材料力學(xué)(劉鴻文)第07章02廣義胡克定律

廣義胡克定律主講教師：王明祿15九月2024§7–8廣義胡克定律PP

′=+

1′

2″

2′

1″一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無關(guān)；剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)；二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy三、主應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律

1

2

3四、應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系[例1]

已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為

1=240×10-6，

3=–160×10-6。材料的彈性模量E=210GPa，泊松比

=0.3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值數(shù)，并求另一應(yīng)變

2的數(shù)值和方向。解：因主應(yīng)力和主應(yīng)變相對(duì)應(yīng)，則由題意可得：即為平面應(yīng)力狀態(tài)，有聯(lián)立兩式可解得：主應(yīng)變

2為：其方向必與

1和

3垂直，沿構(gòu)件表面的法線方向。[例2]邊長(zhǎng)為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的應(yīng)力

x、

y

、

z

和應(yīng)變

x、

y、

z。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：Pxyz

x

y

z[例3]薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D≤1/20)，筒的平均直徑為D，壁厚為t，材料的E、

已知。已測(cè)得筒壁上

k點(diǎn)沿45°方向的線應(yīng)變

45°，求筒內(nèi)壓強(qiáng)p。

kptD

x

x

y

y解：筒壁一點(diǎn)的軸向應(yīng)力：筒壁一點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力：

kptD

x

x

y

y

45°

-45°45°-45°[例4]受扭圓軸如圖所示，已知m、d、E、

，求圓軸外表面沿ab

方向的應(yīng)變

ab。ABm

m

dab45°

解：ABm

m

dab45°

45°

-45°

[例5]

壁厚t=10mm,外徑D=60mm的薄壁圓筒,在表面上k點(diǎn)處與其軸線成45°和135°角即x,y

兩方向分別貼上應(yīng)變片,然后在圓筒兩端作用矩為m

的扭轉(zhuǎn)力偶,如圖所示已知圓筒材料的彈性模量為E=200GPa和

=0.3,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi),且max=80MPa,試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變x,

y以及變形后的筒壁厚度。DtymkxDtxymkxyk可求得:解:從圓筒表面k點(diǎn)處取出單元體,如圖所示k點(diǎn)處的線應(yīng)變x,

y為圓筒表面上k點(diǎn)處沿徑向(z軸)的應(yīng)變?yōu)橥砜傻?圓筒中任一點(diǎn)(該點(diǎn)到圓筒橫截面中心的距離為

)處的徑向應(yīng)變?yōu)橐虼?該圓筒變形后的厚度并無變化,仍然為t=10mm.§7–9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能一、體積應(yīng)變dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dz略去高階微量，得單元體的體積應(yīng)變代入式得：

純剪應(yīng)力狀態(tài)：可見剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對(duì)于非主應(yīng)力單元體，其體積應(yīng)變可改寫為體積應(yīng)變只與三個(gè)主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其比例無關(guān)。令

m稱為平均正應(yīng)力，K稱為體積彈性模量。二、比能單位體積的變形能稱為變形能密度，簡(jiǎn)稱比能。⒈單向拉壓比能dxdzdy

d(△l)dxdzdy

⒉純剪切比能dxdydz

⒊復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能⒋體積改變比能與形狀改變比能

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf狀態(tài)1受平均正應(yīng)力

m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變比能uV。狀態(tài)2的體積應(yīng)變：狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為形狀改變比能uf。

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf[例1]邊長(zhǎng)為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的體積應(yīng)變

V和形狀改變比能uf

。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：

x

y

z[例2]證明彈性模量E、泊桑比

、剪切彈性模量G之間的關(guān)系為。

3

1證明：純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為用主應(yīng)力計(jì)算比能構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和最大畸變能密度理論

(2)塑性屈服：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論§7-10強(qiáng)度理論概述1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大拉應(yīng)力達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)破壞的極限值，就會(huì)發(fā)生脆性斷裂。－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力－極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得§7-11四種常見強(qiáng)度理論及強(qiáng)度條件斷裂條件強(qiáng)度條件鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)

局限性：1、未考慮另外二個(gè)主應(yīng)力影響，2、對(duì)沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)無法應(yīng)用，3、對(duì)塑性材料的破壞無法解釋，4、無法解釋三向均壓時(shí)，既不屈服、也不破壞的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于大部分脆性材料受拉應(yīng)力作用，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符合，如鑄鐵受拉、扭。2.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)破壞的極限值，就會(huì)發(fā)生脆性斷裂。－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變－極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件斷裂條件即最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大切應(yīng)力達(dá)到了簡(jiǎn)單拉伸屈服時(shí)的極限值，材料就會(huì)發(fā)生屈服。3.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力－極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服條件強(qiáng)度條件低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)軸向拉、壓（單向應(yīng)力狀態(tài)）圓軸扭轉(zhuǎn)（純剪切應(yīng)力狀態(tài)）

第三強(qiáng)度理論在工程中實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1、未考慮的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。最大畸變能密度是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大畸變能密度達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸屈服時(shí)的極限值,材料就會(huì)發(fā)生屈服。4.最大畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能－形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服條件強(qiáng)度條件實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：相當(dāng)應(yīng)力例1:試用第三強(qiáng)度理論分析圖示三種應(yīng)力狀態(tài)中哪種最危險(xiǎn)？解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖例2

直徑為d=0.1m的鑄鐵圓桿受力T=7kNm,P=50kN

[

]=40MPa,用第一強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度安全PPTTAA例3

薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí),測(cè)得

x=1.8810-4