5.5.1　第4課時(shí)　二倍角的正弦、余弦、正切公式

第4課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式第五章

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1.會(huì)用兩角和(差)的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、

余弦、正切公式.2.能熟練運(yùn)用二倍角的公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換并能靈活地

將公式變形運(yùn)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，唐代詩人王維曾寫出“獨(dú)在異鄉(xiāng)為異客，每逢佳節(jié)倍思親”，一個(gè)“倍”字道出了思念親人的急迫心情，這里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一樣的心情，同學(xué)們，讓我們加倍努力，期待我們的成績加倍提高，說不定，寒假時(shí)，你們的父母會(huì)對(duì)你們有加倍的獎(jiǎng)勵(lì)哦，今天，就讓我們共同探究三角函數(shù)中的“二倍”關(guān)系.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、二倍角的正弦、余弦、正切公式二、給值求值三、倍角公式的綜合運(yùn)用內(nèi)容索引一、二倍角的正弦、余弦、正切公式問題1

請(qǐng)同學(xué)們寫出兩角和的正弦、余弦、正切公式.提示sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；問題2

當(dāng)α＝β時(shí)，你能寫出sin2α，cos2α，tan2α的表達(dá)式嗎？提示sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；知識(shí)梳理1.二倍角的正弦公式sin2α＝

，其中α∈R，簡記作S2α.2.二倍角的余弦公式cos2α＝cos2α－sin2α＝

＝

，其中α∈R，簡記作C2α.3.二倍角的正切公式2sin

αcos

α2cos2α－11－2sin2α升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.例1求下列各式的值：(3)cos20°·cos40°·cos80°.反思感悟

對(duì)于給角求值問題，一般有兩類(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.跟蹤訓(xùn)練1

求下列各式的值：二、給值求值反思感悟

解決給值求值問題的方法(1)給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向：①有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；②尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.(2)注意幾種公式的靈活應(yīng)用，如：三、倍角公式的綜合運(yùn)用(1)若f(B)＝2，求B的大?。?2)若f(B)－m>2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解由題意知f(B)－m>2恒成立，所以2＋m<－2，所以m<－4，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－4).反思感悟

要結(jié)合之前所學(xué)的所有的公式，對(duì)它們靈活運(yùn)用，融會(huì)貫通，在解決具體問題時(shí)，要注意題目中的隱含條件，要會(huì)對(duì)三角函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行判斷.尤其是在三角形中，其最多只有一個(gè)直角或鈍角，正弦值均為正、余弦和正切值并不一定為正.√∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα<0，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)1.知識(shí)清單：(1)二倍角公式的推導(dǎo).(2)利用二倍角公式的正用、逆用進(jìn)行化簡、求值和證明.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：化簡求值開根號(hào)時(shí)，忽視角的范圍、實(shí)際問題中隱含的條件.課堂小結(jié)隨堂演練A.2sin15°cos15° B.cos215°－sin215°C.2sin215° D.sin215°＋cos215°√1234sin215°＋cos215°＝1，故選B.1234√√12341234解析∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°A.2 B.3 C.4 D.6√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415√1612345678910111213141516所以m2＝4sin218°，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，所以x<0，√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析設(shè)等腰三角形的底角為α

，則頂角為π－2α.1234567891011121314151641234567891011121314151612345678910111213141516解因?yàn)?π<α<4π，12345678910111213141516綜合運(yùn)用√1234567891011121314151611.sin10°sin30°sin50°sin70°的值為解析sin10°sin30°sin50°sin70°1234567891011121314151612345678910111213141516√A.必要不充分條件

B.充分不必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√1234567891011121314151612345678910111213141516即2sinx＝1＋cosx成立，即必要性成立，當(dāng)x＝π時(shí)，滿足2sinx＝cosx＋1，1234567891011121314151612345678910111213141516又∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，拓廣探究1234567891011121314151612