函數(shù)極限與連續(xù)教案

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

§1.1函數(shù)

㈠函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1、函數(shù)的定義

定義1.1：設(shè)是兩個(gè)變量，。是一個(gè)給定的非空數(shù)集。若對(duì)于每一個(gè)數(shù)xe。，按照某一

確定的對(duì)應(yīng)法則了,總有唯一確定的數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是x的函數(shù)，記作：

V=/(%),xeD

其中：X——自變量，

y---因變量，

f一—對(duì)應(yīng)法則，

D——該函數(shù)的定義域。

幾點(diǎn)說(shuō)明:

①定義域?yàn)樽宰兞縳的取值范圍，也就是使函數(shù)y=/(x)有意義的一個(gè)數(shù)集。記作：D(f)

當(dāng)自變量取定/e。時(shí)，與％對(duì)應(yīng)的數(shù)值稱為函數(shù)在點(diǎn)兒處的函數(shù)值，記作：

/(%)或九,0

②對(duì)應(yīng)法則/：/是反映y與龍的對(duì)應(yīng)規(guī)則的，即y是x的函數(shù)關(guān)系，

例如：y=f,對(duì)應(yīng)法則是：“因變量是自變量的平方”。

③值域Z：當(dāng)x取遍。中的每一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值組成的集合稱為函數(shù)的值域Z,

記作：Z(/),Z={y|y=f(x),xG￡>}。

2、函數(shù)的兩要素(。和/)

由函數(shù)的定義可知，定義域。和對(duì)應(yīng)法則/是函數(shù)定義的兩個(gè)要素，如果兩個(gè)函數(shù)具有相同

的定義域和對(duì)應(yīng)法則，那么它們就是同一個(gè)函數(shù)。

例1求下列函數(shù)的定義域。

(1)y=~7——-——;(2)y=Jl-x+log2a+1)。

x—5x+6

x—2

解(1)要使y==---------有意義，則分母

-5x+6

x~-5%+6w0,

解得：X#2且彳#3,所以函數(shù)的定義域?yàn)?—8,2)U(2,3)U(3,+8)。

(2)要使y=Jl二^+log?(x+l)有意義，則有

l-x>0

\x+l>0'

解得：一所以函數(shù)的定義域?yàn)?―1,1]。

(定義域有三種表示方式,這里要講解一下。)

例2已知函數(shù)/四=三'求八。)，/⑴，/(—),+

0-11-1

解八0)=二T-阿=幣=0；

-x-\x+1v+l-1

f(~x)=/u2+l)=

—X+1x2+1+1X2+2,

例3比較下面幾組函數(shù)是否相同？

(1)y=x,y=V?;(2)y-x,y=(V，；(3)y=x,y=—o

解(1)y=x與y=-J?的￡>=(-8,-t-oo)

x,x>0

而y=4^=W=<

-x,x<0

/.僅當(dāng)x20時(shí)，、=%與丁=4^才相同

故，。同，/不同，，y=%與y=_不是相同的函數(shù)。

(2)y=，的/)=(_OQ,+8),y=的￡)=[(),4-oo),

2x,x>0

而y=(Vx)—<

不存在,xv0

...僅當(dāng)X20時(shí)，y=x,y=/)2才有相同的對(duì)應(yīng)規(guī)則一,

故，。不同，開(kāi)同，y=x,y=(J7)2不是相同的函數(shù)。

2

%

(3)y=x的。是xwR,y=—的。是xw()

x

x~

僅當(dāng)xrO時(shí)，y=x,y=—才有相同的對(duì)應(yīng)規(guī)則/,

x

X2

故，。不同，同，；.y=x,y=—不是相同的函數(shù)。

x

例4判斷下列函數(shù)是否為相同函數(shù)

(1)/(x)=lgx2,g(x)=21gx;(2)/(x)=A/1-COS2x,g(x)=sinx.

解：⑴定義域：的。(力=(fo,0)(0,4oo)

g(x)的￡>(g)=(O,+<=o)

顯然兩個(gè)函數(shù)的定義域是不同的，.??/(X)與g(x)不是相同的函數(shù)。

⑵定義域：/(X)的D(/)=(-oo,+oo);g(x)的D(g)=(-OO,+OO),顯然定義域同

對(duì)應(yīng)法則：“X)的值域z(/)=[o,1];g(x)的值域z(g)=[-l,1].

即：在(-OO,+0O)內(nèi)，/(X)與g(x)的對(duì)應(yīng)規(guī)則是不一樣的，

故/(X)與g(x)不是相同的函數(shù)。

3、函數(shù)的表示法

函數(shù)的表示法有三種：解析法(公式法)、列表法、圖象法表示。

1)解析法一一函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則/用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。

例如：函數(shù)y=百=1,S=20，等等就是用解析法表示的函數(shù)，

優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)單明確，便于數(shù)學(xué)研究、理論分析和計(jì)算等。當(dāng)尤在其定義域內(nèi)取任意值時(shí)，可由

解析式計(jì)算出相應(yīng)的y值。

2)列表法一一用表格表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

例如：某商品在16月份的銷售量調(diào)查表如下:

月份r123456

銷售量Q(千件)605843502539

上表給出了月份f與銷售量0之間的函數(shù)關(guān)系。

優(yōu)點(diǎn):很容易找到對(duì)應(yīng)于自變量/的某一函數(shù)值Q。

缺點(diǎn):局限性，不可能列出全部函數(shù)值。

3)圖象法一一函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則/用建立在平面直角坐標(biāo)系上的幾何圖形來(lái)表示。

例如:氣象臺(tái)每天用自動(dòng)記錄儀把一天中的氣溫變化

情況自動(dòng)描繪在記錄紙(如圖1-1所示)。

這是用圖形表示的函數(shù)，氣溫y與時(shí)間了的函數(shù)關(guān)系

它的定域。=[0,24]。當(dāng)時(shí)間x在其定義域。內(nèi)取任意值時(shí),

在曲線上都可找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的氣溫值。

優(yōu)點(diǎn):方便找出對(duì)應(yīng)某一時(shí)間的溫度值，并能觀察出函數(shù)的

圖1-1

變化趨勢(shì)。

4、分段函數(shù)

有些函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)定義不是用一個(gè)表達(dá)式完成的，而是把整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間段，

與一個(gè)區(qū)間段內(nèi)的次對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y用一個(gè)表達(dá)式給出。

分段函數(shù)——對(duì)于xeD,不能用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，有時(shí)要用兩個(gè)以上的數(shù)學(xué)式來(lái)表

示同一個(gè)函數(shù)，即在定義域的不同部分，用不同的數(shù)學(xué)式來(lái)表達(dá)的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。

分段函數(shù)的定義域:是各段函數(shù)自變量取值范圍之并。

注:分段函數(shù)是用幾個(gè)式子表達(dá)的同一個(gè)函數(shù),而不是多個(gè)函數(shù)。

癡口，△用了將【2五,0<x<I

例5：已知分段函數(shù),

1+X,X>1

(1)求/門一、、/(0)和/(3)；(2)求函數(shù)的定義域；(3)畫出函數(shù)圖形。

解(1)當(dāng)x時(shí)，條件OKxWl成立，按表達(dá)式/(x)=2后計(jì)算，從而

當(dāng)x=0時(shí)，仍有條件OWxWl成立，仍按這一表達(dá)式/(x)=2?計(jì)算，有

f(0)=2xVo=0o

當(dāng)x=3時(shí)，條件x>l成立，按表達(dá)式/(x)=l+x計(jì)算，從而/(3)=1+3=4。

(2)分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值范圍之總和,

依題設(shè)定義域應(yīng)為：

{x|0<x<l}U{x|x>l}.即［0,+oo)。

(3)函數(shù)/(x)圖形由函數(shù)y=26的［0,1］段

與直線y=l+x的(l,+oo)段組成，分別將兩個(gè)圖形

對(duì)接在同一圖中，就得到了給定函數(shù)的圖形。

(如圖1-2所示)

圖1-2

二、函數(shù)的幾何特性

1、函數(shù)的奇偶性

定義12設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/內(nèi)有定義，若對(duì)于任意的xw/,恒有

?/(-X)=/(%),則稱y=為偶函數(shù);(圖象關(guān)于錮對(duì)稱)

②/(-%)=—/(幻，則稱y=為奇函數(shù)。(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

偶函數(shù)

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

例如：函數(shù)y=l在區(qū)間（一8,+oo）內(nèi)是偶函數(shù)；函數(shù)y=/在區(qū)間（-oo,+8）內(nèi)是奇函數(shù)。

例6：判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)f(x)=xsinx+cosx；(2)f(x)=2x4+3x3+1；(3)f(x)=In---

1+x

解：(1)/(x)的。(/)=(—00,zo),對(duì)任意xeO,有：

/(-x)=(-x)si^-x)+co^-x)=xsins+cosr=/(x)

/(x)=xsinx+cosx為偶函數(shù)。

(2)/(x)的。(/)=(—oo,”)，對(duì)任意xe。，有：

f(-x)=2(-x)4+3(-x)3+l=2x4-3X3+1

???/(—x)w/(x),/(-x)^-/(x)

:./(x)=2x4+3/+1為非奇非偶函數(shù)。

⑶/(無(wú))=ln=的。(/')：-尤，解得：XG(-1,1)

i+x------>0

11+x

D(/)=(-1,+1),對(duì)任意x&D,有：

f(-x)=-「=-ln1—=-/(x)

1+(I—"xj=1—X1+X

1—X

???/(x)=In—^為奇函數(shù)。

1+X

2、函數(shù)的單調(diào)性

定義1.3設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/內(nèi)有定義，對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的任意兩點(diǎn)玉w/,

①當(dāng)當(dāng)＜當(dāng)時(shí)，有/'（西）＜/（%），則稱函數(shù)外外在區(qū)間/內(nèi)是單調(diào)增加的;

②當(dāng)石＜龍2時(shí)，有?/'（王）＞/（%2），則稱函數(shù)〈X）在區(qū)間/內(nèi)是單調(diào)減少的。

當(dāng)X＜0時(shí)，為單調(diào)減函數(shù);

當(dāng)工2洞，為單調(diào)增函數(shù);

例7：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性

⑴丁=%>⑵y=(J；(3)y=Y.

解：(1)/(X)的￡)(/)=(-8,+00),設(shè)X],為2G。且玉<工2,有：

f(Xj)-f(x2)=一々3<0,即f(X])</(x2)

/.y=/在(_8,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的。

(2)了=&丫的。(/)=(一00,+oo).

設(shè)X1,%2￡。且再V12，有：

/(%])—/區(qū))=($一GA>。，即/(x,)>/(x2)

...)=@)'在(一00,笆)內(nèi)是單調(diào)減少的。

(3)y=/的￡)(/)=(_8,+00),設(shè)X],%2W。且X]<%2，有：

①在(一8,0)內(nèi)，設(shè)X]<工2有：

2

f(xl)-f(x2)=x^-x2=(jq+Ai)(^-^)>0,即f(xt)>f(x2)

：.y=》2在(_8,o)內(nèi)是單調(diào)減少的。

②在[0,4-00)內(nèi)，設(shè)X]<%2有:

/(X)-/(工2)=￥-毛2=(工1+%)(%1-w)<0,即/(^)</U2)

...y=/在[o,+oo|內(nèi)是單調(diào)增加的。

注意:函數(shù)y=X2在整個(gè)定義域區(qū)間(-8,+00)內(nèi)無(wú)單調(diào)性可言。

3、函數(shù)的周期性

定義1.4設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)T,對(duì)于任意的

xel,有(x+T)e/,且有/(X+7)=/(%)恒成立，則稱y=〃x)是周期函數(shù)。

實(shí)數(shù)T稱為周期。通常我們所說(shuō)的周期函數(shù)的周期指的是函數(shù)的最小正周期。

函數(shù)y=sinx是周期函數(shù),即有：

./兀C、.萬(wàn)

sm(一+2乃)=sin—

66

—2TC一文2Ksin(x+2〃)=sinx

sin(x+2〃〃)=sinx

(幾=±1,±2,…)

顯然，±2乃，±4乃…都是函數(shù)y=sinx的周期，而2)是它的最小正周期。

函數(shù)y=sinx,y=cosx都是以2兀為周期的周期函數(shù);

y=tanx,y=cotx都是以兀為周期的周期函數(shù)。

法:若于四是以T為周期的函數(shù),則于〈吟就是以:為周期的函數(shù)。

2乃7t

例如：y—sin3x,T=—；y-tan2x,T=y.

4、函數(shù)的有界性

定義1.5設(shè)函數(shù)y=在區(qū)間/內(nèi)有定義,如果存在一個(gè)正數(shù)M,對(duì)于任意的xe/,

恒有|/(%)|VM,則稱/(%)在I上有界。否則無(wú)界。

函數(shù)y=sinx圖形介于兩條直線y=—l和

y=l之間，即有:|sinX<1,這時(shí)稱

y-sinx在(一8,+8)內(nèi)是有界函數(shù)。

y=-M(M>0)

有界函數(shù)圖形必介于平行于x軸的兩條直線y=M之間。

常見(jiàn)的有界函數(shù)有：

y=sin%,y=arcsinx,y-arctanx等。

㈡反函數(shù)

一、反函數(shù)概念

1、反函數(shù)的定義

在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依賴關(guān)系時(shí)，根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際情況，需要選定其中一個(gè)為自變量，

那么另一個(gè)就是因變量(或函數(shù))。

定義1.6已知函數(shù)：y=/(x)>xeD,ywZ,

若對(duì)于任意一個(gè)yeZ,D中只有唯一的一個(gè)數(shù)x與y對(duì)應(yīng),使得：/(x)=y成立，這就以

Z為定義域確定了一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)丁=/(%)的反函數(shù)，記作：

%="(丫)，ywz

瓶習(xí)慣記法,X作自變量，y作因變量，于是函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)一般寫作：

y=/T(%)%ez

說(shuō)明:①反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域。

②函數(shù)y=/(x)與y=/i(x)兩者互為反函數(shù)。

例1求下列函數(shù)的反函數(shù)。

(1)y=2x-\；(2)_y=ln(x+2)-3。

解：(1)先由直接函數(shù)y=2x—l解出：％=皇，

再將x,y互換，得到按習(xí)慣記法的反函數(shù)為：丁=+」。

(2)先由直接函數(shù)y=ln(x+2)—3解出：x^ey+i-2,

再將x,y互換，得到按習(xí)慣記法的反函數(shù)為：y=ex+3-2.

例2求下列函數(shù)的定義域和值域。

2r-31,

(1)y=———-；(2)>=-—1。

X+17X

解：（1）y=汩2定義域1},

X+11

解出X

由y=汩2=>%=212,定義域Z={N"2},

x+12—y1

根據(jù)反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，得：

原函數(shù)^=在三的值域即為：z=My02}。

X+11

（2）>=五一1定義域o={4r>0}，

]解出X

由y=五_1=>五=%，定義域Z={y|y>_l}

/.原函數(shù)>=五一1的值域即Z=?|y>—1}。

2、反函數(shù)與直接函數(shù)的關(guān)系

㈢基本初等函數(shù)

一、基本初等函數(shù)(6種)

基本初等函數(shù)是我們中學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)，在此，我們僅對(duì)它們及它們的圖象、性質(zhì)作以簡(jiǎn)要

復(fù)習(xí)。包括常值函數(shù)y=c在內(nèi)，基本初等函數(shù)共有6種：

1.常量函數(shù)：y=c(常數(shù))，XG(-OO,+GO)

2.募函數(shù)：y=義，(〃為實(shí)類

定義域隨n而異,但不論n取何值,它在區(qū)間2,+垃內(nèi)總是有定義的。

例如，當(dāng)”=1時(shí)，y=%，定義域?yàn)閤e(-8,+8)；

3

當(dāng)〃=77時(shí)，定義域?yàn)椋?,+℃)；

當(dāng)〃=一；時(shí)，定義域?yàn)?-8,0)U(0,+°o)；

當(dāng)〃=一1時(shí)，定義域?yàn)?0,+8)。

圖像我們分〃>0和〃<0分別討論。

A.當(dāng)〃>0時(shí)，募函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)和。,1),在(。，短))內(nèi)單調(diào)增加且無(wú)界。圖1-3

①幕函數(shù)的圖象過(guò)(L1)點(diǎn)，

②嘉函數(shù)在犬=1時(shí)的函數(shù)值為I：

③丁:/與,二》:的圖象關(guān)于直線y二刀對(duì)稱；

④若a與b均為常數(shù),且4>0，

則在(1,1)點(diǎn)的左側(cè)，曲線y=x"在y=f之下,

即0<%K1時(shí)

而在(1,1)點(diǎn)的右側(cè)，曲線y=x"在y=f之上,

圖1.3

即％21時(shí)，xa>xbo

B.當(dāng)〃<0時(shí)，嘉函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）,在（0,”）內(nèi)單調(diào)減少且無(wú)界。圖1-4所示。

例如：

-1

y=%；

-2

y=%；

i

y=%2.

3.指數(shù)函數(shù)

y=(2x(a>0,6/l),xe(-oo,H-oo),ye(0,+oo)

指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)的圖象如圖1-5所示。

圖象特征:

①因定義域是（-0。,+8）,故恒有">（）,

所以指數(shù)函數(shù)圖象全部位于X軸上方

②當(dāng)4>1時(shí)，它是單調(diào)增函數(shù)；

③當(dāng)（）<&<1時(shí)，它是單調(diào)減函數(shù)：

④該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，與）'軸的交點(diǎn)為（0,1）。

常用的指數(shù)函數(shù)是y=e',

其中e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，e=2.71828……

4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log光（。＞0且a/l）,xe（0,+oo）,ye（-oo,+oo）,

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形如圖1-6所示。

圖象特征:

①因定義域是(0,-8),故圖象全部在)’軸右方;

②當(dāng)0＜。＜1時(shí)，y=log“x為單調(diào)減函數(shù)；

③當(dāng)a＞1時(shí)，y=log“x為單調(diào)增函數(shù)；

④該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)為(1,0)。

⑤軸為指數(shù)函數(shù)的漸進(jìn)線。

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log,,x與指數(shù)函數(shù)y="互為反函數(shù)，圖形關(guān)于直線V=%為對(duì)稱。

常用的對(duì)數(shù)函數(shù)有:

/(x)=lgx和/(x)=lnx

/(x)=Igx是以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，稱為常用對(duì)數(shù)函數(shù),

/(x)=lnx是以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。

(自然對(duì)數(shù)函數(shù)將是本課程中更為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù))

5.三角函數(shù)

三角函數(shù)是統(tǒng)稱，包括：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)。

正弦函數(shù)：y=sinx,如圖1-7所示，定義域?yàn)椋?8,+℃）,值域?yàn)閇TJ],

它的特性是：有界、奇函數(shù)、周期函數(shù)（周期為2兀）。

余弦函數(shù)：y=cosx,如圖1一8所示，定義域?yàn)椋?8,+00）,值域?yàn)閇—1,1],

它的特性是：有界、偶函數(shù)、周期函數(shù)（周期為2元）。

圖1-9

y=sinx與＞=cosx都是周期函數(shù)，周期均為2萬(wàn)。（如圖1-9所示）

正切函數(shù)：y=tanx="±,（如圖1-10所示）

cosX

定義域?yàn)閤w左兀+三（ZeZ）,值域?yàn)椋ā?,+8）,

2

它的特性是：無(wú)界、奇函數(shù)、周期函數(shù)（周期為兀）。

余切函數(shù)：y=cotx=?^,（如圖1-11所示）

sinx

定義域?yàn)閄WZTT（ZwZ）,值域?yàn)椋ㄒ?,+8）,

它的特性是：無(wú)界、奇函數(shù)、周期函數(shù)（周期為加）。

圖1-10圖1-11

正割函數(shù)：只需知道丫=$8彳=—,其它不作詳細(xì)討論。

COSX

余割函數(shù)：只需知道'=08（：彳=」一，其它不作詳細(xì)討論。

smx

6.反三角函數(shù)

反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，常用的反三角函數(shù)包括：

說(shuō)明:正弦函數(shù)y=sinx在其定義域（-8,+8）內(nèi)不具備單調(diào)性，故應(yīng)不存在反函數(shù)。

但如果我們限定自變量的取值范圍，使得函數(shù)在限定的區(qū)間內(nèi)具備單調(diào)性，于是就可以討論

三角函數(shù)的反函數(shù)了。

7TTT

反正弦函數(shù)：y=arcsinx（如圖1-12所示），定義域?yàn)椋跿J,值域?yàn)橐欢?/。

但如果我們限定自變量X在指定區(qū)間

TFTT

——上取值，則它在該區(qū)間就變成

_22_

了單調(diào)增加，于是在該區(qū)間就有反函數(shù)

存在了--------要點(diǎn)!

（如圖1-12所示）

反余弦函數(shù)：=x（如圖1/3所示），定義域?yàn)椋?U］,值域?yàn)椋?,兀］。

但如果我們限定自變量x在指定區(qū)間

［0,可上取值，則它在該區(qū)間就變成了

單調(diào)增加，于是在該區(qū)間就有反函數(shù)存

在了--------要點(diǎn)!

（如圖1-13所示）

反正切函數(shù)：y=arctanx（如圖1-14所示）,定義域?yàn)椋?8,+8）,值域?yàn)?/p>

反余切函數(shù)：y=arccotx（如圖1-15所示）,定義域?yàn)椋?8,+oo）,值域?yàn)椋?,兀）。

圖1-14反正切函數(shù)圖1-15反余切函數(shù)

㈣復(fù)合函數(shù)

在實(shí)際應(yīng)用中，兩個(gè)變量的聯(lián)系有時(shí)不是直接的，而是通過(guò)另一變量間接聯(lián)系起來(lái)的。

例如：設(shè)y=G，U^l-X2,用1一一代替y=〃中的〃，得到y(tǒng)=二

這就是說(shuō)函數(shù)y=11一％2是由y=4經(jīng)過(guò)中間變量〃=1-—復(fù)合而成的。

即：y==7是由丫=〃和必=1一，這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合在一起構(gòu)成的，我們稱為復(fù)合函數(shù)。

1.定義

定義1.7：已知兩個(gè)函數(shù)：

設(shè))'是〃的函數(shù)，y=/(")，〃是X的函數(shù)，U=<p(x),若M=e(x)的值域的全部或部

分能使y=/(〃)有意義，則稱y是通過(guò)中間變量M構(gòu)成的X函數(shù)，即y是X的復(fù)合函數(shù)。記

作：

y=f[(p{x}]

通常稱f為外層函數(shù)，/為內(nèi)層函數(shù)，其中X是自變量，“是中間變量。

幾點(diǎn)說(shuō)明:

①并不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。

例如，y=lnM,〃=一，就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)椤?一X2的值域是〃40,而y=EM的

定義域是“>0。

當(dāng)“對(duì)于x值所對(duì)應(yīng)的u值,y=/(〃)無(wú)意儀”，則這時(shí)二者就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

給出一般判斷方法:

y=/(9,定義域。(7)

u=(p(x),值域Z(0)

當(dāng)D(/)Z(O)H①時(shí)，

貝!Iy=/(9與〃=。(%)才能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

②復(fù)合函數(shù)不僅可由兩個(gè)函數(shù),也可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成。

③分解復(fù)合函數(shù)時(shí),多采用“由外向內(nèi),逐層分解”法。

例1：已知函數(shù)y=/(4)=/,u=(p(x)=tanx,求二者而成的復(fù)合函數(shù)。

22

解：y=/(奴x))=(被x)F=(tan%)=tan%o

例2:已知函數(shù)y=/(〃)=*，U=(p(v)=Inx,V=l//(x)=cosx

求：三者而成的復(fù)合函數(shù)。

解：y=/(奴〃(x)))=J奴v)=Jln(〃(x))=VinCOSXo

例3：已知函數(shù)f(x)=x2,(p(x)=ax,

求(1)/(/(x))；(2)/(奴幻)；(3)(p(f(x))。

解：⑴/(/(%))=(/(X))2=(x2)2=X4(將/(X)代換/(X)中的X得到的)；

(2)/(^(x))=(0(X))2=(優(yōu))2=a2x(將°(x)代換/(x)中的x得到的)；

(3)0(/(%))=〃")="’(將/(x)代換9(x)中的x得到的)。

注意:

“復(fù)合函數(shù)”本質(zhì)就是一個(gè)函數(shù)(不是一類新型的函數(shù))，今后經(jīng)常需要將一個(gè)給定的函數(shù)

看成是由若干個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式，叫“分解復(fù)合函數(shù)”。

2.復(fù)合函數(shù)分解法(“由外向內(nèi)”分解法)

即由最外層函數(shù)起,層層向內(nèi)進(jìn)行,直到分解出自變量x的基本初等函數(shù)為止。

例4:下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的。

(1)y=lnarcsinx2；(2)y=arcsin2x

解：(1)令y=ln〃(對(duì)數(shù)函數(shù))，則〃=arcsinx2；

令〃=arcsinu(反正弦函數(shù))，貝iju=l2；

因v=x2(基函數(shù))，已經(jīng)是基本初等函數(shù)了，所以不用再分解了；

/.y=lnarcsin/是由基本初等函數(shù)y=ln〃，u=arcsinv,u=/復(fù)合而成的。

(2)令y=“2(基函數(shù))，則〃=arcsinx；

(y-arcsin?x實(shí)際上就是y=(arcsinx)2的一種習(xí)慣簡(jiǎn)寫形式。)

而“=arcsinx(反正弦函數(shù))，己經(jīng)是基本初等函數(shù)了，不用再分解了;

，y=arcsin?x是由基本初等函數(shù)y="2,“=arcsinx復(fù)合而成的。

例5：分解下列復(fù)合函數(shù)。

(1)y=tang)；(2)y=esinr；

(3)y-y/4-x2；(4)y=Jig，-3)。

解(1)y=tan6‘)是由y=tan”,〃=3*復(fù)合而成的；

(2)y=es"，是由y=e",〃=sinx復(fù)合而成的；

(3)y=是由y=〃=4-爐復(fù)合而成的；

(4)y=Jlg(/-3)是由丁=“^〃=旭丫,丫=%2-3復(fù)合而成的。

例6：判斷下列函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

(1)y-Igw,u=-(x-1)2；(2)y=y[u,u=-l-x21,

解：(1)y=lg”,定義域￡)(/)=(0,+oo)

M=-(x-l)2,值域Z(0)=(-oo,0),:￡)(/)cZ")=。

y=lg"，"=—(x—IK不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

(2)y=y/u,定義域￡>(7)=[p,+°°)

u=-l-x2=-(l+x2),值域Z(夕)=(-8,

,:O(/)cZ(°)=。

：.y=4u,〃=一1一*2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

㈤初等函數(shù)

初笠函教J由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算而成，且能用

一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。

例如，函數(shù)y=sin(e')+2p-xln%+J—.

VI-%-

y=arccos—...均為初等函數(shù)。

x

說(shuō)明:①初等函數(shù)的構(gòu)成既有函數(shù)的四則運(yùn)算，又有函數(shù)的復(fù)合，所以我們必須掌握把初等函數(shù)

按基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合形式分解開(kāi)來(lái)。

②復(fù)合函數(shù)一般都是初等函數(shù)。

③分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

微積分學(xué)中研究的函數(shù),主要都是初等函數(shù)。

例7:將下列函數(shù)按基本初等函數(shù)的復(fù)合與四則運(yùn)算形式分解

(1)y=arctan——-

I1+無(wú)

(3)y=cose，+2x+2；(4)y=

1—X1—X

解：(1)令〃=arctan----,貝ijy=iC\又令v=----,貝!]u=arctanv,

1+x\+x

(1_y\2]-X

則y=[arctan----由下列函數(shù)構(gòu)成：y-it1,w=arctanv=-------.

I\+x)1+x

(2)令〃=丁+，1+",則y=ln“，又令y=l+e*,則得到u=ex+4v,

則y=In(e'+由下列函數(shù)構(gòu)成：y=lnM,u=&+/丫v=l+e'.

(3)y=cose，+2x+2由下列函數(shù)構(gòu)成：y=cos〃，"=,，口=/+2%+2.

(4)^=asinv+￡Ost由下列函數(shù)構(gòu)成：y=au,u=sinx+cow

六函數(shù)關(guān)系的建立（選講）

在解決工程技術(shù)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要找出問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，然

后再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法去分析、研究、解決這些問(wèn)題。由于客觀世界中變量之間的函

數(shù)關(guān)系是多種多樣的，往往要涉及到幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等各門學(xué)科的知識(shí)，因此建立函數(shù)關(guān)系式?jīng)]

有一般規(guī)律可循，只能具體問(wèn)題具體分析。

下面通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明建立函數(shù)關(guān)系式的方法。

例1北京到某地的行李費(fèi)按如下規(guī)定收取，當(dāng)行李不超過(guò)50千克時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)0.30元/千

克計(jì)算，當(dāng)超過(guò)50千克時(shí)，超過(guò)部分按0.45元/千克收費(fèi)，試求北京到該地的行李費(fèi)y（元）

與行李重量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系。

解：當(dāng)0<x<5（）時(shí)，y=0.3x；

當(dāng)x〉5（）時(shí)，y=0.3x50+0.45（x-50）=0.45%-7.5。

所以行李費(fèi)y（元）與行李重量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系為：

0.3x,0<x<50

y=*

[0.45x-7.5,x>50

例2在一次人才招聘會(huì)上，有A、B兩家公司分別開(kāi)出他們的工資標(biāo)準(zhǔn)，A公司允諾第一年

的月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上年月工資增加230元，8公司允諾第一年的

月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上年月工資的基礎(chǔ)上遞增5%,設(shè)某人年初被A、

B兩家公司同時(shí)錄取，試問(wèn)：

①若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則第n年的月工資分別是多少？

②該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)選擇哪

家公司？

解：G）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系如下：

此人在A公司第n年的月工資數(shù)為：

??=15（X）+23O（n-l）

此人在B公司第n年的月工資數(shù)為：

2=2000（1+5%）”，〃為正整數(shù).

(2)若此人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為:

12(4+⑥++a［。)=3()42(X)(元).

若此人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為：

12(偽+4++第)=301869(元).

由于在A公司收入略高于在B公司的收入，故此人應(yīng)選擇在A公司工作。

例3(復(fù)利息問(wèn)題)設(shè)銀行將數(shù)量為4的款貸出，每期利率為若一期結(jié)算一次，則r期后連

本帶利可收回：

4(1+〃)'；

若每期結(jié)算加次，則f期后連本帶利可收回

此函數(shù)既可看成期數(shù)f的函數(shù)，也可看成結(jié)算次數(shù)加的函數(shù)。

現(xiàn)實(shí)生活中一些事物的生長(zhǎng)(r>0)和衰減(r<0)就遵從這種規(guī)律。

而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算。

例如：細(xì)胞的繁殖、樹(shù)木生長(zhǎng)、物體冷卻、放射性元素的衰減等等……

此類計(jì)算銀行復(fù)利問(wèn)題會(huì)用到極限概念，我們將在后面極限理論部分中的兩個(gè)重要極限

中會(huì)遇到此類問(wèn)題的極限表示法。

§1.2極限

㈠數(shù)列極限

一、引例

引例：（割圓術(shù)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年就用“割圓求周”（簡(jiǎn)稱“割圓術(shù)”）的

方法，算出萬(wàn)=3.14。劉徽注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，且當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，

正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積。“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又

割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣這幾句話明確地表明了劉徽的這一思想。如圖1-16

所示，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，多邊形的邊就越貼近圓周。

具體操作如下:

先把直徑為1的圓分成六等分，求得內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)；再平分各弧求內(nèi)接正十二邊形的周

長(zhǎng)；這樣繼續(xù)割下去，就得到一個(gè)數(shù)列，若以笫表示其通項(xiàng)，則為的值就是正3x2"邊形的周長(zhǎng),

見(jiàn)下表：表2-1

序號(hào)內(nèi)接正多邊形數(shù)（3x2"）正多邊形周長(zhǎng)（）

163.00000000

2123.10582854

3243.13262861

4483.13935020

5963.14103194

61923.14145247

73843.14155761

87683.14158389

915363.14159046

1030723.141592106

1161443.141592517

12122883.141592619

13245763.141592645

14491523.141592651

15983043.141592653

由該表可看出，數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)先隨著〃的無(wú)限增大而無(wú)限地接近于圓的周長(zhǎng)〃，

這正如劉徽所說(shuō)的，“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣與

這個(gè)例子反映了一類數(shù)列的一種性質(zhì)：對(duì)數(shù)列｛%｝,存在某一個(gè)常數(shù)4,隨著〃的無(wú)限增大,

X,能無(wú)限接近于這一常數(shù)A,這時(shí)稱數(shù)列｛笫｝以A為極限。

二、數(shù)列極限定義

1、數(shù)列——按自然數(shù)順序排列成有序的無(wú)窮多個(gè)數(shù)，稱為數(shù)列，數(shù)列通常記作：

y=/(〃)，〃為自然數(shù).

則數(shù)列展開(kāi)為：必，必，火…，笫，…一般也簡(jiǎn)記作：｛力｝。

其中笫稱為數(shù)列的一般項(xiàng)。我們所要研究的就是當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列｛先｝的變化趨勢(shì)。

觀察下面幾個(gè)數(shù)列：

(1)yn=—(〃GN),數(shù)列：1,—當(dāng)〃一＞8時(shí)，=工無(wú)限趨近于一個(gè)確定

"n23nn

的常數(shù)0；

⑵一(nGN),數(shù)列：,」一,,當(dāng)〃—oo時(shí)，數(shù)列北=」一無(wú)

?+12345n+\n+1

限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)1；

⑶yn-2n(〃eN),數(shù)列：2,4,6,8,…,2”,…；當(dāng)〃foo時(shí)，數(shù)列y”=2〃不趨近于一個(gè)

確定的常數(shù)；

(4)=(一1)”“，(〃wN),數(shù)列：1,—1,1,—1,…,(一1)向,…，當(dāng)〃時(shí)，笫=(—1)""始

終在數(shù)+1和-1來(lái)回跳動(dòng)，它不趨近于一個(gè)確定的常數(shù)。

2、數(shù)列極限定義

定義2.1:設(shè)數(shù)