離散數(shù)學(xué)課件第六章(第3講)

《定義》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，且SG是一個(gè)非空集合。若<S,*>滿足下列三個(gè)條件，則稱<S,*>是<G,*>的子群：

（1）e是<G,*>的幺元，且eS；（保持幺元）

（2）對(duì)任一aS一定有a-1S

；（保持逆元）

（3）對(duì)任一a,bS一定有a*bS

。（運(yùn)算的封閉性）注：

任一群<G,*>至少可找到兩個(gè)子群，即<{e},*>和<G,*>，這兩個(gè)子群稱為平凡子群。§4群與子群例：設(shè)<G，*>是一個(gè)群，m∈G，N={g∈G|m*g=g*m},證明：<N,*>是<G，*>的子群。

《定理》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，B是G的非空子集，如果B是一個(gè)有限集，那么，只要運(yùn)算*在B上是封閉的，則<B,*>必定是<G,*>的子群。證明：設(shè)

bB，已知*在B上封閉，則b*bB，即b2B，b2

*bB，即：b3B，于是b，b2，b3……均在B中。 由于B是有限集，∴必存在正整數(shù)i和j，i<j,使得：bi=bj

即：bi=bi*bj-i=bj-i*bi

由此可說(shuō)明bj-i是<G,*>中的幺元，且這個(gè)幺元也在子集B中。如果j-i>1，那么由bj-i=b*bj-i-1=bj-i-1*b可知bj-i-1是b的逆元，且

bj-i-1B；如果j-i=1，那么由bi=bi*b=b*bi可知b就是幺元,且以自身為逆元。因此，<B,*>是<G,*>的一個(gè)子群。例：設(shè)G4={p=<p1,p2,p3,p4>|pi{0,1}}，是上的二元運(yùn)算，定義為：

對(duì)任意X=<x1,x2,x3,x4>，Y=<y1,y2,y3,y4>G4，XY=<x1y1,x2y2,x3y3,x4y4>，其中的運(yùn)算表如圖所示：證明<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},>是群<G4,>的子群。

01001110《定理》:設(shè)<G,*>是一個(gè)群，S是G的非空子集，如果對(duì)于S中的任意元素a和b有a*b-1S，則<S,*>是<G,*>的子群。證明：先證，G中的幺元e也是S中的幺元。 任取aS，a*a-1S，而a*a-1＝e，∴eS

再證，每個(gè)元素都有逆元。又e*a-1S，即a-1S。

最后證明，*對(duì)S是封閉的。

a,bS，因b-1S，∴(b-1)-1Sa*b=a*(b-1)-1S，而(b-1)-1＝b∴a*bS

∴<S,*>是<G,*>的子群。

例：設(shè)<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，試證明

<H∩K,*>也是<G,*>的子群?！?阿貝爾群和循環(huán)群《定義》如果群<G,*>中運(yùn)算*是可交換的，則稱該群為阿貝爾群（或稱為交換群）。例：<I,+>為阿貝爾群。

由運(yùn)算表可知：（1）運(yùn)算是封閉的；（2）“°”可結(jié)合；（3）幺元為f0

；（4）每一個(gè)元素均可逆;（5）以主對(duì)角線為對(duì)稱。∴<F,°>為阿貝爾群。

°f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2例：離散函數(shù)代數(shù)系統(tǒng)<F,°>是阿貝爾群。F={f0,f1,f2,f3

}《定理》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<G,*>是阿貝爾群的充分必要條件是對(duì)任一a,bG有：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。證明：（1）充分性：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

<G,*>是阿貝爾群。

對(duì)任意a,bG有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)成立，∵*是可結(jié)合的，且是可消去的，∴a*(a*b)*b=a*(b*a)*b

則a*b=b*a

∴<G,*>是阿貝爾群。（2）必要性：

<G,*>是阿貝爾群

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)?！甙⒇悹柸簼M足交換律，對(duì)任一a,bG有a*b=b*a，∴(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)《推論》在阿貝爾群中，對(duì)任一a,bG有

(a*b)–1=b-1*a-1=a-1*b-1《定義》設(shè)<S,*>是一個(gè)群，I是整數(shù)集合，若存在一個(gè)元素gS，對(duì)于S中每一個(gè)元素a都能表示成gn的形式（n

I），則稱<S,*>是一個(gè)循環(huán)群，g稱為群<S,*>的生成元。例：設(shè)M={0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上幾何圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的六種位置，定義一個(gè)二元運(yùn)算*，對(duì)M中任一元素a,b有a*b=圖形旋轉(zhuǎn)(a+b)的角度，并規(guī)定當(dāng)旋轉(zhuǎn)到360o時(shí)即為0o，試驗(yàn)證群<M,*>是一個(gè)循環(huán)群。*0o60o120o180o240o300o0o0o60o120o180o240o300o60o60o120o180o240o300o0o120o120o180o240o300o0o60o180o180o240o300o0o60o120o240o240o300o0o60o120o180o300o300o0o60o120o180o240o證明：60o=60o1120o=60o*60o=60o2180o=120o*60o=60o3240o=180o*60o=60o4300o=240o*60o=60o50o=300o*60o=60o6存在一個(gè)元素60oM，對(duì)于M中每一個(gè)元素

都能表示成60on的形式（n

I），所以<M,*>是一個(gè)循環(huán)群，60o是循環(huán)群<M,*>的生成元。《定理》每一個(gè)循環(huán)群必然是阿貝爾群。證明：設(shè)<S,*>是一循環(huán)群，g為生成元，對(duì)任意p,qS，一定存在i,j

I（整數(shù)集）使得p=gi,q=gj，則p*q=gi*gj=gi+j=gj*gi=q*p?！?lt;S,*>循環(huán)群一定是阿貝爾群?！抖ɡ怼吩O(shè)<S,*>是由元素gS生成的循環(huán)群，若<S,*>是n階的（即|S|=n），則gn=e，且S={g1,g2,…gn=e}

，而且n是能使gn=e的最小正整數(shù)。在上例中，設(shè)<M,*>是循環(huán)群，60o是循環(huán)群<M,*>的生成元。<M,*>是6階的循環(huán)群（即|M|=6），則60o6=0o（幺元），且M={60o1,60o2,…60o6=e}

，

使gn=e成立的最小正整數(shù)n為6。例：<S,*>為一循環(huán)群,S中元素和*運(yùn)算見(jiàn)運(yùn)算表：

c1=c,c2=b,c3=d,c4=a(幺元)d1=d,d2=