黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)段考試?yán)砜圃囶}含解析

PAGE18-黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)段考試?yán)砜圃囶}（含解析）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】視察，奇偶相間排列，偶數(shù)位置為負(fù)，所以為，數(shù)字是奇數(shù)，滿意2n-1,所以可求得通項(xiàng)公式.【詳解】由符號(hào)來看，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以符號(hào)滿意，由數(shù)值1，3，5，7，9…明顯滿意奇數(shù)，所以滿意2n-1,所以通項(xiàng)公式為，選C.【點(diǎn)睛】本題考查視察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是培育對(duì)數(shù)字的敏銳性，屬于基礎(chǔ)題.2.在△ABC中，假如，那么cosC等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可設(shè)a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，cosC=,選D3.已知集合，，則=（）A.（1，3） B.（1，4） C.（2，3） D.（2，4）【答案】C【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法，可得集合，然后依據(jù)交集的概念，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以又，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，記住口訣“大于取兩邊，小于取中間”，還考查集合之間的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4.在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.10 C.7 D.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，然后由，簡潔計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題可知：又，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，若，則，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還．”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從其次天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請(qǐng)問第三天走了（）A.60里 B.48里 C.36里 D.24里【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得出等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、公比和前項(xiàng)和，由此列方程，解方程求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意步行路程是等比數(shù)列，且，，，故，解得，故里.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古典數(shù)學(xué)文化，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6.已知數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】變換得到，設(shè)得到是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】，易知，故，設(shè)，則，，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，，，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.7.已知等差數(shù)列的公差d＞0，則下列四個(gè)命題：①數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列是遞增數(shù)列；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞增數(shù)列．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】①：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，因此可以把看成關(guān)于的一次函數(shù)，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因此本命題是真命題；②：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，因此可以把看成關(guān)于的二次函數(shù)，而二次函數(shù)的單調(diào)性與開口和對(duì)稱軸有關(guān)，雖然能確定開口方向，但是不能確定對(duì)稱軸的位置，故不能推斷數(shù)列的單調(diào)性，故本命題是假命題；③：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，設(shè)，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，明顯當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，故本命題是假命題；④：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，設(shè)，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以可以把看成關(guān)于的一次函數(shù)，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因此本命題是真命題.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)推斷數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理論證實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.8.對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，下列正確的結(jié)論為（）A.若，則； B.若，則；C.若，則； D.若，則．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合舉特例、作差比較法進(jìn)行求解即可.【詳解】A：依據(jù)不等式的基本性質(zhì)可知：只有當(dāng)時(shí)，才能由推出，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；B：若時(shí)，由推出，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；C：若時(shí)，明顯滿意，但是沒有意義，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；D：，因?yàn)?，所以，因此，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查了作差比較法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.下列命題中，不正確的是（）A.在中，若，則B.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若，，則必是等邊三角形D.在中，若，則必是等腰三角形【答案】D【解析】分析】A：依據(jù)三角形大角對(duì)大邊的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理進(jìn)行推斷即可；B：依據(jù)銳角三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷即可；C：利用余弦定理，結(jié)合等邊三角形的判定方法進(jìn)行推斷即可；D：依據(jù)正弦定理，結(jié)合二倍角的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】A：在中，因?yàn)椋?，由正弦定理可知：，故本命題是正確的；B：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，由三角形內(nèi)角和定理可知；，即有，因?yàn)槭卿J角三角形，所以為銳角，因此可得：，故本命題是正確的；C：由余弦定理可知；，又因?yàn)椋?，所以有：，因此是等腰三角形，而，所以是等邊三角形，故本命題是正確的；D：由正弦定理可知；，而，所以有，，于是有或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，因此本命題不正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角正弦公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.10.在中，已知cm，cm，，假如利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理，依據(jù)題意，得到，再由三角形有兩解，得到，，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?，cm，cm，，所以，由正弦定理得得：，因?yàn)椋?，要使三角形有兩解，得到，因此；又若，此時(shí)只有一個(gè)解，不滿意題意，所以，即，解得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角形解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時(shí)等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得又可得:而,進(jìn)而可得取得最小正值時(shí).考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)12.如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測塔，若某科研小組在壩底點(diǎn)測得，沿著坡面前進(jìn)40米到達(dá)點(diǎn)，測得，則大壩的坡角（）的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，進(jìn)而由可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?在中，由正弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，所以又，所以，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，考查誘導(dǎo)公式，考查學(xué)生合理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的實(shí)力，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依據(jù)題意，有，解得，則．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.在數(shù)列中，，，則__________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)題意分析，遞推公式滿意累加法形式，運(yùn)用累加法計(jì)算，即可求解通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，由累加法可得，.故答案：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查累加法，屬于基礎(chǔ)題.15.在銳角三角形中，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】銳角三角形中，角都是銳角，求出角的取值范圍.由正弦定理可得，把綻開，即求的取值范圍.【詳解】銳角中，，即，.在中，由正弦定理，可得，，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、兩角和的正弦公式、二倍角公式，屬于較難的題目.16.設(shè)實(shí)數(shù)滿意,則的最大值是_______.【答案】27【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)用配湊法可求的最大值.【詳解】由題設(shè)可知為正數(shù)，設(shè)，則，故.故∵,，∴,,∴，∵，∴即最大值27．【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，當(dāng)已知代數(shù)式和目標(biāo)代數(shù)式之間的關(guān)系難以尋找時(shí)，可以用待定系數(shù)法（配湊法）來整合，本題屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知等比數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，其中，，成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）；（2）92.【解析】【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以有，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以有，于是有，而，解得，又因?yàn)?，所以，而，所以，因此?shù)列的通項(xiàng)公式為：；（2）由（1）可知；，所以，依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得；.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.18.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）依據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.19.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若．（1）求；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）利用兩角差的正弦公式和協(xié)助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），依據(jù)正弦定理可化簡為：，由余弦定理可知：，因此有，；（2）由（1）可知：，由三角形內(nèi)角和定理可知：，，，因此有，因此取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了三角式的取值范圍問題，考查了正弦函數(shù)的值域問題，考查了協(xié)助角公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.20.已知數(shù)列中，且．（1）證明是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)所求數(shù)列的形式，對(duì)已知的遞推公式進(jìn)行恒等變形，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）結(jié)合（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求數(shù)列和的方法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由已知可得：，，，即，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得，即，所以，設(shè)，且前項(xiàng)和為，所以，①，②①－②得：所以，因此．【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推公式證明數(shù)列是等比數(shù)列，考查了利用分組求和法求數(shù)列和問題，考查了錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.21.已知數(shù)列滿意：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．【答案】（1）（）．（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，可得，兩者相減，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消求出，從而可證【詳解】（1）由已知得由，①得時(shí)，，②①-②得∴，也適合此式，∴（）．（2）由（1）得，∴∴∵，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列求和方法中的裂項(xiàng)相消，屬于中檔題．22.已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】試題分析：（1）對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行探討，可得求出解集即可；（2）分為，，分別解出3種情形對(duì)應(yīng)的不等式即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)隨意的，不等式恒成立，利用分別參數(shù)的思想得恒成立，求出其最大值即可.試題解析：（1）①當(dāng)即時(shí)，，不合題意；②當(dāng)即時(shí)，，即，∴，∴（2）即即①當(dāng)即時(shí)，解集為②當(dāng)即時(shí)，∵，∴解集為③當(dāng)即時(shí)，∵，所以，所以∴解集為