4.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教學(xué)設(shè)計）高一數(shù)學(xué)（北師大版2019）

北師大版必修第二冊第四章《三角恒等變換》4.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教學(xué)設(shè)計）【教學(xué)目標(biāo)】1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，推導(dǎo)出三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（邏輯推理）2.能正確利用基本關(guān)系式進行三角函數(shù)式的求值運算，并且確定符號；（數(shù)學(xué)運算）3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),能把方程的思想、代數(shù)變換、分類討論的邏輯方法融入到解題中.（邏輯推理）【教學(xué)重點】1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；2.已知一個角的一個三角函數(shù)值，利用基本關(guān)系式求其它的三角函數(shù)值.【教學(xué)難點】已知一個角的一個三角函數(shù)值，求這個角的其它三角函數(shù)時符號的確定.【教學(xué)過程】一、實例分析，提出問題請同學(xué)們復(fù)習(xí)回歸我們是如何在單位圓中定義三角函數(shù)的呢？如圖，角α的終邊與單位圓交于點P(u,v)，則cosα=u,sinα=υ,tanα=υ問題1：若已知sinα=45問題2：請同學(xué)們根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，能否得出同角的三角函數(shù)之間存在數(shù)量關(guān)系？在小組內(nèi)討論并且發(fā)表自己的看法.α0ππ3π-sin0112-cos130-1tan03不存在-1-第一列：02+12=1；第二列：122+322=1第四列：222+-同學(xué)們能否根據(jù)以上特殊的結(jié)論，得到一般性的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)表達式把這個關(guān)系寫出來？sin2α＋cos2α＝1問題3：如何在直角三角形中證明sin2α+cos如圖可得sinα=a根據(jù)勾股定理：a2+問題4：類比上述方法，同學(xué)們在單位圓中證明sin2證明：如圖，過點P作x軸的垂線，交于點M，在Rt?PMO中Msin因此我們得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.問題5：由cosα=u,sinα=υ,tanα=υu，同學(xué)們能夠推出tanα與商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z).問題6：同角基本關(guān)系有什么特征？（1）要在同角的條件下使用，同角可以指終邊相同的角；（2）sin2（3）tanα＝eq\f(sinα,cosα)要注意分母不為0問題7：同角基本關(guān)系有哪些變形二、抽象概括，得出概念1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.（2）商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z).2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的變形（1）sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.（2）tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα)，cos2α=1tan2【概念辨析】加深對“同角”的理解1.判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里畫“√”，錯誤的畫“×”.三、典例剖析，理解概念課本P146例1例1.已知sinα=45，且角的終邊在第二象限，求cosα和tanα解：cos角α的終邊在第二象限∴cosα<0∴

tan已知正弦值，求余弦值和正切值：（1）先根據(jù)平方關(guān)系，求出cos2α＝1－sin2α的值；（2）再根據(jù)角所在的象限，定cosα的符號，定不了號，就分類討論.（3）最后根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出tanα的值.例2.已知cosα=-1213，求sinα和解：sin2α=1-cos2α=1--當(dāng)α在第二象限時，sin?α

>0，所以sintan當(dāng)α在第三象限時，sin?α

<0，sintan例3已知tanα=m(m≠0)，求sinα和cosα.解：根據(jù)題意可得方程組sin解得：cos因為：tanα≠0，故α的終邊不在坐標(biāo)軸上所以cossinα=【方法點撥】同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，作用是“知一求二”，即tanα，cosα，sinα三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個.解題時要注意確定角α所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時，若沒有給出角【當(dāng)堂訓(xùn)練】課本P148：練習(xí)第1題（1）已知sinα=32，且α為第一象限角，求cos?α和tan?α（2）已知cosα=-45，且α為第三象限角，求sin?α和tan?α（3）已知tanα=-512，且α為第二象限角，求cos?α和sin?α（學(xué)生演練）四、遷移應(yīng)用，掌握概念1.若α是銳角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，則sinα＝________.2.函數(shù)y＝eq\f(\r(1－sin2x),cosx)＋eq\f(\r(1－cos2x),sinx)的值域是()A.{－2，0，2}B.{－2，0}C.{0，2} D.{－2，2}【參考答案】1.由2tanα＋3sinβ＝7，得4tanα＋6sinβ＝14.①又tanα－6sinβ＝1，②①＋②，得5tanα＝15.∴tanα＝3.∴eq\f(sinα,cosα)＝3，即cosα＝eq\f(1,3)sinα.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝eq\f(1,3)sinα，,sin2α＋cos2α＝1，))解得sin2α＝eq\f(9,10).∵0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＝eq\f(3\r(10),10).]2.解：由已知，得y＝eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(|sinx|,sinx)，又cosx≠0，且sinx≠0，∴x為象限角.當(dāng)x為第一象限角時，y＝2；當(dāng)x為第三象限角時，y＝－2；當(dāng)x為第二、四象限角時，y＝0.選A3.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，則tanα＝________.解∵sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(49,169).∴2sinαcosα＝－eq\f(120,169)<0.又α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0.∴α∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinα－cosα＞0.故sinα－cosα＝eq\r(（sinα＋cosα）2－4sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②可得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，∴tanα＝－eq\f(12,5).【方法點撥】(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα進行等價轉(zhuǎn)化，找到解決問題的突破口五、當(dāng)堂檢測，鞏固達標(biāo)1．已知α是第二象限角，且sinα=33，則tanA．-2 B．-22 C．-2．“α+β=π2”是“sin2α+A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件3．已知a=2,1，b=cosα,sinαA．2 B．12 C．-2 D．（多選題）4．已知α∈0,π，且sinα+A．π2<α<πC．cosα-sinα=【參考答案】1．B解：因α是第二象限角，且sinα=33則tanα=sinα2．C解：若α+β=π2，則故“α+β=π2”是“sin若sin2α+sin有sin2故“α+β=π2”不是“sin故“α+β=π