2024屆新疆區(qū)烏魯木齊高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

烏魯木齊市高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題總分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（8小題每題5分共40分）1．已知集合A{∣ylg(x2)}，B∣x2x120，則AB（）A．4B．4C．2,3D．4,32i2．已知復(fù)數(shù)zA．2，則z的虛部為（）iB．2iC．2D．-2i，則AF3．等邊ABC的邊長(zhǎng)為3，若，（）AD2DCBFFD217215132A．B．C．D．24．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是yxyx1D．A．yx3B．C．yex25．若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為F0,F3,0,則其離心率為13423114A．B．C．D．2236．已知cos75，則cos30的值為（）31313223A．B．C．D．37“數(shù)列a}和數(shù)列b}極限都存在”“數(shù)列an}和數(shù)列ab}極限都存在”nnnnn的（）條件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要8．我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中提出了一種求三角形面積的方法——“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積”．也就是說(shuō)，在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角,B,C的對(duì)邊，那么22221acbBABCABCSac的面積22，若b23，且tanC，則421B面積S的最大值為（）A．32B．33C．6D．36二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．新冠肺炎疫情防控期間，進(jìn)出小區(qū)、超市、學(xué)校等場(chǎng)所，我們都需要先進(jìn)行體溫檢測(cè).其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃B．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，中位數(shù)與平均數(shù)不相等C．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定D．甲同學(xué)體溫的第80百分位數(shù)為36.5℃10．若3x2，5y3，則下列選項(xiàng)正確的有（211xyxyA．xB．C．xy2xyD．x”3xy11．下列說(shuō)法中正確的是（）A．全稱(chēng)量詞命題“xN，x2x”的否定是“xN，x2Bfx在其定義域內(nèi)的最大值為20fx的值域是0,2C．定義在R上的函數(shù)yf(x)的圖象與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)0D．若fx是奇函數(shù)，則f012．如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示的六面體，則下列說(shuō)法正確的是（）2A．六面體的體積為686B．若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為729C．折后棱AB，CD所在直線異面且垂直D．折后棱AB，CD所在直線相交三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．用數(shù)字123456789組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個(gè).（用數(shù)字作答）14．已知一圓臺(tái)的高為3，下底面面積是上底面面積的4倍，若圓臺(tái)的體積為7π，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為．4x3x|4x3|x15．已知f(x)m兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍22是．x22y216．已知雙曲線C:ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，點(diǎn)在P12ab2x22y221H在直線xa2HP3HF420.若存1雙曲線C:abPFPF在實(shí)數(shù)使得OHOP12，則雙曲線C的離心率為sin2FsinPFF112四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。請(qǐng)根據(jù)答題卡題號(hào)及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無(wú)效。）xx3223x17．已知函數(shù)f(x)cossin3cos2．3（1）若x,，求f(x)的遞增區(qū)間和值域；223453（2）若f(0),0，求點(diǎn)sinx．02418．如圖，在四面體OABCMNPQ分別為BCACOAOB的中點(diǎn)，若ABOC，求證：PMQN．19．已知函數(shù)fxax3bx2d的兩個(gè)極值點(diǎn)為1，2，且在x0處的切線方程為2xy10．(1)求函數(shù)fx的表達(dá)式；156,3時(shí)，fx(2)當(dāng)x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．320．已知數(shù)列an}中，12，___________，其中nN(1)求數(shù)列an}的通項(xiàng)公式：.*(2)設(shè)n2an，求數(shù)列anb}的前項(xiàng)和.nTnn從①前n項(xiàng)和Snn2n，②a12an，③a82an1ana且4n2，這三個(gè)條n件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.21．肥胖已經(jīng)成為威脅人類(lèi)身體健康的第二大危險(xiǎn)因素，體重指數(shù)是判斷是體重否肥胖的標(biāo)準(zhǔn)之一（體重指數(shù)=，其中，體重單位：公斤，身高單位：2身高24屬于肥胖.17歲的青少年中隨機(jī)抽取了50302020位女生的原始數(shù)據(jù)如表所示：已知，50人中共有11人屬于肥胖.編號(hào)1011121314151167181920123456789身高1160172160173165164170161170164168158165155117607163165167/59體重555566161524850535051605457655556545885/2公斤體2重0指.21.18.23.20.19.17.17.20.17.19.21.21.21.27.2109.120.21.30.數(shù)659431834303691335(1)補(bǔ)充列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值0.0522性別有關(guān)系？是否肥胖合計(jì)性別肥胖不肥胖男生女生合計(jì)302050n(adbc)22，其中nabc.附：d(ab)(cd)(acbd)0.0500.0100.00123.8416.63510.828(2)從11位肥胖的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行減肥減脂訓(xùn)練，記抽取到的女生人數(shù)為X，求X的分布列及均值.22n個(gè)紅球(…nN)和5摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)．（1）試用n表示一次摸獎(jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；（2）若n5，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率；（3）記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為Pn取多少時(shí)，P最大？數(shù)學(xué)答案：1．A【分析】求出集合,B可得AB.【解析】A(2,)，B(3,4)，故AB(2,4)，故選：A.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，從而判斷可得；2i2ii【解析】解：因?yàn)閦1，所以，則的虛部為2；z1zii2故選：A3．A14534【分析】取BC中點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系，得到AF,，再根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即可求解.【解析】332332如圖，取BC中點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系，則A,B,0,C,0，2232333由AD2DC，若D(x,y)，則ADAC(,)3)，3223332所以(x,y)3)得：D，2，若F(m,n)，則BD(,)(,3)，11535由BFFD22224431所以(m,n)(,3)得：F35,，442442145342153419所以AF,，故AF.42故選：A4．D【解析】根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的奇偶性，以及單調(diào)性得到結(jié)果.【解析】yx是奇函數(shù)，故A排除；ye是非奇非偶函數(shù)，C排除；3xyx是偶函數(shù)，但在上有增也有減，排除，只有正確.BD故答案為D.5．C【解析】由題意可知：3113c12cae.22a本題選擇C選項(xiàng).6．A【分析】由二倍角公式可求得cos150的值，結(jié)合誘導(dǎo)公式cos30cos150即可求得結(jié)果.23【解析】因?yàn)閏os75，3322132cos2751所以cos15012，31cos15013cos180150所以cos30.3故選：A.7．Ca,limbnnnnab存在；對(duì)于必要性，nna+blimc,limd都存在，證nn都存在，證明與nnnnnna,limb明存在.nnnnanlimb，na,limba+b【解析】都存在，所以nnnnnnnnnabalimb，nnnnnnnab存在，故充分性成立；nna+b所以與nnnn11記nann，dab，則annd，bnd，nnnnnn221limc,limd由題意，都存在，所以a=limcd，nnnnn2nnnnn1limb=limcd，所以a,limb都存在，故必要性成立，nnnnnnnn2nn所以“數(shù)列a}和數(shù)列b}極限都存在”是“數(shù)列an}和數(shù)列ab}極限都存在”nnnnn的充分必要條件.故選：C.8．B【分析】利用正弦定理及兩角和的正弦公式得ca“三斜求積”用二次函數(shù)求解最值.BsinCB【解析】因?yàn)閠anC，所以，1BcosC1B所以sinCCcosBCsinBCB3sinA，22221acb由正弦定理得ca，又b23，所以Sa42c222214a1214142a424a36a12108，a442221所以當(dāng)a212即a23時(shí)，ABC面積S的最大值為10833.4故選：B9．ACD【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)體溫的極差為36.636.20.4℃，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B36.4,36.3,36.5,36.4,36.4,36.3,36.536.4℃位數(shù)、平均數(shù)均為36.4℃，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，甲同學(xué)的體溫平均數(shù)為36.4℃，與乙同學(xué)的體溫平均數(shù)相同，但甲同學(xué)的體溫極差為0.4℃，大于乙同學(xué)的體溫極差0.2℃同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，甲同學(xué)的體溫從小到大排序?yàn)?6.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.5,36.6，780%5.6，故甲同學(xué)體溫的第80百分位數(shù)為36.5℃，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD10．ACDx,y【分析】先把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，求出的值，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【解析】由3x2，5y3得：xlog32，y3，522因?yàn)閘og33log339log38log32，33323所以x，故A正確；22xyylog53log5327log5325，所以y，故，故B不正確；33xy11log25log2335235232log252，23232xy所以xy2xy，所以C正確；1111因?yàn)閤,y0，所以xy等價(jià)于xy0，xyxy1yx即xyxy10，11xyxy0，所以10，即1，因?yàn)?，即log33log35log35log322321，而35311所以1成立，所以xy，故D正確.xy故選：ACD.11．AC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題即可判斷A選項(xiàng)正誤；對(duì)于B選項(xiàng)，可以舉分段函數(shù)的反例即可判斷B選項(xiàng)的正誤；對(duì)于C選項(xiàng)，可以根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷C選項(xiàng)的正誤；1對(duì)于D選項(xiàng)，可以舉fx的反例進(jìn)行判斷D選項(xiàng)的正誤.x【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，已知命題“x2”的否定為“x2x”，故A選項(xiàng)xxx正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若fx是分段函數(shù)，則其值域不一定為0,2；故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于Cyfx的定義域?yàn)镽x0多的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以函數(shù)圖像與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；1對(duì)于D選項(xiàng)，若fx為奇函數(shù)，但是fx在x0處無(wú)意義，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.x故選：AC12．ABD6【分析】六面體由兩個(gè)全等的正四面體組成，算出每個(gè)正四面體的高為，再3利用錐體的體積公式即可判斷A球與六面體的每個(gè)面都相切時(shí)體積達(dá)到最大，利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑6R，再利用球的體積公式即可判斷BAB、CD在9共底的兩個(gè)四面體的底面，可判斷CD；A1BC的中點(diǎn)DADADBC，由正四面體性質(zhì)知，頂點(diǎn)S在底面的投影在AD上，如圖所示，232233336AD，AOADSO12323331362體的體積V2，故A正確；3436對(duì)于B133切時(shí)體積達(dá)到最大，六面體的每個(gè)面的面積是S11，連接球心與五224R213366R，解得R體積法知，所以球的體積6493443686729VR3，故B正確；39對(duì)于CDAB、CDAB與CDC錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.13．1080【解析】A54C14C35A44108014．10.【解析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，r，12r2r因?yàn)橄碌酌婷娣e是上底面面積的4倍，所以πr224πr21，則，2111由圓臺(tái)的高為3，體積為7π，可知π3rπ3r7π，121rr12r22212r4r21233解得11，則r22，如圖所示，過(guò)A作OB的垂線，垂足為C，則OCOA1，221OB2，BCOBOC1，222又AC3，故圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．ABACBC2210故答案為：1015．(0,3)4x3x|4x3|x【分析】由題意f(x)m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)可化為方程224x3x|4x3|xm有兩個(gè)不同的解,利用函數(shù)圖象解答.224x3x|4x3|x【解析】因?yàn)閒(x)m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)可化為方程224x3x|4x3x|m有兩個(gè)不同的解，224x3x|4x3|x作函數(shù)y的圖象如下所示，22由圖可知，m的取值范圍為(0,3)故答案為：(0,3)16．2PF431【分析】根據(jù)雙曲線的定義及向量的運(yùn)算，三角形的正弦定理，求出，2再表示出FF，根據(jù)雙曲線離心率的定義求解即可.12【解析】設(shè)直線交x軸于點(diǎn)Q，如圖，PFPF設(shè)△PFF的外接圓半徑為R，由OHOP12，12sinPFFsinPFF1221PFPF有OHOP2R12，2Rsin2F2RsinPF1F21PFPF2故PH2R1，所以直線過(guò)△PF12的內(nèi)心，PF2PF1設(shè)△PFF的內(nèi)切圓圓心為II分別切PF、PF、FF于點(diǎn)M、N、T，121212由切線長(zhǎng)定理可得1MT，F(xiàn)NFT，PMPN，22所以，PF2PM1MPN2NTT2a，1T2T2a，所以，Ta，結(jié)合圖形可得xccT故△PFF的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為a，12因?yàn)辄c(diǎn)H在直線xa上，所以點(diǎn)H為△PFF的內(nèi)心.12由2HP3HF4HF0可得2PH3PFPH4PFPH0，212193747所以，9PH3PF4PF，記PHPFPF，12712PG2374747334PFPG，所以，設(shè)PGPFPF，則FGGF，121217所以，點(diǎn)G在直線FF上，又因?yàn)镻H12Q，故點(diǎn)G與點(diǎn)Q重合，1293747且有PHPFPFPQ，217由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)Q到直線PF、PF的距離相等，12△QPFQ2QPHHQPF22Q4311故，同理可得，S2Q△2QPHPF2PF1PFFQFQ1272令2m，則PF14m，且12，HQQ2Q故Q2Q122m.c1F2m則雙曲線C的離心率e22.aPF124mm故答案為：2.3323433,,12）sin171），值域x0.2422102x1）先利用誘導(dǎo)公式和降冪公式可將f(x)化為fxsin333，2利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.23（2）利用兩角差的正弦公式可求sinx的值.0xx322x32x333【解析】①f(x)sincos1cos，3322x由2k2k得kxk，kZ，23324424xx,又又，所以f(x)的遞增區(qū)間為，22x2x33，故0，所以0sin1，23333f(x)值域?yàn)?1.222x34532034②由f(x)sin0得sin，33223520320350，故cos因，所以42333232x2020sin0sin0sincoscossin3333333334133433.52521018．證明見(jiàn)解析【分析】欲證PMQN，只要證明PMQN0，需將PM,QN用其他向量表示后再進(jìn)行計(jì)算．【解析】證明：如圖，設(shè)OAa,OBb,OCc．11212因?yàn)镻，M分別為OA，BC的中點(diǎn)，所以PMOMOP(bc)a[(ba)c]．2rrrr1rr11N，Q分別為AC，OB的中點(diǎn),則QNONOQ(ac)b[(ba)c]222rrrrrrr1rr11所以PMQN[(ba)c][(ba)c]}(|ba|2|c|2)．224又因?yàn)锳BOC，所以ABbaOCc所以PMQN0，所以PMQN，即PMQN．131219．(1)fxx3x22x16227,2(2)1fxf0，f20d1，將c2代入f2，f00，f20中求出a,b的值即可f0c求解；1x,0（2x0，x0,3，k3值問(wèn)題即可求解.1）由fxax3bx2d可得fxax2bxc，xax2bxc=0的兩根，則1，2是方程ffabc100所以*）f212abc因?yàn)橛忠驗(yàn)閤0處的切線方程為2xy10故f01，f02dc1312代入（*）式解得a，b1312故fxx3x22x1131（2）由（1）知：fxx3x22x1，255時(shí)，fx即1恒成立，此時(shí)kR，0①當(dāng)x665611256x0,3時(shí)，由fxx22x1②當(dāng)即x3，313121分離參數(shù)k可得：kx2x2，6x13121設(shè)gxx2x2，則kgx，min6xx1x14x223114x33x21gxx，26x26x26x2,0上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故gx在故當(dāng)x0,3時(shí)，gx在上單調(diào)遞減，3上單調(diào)遞增，131216122，所以gx的最小值為gxg112min所以k2，13513121x,0時(shí)，由fxx2x2③當(dāng)分離參數(shù)可得k66x1121設(shè)gxx2x2，則kgxmax，36x13由②過(guò)程知gx在,0上單調(diào)遞減，21111116227gxg2故1，max33323636227所以k，6227綜上所述：k的取值范圍為,2.20．(1)an2n4n4(2)nn2n31）選①，根據(jù)a與S的關(guān)系即可得出答案，nn選②，根據(jù)an12an，可得數(shù)列a}是以2n選③2an1anan2，可得數(shù)列a}是以2為公差的等差數(shù)列，從而可得答n案；（2）利用分組求和法即可求出答案.(1)解：選①，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2nnn2n，2當(dāng)n1時(shí)，也成立，所以an2n；選②，因?yàn)閍n12an，所以aan2，n1所以數(shù)列an}是以2為公差的等差數(shù)列，所以an2n；選③，因?yàn)?an1anan2，所以數(shù)列a}是以2為公差的等差數(shù)列，n設(shè)公差為d，則a41d8，所以d2，所以an2n；(2)解：選①②③答案相同，bn2an22n4nn14，，又n所以數(shù)列b是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，n所以n1b1a22ann1anb1bna22n2n2414n2144n2n4n.321．(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，不能認(rèn)為肥胖與性別有關(guān)系