2024屆遼寧省沈陽(yáng)市第120中學(xué)高三上學(xué)期第四次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案

沈陽(yáng)市第120中學(xué)2023－2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)第四次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題滿(mǎn)分：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）8x15Axx2Bxax1BAa，則實(shí)數(shù)取值集合的真子集的1.設(shè)集合，集合，若個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.7，則z的虛部為（D.82i)z32.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足）8811D.AB.C.5555n2x23.若x的展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.90B.-90C.180D.-180ab1c3，cosac,bc4.向量且abc0，則（）44D.A.B.C.55()5.在《九章算術(shù)商功》中將正四面形棱臺(tái)體棱臺(tái)的上、下底面均為正方形稱(chēng)為方亭．在方亭ABCD2AB23311中，1111積為（）776727622A.B.C.D.2中，3x3的2na11fxx5n1sinx9的值6.在數(shù)列n為（A.1021B.1022C.10232上的動(dòng)點(diǎn)，線段ABD.1024M:(x2)2(y2)2C:(x是圓2(y24的一條動(dòng)弦，7.已知點(diǎn)P是圓|PA|且||23，則的最大值是（）A.32B.82C.52D.822第1頁(yè)/共4頁(yè)P(yáng)ABC8.已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，體積為24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿(mǎn)足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）A.6πB.30π92π62πC.D.二、多選題（本題共4小題，共20分，每題選項(xiàng)全對(duì)給5分，少選或漏選給2分，錯(cuò)選、多選和不選給0分）9.下列命題正確的是（A.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越小，說(shuō)明回歸效果越好2×2）rP(20.052B.已知類(lèi)變量有關(guān)C.已知由一組樣本數(shù)據(jù)，若根據(jù)列聯(lián)表得到的觀測(cè)值為4.1，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分，且（i1，，，）得到的回歸直線方程為i,i2ny4x201ni10，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有60ni1X~N,4，則不論P(yáng)X46取何值，為定值D.若隨機(jī)變量2fxsinxx10.若函數(shù)x的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）6A.33,0yfx的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心B.點(diǎn)是曲線xC.直線也是一條對(duì)稱(chēng)軸3312D.函數(shù)在區(qū)間,fx上單調(diào)的前項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（）.SanSn1Snn211.已知是數(shù)列nnanan12n1（n2A.B.）an2n2a01S4950，則C.若第2頁(yè)/共4頁(yè)1143單調(diào)遞增，則的取值范圍是an1,D.若數(shù)列abab，且ab012.若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列不等式一定成立的是（）11logab0abA.B.baC.2ab12abD.ab1ba1三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線：：平行，則，間的距離是______．lxay90與la2x3ya0l1212sincos211tan1tan14.已知銳角，滿(mǎn)足，則__________.15.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排，每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱(chēng)不同，則排法種數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）14APxAByxy，則的最大值為16.在銳角中，，若點(diǎn)為的外心，且___________.四、解答題（本題共6小題，共70分）的內(nèi)角AbaBbAbc的對(duì)邊分別為，，，已知．，B，Cac17.（1）求tanA；（2）若a17，22，求的周長(zhǎng)．18.已知點(diǎn)A4,B3，圓C的半徑為1.C2，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求此切線的方程；（1）若圓C的圓心坐標(biāo)為（2）若圓C的圓心C在直線l:yx1上，且圓C上存在點(diǎn)，使MMB2MO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.aan3中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且an11Snann19.已知數(shù)列.Snn2（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：an12n3（2）證明：1S2Sn第3頁(yè)/共4頁(yè)-ABCBB2，E，F(xiàn)分別為AC和CC的120.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，11111AB1B1中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．11（1）證明：BFDE；BD1CC與面所成的二面角的正弦值最小?（2）當(dāng)為何值時(shí)，面1121.在一次數(shù)學(xué)隨堂小測(cè)驗(yàn)中，有單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩種.單項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)正確，選擇正確得5分，選擇錯(cuò)誤得0分；多項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選擇錯(cuò)誤的得0分.（1）小明同學(xué)在這次測(cè)驗(yàn)中，如果不知道單項(xiàng)選擇題的答案就隨機(jī)猜測(cè).已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確1答案和隨機(jī)猜測(cè)的概率都是.問(wèn)小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對(duì)的條件下，求他知道這道單項(xiàng)2選擇題正確答案的概率；（2）小明同學(xué)在做某道多項(xiàng)選擇題時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題的四個(gè)選項(xiàng)他均無(wú)把握判斷正誤，于是他考慮了以下兩種方案：方案①單選：在四個(gè)選項(xiàng)中，等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)；方案②多選：在有可能是正確答案的所有選項(xiàng)組合（如AB、BCD等）中，等可能地隨機(jī)選擇一種.若該多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)從數(shù)學(xué)期望的角度分析，小明應(yīng)選擇何種方案，并說(shuō)明理由.x1fxax2aR，其中.22.設(shè)函數(shù)ex（1）討論的單調(diào)性；fx（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為的零點(diǎn)，求證：fx為fxx,x01ln2.01第4頁(yè)/共4頁(yè)沈陽(yáng)市第120中學(xué)2023－2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)第四次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題滿(mǎn)分：150分時(shí)間：120分鐘命題人：馬健于茂源校對(duì)人：高越一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）8x15Axx2Bxax1BAa，則實(shí)數(shù)取值集合的真子集的1.設(shè)集合，集合，若個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.7D.8【答案】C【解析】Aa0和合，進(jìn)而可求出其真子集的個(gè)數(shù).a0兩種情況由BA可求出取值集aax3x5或，【詳解】由x28x0，得(xx0，解得A3,5，所以當(dāng)a0時(shí)，B，滿(mǎn)足BA，1a111315a0BBA3或5，得aa當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，或，aa11,a綜上，實(shí)數(shù)取值的集合為35所以實(shí)數(shù)a取值集合的真子集的個(gè)數(shù)為2317，故選：C2i)z32.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）88115D.A.B.C.555【答案】A【解析】18zi18zi，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，得到5555第1頁(yè)/共25頁(yè)313111182i)z3zi，【詳解】由復(fù)數(shù)，可得551885zi所以，所以復(fù)數(shù)z的虛部為.55故選：A.n2x23.若x的展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.90B.-90C.180D.-180【答案】C【解析】【分析】由已知可知項(xiàng)數(shù)n=10，再表示通項(xiàng)并令其中x的指數(shù)為零，求得指定項(xiàng)的系數(shù)即可.n2【詳解】解：因?yàn)閤的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則項(xiàng)數(shù)n=10，即x21022x，xr105r2xr則通項(xiàng)為r1rC2rrx，2x2105r0r22C180.22令，則T23故選：C.ab1c3，cosac,bc4.向量且abc0，則（）445D.A.B.C.5【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)計(jì)算夾角即可.1cabc2a2b22abab【詳解】由已知可得，2又ac2ab,bcba，22abab2a5abb13142所以ac,bc.774a24abb2b24aba2故選：A第2頁(yè)/共25頁(yè)()5.在《九章算術(shù)商功》中將正四面形棱臺(tái)體棱臺(tái)的上、下底面均為正方形稱(chēng)為方亭．在方亭ABCD2AB23311中，1111積為（）776727622A.B.C.D.2【答案】D【解析】AA【分析】先根據(jù)方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和得到的長(zhǎng)度，然后作輔助線找到并求方亭的高，最后利用棱1臺(tái)的體積計(jì)算公式求解即可．A1AE1，垂足為E，【詳解】如圖，過(guò)作331A由四個(gè)側(cè)面的面積之和為33知，側(cè)面的面積為，．14123343(AB)AE1E1112121123由題意得：(AB)，在Rt△AA1E中，1AE21E2()21．21122ACACA1AFAC作，垂足為1連接，，過(guò)F，11121AAC2111易知四邊形為等腰梯形且AC22，，則，12221F212，21276該方亭的體積V2221222)232故選：D．中，3x32n的值a11fxx5n1sinx96.在數(shù)列n為（A.1021B.1022C.1023D.1024第3頁(yè)/共25頁(yè)【答案】A【解析】【分析】對(duì)應(yīng)函數(shù)求導(dǎo)，利用奇偶性定義判斷f(x)為偶函數(shù)，根據(jù)有唯一零點(diǎn)知n132(nf(0)0，構(gòu)造法有，應(yīng)用等比數(shù)列定義寫(xiě)出通項(xiàng)公式并求對(duì)應(yīng)項(xiàng).4axn12a3在R上有唯一零點(diǎn)，nf(x)5x【詳解】由f(x)x)4acos(x)n12a342anf(x)，5xaxn1而n所以f(x)為偶函數(shù)，則f(0)n12n30，故an132(n，且a341，所以na342n12n1是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則，na1031021.9則故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷導(dǎo)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，進(jìn)而得到2上的動(dòng)點(diǎn)，線段AB0為關(guān)鍵f(0).M:(x2)2(y2)2C:(x2(y4的一條動(dòng)弦，27.已知點(diǎn)P是圓是圓|PA|且||23，則的最大值是（）A.32B.82C.52D.822【答案】D【解析】【分析】作出圖象，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，連接，則有|CD|1，從而得點(diǎn)D的軌跡方程為(x2(y1，由向量的加法法則可得2，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求出||即可2得答案.M2,2，半徑為2，M:(x2)2(y2)4的圓心為C22的圓心為【詳解】解：圓圓C:(x2(y2，半徑為2，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，連接，第4頁(yè)/共25頁(yè)D為AB中點(diǎn)，即|BD3，又|CB2，|CD|CB22431，點(diǎn)D的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，點(diǎn)D的軌跡方程為(x2(y21，D是AB中點(diǎn)，2，||CM21(12)2(12)21421，2max所以||的最大值為2(42822.故選：8.已知三棱錐24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿(mǎn)足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（PABC的底面為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)到底面PABC的距離為3，體積為）A.6πB.30π92π62πC.D.【答案】D【解析】PABC【分析】利用三棱錐的體積，求解底邊邊長(zhǎng)，求出的外接圓半徑，以及球心O到底面的距離，判斷頂點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)不同截面圓的圓周，P進(jìn)而求解周長(zhǎng)即可．，xx0【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為11PABCVx3242三棱錐的體積32第5頁(yè)/共25頁(yè)解得：x=43ABC1r24326的外接圓半徑為12球心O到底面的距離為1R2r25241，21頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，頂點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周當(dāng)球心在底面和截面圓之間時(shí)，球心O到該截面圓的距離為d312，2截面圓的半徑為d2254r2R2221，2221頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為；當(dāng)球心在底面和截面圓同一側(cè)時(shí)，球心O到該截面圓的距離為d314，3截面圓的半徑為r3R2d3225163，3；頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為62π綜上所述，頂點(diǎn)P故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球的問(wèn)題以及軌跡周長(zhǎng)的求法，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，題目具有一定的難度．二、多選題（本題共4小題，共20分，每題選項(xiàng)全對(duì)給5分，少選或漏選給2分，錯(cuò)選、多選和不選給0分）9.下列命題正確的是（A.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越小，說(shuō)明回歸效果越好2×2）rP(20.052B.已知類(lèi)變量有關(guān)C.已知由一組樣本數(shù)據(jù)，若根據(jù)列聯(lián)表得到的觀測(cè)值為4.1，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分，且（i1，，，）得到的回歸直線方程為i,i2ny4x20第6頁(yè)/共25頁(yè)1ni10，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有60ni1X~N,4，則不論P(yáng)X46取何值，為定值D.若隨機(jī)變量【答案】BD【解析】【分析】A.由相關(guān)指數(shù)的意義判斷；B.由臨界值表判斷；C.由樣本數(shù)據(jù)和回歸直線方程的關(guān)系判斷；D.由正態(tài)曲線的原則判斷.r【詳解】A.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，說(shuō)明回歸效果越好，故錯(cuò)誤；P(20.052，且的把握4.13.841，則有95%B.已知若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測(cè)值為4.1認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)，故正確；（i1，，，）得到的回歸直線方程為，由i,iC.已知由一組樣本數(shù)據(jù)2ny4x201nxi1060是樣本點(diǎn)的中心，一定在直線上，但這組樣本中數(shù)據(jù)不一定有，得到y(tǒng)，則ni160，故錯(cuò)誤；X~N,4，則2，D.若隨機(jī)變量PX3P2X6P2X所以P4X，2PX3P2X0.99740.95440.9759，22所以不論取何值，P4X6為定值.故選：BD2fxsinxx10.若函數(shù)x的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）6A.33,0yfx的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心B.點(diǎn)是曲線xC.直線也是一條對(duì)稱(chēng)軸3第7頁(yè)/共25頁(yè),D.函數(shù)在區(qū)間fx上單調(diào)312【答案】CD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.fx42kfx2sinx【詳解】由題意函數(shù)x,(kZ)，其對(duì)稱(chēng)軸為，即042kk5xx0，,，所以令，解得0246212212125,對(duì)于選項(xiàng)A,因此A錯(cuò)誤；1212對(duì)于選項(xiàng)B，該函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心，因此B錯(cuò)誤；kx0k0,對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，取，符合題意，因此C正確；3212122對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在kxk單調(diào)遞增，fx42312kxk，當(dāng)fx在區(qū)間,即時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，4412312當(dāng)時(shí)，函數(shù)fx在區(qū)間,上單調(diào)遞減，因此選項(xiàng)D正確.12故選：CD的前項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（）.SanSn1Snn211.已知是數(shù)列nnanan12n1（n2A.B.）an2n2a01S4950，則C.若1143單調(diào)遞增，則的取值范圍是an1,D.若數(shù)列【答案】AC【解析】SSnn2【分析】對(duì)于A，由，多寫(xiě)一項(xiàng)，兩式相減即可得出答案.n1anan12n1（n2n2.對(duì)于B，由，兩式相減即可得出答案少了條件第8頁(yè)/共25頁(yè)對(duì)于C，由分析知，所以奇數(shù)項(xiàng)是以10為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以an2n2ana21n為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列得前項(xiàng)和公式即可得出答案.對(duì)于D，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，根據(jù)aaaaa，即可求出.ana11234n【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)2，兩式相減得：Sn1n1SSnn2n2S，n1nanan12n1（n2）,所以A正確.aa2n1（n2anan22nn1，對(duì)于B，因?yàn)椋?所以nn1an2n2（n2兩式相減得：B不正確.對(duì)于C，Sn1Snn，令n1，則S1a1，因?yàn)?2Sa，122110a1n2SS4aaaaa4a2，所以3，所以.令，則，.23212312an2n2（n2aa2an2.n2因?yàn)?，所?1所以奇數(shù)項(xiàng)是以a01為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.ana12偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.aaaaa=aaa+aaa1231324S則：5049504950025012=4950，所以C正確.22SSnn2n1，則S2S1aaa1a2a1對(duì)于D，，令，，則n1112121aan2=2n1，令n1則aa=3a=3a213212又因?yàn)橥恚?，所以，n2332a=5a52a22a34，311a=7a73214214，5因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以aaaaa1234n，an13aaa1解解解得：，121aa2a得：，31414aa3a得：，41第9頁(yè)/共25頁(yè)14aaa解解得：得：，45114aaa1，561144a,所以的取值范圍是，所以D不正確.1故選：AC.aa2n1，得出的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)a【點(diǎn)睛】本題考查的是等差數(shù)列的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用nn1n項(xiàng)分別成等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于難題.ababab0，且，則下列不等式一定成立的是（12.若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足）11logab0abA.B.baC.2ab12abD.ab1ba1【答案】AD【解析】b0，yxabab0，故【分析】因?yàn)閍ab0為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于ba0.對(duì)于ABC，分ab0、ba0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及，或作差比較法即可判斷；對(duì)于D，由ab1a1兩邊取自然對(duì)數(shù)得到b1aa1b，即baba1b1x()x0且，構(gòu)造函數(shù)fx=（x1.x-1b0，yxab，【詳解】因?yàn)閍為單調(diào)遞增函數(shù)，故由于ab0，故ab0，或ba0，ab0ab1，此時(shí)b0當(dāng)時(shí)，；a11a1ab11abab10ab，故；bba1aba1b10，2ab12ab；1ab1a1abba0時(shí)，0ba1，此時(shí)b0，ab10，故當(dāng)ab111aba1b10，2ab12abab；；ba對(duì)于ABC，A正確，BC均錯(cuò)誤；第10頁(yè)/共25頁(yè)a1，兩邊取自然對(duì)數(shù)，對(duì)于D，ab1b1aa1b，b因?yàn)椴还躠b1，還是0ba1，均有a1b1，0aba1b1aba1b1所以，故只需證即可，11xxf(x)=（x0且x1fxx設(shè)，x-12x11111xgxxx0x1（且gx1令當(dāng)，xx2xx2gx0，x時(shí)，gx0，當(dāng)x時(shí)，gxg10所以fx0在xx1上恒成立，0且，所以xf(x)=（x0且x1）單調(diào)遞減，故x-1aba1b1因?yàn)閍b，所以故選：AD．，結(jié)論得證，D正確．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線：a2x3ya0：平行，則，間的距離是______．lxay90與ll1212【答案】42【解析】a【分析】先根據(jù)兩直線平行得出的值，再根據(jù)平行線的距離公式計(jì)算即可.13aa21a9a2且，解之得a1，【詳解】因?yàn)閮芍本€平行可得l:xy90l:3x3y30xy10所以，，1291d42故兩直線的距離為.212故答案為：42.14.已知銳角sincos211tan1tan，滿(mǎn)足，則__________.第11頁(yè)/共25頁(yè)2【答案】【解析】2tan1.【分析】根據(jù)二倍角公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而可得sincos211tan1tan【詳解】由題意，，由二倍角公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系可得2sincos1tan11tan，即，2sin21tantan1tantan1tan整理可得1，tantantantan1tan，故3π又銳角，故π，，43π2故cos.422故答案為：215.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排，每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱(chēng)不同，則排法種數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）【答案】336【解析】【分析】考慮到前排是有兩種不同名稱(chēng)的吉祥物，還是有三種不同名稱(chēng)的吉祥物，分類(lèi)求出排法數(shù)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可得答案.【詳解】由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱(chēng)的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，其中一種取兩個(gè)，另一種選一個(gè)，有C23C12C1C222A2224種排法；A222242種排法，故共有種不同的排法；其次，后排有C12C1C212A3348②前排含有三種不同名稱(chēng)的吉祥物，有種排法；A336486288種排法，此時(shí)共有種排法；后排有48288336因此，共有種排法，第12頁(yè)/共25頁(yè)故答案為：336【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是分類(lèi)考慮，即考慮到前排是有兩種不同名稱(chēng)的吉祥物，還是有三種不同名稱(chēng)的吉祥物，分類(lèi)求解即可.14APxAByxy，則的最大值為16.在銳角中，，若點(diǎn)為的外心，且___________.4【答案】##0.85【解析】【分析】通過(guò)向量的減法，把AB，AC轉(zhuǎn)化為APPB與，進(jìn)行整理后再平方處理即可得解.1xyxPByPC，整理得：xAByACxy【詳解】R，則上式兩邊平方得：設(shè)銳角外接圓的半徑為，所以R781x2R2x2R2y2R22①，其中BPC2A，2cosBPC2cosA12y74代入①式，得：1xy2222x2y，xy，整理得：415xy2xy由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立424344xyxyxy即當(dāng)2x2y，解得：或515442322xyxy時(shí)，此時(shí)，，此時(shí)P點(diǎn)在△ABC外部，△ABC為鈍角三角形，333445xyxy與題干矛盾，所以舍去，成立34故答案為：5四、解答題（本題共6小題，共70分）的內(nèi)角AbaBbAbc的對(duì)邊分別為，，，已知．，B，Cac17.（1）求tanA；（2）若a17，的面積為22，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）A22（2）5【解析】第13頁(yè)/共25頁(yè)13A1）根據(jù)正弦定理得，從而求得tanA；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理即可求得【小問(wèn)1詳解】.因?yàn)閍BbAbc，所以由正弦定理可得sinAB2sinBAsinBsinC．3sinBAsinB，所以．sinCsinABsinABAsinB又1因?yàn)閟inB0，所以A．3223Aπ，所以sinA，A22．又【小問(wèn)2詳解】122bc6．的面積SbcsinAbc22，則32432b2c2bcAb2c2bcbc2a2bc25，a由余弦定理：所以bc5，得3的周長(zhǎng)為5，故．18.已知點(diǎn)A4,B3，圓C的半徑為1.C2，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求此切線的方程；（1）若圓C的圓心坐標(biāo)為（2）若圓C的圓心C在直線l:yx1上，且圓C上存在點(diǎn)，使MMB2MO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.a【答案】（1）x4或3x4y402322322（2）a或a.222【解析】1）根據(jù)圓心到直線的距離分直線斜率存在與不存在求解；a（2）由條件求出M所在圓，利用兩圓相交求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意得圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2(y2)21，y4kx4，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為第14頁(yè)/共25頁(yè)2k34d1，解得：k由，2k1當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x4，滿(mǎn)足題意；3x4y40.所以切線的方程為x4或【小問(wèn)2詳解】上，設(shè)Ca,a由圓心C在直線l:yx1，，由Mx,yMB2MO，設(shè)點(diǎn)得：x2(y22x42y2，x2(y2化簡(jiǎn)得：，所以點(diǎn)M在以D為圓心，2為半徑的圓上.又點(diǎn)M在圓C上，所以圓C與圓D有交點(diǎn)，則1CD3，即1a2a23，2323222a或a.解得：222an3中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且an11Snann19.已知數(shù)列.Snn2（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：an12n3.（2）證明：1S2Snnn1【答案】（1）n2（2）證明見(jiàn)解析【解析】ann1an1n1anSa，利用累乘法即可求得；n1）利用與關(guān)系可推導(dǎo)得到nan3naSn（2）由，結(jié)合可得，并由此得到；采用裂項(xiàng)相消法可整理得到Snn2nSn第15頁(yè)/共25頁(yè)12n112n21n26，由0可證得結(jié)論.1S2Sn【小問(wèn)1詳解】an33Snn2aa0且；nn由得：Snn2a3S3Sn2annan1，當(dāng)n2且nN時(shí)，nnn1an1整理可得：n1an1a，n，nn1an1n1an1nan2n1an2n2an3n3a42a2131，3則，，，，a243nnann1nn1121a1，又，1各式相乘得：1n1n2n32nn1n.2nn1當(dāng)n1時(shí)成立，故n.2【小問(wèn)2詳解】an3nn1n2n2n由得：Sn，Snn236nn6116nn2nn1n2n1n2，Sn612n1111233411112n266，1S2Snn1n21n212n10，63又.1S2Sn2-ABCBB2，E，F(xiàn)分別為AC和CC的120.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，11111AB1B1中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．11第16頁(yè)/共25頁(yè)（1）證明：BFDE；BD1CC（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?111BD1【答案】（12）2【解析】1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法AB,AB//因?yàn)?，所以BFAB．1111BFBB1B1B2．又因?yàn)?，?gòu)造正方體又因?yàn)?，，所以平?1ABCGABCG，如圖所示，1111AM,BN過(guò)E作AB的平行線分別與AC和CC，BC交于其中點(diǎn)M,N，連接，11因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以N是BC的中點(diǎn)，1RtBCFRt1BNN易證，則．BBNBNBBNBBN又因?yàn)椋裕?111第17頁(yè)/共25頁(yè)AB,BNABBAMNB又因?yàn)?，所以平面．1111111又因?yàn)镋D平面AMNBBFDE，所以．11[方法二]-ABC是直三棱柱，BB1底面因?yàn)槿庵?111AB//1BBB1B1B,BC,．所以1平面，，，又1111兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,BC,x,y,z所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．1B0,0,0,A2,0,0,C2,0,B0,0,2,A2,0,2,C2E0,F2,1，．111由題設(shè)Da,0,2（0a22,1,1a2因?yàn)樗?，BFDE01a21120，所以BFDE．1BABBFABBFAB0[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，BFAB0，所以111111BD=BFBDBFEBBBBFEBBFBB1111121121212BFBABCBFBB11211121BFBCcosFBCBFBBcosFBB=52520，所以112255．（2）[方法一]，設(shè)平面的法向量為mx,y,z第18頁(yè)/共25頁(yè),1a2因?yàn)樗?，xyz0mEF0，即．1axy2z0mDE0令z2a，則ma,2a2,0,0，1B因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?11與平面的二面角的平面角為設(shè)平面，mBA63cos則當(dāng)．mBA22a22a142a22a1412272a2a14時(shí)，2a2取最小值為，36cos此時(shí)取最大值為273．22631BD，此時(shí)1所以sin1．332[方法二]：幾何法如圖所示，延長(zhǎng)EF交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)DSBC交于點(diǎn)T，則平面平面1111BBC．BH1，則DHCCCC與平面11作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)1為平面111所成二面角的平面角．BDt,tBTsCG//AB111DS于點(diǎn)G．設(shè)，過(guò)C1作交11第19頁(yè)/共25頁(yè)1S1G1D13(2t)．由又又得CGSA31ts1DTGT3tt1，即12s，所以s．(2t)31HT1F1H1ssBH1，即，所以．1(2s)21(2s)2s2t21H21D2t2t2．所以1(2s)22tt519t1D1則sin1，tt522t212922tt213所以，當(dāng)t時(shí)，1min．23[方法三]：投影法FB1,FN如圖，聯(lián)結(jié)，，記面所成的二面角的平面角為，則CCCC與面11在平面的投影為11S1NFSDEFcos．BDttRtDBF22t5．2設(shè)在，在中，DF1D1F11RtECFEN中，223，過(guò)D作BN的平行線交于點(diǎn)Q．1第20頁(yè)/共25頁(yè)RtDEQD2EQ25t)2在中，．t15(t2222在中，由余弦定理得，523t2tt21132Ssintt142S，,，51NF3t222S1S39，1，2tt7t142t211233當(dāng)t，即BD1，面CC與面．所成的二面角的正弦值最小，最小值為112【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方CC法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，11CC上的投影三角形的面積與△不是很容易找到；方法三：利用面在面面積之比即為面11CC與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常11好的方法，開(kāi)闊學(xué)生的思維．21.在一次數(shù)學(xué)隨堂小測(cè)驗(yàn)中，有單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩種.單項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)正確，選擇正確得5分，選擇錯(cuò)誤得0分；多項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選擇錯(cuò)誤的得0分.（1）小明同學(xué)在這次測(cè)驗(yàn)中，如果不知道單項(xiàng)選擇題的答案就隨機(jī)猜測(cè).已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確1答案和隨機(jī)猜測(cè)的概率都是.問(wèn)小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對(duì)的條件下，求他知道這道單項(xiàng)2選擇題正確答案的概率；（2）小明同學(xué)在做某道多項(xiàng)選擇題時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題的四個(gè)選項(xiàng)他均無(wú)把握判斷正誤，于是他考慮了以下兩種方案：方案①單選：在四個(gè)選項(xiàng)中，等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)；方案②多選：在有可能是正確答案的所有選項(xiàng)組合（如AB、BCD等）中，等可能地隨機(jī)選擇一種.若該多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)從數(shù)學(xué)期望的角度分析，小明應(yīng)選擇何種方案，并說(shuō)明理由.4【答案】（1）5（2）選擇方案①.第21頁(yè)/共25頁(yè)【解析】1）根據(jù)全概率公式可求得該單項(xiàng)選擇題回答正確的概率，由條件概率公式可求得結(jié)果；（2）分別計(jì)算方案①②的得分期望，比較大小即可.【小問(wèn)1詳解】記