自測（1）《第10章空間直線與平面》章節(jié)測試（60分鐘）

【解析版】自測（1）《第10章空間直線與平面》章節(jié)測試（60分鐘）一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、已知a，b為兩條不同的直線，α為一平面，且a∥α，b?α，則直線a與b的位置關(guān)系是__________________【答案】平行或異面；【解析】∵a∥α，∴a與α沒有公共點(diǎn)，∵b?α，∴a、b沒有公共點(diǎn)，∴a、b平行或異面.2、如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個平面圖形的面積是【答案】2eq\r(2)；【解析】∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°，∴Rt△O′A′B′的直角邊長是eq\r(2)，∴Rt△O′A′B′的面積是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴原平面圖形的面積是1×2eq\r(2)＝2eq\r(2).3、對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是____________【答案】矩形【解析】如圖所示.∵點(diǎn)M，N，P，Q分別是四條邊的中點(diǎn)，∴MN∥AC且MN＝eq\f(1,2)AC，PQ∥AC且PQ＝eq\f(1,2)AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四邊形MNPQ是矩形.4、如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．【答案】45°；【解析】過A作AO⊥BD于O點(diǎn)，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD.則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°5、如圖所示，在矩形ABCD中，AD＝2，E為AB邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得點(diǎn)A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直線A′D與平面EBCD所成的角為30°，則線段AE的長為________.【答案】eq\f(4\r(3),3)【解析】如圖所示，過A′作A′H⊥CD于H，連接EH，由題意，得A′H⊥平面EBCD.因為直線A′D與平面EBCD所成的角為30°，所以∠A′DH＝30°.又因為A′D＝2，所以A′H＝1，DH＝eq\r(3)，設(shè)A′E＝x，則EH＝eq\r(x2－1).在四邊形DAEH中，可得AD2＋(AE－DH)2＝EH2，所以22＋(x－eq\r(3))2＝x2－1，所以x＝eq\f(4\r(3),3).6、已知α與β是兩個不重合的平面，則下列推理正確的個數(shù)是________.①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB；③l?α，A∈l?A?α；④A∈l，l?α?A∈α.【答案】3【解析】利用三個基本事實(shí)知①②④正確，若l∩α＝A，顯然有l(wèi)?α，但是A∈α，③錯誤7、空間四邊形ABCD(每條邊長、對角線長都相等)，已知E是棱BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為【答案】eq\f(\r(3),6)；【解析】如圖所示，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥BD.于是∠AEF即為異面直線AE與BD所成的角．設(shè)正四面體的棱長為1，則AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)，EF＝eq\f(1,2).在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(EF2＋EA2－AF2,2EF·EA)＝eq\f(\r(3),6).即AE與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(3),6).8、下列三個說法：①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，直線a在平面α外，bα，則a∥α；③若a∥b，bα，則a與α內(nèi)任意直線平行．其中正確的有________．【答案】②；【解析】直線a在平面α外，包含直線a與α相交、直線a與α平行兩種情況，①不正確；由直線和平面平行的判定定理知②正確；③中a與α內(nèi)的直線可能平行，相交、異面，③不正確．9、平面α∥平面β，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B，D∈β，直線AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，則CP＝____________________【答案】16或272；【解析】當(dāng)AB與CD交點(diǎn)P位于α，β之間時，如圖．由題意知：AC∥BD，eq\f(AP,BP)＝eq\f(CP,PD)＝eq\f(8,9).又CP＋PD＝CD＝34，∴CP＝16.當(dāng)交點(diǎn)位于BA延長線上時，AC∥BD.∴eq\f(AP,BP)＝eq\f(CP,DP)＝eq\f(8,9)，eq\f(CP,CP＋34)＝eq\f(8,9)，CP＝272.答案：16或27210、已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若對角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是________．【答案】10；【解析】△ABC中，由三角形中位線性質(zhì)得EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，△ADC中，HGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))HG，四邊形EFGH為平行四邊形．∴EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.答案：10二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合【答案】C【解析】∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)；由公理3實(shí)可知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A.故α∩β＝A的寫法錯誤；12、如圖，在正四面體D－ABC中，P∈平面DBA，則在平面DAB內(nèi)過點(diǎn)P與直線BC成60°角的直線共有()A．0條B．1條C．2條D．3條【答案】C【解析】過點(diǎn)P分別作BD，AB的平行線，這兩條直線都符合題意；13、平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B．直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C．α內(nèi)的任何直線都與β平行D．直線a在α內(nèi)，直線b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α【答案】C；【解析】對A，若α內(nèi)的無數(shù)條直線都與β平行，平面α與平面β不一定平行，也可能相交，A錯；對B，當(dāng)直線平行于兩平面交線時，符合命題敘述，但平面α與平面β相交，B錯；對C，“α內(nèi)的任何直線都與β平行”可等價轉(zhuǎn)化為“α內(nèi)的兩條相交直線與β平行”，根據(jù)面面平行的判定定理，C正確；對D，當(dāng)兩平面相交，直線a，直線b都跟交線平行且符合命題敘述時，得不到平面α與平面β平行，D錯.14、α和β是兩個不重合的平面，下列條件中可判定α與β平行的是()A．l為直線，且l∥α，l∥βB．α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等C．l，m是平面α內(nèi)的直線，且l∥β，m∥βD．l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【答案】D；【解析】A錯，當(dāng)α與β相交時，若l不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，但l與交線平行時，也有l(wèi)∥α，l∥β；B錯，若此三點(diǎn)位于平面β兩側(cè)時，α與β相交；C錯，l與m相交時，α與β平行，不相交時，α與β不一定平行；D正確；答案：D；三、解答題（共4小題，滿分44分）15、（本題8分）如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).【證明】方法1（納入平面法）：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).方法2（輔助平面法）：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2和l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)；【說明】證明點(diǎn)、線共面常用方法：1、納入平面法，先由部分元素確定一個平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)；2、輔助平面法(平面重合法)，先由有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再由其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合；16、（本題10分）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由.【解析】當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接FO，則PF＝eq\f(1,2)PB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)，∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝eq\f(1,2)PB，∴PF∥MA且PF＝MA，∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.17、（本題滿分12分）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn).求證：（1）直線EF∥平面ACD；（2）平面EFC⊥平面BCD.【證明】（1）∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD.∵EF?平面ACD，AD?平面ACD，∴直線EF∥平面ACD.（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，EF，CF?平面EFC，∴BD⊥平面EFC.∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD；18、（本題滿分14分）如圖，點(diǎn)P在四邊形ABCD所在平面外，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2；（1）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（2）求證：PD⊥平面PBC；（3）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.∵AD⊥平面PDC，PD?平面PDC，∴AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，故cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).∴異面直線AP與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).（2）證明∵AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，∴AD⊥PD.又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，∴PD⊥平面PBC.（3）解過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面