x2+2x﹣5，原式＝x2﹣2x+3+3（﹣x2+2x﹣5）＝x2﹣2x+3﹣3x2+6x﹣15＝﹣2x2+4x﹣12；＝﹣2（x﹣1）2﹣10＜0∴小明結(jié)論正確．【點睛】此題主要考查配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意的公式分情況進行運算．11．閱讀材料：選取二次三項式中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項和一次項配方：；②選取二次項和常數(shù)項配方：，或③選取一次項和常數(shù)項配方：請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當(dāng)，為何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)見解析(2)(3)當(dāng)，時，取得最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)配方的定義，分別選取二次項、一次項、常數(shù)項中的兩項，進行配方即可得出三種形式；（2）首先根據(jù)配方法把變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，，解出、的值，然后將、的值代入代數(shù)式，計算即可得出結(jié)果；（3）首先根據(jù)配方法把代數(shù)式變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，進而得出當(dāng)，時，取得最小值，再進行計算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：第一種形式：選取二次項和一次項配方，；第二種形式：選取二次項和常數(shù)項配方，；或；第三種形式：選取一次項和常數(shù)項配方，；（2）解：，配方，得：，即，∵，，∴，，解得：，，∴；（3）解：，∵，∴，當(dāng)，時，取得最小值，即當(dāng)，時，取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法的步驟和完全平方公式進行配方是解本題的關(guān)鍵．12．閱讀如下材料，完成下列問題：材料一：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：．因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為2．材料二：對于實數(shù)a，b，若，則．完成問題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實數(shù)m，n滿足．求的最大值．【答案】（1）5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根據(jù)已知得到，即或，代入求最值即可．【詳解】解：（1），因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為5．（2），當(dāng)取最小值時，原式最大，由（1）可知，最小值為2，此時的最大值為；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值為；或=，最大值是，的最大值為；綜上，的最大值為【點睛】本題考查了配方法求最值，解題關(guān)鍵是熟練運用配方法求代數(shù)式的最值．13．悅悅在學(xué)習(xí)有關(guān)配方的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：關(guān)于x的多項式，由于，所以當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式的值是相等的，例如，當(dāng)，即或1時，的值均為4：當(dāng)，即或0時，的值均為7，于是悅悅給出一個定義：關(guān)于x的多項式，若當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于對稱，例如關(guān)于對稱．請結(jié)合悅悅的思考過程，運用此定義解決下列問題：(1)多項式關(guān)于______對稱；多項式關(guān)于______對稱；(2)若關(guān)于x的多項式關(guān)于對稱，求n的值；(3)若整式關(guān)于對稱，求實數(shù)a的值．【答案】(1)1；(2)(3)【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗検竭M行配方，根據(jù)新定義判斷出對稱軸是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，讀懂題目，僅需配方即可得解；（2）依據(jù)題意，由多項式，又多項式關(guān)于對稱，從而可以得解；（3）依據(jù)題意，由，進而可以判斷得解．【詳解】（1）解：由題意，∵，∴多項式關(guān)于對稱．∵，∴多項式關(guān)于對稱．故答案為：1；．（2）解：由題意，多項式，∴多項式關(guān)于對稱．又多項式關(guān)于對稱．，．（3）解：由題意：得，∴關(guān)于對稱．又∵關(guān)于對稱，．題型03解一元二次方程在幾何問題中的應(yīng)用14．如圖，在中，，將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，將邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到線段，與交于點F，若，，則邊的長為．【答案】/【分析】作交于點G，連接，證，進而證，設(shè)，則；根據(jù)，即可求解；【詳解】解：如圖，作交于點G，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則；∴，∴，∴，∵，∴解得：，（舍去）．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形全等綜合，勾股定理，正確做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在四邊形中，，，為上一點，，，作交于點，取上一點，以，為鄰邊向上作，交于點，(1)求證：．(2)記面積為，四邊形面積為，①求與的關(guān)系式．②連接，若為直角三角形時，求的值．【答案】(1)見解析(2)①；②或3【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，得出，再根據(jù)證明；（2）①延長交于點M，證明，，，為等腰直角三角形，得出，，，，求出，得出，，根據(jù)得出即可；②分三種情況進行討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，即，∵，，∴；（2）解：①延長交于點M，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，，為等腰直角三角形，∴，，，，∵，∴，解得：，∴，，∴，∴．②根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，，根據(jù)勾股定理得：，，當(dāng)時，，∴，解得：或（舍去），，∴；當(dāng)時，，∴，解得：，，∴；當(dāng)時，，∴，解得：，此時，不符合題意舍去；綜上分析可知：或3．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進行分類討論．16．【問題背景】如圖1，在平行四邊形中，，點是邊的中點，連接，點是線段上的動點，連接，且滿足．【初步嘗試】（1）如圖2，當(dāng)四邊形是正方形時，若，則____，______．【猜想驗證】（2）如圖3，同學(xué)們在研究圖形時發(fā)現(xiàn)，若取線段的中點，可得始終為定值．請你猜想這個定值是多少？并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若，當(dāng)四邊形是菱形時，求菱形的邊長．【答案】（1），；（2），見解析；（3）菱形的邊長為或【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，點E是邊的中點，再根據(jù)勾股定理求出，進而推出，，根據(jù)等面積求出，由，作答即可；（2）取線段和的中點H、M，連接，則MH是的中位線，由的性質(zhì)，點E是邊的中點，進而推出，則，推出；（3）分情況討論，根據(jù)勾股定理和解一元二次方程，即可求出菱形的邊長．【詳解】解：（1）在正方形中，，，∴，∵點E是邊的中點，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：，；（2），理由如下：如圖，取線段和的中點H、M，連接，

則是的中位線，∴，，在中，，，∵點E是邊的中點，∴，，∴，，∴，∵，∴∠HFG=∠DGF，∴，∴，∴，∴；（3）情況1：如圖，取中點M，連接，

∵菱形，∴，，由（2）得，∴，得，解得（舍去），，∴，在中，，在中，，情況2：如圖，取中點M，連接，∵菱形，∴，由（2）得，∴，，得，解得（舍去），，∴，在中，，在中，，∴菱形的邊長為或．【點睛】本題是平行四邊形綜合題，考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論，作輔助線．17．如圖，平行四邊形中，，，點以的速度從點出發(fā)沿向點運動，同時點以的速度從點出發(fā)沿向點運動，當(dāng)一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設(shè)運動的時間為．(1)求平行四邊形的面積；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為平行四邊形的面積的時，求的值；(3)當(dāng)時，連接，取線段的中點，請直接寫出的長度．【答案】(1)；(2)的值為或．(3)【分析】（1）過點作于點，由直角三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的高，再按底乘以高，即可得解；（2）分點在線段上，點在線段上，點在線段上，點在線段上和點在線段上，點在線段上，三種情況計算即可；（3）延長交延長線于點，過點作于點，由，得，，再證明，得，，，再利用勾股定理及直角三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：平行四邊形中，∵，，，∴，，如圖，過點作于點，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴（），∴平行四邊形的面積為：（）．答：平行四邊形的面積為；（2）解：∵由（）知平行四邊形的面積為．∴當(dāng)?shù)拿娣e為平行四邊形的面積的時，的面積為：（），當(dāng)點在線段上運動秒時，點在上運動秒，，，同（1）高為（），∴，∴（舍）或，∴，符合題意；當(dāng)點在線段上運動秒時，點在上運動秒，，∴，不符合題意；當(dāng)點運動到線段上時，且運動時間為秒時，點也運動到線段上，如圖，過點作垂直于點，垂直于延長線于點，∵四邊形為平行四邊形，，，，∴，∴，∴同（1），（），∴，化簡得：，∴（舍去），，當(dāng)時，點位于線段上，點位于線段上，符合題意．綜上所述，的值為或．（3）解：延長交延長線于點，過點作于點，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵是的中點，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．已知，如圖1，四邊形中，，；(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)如圖2，若平分，連接，，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作，垂足為F，點S在上，點N在上，若，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先證明可得，從而可得結(jié)論；（2）先證明，，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）如圖，延長至使，過作交于，交于，延長與的延長線交于點，證明，，再證明，可得，，設(shè)，可得，表示，，，，再利用勾股定理建立方程求解，再進一步求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．（2）由（1）得，四邊形為平行四邊形，可得：，，，∴，．∵平分，∴∴，∴．∵，∴∴∴∴．（3）如圖，延長至使，過作交于，交于，延長與的延長線交于點，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，設(shè)，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，由勾股定理可得：，∴，解得：，（舍），∴，，∴；【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，二次根式的混合運算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．19．綜合與實踐：綜合與實踐課上，高老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【操作判斷】操作一：如圖1，正方形紙片，將沿過點的直線折疊，使點落在正方形的內(nèi)部，得到折痕，點的對應(yīng)點為，連接；再將沿過點的直線折疊，使與重合，得到折痕，將紙片展平，連接．根據(jù)以上操作，同學(xué)們很快發(fā)現(xiàn)，，三點共線，且有以下結(jié)論：①；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：．【深入探究】操作二：如圖2，再將沿所在直線折疊，使點落在正方形的內(nèi)部，點的對應(yīng)點為，將紙片展平，連接、．同學(xué)們在折紙的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點的位置不同時，點的位置也不同，在這次綜合實踐探究學(xué)習(xí)中，兩位同學(xué)又有如下發(fā)現(xiàn)：一、小曾發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點落在折痕上時，設(shè)交于點，如圖2，則有結(jié)論：；二、小段發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點落在折痕上時，是一個定值．【解決問題】（1）證明小曾同學(xué)結(jié)論的正確性：；（2）小段同學(xué)的發(fā)現(xiàn)是否成立？若成立，求出的大??；若不成立，請說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，矩形中，，，點、分別在邊、上，，，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）成立，；（3）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，，根據(jù)證明得，進而可證；（2）由折疊的性質(zhì)可知，．根據(jù)求出，進而可求出求出的大小；（3）將三角形沿翻折，使點F落在點G處，連接交與點O，設(shè)，則，求出，然后根據(jù)列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴．由折疊的性質(zhì)可知，，，∴，又∵，∴．由操作一知，∴是等腰直角三角形，∴N，∴，∴．∵，∴．（2）成立，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，．∵是等腰直角三角形，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．（3）將三角形沿翻折，使點F落在點G處，連接交與點O，∴，．由折疊的性質(zhì)得，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴．設(shè)，則，∴，．在中，，∵，∴，整理得，∴或（舍去），即．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及解一元二次方程，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．題型04解一元二次方程在函數(shù)問題中的應(yīng)用20．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與交于點，與x軸，y軸分別交于C，D兩點，與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且．(1)求直線的解析式；(2)如圖2，在射線上有一動點F，連接、，M為x軸上一動點，連接、，當(dāng)時，求的最大值；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿直線平移得到，若在平移過程中是以為一腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本題主要考查了考查了一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的定義：（1）先把點E坐標(biāo)代入中求出點E坐標(biāo)，再求出點C坐標(biāo)，進而求出點B坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，得到，則，可得；如圖所示，過點F作軸交直線于H，作點B關(guān)于x軸的對稱點，連接，則；設(shè)，則，可得，根據(jù)，得到，解得，則；由軸對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)，得到當(dāng)點M在直線上時，有最大值，即有最大值，最大值即為的長，則的最大值為；（3）設(shè)，則，可得，，，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，∴，在中，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；（2）解：在中，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴，∴；如圖所示，過點F作軸交直線于H，作點B關(guān)于x軸的對稱點，連接，則；設(shè)，則，∴，∵，∴，解得，∴；由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∵，∴當(dāng)點M在直線上時，有最大值，即有最大值，最大值即為的長，∴的最大值為；（3）解；設(shè)，∵沿直線平移得到的，∴點F到的平移方式與點C到點的平移方式相同，∴，∴，，，當(dāng)時，則，解得或，∴或；當(dāng)時，則，解得，∴；綜上所述，或或．21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象分別交x，y軸于A，B兩點，直線的圖象分別交x，y軸于C，D兩點，且兩條直線相交于點E，已知點C的坐標(biāo)為．.(1)求E點坐標(biāo)；(2)在直線上是否存在點F，使得是以為腰的等腰三角形，若存在，請求出F點坐標(biāo)．若不存在，請說明理由；(3)如圖2，若點G為線段上一點，連接，，當(dāng)時，經(jīng)過點G的一條直線與x軸負(fù)半軸交于點P，與y軸正半軸交于點Q，判斷的值是否為定值，若是定值，求出此值；若不是定值，請說明理由．【答案】(1)(2)或或(3)的值是定值，且【分析】（1）先把代入求出，然后聯(lián)立，求出，即可求出點E的坐標(biāo)；（2）分兩種情況進行討論：當(dāng)時，當(dāng)時，分別列出方程，求出結(jié)果即可；（3）過點G作軸，交于點H，先求出，得出，設(shè)點G的坐標(biāo)為，則點H的坐標(biāo)為，根據(jù)，求出，得出，設(shè)過點G的直線解析式為：，求出，，求出即可．【詳解】（1）解：把代入得：，解得：，∴直線，聯(lián)立，解得：，∴點E的坐標(biāo)為；（2）解：設(shè)，∵，，∴，，，當(dāng)時，，解得：（舍去）或，∴此時；當(dāng)時，，解得：或，∴此時或；綜上分析可知，點F的坐標(biāo)為或或．（3）解：的值是定值，且．過點G作軸，交于點H，如圖所示：把代入得：，∴點B的坐標(biāo)為，把代入得：，解得：，∴點A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，設(shè)點G的坐標(biāo)為，則點H的坐標(biāo)為，∴，∴，解得：，∴，設(shè)過點G的直線解析式為：，∵過點G的一條直線與x軸負(fù)半軸交于點P，與y軸正半軸交于點Q，∴，把代入得：，∴把代入得：，∴，則，把代入得：，解得：，∴，則，∴．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求兩條直線的交點坐標(biāo)，等腰三角形的定義，兩點間距離公式，解一元二次方程，三角形面積的計算，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握兩點間距離公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．22．定義：如圖1，已知點是內(nèi)任意一點，過點任意作一條直線，分別交射線，于點，．若點是線段的中點，則稱線段為關(guān)于點的中點線段．

(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點在第一象限內(nèi)，過點的直線分別交軸正半軸和軸的正半軸于點和，線段是關(guān)于點的中點線段．①若點的坐標(biāo)為，求直線的解析式；②若線段，點在直線上，請直接寫出線段的最小值及線段取得最小值時點的坐標(biāo)；(2)如圖3，射線的解析式為，點，過點任意作一條直線，交射線于點，交軸于點，求的面積的最小值．【答案】(1)①，②點的坐標(biāo)為：；(2)的面積的最小值為5．【分析】（1）①由中點公式求出，，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；②設(shè)，由題意求出，，則，所以點在以為圓心2為半徑的圓上，過點作交于點，與圓交于點，此時最短；（2）設(shè)直線的解析式為，求出，聯(lián)立方程組，求出，則，令，整理得，再由△，求出，即可求的面積的最小值為5．【詳解】（1）解：①段是關(guān)于點的中點線段，是線段的中點，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，；②設(shè)，線段是關(guān)于點的中點線段，，，，，點在以為圓心2為半徑的圓上，過點作交于點，與圓交于點，

設(shè)直線與軸交于點，與軸交于點，，，，，，，，，的最小值為1，設(shè)，，解得，點在第一象限內(nèi)，；（2）解：設(shè)直線的解析式為，，聯(lián)立方程組，解得，，，令，，，△，解得或，的面積的最小值為5．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，利用一元二次方程判別式求函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的直角邊在軸正半軸上，且頂點與坐標(biāo)原點重合，點的坐標(biāo)為，直線過點，與軸交于點，與軸交于點．(1)點的坐標(biāo)為___________，點的坐標(biāo)為___________；(2)動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿的路線向點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度速度沿的方向向點運動，過點作軸，交線段或線段于點當(dāng)點到達點時，點和點都停止運動，在運動過程中，設(shè)動點運動的時間為秒；設(shè)的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式___________；是否存在以、、為頂點的三角形的面積與相等？若存在，直接寫出的值___________．【答案】(1)(2)①，②存在，1【分析】把點坐標(biāo)代入直線求得的值即得到直線解析式，令求點坐標(biāo)，令求點坐標(biāo)．由中求得，即的取值范圍為且畫圖發(fā)現(xiàn)有兩種情況：當(dāng)時，點在線段上，點在線段上，可證得軸，故，用表示、的值再代入即能用表示；當(dāng)時，點在線段上，點在線段上，此時以為底、點到距離為高來求；與類似把點、的位置分兩種情況討論計算；其中在上、在上時，以為底求的面積，需對點到的距離的表示再進行一次分類．用表示面積后與相等列得方程，解之求得的值．【詳解】（1）直線過點，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故答案為：；（2）過作于點，則，當(dāng)在上，即時，如圖所示：，，四邊形是矩形，，；當(dāng)，即在上時，如圖所示：，，故答案為：；當(dāng)時，為的中點，即時，的面積與相等，當(dāng)時，的面積為：，，解得：不合題意，舍去或不合題意，舍去，故答案為：【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點F的坐標(biāo)為．點E的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點F和點E，直線與直線相交于點P．(1)求直線的表達式和點P的坐標(biāo)；(2)矩形的邊在y軸的正半軸上，點A與點F重合，點B在線段上，邊平行于x軸，且，將矩形沿射線的方向平移，邊始終與x軸平行，已知矩形以每秒個單位的速度勻速移動（點A移動到點E時止移動），設(shè)移動時間為t秒．①當(dāng)時，A點坐標(biāo)是_________，移動t秒時，D點坐標(biāo)為_________，②矩形在移動過程中，B、C、D三點中有且只有一個頂點落在直線或上時，矩形會發(fā)出紅光，請直接寫出矩形發(fā)出紅光時t的值；③若矩形在移動的過程中，直線交直線于點N，交直線于點M．當(dāng)?shù)拿娣e等于18時，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)，點P坐標(biāo)為(2)①，；②或；③【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①利用平移的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，當(dāng)點D在直線上時，利用點D與點A的橫坐標(biāo)之差為9，列式計算求解即可；當(dāng)點B在直線上時，點A的縱坐標(biāo)比點B的縱坐標(biāo)高6個單位，列式計算求解即可；③設(shè)點A橫坐標(biāo)為a，則點D橫坐標(biāo)為，再用a表示出，，用a表示出和上的高，利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的表達式為，∵直線過點，，∴，解得，直線的表達式為．聯(lián)立，得，解得，，∴點P坐標(biāo)為；（2）解：①∵，，∴，，，∵矩形以每秒個單位的速度沿射線的方向勻速移動，相當(dāng)于矩形以每秒1個單位的速度沿y的方向向下勻速移動，或以每秒2個單位的速度沿x的方向向右勻速移動，∴當(dāng)時，A點坐標(biāo)是，即；當(dāng)時，D點坐標(biāo)是；故答案為：，；②如圖，當(dāng)點D在直線上時，∵，∴點D與點A的橫坐標(biāo)之差為9，∴將直線與直線的解析式變?yōu)?，∴，解得，則點A的坐標(biāo)為：，則，∵點A速度為每秒個單位，∴；如圖，當(dāng)點B在直線上時，∵，∴點A的縱坐標(biāo)比點B的縱坐標(biāo)高6個單位，∴直線的解析式減去直線的解析式得，解得，則點A坐標(biāo)為，則，∵點A速度為每秒個單位，，故t值為或；③如圖，設(shè)直線交于點H，設(shè)點A橫坐標(biāo)為a，則點D橫坐標(biāo)為，∴，，∴，此時點P到距離為：，∵的面積等于18，∴，解得（舍去），∴，則此時t為，當(dāng)時，的面積等于18．【點睛】本題是代數(shù)幾何綜合題，涉及到待定系數(shù)法、兩直線的交點坐標(biāo)、勾股定理、三角形的面積等，綜合性較強，熟練掌握相關(guān)知識、運用分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．題型05一元二次方程根的判別式的應(yīng)用25．若關(guān)于的一元二次方程至少有一個整數(shù)根，且為正整數(shù)，則滿足條件的共有個．【答案】3【分析】若一元二次方程至少有一個整數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出根的判別式和a的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0．再根據(jù)根的判別式是完全平方數(shù)進行求解即可．本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有整數(shù)根，∴且，解得且，∴方程的根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，且為正整數(shù)，∴，∵為完全平方數(shù)且為正整數(shù)，∴或或，解得或6或13，即滿足條件的共有3個，故答案為：3．26．如果關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，那么符合條件的所有整數(shù)的和為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解分式方程，利用一元二次方程根的判別式，得到關(guān)于的一元一次不等式，解之得到的取值范圍，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整數(shù)解得到的值，結(jié)合取值范圍確定符合條件的所有整數(shù)，將其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到符合條件的所有整數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得，解分式方程得，，∵關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，∴，解得，∵，∴，∴，又∵，∴符合條件的整數(shù)有，∴為，故答案為：．27．對于實數(shù)a、b，定義運算“*”；，關(guān)于的方程恰好有三個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)新定義的運算，分兩種情況得出兩個關(guān)于的一元二次方程，再由關(guān)于的方程恰好有三個實數(shù)根，得到關(guān)于的兩個一元二次方程的根的情況，然后分情況討論，確定t的取值范圍．【詳解】解：由新定義的運算可得關(guān)于的方程為：當(dāng)時，即時，有，即：，其根為：是負(fù)數(shù)，當(dāng)時，即，時，有，即：，要使關(guān)于的方程恰好有三個不相等的實數(shù)根，則和都必須有解，∴，∴，（1）當(dāng)時，即時，方程只有一個根，∵當(dāng)時，，∴，，∴此時方程只有一個根符合題意，∴不符合題意；（2）當(dāng)時，方程的兩個根都符合題題意，∵當(dāng)時，，∴，，∴方程只有一個根符合題意，∴當(dāng)時，恰好有三個不相等的實數(shù)根；（3）∵當(dāng)時，方程的一個根，另外一個根，∴此時方程只有一個根符合題意，∵，，∴當(dāng)時，方程最多有一個根符合題意，∴當(dāng)時不可能有三個不相等的實根；綜上分析可知，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了新運算及利用一元二次方程根的情況求字母的取值范圍，讀懂題意，進行分類討論，是解題的關(guān)鍵．28．如果一個三位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字均不為，且使得關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，那么稱這個三位數(shù)為該方程的“等根數(shù)”．例如：三位數(shù)是方程的“等根數(shù)”．則關(guān)于的方程的最小“等根數(shù)”是；如果是關(guān)于的方程的“等根數(shù)”，記，，若是整數(shù)，則滿足條件的最大值是．【答案】【分析】本題考查了新定義運算，根據(jù)“等根數(shù)”的定義計算即可求解，理解新定義運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是方程的“等根數(shù)”，∴，∴，即，∵為最小“等根數(shù)”，∴，，∴，∴最小“等根數(shù)”為，故答案為：；∵，∴，∵是整數(shù)，∴是整數(shù)，∴當(dāng)時，或，此時或，∵，∴不符，舍去；當(dāng)時，或，此時或，由可得，不符，舍去，∴，∴，∴，，，∴的最大值是，故答案為：．29．已知關(guān)于的方程．(1)求證：不論為何值，方程必有實數(shù)根；(2)當(dāng)為整數(shù)時，方程是否有有理根？若有求出的值，若沒有請說明理由．【答案】(1)見詳解(2)沒有有理根，理由見詳解【分析】（1）①當(dāng)時，方程為一元一次方程，即可求解；②當(dāng)時，方程為二元一次方程，由一元二次方程根的判別式：時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；時，方程有兩個相等的實數(shù)根；時，方程有無的實數(shù)根；據(jù)此進行求解即可．（2）①當(dāng)時，即：，即可求解；②當(dāng)時，當(dāng)為整數(shù)時，假設(shè)方程有有理根，則需滿足：是完全平方數(shù)，設(shè)(為整數(shù))，則有，即可求解．或或或，【詳解】（1）解：由題意得①當(dāng)時，即：，方程為一元一次方程：，此時方程必有實數(shù)根；②當(dāng)時，即：，此時方程為一元二次方程，，，，，，，，故不論為何值，方程必有實數(shù)根；綜上所述：不論為何值，方程必有實數(shù)根．（2）解：當(dāng)為整數(shù)時，方程沒有有理根，理由如下：①當(dāng)時，即：，方程為一元一次方程，方程有有理根，為整數(shù)，此情況不存在；②當(dāng)時，當(dāng)為整數(shù)時，假設(shè)方程有有理根，則需滿足：是完全平方數(shù)，設(shè)(為整數(shù))，則有，或或或，解得：或，此時與為整數(shù)矛盾，當(dāng)為整數(shù)時，方程沒有有理根；綜上所述：當(dāng)為整數(shù)時，方程沒有有理根．【點睛】本題考查了根的判別式，含有參數(shù)方程的特殊解法，掌握解法是解題的關(guān)鍵．30．我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，將點稱為“幸福點”，經(jīng)過點的函數(shù)，稱為“幸福函數(shù)”．(1)若點是“幸福點”，關(guān)于x的函數(shù)是“幸福函數(shù)”，則__________，__________，__________．(2)若關(guān)于x的函數(shù)和都是“幸福函數(shù)”，且兩個函數(shù)圖象有且只有一個交點，求k的值．(3)若直線與x軸、y軸分別交于點A，B，M是y軸上一點，若將沿直線AM折疊，點B恰好落在x軸上的點C處．試問經(jīng)過C，M兩點的一次函數(shù)是否可以為“幸福函數(shù)”？若可以，請寫出所有函數(shù)解析式；若不可以，請說明理由．【答案】(1)，，(2)0或(3)存在，【分析】（1）根據(jù)“幸福點”的概念列出二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)題意分和兩種情況討論，然后根據(jù)兩個函數(shù)圖象有且只有一個交點，得到只有一個根，然后利用一元二次方程的判別式求解即可；（3）根據(jù)題意分點M在y軸正半軸上和點M在y軸負(fù)半軸上兩種情況討論，分別根據(jù)“幸福函數(shù)”的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵為“幸福點”，∴，∴，將代入，解得，．故答案為：，，；（2）①當(dāng)時，，∵函數(shù)是“幸福函數(shù)”，∴，此時，符合題意，②當(dāng)時，將分別代入與中，有∵兩個函數(shù)圖象有且只有一個交點，∴只有一個根，即：，∴，∴，∴k的值為0或；（3）①如圖所示，當(dāng)點M在y軸正半軸上時，設(shè)沿直線將折疊，點B正好落在x軸上的C點，則有，由直線可得，，，∴，，∴，∴，∴．設(shè)M點坐標(biāo)為，則，，∴，∴，解得，∴，設(shè)直線解析式為，將，代入，解得，．∴，若該函數(shù)為“幸福函數(shù)”，則直線過“幸福點”．∴，解得（與矛盾，舍去），∴此時，不存在“幸福函數(shù)”．②如圖所示，當(dāng)點M在y軸負(fù)半軸上時，，設(shè)M點坐標(biāo)為，則，，∵，∴，∴，∴，又，同理，用待定系數(shù)法可求得直線解析式為：，若該函數(shù)為“幸福函數(shù)”，則直線過“幸福點”．∴，得．∴，綜上所述，存在“幸福函數(shù)”．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．題型06一元二次方程根的實際應(yīng)用增長率問題31．五峰縣某茶葉公司預(yù)計用3年時間實現(xiàn)三種茶葉產(chǎn)品售出萬元的目標(biāo)．年，出售產(chǎn)品A和B的銷售額是C產(chǎn)品的2倍、4倍．隨后兩年，A產(chǎn)品每年都增加b萬元，預(yù)計A產(chǎn)品三年總銷售額為萬元時達成目標(biāo)：B產(chǎn)品銷售額從年開始逐年按同一百分?jǐn)?shù)遞減，依此規(guī)律，在年只需售出5萬元，即可順利達成；C產(chǎn)品年銷售額在前一年基礎(chǔ)上的增長率是A產(chǎn)品年銷售額增長率的1.5倍，年的銷售額比該產(chǎn)品前兩年的銷售總和還多4萬元，若這樣，C產(chǎn)品也可以如期售完．經(jīng)測算，這三年的A產(chǎn)品、C產(chǎn)品的銷售總額之比達到．(1)這三年用于C產(chǎn)品的銷售額達到多少萬元？(2)求B產(chǎn)品逐年遞減的百分?jǐn)?shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由A產(chǎn)品三年總銷售額為萬元時達成目標(biāo)及這三年的A產(chǎn)品、C產(chǎn)品的銷售總額之比達到列式計算即可得到三年C產(chǎn)品的銷售額．（2）設(shè)2019年產(chǎn)品的銷售額為萬元，則產(chǎn)品的銷售額為萬元，產(chǎn)品的銷售額為萬元，根據(jù)A產(chǎn)品三年總銷售額為萬元，C產(chǎn)品三年的銷售額為萬元，列出方程組，解得，根據(jù)B產(chǎn)品年銷售額為萬元，B產(chǎn)品銷售額從年開始逐年遞減百分?jǐn)?shù)為，在年只需售出5萬元列等量關(guān)系即可；【詳解】（1）解：（萬元）答：這三年用于C產(chǎn)品的銷售額達到萬元．（2）解：設(shè)2019年產(chǎn)品的銷售額為萬元，則產(chǎn)品的銷售額為萬元，產(chǎn)品的銷售額為萬元，B產(chǎn)品逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為，由題意知：，整理得：，解得：，由題意知：，即：，整理得：，解得：，（舍）答：B產(chǎn)品逐年遞減的百分?jǐn)?shù)為．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出對應(yīng)的方程是解決本題的關(guān)鍵．32．HW公司2018年使用自主研發(fā)生產(chǎn)的“QL”系列甲、乙、丙三類芯片共2800萬塊，生產(chǎn)了2800萬部，其中乙類芯片的產(chǎn)量是甲類芯片的2倍，丙類芯片的產(chǎn)量比甲、乙兩類芯片產(chǎn)量的和還多400萬塊．這些“QL”芯片解決了該公司2018年生產(chǎn)的全部所需芯片的10%，HW公司計劃2020年生產(chǎn)的全部使用自主研發(fā)的“QL”系列芯片．從2019年起逐年擴大“QL”芯片的產(chǎn)量，2019年、2020年這兩年，甲類芯片每年的產(chǎn)量都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)，乙類芯片的產(chǎn)量平均每年增長的百分?jǐn)?shù)，為（），2018年到2020年，丙類芯片三年的總產(chǎn)量達到1.44億塊，這三年丙類芯片的產(chǎn)量每年按相同的效量遞增，這樣，2020年的HW公司的產(chǎn)量比2018年全年的產(chǎn)量多10%（與芯片一一匹配），求丙類芯片2020年的產(chǎn)量及m的值．【答案】丙類芯片2020年的產(chǎn)量為8000萬塊，m＝400．【分析】設(shè)2018年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意列出方程，解方程即可求出x的值，則2018年丙類芯片的產(chǎn)量為3x＋400＝1600萬塊，設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的數(shù)量為y萬塊，則1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙類芯片2020年的產(chǎn)量為1600＋2×3200＝8000（萬塊），2018年HW公司產(chǎn)量為2800÷10%＝28000（萬部），由題意得出400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%?1）2＋8000＝28000×（1＋10%），設(shè)m%＝t，整理得：3t2＋2t?56＝0，解得：t＝4，或t＝?（舍去），即可得出答案．【詳解】解：設(shè)2018年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意得：x＋2x＋（x＋2x）＋400＝2800，解得：x＝400；2018年丙類芯片的產(chǎn)量為3x＋400＝1600（萬塊），設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的數(shù)量為y萬塊，則1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙類芯片2020年的產(chǎn)量為1600＋2×3200＝8000（萬塊），2018年HW公司產(chǎn)量為2800÷10%＝28000（萬部），則：400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%?100%）2＋8000＝28000×（1＋10%），設(shè)m%＝t，400（1＋t）2＋2×400（1＋t?1）2＋8000＝28000×（1＋10%），整理得：3t2＋2t?56＝0，解得：t＝4，或t＝?（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙類芯片2020年的產(chǎn)量為8000萬塊，m＝400．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清數(shù)量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．33．某房地產(chǎn)商決定將一片小型公寓作為精裝房出售，每套公寓面積均為32平方米，現(xiàn)計劃為100套公寓地面鋪地磚，根據(jù)用途的不同選用了A、B兩種地磚，其中50套公寓全用A種地磚鋪滿，另外50套公寓全用B種地磚鋪滿，A種地磚是每塊面積為0.64平方米的正方形，B種地磚是每塊而積為0.16平方米的正方形，且A種地磚每塊的進價比B種地磚每塊的進價高40元，購進A、B兩種地磚共花費350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均鋪滿地磚且地磚無剩余）（1）求A、B兩種地磚每塊的進價分別是多少元？（2）實際施工時，房地產(chǎn)商增加了精裝的公寓套數(shù)，結(jié)果實際鋪滿A種地磚的公寓套數(shù)增加了，鋪滿B種地磚的公寓套數(shù)增加了，由于地磚的購進量增加．B種地磚每塊進價在（1）問的基礎(chǔ)上降低了，但A種地磚每塊進價保持不變，最后購進A、B兩種地磚的總花費比原計劃增加了，求a的值．【答案】（1）A、B兩種地磚每塊的進價分別是60，20元；（2）【分析】（1）利用每套公寓需要地磚的數(shù)量=公寓的面積÷每塊地磚的面積，可分別求出每套公寓需要A種地磚的數(shù)量及每套公寓需要B種地磚的數(shù)量，設(shè)B種地磚每塊的進價為x元，則A種地磚每塊的進價為(x+40)元，根據(jù)等量關(guān)系：購進A種地磚的錢數(shù)+購進B種地磚的錢數(shù)=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)等量關(guān)系：購進A種地磚的錢數(shù)+購進B種地磚的錢數(shù)=總錢數(shù)，列出方程，即可得到關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值，當(dāng)然取正值即可．【詳解】（1）一套公寓用A種地磚需要：塊一套公寓用B種地磚需要：塊設(shè)B種地磚每塊的進價為x元由題可得：解得：元故A、B兩種地磚每塊的進價分別是60，20元．（2）由題可得：整理得：解得然：．∵，∴【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，正確列出方程，同時（2）問是的方程比較復(fù)雜，要善于化簡．34．沙坪壩區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明城區(qū)”活動，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬人，街道劃分為A，B兩個社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬人？（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個社區(qū)居民對“社會主義核心價值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬人知曉，B社區(qū)有1.5萬人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個月的時間加強宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個月增長了m%，第二月在第一個月的基礎(chǔ)上又增長了2m%，兩個月后，街道居民的知曉率達到92%，求m的值．【答案】（1）A社區(qū)居民人口至少有2.5萬人；（2）m的值為50．【分析】（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬人，根據(jù)“B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社區(qū)的知曉人數(shù)+B社區(qū)的知曉人數(shù)=7.5×92%，據(jù)此列出關(guān)于m的方程并解答．【詳解】解：（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬人，則B社區(qū)有（7.5x）萬人，依題意得：7.5x≤2x，解得x≥2.5．即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬人；（2）依題意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+m%）+1.5×（1+m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值為50．【點睛】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到題中相關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系，列出不等式或方程．35．創(chuàng)意產(chǎn)品蘊含著很多商機，我市某文化創(chuàng)意公司，銷售A，B兩種創(chuàng)意產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品的定價是每件20元，B產(chǎn)品的定價是每件30元．（1）該公司按定價售出A，B兩種產(chǎn)品共600件，若銷售總額不低于15000元，則至少銷售B產(chǎn)品多少件？（2）2017年8月，該公司按定價售出A產(chǎn)品300件，B產(chǎn)品400件．2017年9月，公司根據(jù)市場情況，適當(dāng)調(diào)整A，B產(chǎn)品的售價，A產(chǎn)品的售價比定價增加了a%，銷量與8月保持不變；B產(chǎn)品的售價比定價減少了a%，銷量比8月份增加了a%，結(jié)果9月份A，B產(chǎn)品的銷售總額比8月份增加了a%，求a的值．【答案】（1）至少銷售B產(chǎn)品300件（2）25【分析】（1）設(shè)銷售B產(chǎn)品x件，則銷售A產(chǎn)品（600﹣x）件，根據(jù)總價=單價×數(shù)量結(jié)合銷售總額不低于15000元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，取其內(nèi)的最小值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總價=單價×數(shù)量結(jié)合9月份的銷售總額比8月份增加了a%，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)銷售B產(chǎn)品x件，則銷售A產(chǎn)品（600﹣x）件，根據(jù)題意得：20（600﹣x）+30x≥15000，解得：x≥300．答：至少銷售B產(chǎn)品300件．（2）根據(jù)題意得：300×20（1+a%）+400（1+a%）×30（1﹣a%）=（300×20+400×30）（1+a%），整理得：1.2a2﹣30a=0，解得：a1=25，a2=0（不合題意，舍去）．答：a的值為25．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)總價=單價×數(shù)量結(jié)合銷售總額不低于15000元，找出關(guān)于x的一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．題型07一元二次方程根的實際應(yīng)用營銷問題36．一玩偶店銷售“抱竹熊貓”、“打坐熊貓”兩款玩偶，其中“抱竹熊貓”成本每件元，“打坐熊貓”成本每件元，“打坐熊貓”的售價是“抱竹熊貓”的倍，大運會開幕第一天“抱竹熊貓”比“打坐熊貓”多賣件，且兩款玩偶當(dāng)天銷售額都剛好到達元．為更好地宣傳國寶，第二天店家決定降價出售，但規(guī)定降價后的售價不低于成本價的，“抱竹熊貓”的售價降低了，當(dāng)天“抱竹熊貓”的銷量在第一天基礎(chǔ)上增加了；“打坐熊貓”的售價打折，結(jié)果“打坐熊貓”的銷量在第一天基礎(chǔ)上增加了，最終第二天兩款熊貓玩偶的總利潤為元，求的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)第一天“抱竹熊貓”的售價為元，則“打坐熊貓”的售價為元，列分式方程先求出“抱竹熊貓”和“打坐熊貓”的售價，再根據(jù)第二天兩款熊貓玩偶的總利潤，列出一元二次方程求出的值即可，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第一天“抱竹熊貓”的售價為元，則“打坐熊貓”的售價為元，由題意可得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，符合題意，∴，∴第一天“抱竹熊貓”的售價為元，則“打坐熊貓”的售價為元，∴根據(jù)第二天總利潤為元可得，，整理得，，解得，，當(dāng)時，，，∵，∴符合題意；當(dāng)，，∵，∴不合題意，舍去；∴，故選：．37．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計劃把達21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，當(dāng)剛好10天全部賣完時，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為∴依題意得，解得（舍去）∵要促銷∴即促銷時每袋應(yīng)降價3元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．38．為奠基孩子深厚的人文底蘊，某中學(xué)初一年級各班家委會準(zhǔn)備去書店購買《樂山樂水》、《艾青詩選》和《朝花夕拾》這三本書．書店老板從圖書批發(fā)市場分別以10元/本、20元/本、12元/本的價格購進《樂山樂水》、《艾青詩選》和《朝花夕拾》這三本書共4500本，已知《樂山樂水》的數(shù)量是《朝花夕拾》的數(shù)量的3倍，共花費52000元．(1)求書店老板分別購進《樂山樂水》、《艾青詩選》和《朝花夕拾》這三本書各多少本？(2)該書店老板一開始分別以25元/本、60元/本、30元/本的價格售賣《樂山樂水》、《艾青詩選》和《朝花夕拾》這三本書，每天能售賣《樂山樂水》120本，《艾青詩選》50本，《朝花夕拾》20本，后面經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生早已購買《朝花夕拾》，于是他準(zhǔn)備在原來售價的基礎(chǔ)上，《樂山樂水》的售價不變，《艾青詩選》的每本售價提升原來的，《朝花夕拾》每本降價元，調(diào)整售價后，《樂山樂水》每天多售賣本，《艾青詩選》每天多售賣本，《朝花夕拾》的售賣量每天保持不變，這樣一天能獲利6836元，求a的值．【答案】(1)《樂山樂水》、《艾青詩選》和《朝花夕拾》的數(shù)量分別是3000本、500本、1000本．(2)12．【分析】（1）設(shè)書店老板分別購進《艾青詩選》x本和《朝花夕拾》y本，則《樂山樂水》的數(shù)量是3y本，根據(jù)三本書共4500本，共花費52000元．即可列出方程組求解；（2）根據(jù)每天總利潤=三種書每天利潤和列方程即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)書店老板分別購進《艾青詩選》x本和《朝花夕拾》y本，則《樂山樂水》的數(shù)量是3y本，根據(jù)三本書共4500本，共花費52000元．可得：，解得：，《樂山樂水》的的數(shù)量是本．答：書店老板購進《樂山樂水》、《艾青詩選》和《朝花夕拾》的數(shù)量分別是3000本、500本、1000本．（2）依題意可知：調(diào)整售價后，《樂山樂水》的售價為25元，每本利潤為（2510）=15元，每天售賣本；《艾青詩選》的每本售價為元，每本利潤為元，每天售賣本；《朝花夕拾》每本售價為元，每本利潤為元，每天售賣20本；依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意舍去），答：a的值為12．【點睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找好等量關(guān)系．39．隨著武漢解封，湖北各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)正有序進行，經(jīng)濟復(fù)蘇也按下了“重啟鍵”．為助力湖北復(fù)蘇，月日抖音發(fā)起了“湖北重啟，抖來助力抖音援鄂復(fù)蘇計劃”，通過直播或短視頻助力推廣湖北特色產(chǎn)品已知當(dāng)天的直播活動中熱干面和周黑鴨共銷售萬份，其中周黑鴨的銷量是熱干面的倍．(1)求當(dāng)天的直播活動中銷售了多少萬份周黑鴨？(2)為刺激消費，直播中推出了優(yōu)惠活動疫情前，疫情期間售價均為元一份的周黑鴨（一份里面有一盒鎖骨，兩盒鴨脖，一盒鴨掌），以折力度售賣．疫情前，疫情期間售價均為元一份的熱干面（一份里面有包熱干面），以折力度售賣．已知疫情前周黑鴨的日銷售量比直播當(dāng)天的銷量少，疫情期間的日銷售額比疫情前的日銷售額減少了萬元；疫情前熱干面的日銷量比直播當(dāng)天熱干面的銷量少，疫情期間的日銷售量比疫情前的日銷售量減少了；疫情期間周黑鴨和熱干面的總?cè)珍N售額比直播當(dāng)天的總銷售額少，求的值．【答案】(1)當(dāng)天的直播活動中銷售了萬份周黑鴨(2)的值為【分析】（1）設(shè)當(dāng)天的直播活動中銷售了萬份熱干面，則銷售了萬份周黑鴨，由題意得：，求解的值，進而可得的值；（2）由題意得：，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：設(shè)當(dāng)天的直播活動中銷售了萬份熱干面，則銷售了萬份周黑鴨，由題意得：，解得：，．答：當(dāng)天的直播活動中銷售了萬份周黑鴨；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，不合題意，舍去．∴的值為．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列正確的方程．40．某“5A”景區(qū)決定在“5.1”勞動節(jié)期間推出優(yōu)惠套餐，預(yù)售“親子兩人游”套票和“家庭三人行”套票，預(yù)售中的“家庭三人行”套票的價格是“親子兩人游”套票的2倍．(1)若“親子兩人游”套票的預(yù)售額為21000元，“家庭三人行”套票的預(yù)售額為10500元，且“親子兩人游”的銷售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“親子兩人游”套票的價格.(2)套票在出售當(dāng)天計劃推出“親子兩人游”套票1600張，“家庭三人行”套票400張，由于預(yù)售的火爆，景區(qū)決定將“親子兩人行”套票的價格（1）中價格的基礎(chǔ)上增加元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票價上增加了a元，結(jié)果“親子兩人游”套票的銷量比計劃少32a套，“家庭三人行”套票的銷售量與計劃保持一致，最終實際銷售額和計劃銷售額相同，求a的值．【答案】(1)“親子兩人游”套票的價格為35元(2)a的值為20【分析】（1）設(shè)“親子兩人游”套票價格為x元，則“家庭三人行”套票的價格是2x元，根據(jù)“親子兩人游”的銷售量比“家庭三人行”的套票多450套列出分式方程，計算即可；（2）根據(jù)實際銷售額和計劃銷售額相同，列出關(guān)于a的一元二次方程，計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)“親子兩人游”套票價格為x元，則“家庭三人行”套票的價格是2x元．由題意得

解得經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意答：“親子兩人游”套票的價格為35元．（2）化簡得解得（舍去）所以，a的值為20．【點睛】本題考查了列分式方程解應(yīng)用題、列一元二次方程解應(yīng)用題，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．41．重慶1949大劇院自建成開演以來，吸引不少外地游客前來觀看，所有演出門票中，普通席和嘉賓席銷售最快，已知一張普通席的票價比一張嘉賓席的票價少40元，一張普通席的票價與一張嘉賓席票價之和為600元．(1)求普通席和嘉賓席兩種門票單張票價分別為多少元？(2)因為疫情原因，11月份以來，外地游客人數(shù)減少，普通席票平均每天售出100張，嘉賓席票平均每天售出200張．12月份后，疫情得到有效控制，觀看人數(shù)明顯增加，為了吸引游客，劇院決定降低普通席的票價，這樣與11月份相比，普通席票平均每天售價降低金額數(shù)是售出普通席普通票增加張數(shù)的2倍，嘉賓席的票價與11月份保持不變，但平均每天售出嘉賓席票增加張數(shù)是12月份售出普通席增加張數(shù)的，這樣12月份兩種票平均一共銷售總額為99200元，求12月份普通席的票價是多少元？【答案】(1)普通席280元，嘉賓席320元；(2)160元．【分析】（1）設(shè)普通席單張票價為元，則嘉賓席單張票價為元，根據(jù)題意可得方程，求解即可得到答案；（2）設(shè)普通席普通票增加張數(shù)為張，根據(jù)題意可得方程：，得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)普通席單張票價為元，則嘉賓席單張票價為元，依題意得：，解之得：，∴嘉賓席單張票價為元，答：普通席280元，嘉賓席320元．（2）設(shè)普通席普通票增加張數(shù)為張，則，依題意得：，解之得：，∴12月份普通席的票價是元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方的應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出方程是解題得關(guān)鍵．42．新型冠狀病毒爆發(fā)時期，醫(yī)療防護物資嚴(yán)重匱乏，民眾急需護目鏡和N95口罩．重慶某藥店3月初購進了一批護目鏡和N95口罩，購進的N95口罩?jǐn)?shù)量是護目鏡數(shù)量的3倍．已知每個護目鏡的售價比每個N95口罩的售價多40元，3月底護目鏡和N95口罩全部銷售完，據(jù)統(tǒng)計，護目鏡的銷售額為10000元，N95口罩的銷售額為6000元．（1）該藥店3月初購進了多少個護目鏡？（2）4月份疫情得以緩和，該藥店又購進以上兩種醫(yī)療物資．該藥店根據(jù)上月民眾的需求和銷售情況適當(dāng)調(diào)整了進貨計劃，購進的護目鏡購進的數(shù)量與3月份相同，但在運輸過程中損耗了2%，導(dǎo)致受損的護目鏡無法銷售，而N95口罩?jǐn)?shù)量比3月份增加了．由于政府對醫(yī)療物資價格的調(diào)整，護目鏡的售價比3月份降低了a%，N95口罩的售價比3月份降低了，4月底售完這兩種醫(yī)療物資后該藥店的銷售額達到了15800元，求a的值．【答案】（1）200個；（2）12．【分析】（1）設(shè)該藥店3月初購進了x個護目鏡，等量關(guān)系為：每個護目鏡的銷售價－每個N95口罩的銷售價=40，根據(jù)此等量關(guān)系列出分式方程，解方程即可；（2）等量關(guān)系為：4月份護目鏡的銷售總額－4月份N95口罩的銷售總額=15800，根據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程，解方程即可求得a的值．【詳解】（1）設(shè)該藥店3月初購進了x個護目鏡由題意，得：解得：x=200經(jīng)檢驗x=200是原方程的解，且符合題意故該藥店3月初購進了200個護目鏡．（2）由（1）知，該藥店3月初購進了200個護目鏡，600個N95口罩，護目鏡每個的售價為10000÷200=50（元），N95口罩每個的售價為5040=10（元），由題意，得：化簡，得：解得：a=12或a=0（舍去）∴a=12．【點睛】本題是一個與銷售有關(guān)的實際問題，考查了分式方程和一元二次方程的解法，關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，解分式方程時一定要檢驗．題型08一元二次方程根的實際應(yīng)用動態(tài)幾何問題43．如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，同時動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，當(dāng)運動到點時P，Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為．(1)_________；_________；（用含的代數(shù)式表示）(2)若是的中點，連接、、，當(dāng)為何值時的面積為？【答案】(1)，(2)或【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，列出等量關(guān)系．（1）根據(jù)速度時間路程，列出代數(shù)式即可；（2）如圖，過點D作于H，利用三角形中位線定理求得的長度；然后根據(jù)題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得：，，所以；（2）如圖，過點D作于H，∵，即，∴，∴∴又∵D是的中點，∴∴，，∴∵的面積為∴∴∴整理得，解得：，，∴當(dāng)或4時，的面積是．44．如圖，中，，，．(1)如圖1，點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動），點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動）．如果點，分別從，兩點同時出發(fā)．①經(jīng)過多少秒鐘，的面積等于；②線段能否將分成面積為的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由；(2)如圖2，若點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，，同時出發(fā)，直接寫出幾秒后，的面積為．【答案】(1)①秒或秒；②秒(2)秒或秒或秒【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，（1）①由三角形的面積公式可求解；②分兩種情況討論，由題意列出方程可求出答案；（2）分三種情況：①點在線段上，點在線段上，②點在線段上，點在線段的延長線上時，③點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，由三角形面積公式可得出答案；運用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①設(shè)經(jīng)過秒鐘，的面積等于，由題意，，，∴，∴，解得：，，∴經(jīng)過秒或秒鐘，的面積等于；②設(shè)經(jīng)過秒，線段能將分成面積為的兩部分，由題意得：1），即：，∴，解得：（不合題意，舍去），；2），即：，∴，∵，此方程無實數(shù)根，即這種情況不存在；綜上所述，經(jīng)過秒時，線段能將分成面積為的兩部分；（2）設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，可分三種情況：①點在線段上，點在線段上時，此時，，∴，∴，解得：（舍去），；②點在線段上，點在線段的延長線上時，此時，，∴，∴，解得：；③點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，此時，，∴，∴，解得：，（舍去）；綜上所述，經(jīng)過秒或秒或秒后，的面積為．45．如圖，矩形紙片，，，動點，分別從點同時出發(fā)，均以的速度，點沿方向，到終點停止運動：點沿方向，到終點停止運動，連接，將矩形在左下方的部分紙片沿折疊得到如圖，設(shè)點運動的時間為，重疊部分圖形的面積為．(1)當(dāng)點落到邊上時，求的值；(2)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)時，若以為腰的等腰三角形，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）當(dāng)點落到邊上時，則點與點重合，從而有，即可求出得值；（）分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時情況討論即可求解；（）當(dāng)時（）時，（）時（）時，（），討論即可求解；此題考查了矩形的折疊與動點，勾股定理，解一元二次方程，熟練掌握以上知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)點落到邊上時，則點與點重合，∴，∴；（2）當(dāng)時，如圖，，當(dāng)時，如圖，，當(dāng)時，如圖，，綜上可知：；（3）如圖，，（）時，即，整理得：，解得：（舍去），，（），即，無解，如圖，當(dāng)，延長交于點，（）時，即，解得：，，以上解均不符合題意，（），即，整理得：，解得：（舍去），，綜上可知：或．46．如圖，在中，，點P從點A出發(fā)，以每秒的速度沿勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒的速度沿勻速運動，當(dāng)有一點停止運動時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)當(dāng)時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在t，使得的面積是面積的？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．(3)當(dāng)為直角三角形時，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，或(3)t的取值范圍為：或【分析】（1）由勾股定理可求出答案；（2）由題意知：，由三角形面積公式可得出方程，解方程求出t的值即可；（3）分三種情況，①當(dāng)時，②當(dāng)，③當(dāng)時，畫出圖形，列出方程或不等式求解即可．【詳解】（1）由題意知：，∵，∴；（2）存在，當(dāng)點Q在上，由題意知：，∴，又，∴，解得：或，∵時，Q點在上，經(jīng)驗證，不能滿足的面積是面積的，當(dāng)時，點Q在上，，解得（舍去），綜上可得，或；（3）解：①當(dāng)時，，解得：；②當(dāng)，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，解得：；③當(dāng)時，如圖，這種情況是不存在；綜上，t的取值范圍為：或．【點睛】本題考查三角形綜合題，考查了勾股定理三角形的面積，直角三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．47．如圖，AC是正方形ABCD的對角線，AD＝8，E是AC的中點，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個單位的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿BC方向運動到點C，再沿CD方向向終點D運動，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形PEQF，設(shè)點P運動的時間為t秒（0＜t＜8）(1)當(dāng)t＝1時，試求PE的長；(2)當(dāng)