理論力學(xué)-課件第14章

第十四章虛位移原理目錄01約束及其分類02虛位移及其計(jì)算03虛功與理想約束04虛位移原理05質(zhì)點(diǎn)系的自由度與廣義坐標(biāo)06以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第一節(jié)約束及其分類幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束。單擺上一質(zhì)點(diǎn)M，可繞固定點(diǎn)O在平面Oxy內(nèi)擺動(dòng)，擺桿長(zhǎng)l。此時(shí)擺桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的限制條件是：質(zhì)點(diǎn)M必須在以點(diǎn)O為圓心，以l為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)。若用x，y表示質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，則約束條件可寫成在圖14-2所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，連桿AB所受約束有：點(diǎn)A必須沿以點(diǎn)O為圓心，以r為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)；A，B間的長(zhǎng)度為l；點(diǎn)B只能沿滑道做直線運(yùn)動(dòng)。則表示這三個(gè)限制條件的約束方程為圖14-1

圖14-2一般地，若質(zhì)點(diǎn)在一固定曲面上運(yùn)動(dòng)，那么曲面方程就是質(zhì)點(diǎn)的約束方程，即在上述例子中，限制物體位置的幾何條件都是幾何約束。其約束方程建立了質(zhì)點(diǎn)間幾何位置的相互聯(lián)系。除幾何約束外，還有限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，稱為運(yùn)動(dòng)約束?；驁D14-3定常約束與非定常約束如果約束條件不隨時(shí)間變化，這類約束稱為定常約束。如圖14-1和圖14-2中的兩種幾何約束都是定常約束。當(dāng)約束條件隨時(shí)間變化時(shí)則稱之為非定常約束。定常約束的約束方程，一般可表示為（14-1）非定常約束的約束方程可表示為（14-2）圖14-4雙面約束與單面約束某些約束，只容許質(zhì)點(diǎn)做一定的運(yùn)動(dòng)，但不容許質(zhì)點(diǎn)從任何方向脫離約束，這樣的約束稱為雙面約束。其約束方程為等式。例如，單擺中質(zhì)點(diǎn)所受擺桿的約束和曲柄連桿機(jī)構(gòu)中的滑塊受到的約束都是雙面約束。如果運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)可以從某一方向脫離約束作用，這樣的約束稱為單面約束。由于這種約束只能限制朝某一方向的位移，而容許相反方向的位移，則約束方程變?yōu)椴坏仁?。如圖14-1中的擺桿用繩來(lái)代替，約束方程則為

完整約束和非完整約束如果約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（如運(yùn)動(dòng)約束），而且方程不可能積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。非完整約束總是微分形式。反之，如果約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的微分項(xiàng)可以積分為有限形式，這類約束稱為完整約束。如圖14-3所示的車輪在直線軌道上滾動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)約束雖然是微分形式但可積分成有限形式所以仍是完整系統(tǒng)。完整系統(tǒng)的約束方程的一般形式為式（14-2）。其約束方程的一般形式為（14-3）式中，s為質(zhì)點(diǎn)系的約束方程數(shù)目；n為質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。第二節(jié)虛位移及其計(jì)算

由于約束的限制，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不可能是完全自由的，即按約束的性質(zhì)，約束容許質(zhì)點(diǎn)系有某些位移，而不容許有其他的位移。在靜止平衡問(wèn)題中，質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都不動(dòng)。設(shè)想在質(zhì)點(diǎn)系的約束容許的情況下，給其一個(gè)任意的，極微小的位移。虛位移的定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何微小的位移即為虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。虛位移用變分符號(hào)

表示。必須指出，質(zhì)點(diǎn)系任一質(zhì)點(diǎn)的虛位移與實(shí)位移是兩個(gè)不同的概念。實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)系某一時(shí)間內(nèi)真正實(shí)現(xiàn)的位移，具有確定的方向，它除了與約束條件有關(guān)外，還與時(shí)間，主動(dòng)力及運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)，而虛位移僅與約束條件有關(guān)。因?yàn)樘撐灰剖侨我獾臒o(wú)限小的位移，所以在定常約束條件下，實(shí)位移只是所有虛位移中的一個(gè)，在非定常約束條件下，實(shí)位移則不一定是虛位移中的一個(gè)。對(duì)無(wú)限小的實(shí)位移，我們用微分符號(hào)d表示，如dr，ds，幾何法（虛速度法）圖14-5因此因以上求解過(guò)程借助于虛速度概念，故幾何法又稱為虛速度法。解析法求坐標(biāo)變分得到

圖14-6第三節(jié)虛功與理想約束虛功與理想約束或

（14-4）圖14-7如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有約束力所做虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束，即理想約束應(yīng)滿足如下條件顯然，虛功也是假設(shè)的，并且與虛位移是同階無(wú)窮小量。第四節(jié)虛位移原理虛位移原理：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡狀態(tài)的必要充分條件是，所有作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所做的虛功之和等于零。（14-6）必要性的證明必要性的證明即證明，如果質(zhì)點(diǎn)系處于平衡，則式（14-6）必成立。圖14-8對(duì)其他質(zhì)點(diǎn)仍可寫出這樣一個(gè)等式，將所有等式相加，有由于質(zhì)點(diǎn)系的約束都是理想約束，從式（14-5）可知于是有

必要性條件得以證明充分性的證明充分性的證明即證明，如果式（14-6）成立，則質(zhì)點(diǎn)系必平衡。反證法圖14-9對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，存在

由于理想約束的性質(zhì)，有圖14-9于是這個(gè)結(jié)果與我們所設(shè)的條件矛盾，即若式（14-6）成立，則質(zhì)點(diǎn)系不可能由靜止進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，必然保持平衡狀態(tài)。則充分性得以證明。將式（14-6）寫成解析形式（14-7）由于方程（14-6）和（14-7）中都不含有約束力，因此在理想約束的條件下，應(yīng)用虛位移原理解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)，只須考慮主動(dòng)力，這樣處理問(wèn)題時(shí)非常方便。如果約束不是理想約束具有摩擦?xí)r，只要把摩擦力當(dāng)作主動(dòng)力，在虛功方程中計(jì)入摩擦力所做的虛功即可。例14-1

圖14-10解（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象。用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)來(lái)分析A點(diǎn)的虛位移，如圖14-10所示，應(yīng)有搖桿上A，B兩點(diǎn)的虛位移關(guān)系為（a）（4）列虛功方程（14-6），求解。由得

（b）將式（a）代入式（b），得例14-2圖14-11（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象。解連桿AB的瞬心C的位置如圖14-11所示，A，B兩點(diǎn)的速度分別為將式（a）代入式（b），得（a）（4）列虛功方程（14-6），求解。由

得（b）例14-3圖14-12解（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象。對(duì)兩邊變分（與微分類似），得則（4）列虛功方程（14-7），求解。將虛位移間的關(guān)系代入，最后例14-4

（a）

（b）

圖14-13解（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象。（3）運(yùn)動(dòng)分析，求虛位移間的關(guān)系。用解析法求解，由圖14-13（b）可知求變分

（4）列虛功方程（14-7），求解。圖14-14

（a）

（b）解（1）選系統(tǒng)為研究對(duì)象。（4）應(yīng)用虛功方程（14-6）求解。最后求出

應(yīng)當(dāng)指出：式（14-6）和（14-7）為虛位移原理的兩種不同的表達(dá)式。若應(yīng)用式（14-6）求解，則首先應(yīng)給定虛位移；然后確定作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力在給定的虛位移上所做的虛功（方向相同取正號(hào)，方向相反取負(fù)號(hào)）；最后，用幾何法求虛位移間的關(guān)系。若應(yīng)用式（14-7）求解，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行。首先，分別求出各主動(dòng)力在坐標(biāo)軸上的投影；其次，計(jì)算主動(dòng)力在虛位移上所做的虛功，由于在此種情況下，主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移在坐標(biāo)軸上的投影均按正方向計(jì)算，所以主動(dòng)力在坐標(biāo)軸上的投影為正，則虛功取正號(hào)，反之虛功取負(fù)號(hào)；然后用對(duì)各主動(dòng)力作用點(diǎn)坐標(biāo)的變分確定虛位移關(guān)系；最后代入式（14-7）求解。第五節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的自由度與廣義坐標(biāo)確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即三個(gè)坐標(biāo)，也就是說(shuō)自由質(zhì)點(diǎn)在空間有三個(gè)自由度（平面上的自由質(zhì)點(diǎn)則有兩個(gè)自由度）。顯然，一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的自由質(zhì)點(diǎn)系具有3n個(gè)自由度。實(shí)際上，工程中我們常處理的質(zhì)點(diǎn)系由于受到約束的作用，其運(yùn)動(dòng)不可能是完全自由的（如圖14-2的曲柄連桿機(jī)構(gòu)），這樣的質(zhì)點(diǎn)系稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系。又由于約束方程建立了坐標(biāo)間的聯(lián)系，所以確定非自由質(zhì)點(diǎn)系位置的坐標(biāo)并不都是獨(dú)立的。

圖14-2建立了關(guān)系，其位置只要一個(gè)獨(dú)立參數(shù)便能確定，所以這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系也具有一個(gè)自由度。因此，在完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)目。圖14-1一般地，具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，如果作用有S個(gè)完整約束，則自由度的數(shù)目是（14-8）（14-9）（14-10）第六節(jié)以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件式（14-7）表達(dá)的虛位移原理，是以質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)的變分表示虛位移的。但這些虛位移之間不一定是相互獨(dú)立的，所以在解題時(shí)，還要建立虛位移之間的關(guān)系，然后才能將問(wèn)題解決。如果我們直接用廣義坐標(biāo)的變分來(lái)表示虛位移，則虛位移之間是相互獨(dú)立的，這時(shí)虛位移原理可以表示為更簡(jiǎn)潔的形式。將式（14-10）的虛位移表達(dá)式代入虛功方程（14-7）中，得（14-11）如果令（14-12）則式（14-11）可簡(jiǎn)寫成（14-13）由于廣義坐標(biāo)都是相互獨(dú)立的，廣義虛位移是任意的，為使式（14-13）成立，必須有（14-14）式（14-14）說(shuō)明，質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是所有的廣義力都等于零。這就是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件是一個(gè)方程組，方程的數(shù)目等于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)數(shù)目。因此，對(duì)于一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)平衡問(wèn)題，列出一個(gè)平衡方程就已足夠了。對(duì)于具有兩個(gè)或多個(gè)自由度的系統(tǒng)，就需要列出由兩個(gè)或多個(gè)方程組成的方程組。可見，在利用廣義坐標(biāo)表示的平衡條件解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵在于如何求出廣義力。因此求得廣義力（14-15）例14-6

圖14-15解（4）應(yīng)用式（14-14）求解。