25屆（新教材QG版）數(shù)學精練案基礎課29平面向量的數(shù)量積及其應用

基礎課29平面向量的數(shù)量積及其應用課時評價·提能基礎鞏固練1.已知向量a，b，c在由7×4小正方形（邊長為1）組成的網(wǎng)格中的位置如圖所示，則2aA.12 B.4 C.6 D.3[解析]以網(wǎng)格的小正方形相鄰兩邊所在的單位向量i,j為基底，如圖，則a=2i?j,b=2i+2j,2.已知向量a=3,4，b=1,0，A.?6 B.?5 C.5[解析]因為a=3,4，b=1,0因為a?ca=b?cb，所以3.（改編）若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，且a=2,b=3,c=A.22 B.3 C.2或22 D.[解析]若平面向量a，b，c兩兩的夾角相等，則夾角為0或2π當向量a，b，c兩兩的夾角為0時，因為a=2,b=3,c當向量a，b，c兩兩的夾角為2π3時，a?b=則a+b+c4.已知向量a=1,0，b=(?12,32)，記向量aA.32 B.?32 C.1[解析]因為a=1,0，b=(?12,32)，所以a=1，b=5.（改編）如圖，這是一個正六邊形ABCDEF，則下列說法錯誤的是（D）.A.AC?BD=C.AF?AB=CB?CD [解析]連接AC,AD,AE,BD,BF,CE，CE與AD交于點H，如圖所示.對于A，AC?BD=AC?AE對于B，由圖易得AE=AC，直線AD平分∠EAC，且△ACE為正三角形，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,AC+AE=易知△EDH，△AEH均為含π6角的直角三角形，故AH=3EH，EH=3DH，即AH=3DH，所以AD=AH+對于C，設正六邊形ABCDEF的邊長為a，則AF?AB=AF?ABcos2π3=?對于D，易知∠CAB=π6，則AC在AB上的投影向量為ACcosπ6?AB6.已知非零向量a，b滿足a+2b⊥a?2b，且向量b在向量a方向上的投影向量是A.π6 B.π3 C.π2[解析]因為a+2b⊥a?2又因為向量b在向量a方向上的投影向量是14a，所以bcos?a,b??aa=bacos?a,b??a=12cos?a,b??a=14a，所以12cos?a,b7.（改編）已知在△ABC中，ABAB+ACAC?BCA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形[解析]因為ABAB為AB方向上的單位向量，ACAC為AC方向上的單位向量，所以ABAB+ACAC在∠所以∠BAC的平分線垂直于BC，根據(jù)等腰三角形三線合一定理得到△ABC為等腰三角形，且AB=AC，又BABA?CB又0<B<π2，所以B=π3，所以C=B=π8.已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中bcosC+ccosB=2acosA且c=2，bA.?34 B.5 C.3 [解析]如圖，因為bcosC+c則sinB+C=2sinAcosA，又sinB+C所以AM?BN=1綜合提升練9.（多選題）已知a，b為平面向量，其中b為單位向量，若非零向量a與b滿足a?a?A.a?b⊥a?3b B.C.a的最大值為2 D.a?[解析]對于A，a?b?a?3b對于B，設a與b的夾角為θ，則a?a?4b=a2?4a?bcosθ=a2?4acosθ對于C，a?a?4b=a2?4a?bcosθ對于D，由a2?4a?b=?3，可得a?b=a2+34，a?b2=10.（多選題）已知在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，S為△ABC的面積，且a=23A.AB.若△ABC有兩個解，則b的取值范圍是C.若△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是D.若D為BC邊上的中點，則AD的最大值為3[解析]對于A,由AB?AC=233S，得cbcosA=233×1對于B,若△ABC有兩個解，則bsinA<a<b，即32b對于C,若△ABC為銳角三角形，則0<B<π2，A+B=π3+B>π2，故對于D,若D為BC邊上的中點，則AD=12AB+AC，故AD2所以由基本不等式得b2+c2=12+bc≥2bc，當且僅當b=c=23時，等號成立，故bc11.已知非零向量a，b滿足a=3b且a+3b⊥a[解析]∵a+3b⊥∵a=3b,∴3b2?a12.已知平行四邊形ABCD的面積為93，∠BAD=2π3，E為線段BC的中點.若F為線段DE[解析]因為平行四邊形ABCD的面積為93所以ABADsin2π如圖，連接AE，則BE=12所以AF=因為E,F,D三點共線，所以λ+56?應用情境練13.笛卡爾坐標系是直角坐標系與斜角坐標系的統(tǒng)稱.如圖，在平面斜角坐標系xOy中，兩坐標軸的正半軸的夾角為60°，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量a=xe1+ye2，則稱有序實數(shù)對x,y為a在該斜角坐標系下的坐標.若向量[解析]由已知m=3e1+得m?n=314.現(xiàn)有五個圓環(huán)的大小和間距如圖所示.若圓的半徑均為12，相鄰圓圓心的水平距離為26，兩排圓圓心的垂直距離為11.設五個圓的圓心分別為O1，O2，O3，O4，O5，則[解析]以O2為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，過點O4作O4A⊥x軸于點A，所以O4A所以O4O1=?所以O4創(chuàng)新拓展練15.（雙空題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點M，N，若Q是BC的中點，則QM?QN的取值范圍是[?1,0]；若P是平面上一點，且滿足2[解析]因為直線l過中心O且與兩邊AB,CD分別交于點M,N，所以O為MN的中點，所以OM=?所以QM?因為Q是BC的中點，所以QO=1，1≤OM即QM?QN的取值范圍為令OT=2OP，由OT=2OP=λOB+1又因為O為MN的中點，所以OT≥1，從而PM?因為1≤所以PM?即PM?PN的最小值為16.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，O是△（1）若點O是△ABC的重心，且OA?OB（2）若點O是△ABC的外心，BO=λBA+μBCλ,[解析]（1）如圖，延