九年級數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）第10講二次函數(shù)y=ax^2＋c(a≠0)與y=ax-h^2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì)（12種題型）（原卷版）

第10講二次函數(shù)y=ax^2＋c(a≠0)與y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì)（12種題型）【知識梳理】一：二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象（1）（2）二：二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點(diǎn)、對稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：函數(shù)圖象開口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，c)(0，c)對稱軸y軸y軸函數(shù)變化當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小.當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大.最大（小）值當(dāng)時，當(dāng)時，三：二次函數(shù)與之間的關(guān)系；（上加下減）.的圖象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│個單位得到的圖象.要點(diǎn)詮釋：拋物線的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，與拋物線的形狀相同．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向上（或向下）平移個單位得到的，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)．拋物線y＝ax2(a≠0)的對稱軸、最值與頂點(diǎn)密不可分，其對稱軸即為過頂點(diǎn)且與x軸垂直的一條直線，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已．四：二次函數(shù)的圖像一般地，二次函數(shù)的圖像是拋物線，稱為拋物線，它可以通過將拋物線向左（時）或向右（時）平移個單位得到．拋物線（其中a、m是常數(shù)，且）的對稱軸是過點(diǎn)（-m，0）且平行（或重合）于y軸的直線，即直線x=-m；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-m，0）．當(dāng)時，開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)時，開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．五：二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)（其中a、m、k是常數(shù)，且）的圖像即拋物線，可以通過將拋物線進(jìn)行兩次平移得到．這兩次平移可以是：先向左（時）或向右（時）平移個單位，再向上（時）或向下（時）平移個單位．利用圖形平移的性質(zhì)，可知：拋物線（其中a、m、k是常數(shù)，且）的對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)（，0）且平行于y軸的直線，即直線x=；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，k）．拋物線的開口方向由a所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)時，開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．【考點(diǎn)剖析】題型1：求二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)解析式例1.求下列拋物線的解析式：（1）與拋物線形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5）的拋物線；（2）頂點(diǎn)為（0，1），經(jīng)過點(diǎn)（3，-2）并且關(guān)于y軸對稱的拋物線．題型2：二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)平移例2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出和的圖象，并根據(jù)圖象(如圖所示)回答下列問題．(1)拋物線向________平移________個單位得到拋物線；(2)拋物線，開口方向是________，對稱軸為________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為________；(3)拋物線，當(dāng)x________時，隨x的增大而減?。划?dāng)x________時，函數(shù)y有最________值，其最________值是________．【變式】(1)拋物線的開口方向，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．(2)拋物線與的形狀相同，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則其解析式為．(3)拋物線向平移個單位后，得到拋物線.題型3：二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的實際應(yīng)用例3.有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要在隧道壁上點(diǎn)P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點(diǎn)B的距離．題型4：二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)與一次函數(shù)的綜合例4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象大致為（）．【變式】在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象可能是（）A． B． C． D．題型5：二次函數(shù)平移例5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、和的圖像．【變式1】把拋物線向左平移2個單位得到拋物線____________；若將它向下平移2個單位，得到拋物線____________．【變式2】將拋物線（）向下平移3個單位，再向左平移4個單位 得到拋物線，則原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________．題型6：二次函數(shù)開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及函數(shù)的最值例6.將函數(shù)、與函數(shù)的圖像進(jìn)行比較，函數(shù)、的圖像有哪些特征？完成下表．拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)【變式1】說出下列函數(shù)的圖像如何由拋物線平移得到，再分別指出圖像的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（1）； （2）．【變式2】說出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出它是由拋物線通過怎樣的平移得到的．【變式3】頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0）且開口方向、形狀與函數(shù)相同的拋物線是____________．【變式4】已知函數(shù)，當(dāng)x=______時，函數(shù)取得最______值，為______；已知函數(shù)，當(dāng)x=______時，函數(shù)取得最______值，為______．【變式5】一個運(yùn)動員打高爾夫球，若球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù) 表達(dá)式為，則高爾夫球在飛行過程中的最大高度為（） A．10米 B．20米 C．30米 D．60米【變式6】對于二次函數(shù)：（1）求出圖像的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，這個函數(shù)有最大值還是最小值？這個值是多少？（2）求出此拋物線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時，y隨著x的增大而減小．題型7：二次函數(shù)增減性問題例7.已知拋物線，當(dāng)x>1時，y隨著x的增大而______；當(dāng)x<1時，y隨著x的增大而______．題型8：二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合例8.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖像大致是（）xxyOxyOxyOxyOA．B．C．D．【變式1】已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)的大致圖像 可能是（）OOA．B．C．D．xyxyxyxyxyOOOO【變式2】已知拋物線的頂點(diǎn)為C，直線y=2x+4與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．試求．題型9：二次函數(shù)對稱性及其應(yīng)用例9.若拋物線的對稱軸為直線x=-1，且它與拋物線的形狀相同，開口方向相反，則點(diǎn)（a，m）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為______．【變式1】已知二次函數(shù)的圖像上有A（，y1）、B（2，y2）、C（， y3）三個點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（） A． B． C． D．【變式2】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（，）．（1）求b+c的值；（2）若b=3，求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若，過點(diǎn)P作直線PAy軸，交y軸與點(diǎn)A，交拋物線于另一點(diǎn)B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應(yīng)的解析式．題型10：求二次函數(shù)解析式例10.已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，且圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，2）與（-1，8），求此函數(shù)解析式．題型11：與二次函數(shù)有關(guān)動態(tài)問題例11.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)在這個函數(shù)圖像上嗎？（3）如何通過左右平移函數(shù)圖像，使它經(jīng)過點(diǎn)B？題型12：利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實際問題例12.為了參加科技節(jié)展覽，同學(xué)們制作了一個截面為拋物線形的隧道模型，用了三種正方形鋼筋支架．在如圖所示的設(shè)計圖中，如果在直角坐標(biāo)系中，拋物線的函數(shù)解析式為，正方形ABCD的邊長和正方形EFGH的邊長之比為5:1，求：（1）拋物線解析式中常數(shù)c的值；（2）正方形MNPQ的邊長．AABCDOEFPNMQGHxy【變式1】有一個拋物線形的橋洞，橋洞離水面的最大高度BM為3米，跨度OA為6米， 以O(shè)A所在直線為x軸，O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示． （1）請直接寫出O、A、M三點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）一艘小船平放著一些長3米，寬2米且厚度均勻的矩形木板，要使該小船能通過此橋洞，問這些木板最高可堆放多少米（設(shè)船身底板與水面同一平面）？xxyABOM【過關(guān)檢測】一、單選題1．拋物線的開口方向（）A．向上； B．向下； C．向左； D．向右；2．（2021·上海九年級一模）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）拋物線的對稱軸是直線x=-2，則m的值是（）A． B．- C．2 D．-24．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）函數(shù)y＝x2－4的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，4） D．（0，－4）5．（2020·上海九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，那么這個二次函數(shù)的圖象有（）A．最高點(diǎn) B．最高點(diǎn) C．最低點(diǎn) D．最低點(diǎn)6．（2020·上海市青浦區(qū)第一中學(xué)九年級期中）點(diǎn)均在拋物線上，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2019·上海市嘉定區(qū)唐行九年制學(xué)校九年級二模）將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）A． B．C． D．8．（2021·上海九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y＝1﹣2x2的圖象的開口方向（）A．向左 B．向右 C．向上 D．向下9．（2019·上海市天山初級中學(xué)九年級期中）若在同一直角坐標(biāo)系中，作的圖像，則他們（）A．都關(guān)于軸對稱 B．開口方向相同 C．都經(jīng)過原點(diǎn) D．互相可以通過平移得到10．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2＋1的圖象大致是（）A． B．C． D．11．已知拋物線y=-（x+1）2上的兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜-1，那么下列結(jié)論一定成立的是（）A． B． C． D．．二、填空題12．（2021·上海九年級一模）拋物線在軸左側(cè)的部分是_______________．（填“上升”或“下降”）13．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果點(diǎn)A(﹣3，y1)和點(diǎn)B(﹣2，y2)是拋物線y＝x2+a上的兩點(diǎn)，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．14．（2020·上海九年級一模）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______________15．（2021·上海九年級一模）已知拋物線的開口向上，那么a的取值范圍是______．16．（2021·上海九年級一模）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為____．17．（2021·上海九年級一模）如果(2，)、(3，)是拋物線上兩點(diǎn)，那么______．（填“>”或“<”）18．（2021·上海九年級