專題拓展圓錐曲線的定點(diǎn)定值定直線問題（技巧解密5考點(diǎn)過關(guān)檢測(cè)）

專題拓展：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、定直線問題一、圓錐曲線過定點(diǎn)問題處理方法1、參數(shù)無關(guān)法把直線或者曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)。2、特殊到一般法根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線、動(dòng)曲線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)。3、關(guān)系法對(duì)滿足一定條件上的兩點(diǎn)連結(jié)所得直線定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，可設(shè)直線（或曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點(diǎn)的知識(shí)求解。二、圓錐曲線定值問題的處理方法1、處理較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向；2、在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏；3、巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算。三、定直線問題的處理方法定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題這類問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：（1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；（2）待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；（3）驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證考點(diǎn)一：圓錐曲線中直線過定點(diǎn)例1．（2324高二下·廣東中山·月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）由題知，，，，由的面積為，得，又，代入可得，，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立得，設(shè)，，可得，，由題知，即，即，解得，∴直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).【變式11】（2324高二下·四川成都·月考）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；(2)已知點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且．直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)直線恒過定點(diǎn)，，【解析】（1）證明：由題意知圓M：的圓心為，圓N：的圓心為如圖，設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，由題可得圓M半徑為3，圓N半徑為1，則，，所以，由雙曲線定義可知，E的軌跡是以，為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支又，，所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為，，即曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由題意直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，,設(shè)，，其中，，由韋達(dá)定理得：，，又點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，則，即，解得（舍去），當(dāng)，直線的方程為，，故直線恒過點(diǎn)，．【變式12】（2324高二上·福建廈門·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，且A到的焦點(diǎn)的距離為1．(1)求的方程；(2)若直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，，且，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)直線過定點(diǎn)【解析】（1）依題意可得，解得，所以拋物線方程為：；（2）設(shè)直線顯然存在，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得所以在拋物線C上，故，，解得或，因?yàn)椋?，得所以直線過定點(diǎn).考點(diǎn)二：圓錐曲線中動(dòng)圓過定點(diǎn)例2.（2324高二上·廣東梅州·期末）已知圓，點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）由已知，故點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以圓與圓內(nèi)切，設(shè)，則，因此為以焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)，半焦距為，且知，于是，因此軌跡的方程為.（2）設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，整理得，，設(shè)，則，則，即有:，而，，代入上式得，整理可得:，可見總滿足上面等式，即軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).【變式21】（2324高二下·湖北·月考）已知常數(shù)，向量，，經(jīng)過點(diǎn)的直線以為方向向量，經(jīng)過點(diǎn)的直線以為方向向量，其中．(1)求點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡．(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：是存在定點(diǎn)在以、為直徑的圓上？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)詳見解析；(2)定點(diǎn)的坐標(biāo)為，，理由見解析.【解析】（1）由題設(shè)有，.設(shè)，則，因?yàn)橹本€以為方向向量，故，因?yàn)橹本€以為方向向量，故，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)的軌跡過，當(dāng)時(shí)，由可得，故，整理得到.綜上，點(diǎn)的軌跡的方程，軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線.（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程，故，由題設(shè)可得的斜率不為零，設(shè)，，又，，故，故以、為直徑的圓的方程為：，.由可得，，而，故，故以、為直徑的圓的方程可化簡(jiǎn)為：，其中，令可得或，故以、為直徑的圓過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為，.【變式22】（2324高二上·廣東佛山·期末）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且不過點(diǎn)，若直線分別交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)．【答案】(1)；；(2)證明見解析.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則有，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，故，解得：或（舍），即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，方程為.（2）由對(duì)稱性可知：以線段為直徑的圓所過定點(diǎn)在軸上.設(shè)直線l的方程為，代入，得設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)?，所以，直線的方程為，令，得，所以點(diǎn)同理，點(diǎn)，設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為，則，因?yàn)?，則，即，則，解得：或，故以線段為直徑的圓所過定點(diǎn)為和.考點(diǎn)三：圓錐曲線的定值問題例3.（2324高二下·云南昆明·月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為（2）證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.，即，設(shè)，，則，，∴，∴.∴為定值【變式31】（2324高二上·陜西西安·月考）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程;(2)如圖，若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且.求證:為定值；【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以雙曲線的方程為，即因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以所以所求雙曲線的方程為即（2）由題意可得直線OP的斜率存在，可設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，由，得，所以同理可得，，所以【變式32】（2324高二上·河南焦作·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到的距離等于.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）由題設(shè)及拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由（1）所得軌跡方程，聯(lián)立直線，可得，且，故，，所以，又為定值，得證.考點(diǎn)四：圓錐曲線的定直線問題例4.（2324高二下·吉林長(zhǎng)春·月考）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且，橢圓C離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)，且斜率不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線AM，BN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，橢圓C離心率為，所以，解得，．所以橢圓C的方程是；（2）①若直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程是，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)N的坐標(biāo)是，所以直線AM的方程是，直線BN的方程是．所以直線AM，BN的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，所以點(diǎn)Q在直線上．②若直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k．所以直線l的方程為．聯(lián)立方程組消去y，整理得．顯然．不妨設(shè)，，所以，．所以直線AM方程是．令，得．直線BN的方程是．令，得．所以．其中．所以點(diǎn)Q在直線上【變式41】（2324高二上·福建福州·月考）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，在直線上取一點(diǎn)，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，直線交雙曲線左支于點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）因?yàn)闈u近線方程為，所以，設(shè)雙曲線為，代入得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)力程為；（2）法一、設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線得：，，且；設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線得：，，且；所以則設(shè)，則，兩式相除消得所以在直線上；法二、設(shè)直線，直線，由于，即，由于，即，則.設(shè)，則，兩式相除消得所以在直線上；【變式42】（2324高二上·湖北·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)若，求過點(diǎn)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程；(2)設(shè)過動(dòng)點(diǎn)的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上．【答案】(1)或；；(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P的直線不存在斜率時(shí)，直線方程即為，與拋物線拋物線C：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P的直線存在斜率時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得：，，即，直線方程即為因此所求直線方程為或；（2）證明：設(shè)過點(diǎn)P與拋物線C的相切的切線方程為，由，消去整理得，因?yàn)榕c拋物線C相切，所以，即．又因?yàn)椋欠匠痰膬筛?，則有，由，可得，即從而動(dòng)點(diǎn)在直線上.考點(diǎn)五：圓錐曲線的定曲線問題例5.（2223高二上·河北·月考）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）依題意設(shè)的方程為，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，，所以，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得．由題設(shè)可知，，，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，故點(diǎn)在拋物線上，即點(diǎn)在一條定拋物線上．【變式51】（2324高二上·重慶·期中）如圖，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng)，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)隨線段的運(yùn)動(dòng)而變化.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在曲線外，且點(diǎn)到曲線的兩條切線相互垂直，求證：點(diǎn)在定圓上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）由題設(shè)，令，則，由，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，所以，故，即，則，所以.（2）令，若切線斜率存在且不為0，令切線為，則，聯(lián)立與，得，所以，即，所以，則，又點(diǎn)到曲線的兩條切線相互垂直，若兩切線斜率分別為，故，即，若切線斜率不存在或?yàn)?，則坐標(biāo)為或或或，它們都滿足，綜上，點(diǎn)在定圓上.【變式52】（2324高二上·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)，在雙曲線：上，過點(diǎn)作直線交雙曲線于點(diǎn)，（不與點(diǎn)，重合）.證明：(1)記點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸，且與雙曲線的右支交點(diǎn)為時(shí)，，，三點(diǎn)共線；(2)直線與直線的交點(diǎn)在定圓上，并求出該圓的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；.【解析】（1）由題意，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，方程為，且與雙曲線的右支交點(diǎn)為，則，的斜率，的斜率，所以，，三點(diǎn)共線.（2）由題知直線斜率存在，且過，設(shè)，與雙曲線聯(lián)立得：，且則，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，斜率分別為，則，，在中，，，由正弦定理得外接圓半徑，所以在過且半徑為的圓上，設(shè)其圓心為，因?yàn)椋?，在線段的中垂線上，所以在軸上，設(shè)，則由或（舍），所以定圓方程為.1．（2324高二上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長(zhǎng)為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都在軸上方，且．證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)分布在軸兩側(cè)，不合題意.所以直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.設(shè)、，由得，所以，.

因?yàn)?，所以，即，整理得，化?jiǎn)得，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).2．（2324高二上·四川內(nèi)江·期末）已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過且斜率為1的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求的面積；(3)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、.證明：以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析；【解析】（1）由題意知，，則，又離心率，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）由題知，,則過且斜率為1的直線方程為，即，聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，則，又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.（3）由（1）得，設(shè)，則，即；直線，直線，點(diǎn)縱坐標(biāo)點(diǎn)縱坐標(biāo)，即，以為直徑的圓的方程為:，由對(duì)稱性可知:以為直徑的圓所過定點(diǎn)位于軸上，設(shè)，，，解得或，以為直徑的圓過點(diǎn).3．（2324高二下·山西朔州·月考）已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，且其離心率為．(1)求橢圓C的方程．(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，問：kMN·kOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))是否為定值？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)kMN·kOP為定值，定值為；理由見解析【解析】（1）∵拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0)，∴橢圓C的半焦距c＝1，又橢圓的離心率，，因此橢圓C的方程為；（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，將y＝kx＋m代入，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＞0，可得m2＜4k2＋3．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，，因?yàn)榫€段MN中點(diǎn)為P，所以，因此，所以kMN·kOP.4．（2023·四川資陽·模擬預(yù)測(cè)）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)點(diǎn)M在定直線上【解析】（1）設(shè)橢圓E的方程為．則，解得，故橢圓E的方程為．（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組，整理得，則，直線AP的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立方程組，得由，得，得．所以.故點(diǎn)M在定直線上．5．（2324高二上·廣東惠州·月考）已知雙曲線的焦距為4，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）由題意得，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線方程為．（2），設(shè)直線方程為，，由，得，則，所以，所以的中點(diǎn)，因?yàn)椋杂么鷵Q，得，當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，令，得，所以直線也過定點(diǎn)．6．（2324高二上·重慶·月考）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過兩定點(diǎn).【答案】(1)；(2)以為直徑的圓過兩定點(diǎn)和，證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意，即，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡方程為（2）由對(duì)稱性可得，當(dāng)取關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)位置時(shí)，所成的以為直徑的兩個(gè)圓也關(guān)于軸對(duì)稱，故若以為直徑的圓過兩定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，設(shè)為.設(shè)，，，則由可得，即，故，同理，故.則，故，即.又，故，則，解得或.即以為直徑的圓過兩定點(diǎn)和7．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）已知雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，且離心率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線（直線的斜率不為0）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，分別為直線，與軸的交點(diǎn)，記，的面積分別記為，，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)，其中一條漸近線方程為，即，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，又，則，則，所以雙曲線方程為；（2）由（1）知，設(shè)直線，,聯(lián)立，得，，，，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，即，，如圖可知，，，，，當(dāng)，時(shí)，，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以.8．（2324高二下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與相交于．求證：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1），，，整理可得：，又，曲線的方程為：.（2）由題意知：直線斜率不為，則可設(shè)，設(shè)，則直線，直線，由得：，由得：，則，即，，，，，解得：，即點(diǎn)在定直線上.9．（2324高二上·四川成都·月考）已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.(1)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線與拋物線交于D，E兩點(diǎn)，若拋物線上存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形，證明：直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，；(2)證明見解析，【解析】（1）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.（2）設(shè)，，，，直線l為，聯(lián)立.則，，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，則，所以，，代入，得：，解得，即直線過定點(diǎn).10．（2324高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)直