25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課47雙曲線

基礎(chǔ)課47雙曲線考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程了解2023年新高考Ⅱ卷T2023年天津卷T2023年北京卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象雙曲線的幾何性質(zhì)了解2023年新高考Ⅰ卷T2023年全國甲卷（文）T2023年全國乙卷（理）T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考命題的熱點(diǎn)，試題難度中等偏上，預(yù)計(jì)2025年命題熱點(diǎn)在綜合小題和解答題，復(fù)習(xí)要做到全面高效一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫作①雙曲線集合P={MMF1?MF2|=2a1.若④2a<F12.若⑤2a=F13.若⑥2a>F1二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程xy圖形性質(zhì)范圍x∈?∞,?y∈?∞,?對(duì)稱性對(duì)稱軸：⑦x軸,y軸；對(duì)稱中心：⑧原點(diǎn)頂點(diǎn)A1?A10性質(zhì)漸近線⑨y⑩y離心率e=?caa,b,c的關(guān)系c2=實(shí)、虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長A線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長B(a叫作雙曲線的實(shí)半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長1.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.2.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為2b3.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則PF4.等軸雙曲線的漸近線互相垂直且離心率e=5.焦半徑公式：若Px0,y0是雙曲線x2a2?y2題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）平面內(nèi)到點(diǎn)F10,?4,（2）平面內(nèi)到點(diǎn)F10,?4,（3）方程x2m?y2（4）若方程x2k+1?y22.（易錯(cuò)題）已知方程x22+m?【易錯(cuò)點(diǎn)】本題需要根據(jù)焦點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，這是容易忽視致錯(cuò)的地方.[解析]①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，2+m>01+m>0解得m>?1題組2走進(jìn)教材3.（人教A版選修①P121·練習(xí)T1改編）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為F10,?6,F2[解析]設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b4.（蘇教版選修①P99·T8改編）若雙曲線x2a2?y[解析]由已知可得雙曲線的漸近線方程為y=±bax，點(diǎn)3,?4在漸近線上，故題組3走向高考5.[2023·北京卷]已知雙曲線C的焦點(diǎn)為?2,0和2,0，離心率為2[解析]令雙曲線C的實(shí)半軸長、虛半軸長分別為a,b，顯然雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距c=2，由雙曲線C的離心率為2，得ca=2，解得a=2考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用［自主練透］1.已知圓C1：x+32+y2=1和圓C[解析]如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A,根據(jù)兩圓外切的條件,得MC1?∵M(jìn)A∴M即MC∴點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于又根據(jù)雙曲線的定義,得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M與C2的距離大,與C1的距離?。?其中a=1,故圓心M的軌跡方程為x22.已知F1,F2分別為雙曲線C：x2?y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)[解析]不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則PF1?PF∴P∴S3.[2024·北京?？糫已知F是雙曲線C：x2?y28=1的右焦點(diǎn),P是C左支上一點(diǎn).A0,A.297 B.10 C.86 [解析]設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1?3,0，根據(jù)雙曲線的定義可知AP+PF=AP+PF1+2a，所以當(dāng)AP+PF1的值最小時(shí)，AP+PF所以y=26×?2+3=26，故P?2,26，則故選A.雙曲線定義應(yīng)用的三種類型及解題策略求方程通過對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化，明確動(dòng)點(diǎn)滿足雙曲線的定義，便可直接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角形問題利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長和面積.解決焦點(diǎn)三角形問題常利用雙曲線的定義、正弦定理或余弦定理，結(jié)合PF1?求最值利用PF【注意】1.不能漏掉“絕對(duì)值”，否則軌跡是雙曲線的一支；2.“常數(shù)”小于F13.確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸位置，否則容易漏解或錯(cuò)解.考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程［師生共研］典例1求分別滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1?5,0（2）虛軸長為12，離心率為54（3）以橢圓x28+（4）與雙曲線x2?2[解析]（1）由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)雙曲線的定義得，a=3,c=5,則（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2由題知2b=12，ca=54,由c2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x264?（3）由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c=設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2=1a>0（4）設(shè)與雙曲線x22?y2=1有公共漸近線的雙曲線的方程為x22求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線,由雙曲線的定義確定2a,2b或2c,從而求出a2,b2.待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦點(diǎn)位置不好確定,那么可將雙曲線方程設(shè)為Ax2+By2=1.已知A0,7,B0,?7,C12,2,以C[解析]因?yàn)锳0,7,B所以AC=122+7因?yàn)锳,B都在橢圓上，所以AF+AC=故F的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，又2c=AB=14,2a=AF?BF=2，即2.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b[解析]由雙曲線性質(zhì)可知，P2,P3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P2,P3一定在雙曲線上，根據(jù)雙曲線在第一象限的圖象且P13,1，P22,3，3>2所以雙曲線C的方程為x2考點(diǎn)三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)［多維探究］漸近線典例2（1）已知雙曲線x2a2?yA.x±2y=0 B.x±2[解析]由e=ca=1+ba2（2）[2024·山東模擬]已知雙曲線C：y2a2?xA.y=±2x B.y=±5x [解析]由已知得，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的焦距2c=45,解得c=25,雙曲線的實(shí)軸長2a=4,解得涉及雙曲線漸近線的常用結(jié)論1.求雙曲線x2a2?y2b2.已知漸近線方程為y=±ba【注意】兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱.求離心率的值（范圍）典例3（1）[2024·黑龍江質(zhì)檢]若雙曲線x2a2?yA.[10,+∞) B.1,10 C.[解析]由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±bax，要使直線3x+y=故選C.（2）[2023·新高考Ⅰ卷]已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F[解析]依題意，設(shè)AF2=2m，則在Rt△ABF1中，9m2+2a所以AF1=4a,AF故cos∠F所以在△AF1F2中，cos∠求雙曲線離心率（或其范圍）的兩種常用方法與雙曲線有關(guān)的最值、范圍問題典例4（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=a與雙曲線C：x2a2?y2bA.4 B.8 C.16 D.32[解析]由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±bax,∵直線x=a與雙曲線C的兩條漸近線分別交于D,聯(lián)立x=a故Da聯(lián)立x=a故Ea∴ED=2b∵雙曲線C：∴其焦距為2c=當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22（2）[2024·浙江質(zhì)檢]已知雙曲線x24?y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,A.18,42 C.30?65[解析]如圖，不妨取第一象限的點(diǎn)P，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與直線PF1,F1F2,PF又F1F2=K所以K2,0,設(shè)∠因?yàn)閗P所以tan2α解得0<tanQK為內(nèi)切圓的半徑，不妨設(shè)r=在Rt△QF1F1當(dāng)QM與F1F2的方向相同時(shí)，QM?F1F2=6r，當(dāng)與雙曲線有關(guān)的最值、范圍問題1.點(diǎn)在雙曲線上,求相關(guān)式子（目標(biāo)函數(shù)）的取值范圍,常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決；2.求雙曲線焦距的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和基本不等式求最值的方法,在使用基本不等式求最值時(shí),要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立.1.[2024·遵義模擬]過雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左焦點(diǎn)FA.2x±y=0 B.3x±[解析]如圖所示，設(shè)直線OM，ON為雙曲線的漸近線，F(xiàn)′由題意可知FM⊥OM，因?yàn)镸N+MF=故△OFN為等腰三角形，即∠FOM=∠MON=∠F′ON，故2.[2024·無錫模擬]已知點(diǎn)P在雙曲線C：x2a2?y2b2=1aA.2 B.3 C.2 D.5[解析]雙曲線C：x2a2如圖，設(shè)雙曲線上的點(diǎn)Px0,y0，則x02a2?y02b2=1，即b2x02?a2y02=a2b3.已知在數(shù)列{an}中，an>1n∈N?，點(diǎn)A.[12,+∞) B.(12,+∞) C.[2[解析]由題意可得，雙曲線2y2?因?yàn)辄c(diǎn)an,an+由an>1可知{an2}為遞減數(shù)列，且可得an+1?an<0，且an+2由雙曲線的性質(zhì)以及{an}為遞減數(shù)列可知，{kn}為遞減數(shù)列，即kn≤k1，且隨著a1增大，直線A1A橢圓、雙曲線的第三定義橢圓、雙曲線的第三定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A1?a,0，A2a當(dāng)常數(shù)e2?11.以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓和雙曲線為例，由第三定義易得如下結(jié)論：【結(jié)論1】若過原點(diǎn)的直線交橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0于A【結(jié)論2】若過原點(diǎn)的直線交雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>02.以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓和雙曲線為例，由第三定義易得有關(guān)中點(diǎn)弦的如下推論：【推論1】若AB為橢圓C：x2a2+y2b2=【推論2】若AB為雙曲線C：x2a2?y2b2=典例已知過原點(diǎn)的直線交橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0于A[解析]設(shè)Px1,y1,Ax2因?yàn)辄c(diǎn)A,P在橢圓上，所以x兩式作差得x1即y1所以kPA變式設(shè)問若將典例中的條件“過原點(diǎn)的直線交橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0于A,B兩點(diǎn)，P是橢圓C上異于A,B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)”改為“不過原點(diǎn)的直線交橢圓C[解析]設(shè)Ax1,y1,Bx2,y因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上，所以x兩式作差得x1即y1所以kOP深度訓(xùn)練1已知A，B，P為雙曲線x2?y24=1上不同的三點(diǎn)，且滿足PA+PB=2PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線[解析]由PA+PB=