2024屆重慶市拔尖強基聯(lián)盟高三上學期12月月考數學試題及答案

西南大學附中重慶育才中學高2024屆拔尖強基聯(lián)盟高三十二月聯(lián)合考試數學試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）命題學校：西南大學附中2023年12月注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準考證號填寫在答題卡上。2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整。38小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數z12ii1，則z（）A．10B．2C．5D．3E:x2y26x8y0，圓F:xB．相切2y22x4y40，則這兩圓的位置關系為（）2．已知圓A．內含C．相交D．外離an3an2（3．在首項為1的數列a中，滿足a，則520C．0）nn15243A．B．D．1214．若a4bm且1a,,mR，則m（）abA．23B．6C．36D．125M為△ABC外接圓O上的任意一點，ABC90,ABBC3OAOBBM的最大值為（）32A．1B．C．3D．56．在平面直角坐標系中，集合Ax,ykxyk0，集合Bx,yykx1，已知點MA，點NB，記d表示線段MN長度的最小值，則d的最大值為（A．2B．3C．1）D．21,cln11，則（7．設ae10,bA．abc8．點M、N為正四面體ABCD的內切球球面上的兩個動點，T為棱AB上的一動點，則當MTN取最大）1110B．acbC．bcaD．cba值時，tanMTN（）A．2B．1C．2D．224小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．中，2AB4，O為此正四棱柱的外接球球心，下列說法正9．如圖，在正四棱柱ABCDABCD確的是（）A．BCABB．球O的表面積為C．點O到AD的距離為5D．四棱錐O的表面積為44510G:(x2(y2)3l:mxny0（m,nR且m,n不同時為02是（）A．當直線l經過時，直線l與圓G相交所得弦長為10B．當m0時，直線l與l關于點G對稱，則l的方程為：y4C．當n0時，圓G上存在4個點到直線l的距離為2D．過點G與l平行的直線方程為：mxnym2n011．已知函數fx1是偶函數，其中2cosxx3，則，若函數gxsin2x2下列說法正確的是（）A．3B．gx的圖象可由函數fx的圖象向右平移個單位長度得到12122C．gx的一個單調遞增區(qū)間是,32D．若關于x的方程gxm0在,上有兩個不同的實根，則m的取值范圍是212．定義在0,1上的函數fx同時滿足以下條件：①f1②x0,1,fx1f1x1x③x,x0,1,xxfxfx02④xfx2f121213則下列說法正確的有（）1233123A．若x,，則fxB．方程fx在x0,1上無實數解8kk1411631211C．若kN，則fD．f3k2k三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．4，則13______；13．已知數列a是等差數列，S表示數列a的前n項和，若annn74214．若，則______．315．設橢圓E的兩個焦點是F,F，過點F的直線與橢圓E交于點,B，若AFFF，且122112AF2BF，則橢圓E的離心率是______．2216．若sin0，則的最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．a2a35a4a，等比數列b滿足b5，27266n321710分）等差數列a滿足aa6n1（1）求數列a,b的通項公式；nn（2）若cab，求數列c的前n項和S．nnnnn1812分）在△ABC中，內角,B,C所對的邊分別為a,,c，滿足ba2bcosC（1）求證：C2B；（2）若△ABC為銳角三角形，求CBsinB的最大值．19．（12分）五棱錐PABCFE中，AB∥，AE∥BC，PEPF，ABBC，PEPFAE2，FCBC4，AB6，平面PEF平面ABCFE,M為PB的中點，（1）求證：EM∥平面PCF；（2）求直線AM與平面PCF所成角的正弦值．2012yx19100月次123456789某科課后投入時間x（分鐘）2025303540455055606568757273737373．573高三（1）班某科平均分y（分）（1）當x40時，該小組建立了y與x的線性回歸模型，求其經驗回歸方程；（2）當x40時，由圖中觀察到，第3個月的數據點明顯偏離回歸直線l，若剔除第3個月數據點后，用余下的4個散點做線性回歸分析，得到新回歸直線l，證明：l∥l；?（3）當x40時，該小組確定了y與x滿足的線性回歸方程為：yx72.6，該數學小組建議該班在該學科投入課后學習時間為40分鐘，請結合第（12）問的結論說明該建議的合理性．nxxyyii??附：經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：bi1，?ybxn2xxii1x22112分）已知點P(0,1),Q(0,為橢圓C:ym內的兩點，在橢圓C上存在兩點A，B滿足24AP2PB，直線AQ交橢圓C于點M（點M異于點A（1）當m2時，求點B的縱坐標；（2）求點B，M橫坐標乘積的最大值．ex2ax，其中xR．x22212分）已知函數fx（1）若f(x)在)單調遞增，求a的取值范圍；5e1x31x21（2f(x)x,x,xxx2xx2x2318ln26,9123131的取值范圍．高三十二月聯(lián)合考試數學參考答案123456789101112AADCBDADACDABABDACD59113．5214．15．3n171）設a公差為d,b公比為qnaad71111ann．則，解出ada2da4dadadd1111112bq2q4111q3又由，解出nn1．2726q3（2）由題意nnn1n130233312nn1①②n13123n123n1n3n①-②得：2n1131131n1n32n13nn3n1311n3n2212n1n3n44181）由題ba2bcosc由正弦定理：sinBsinA2sinBCsin(BC)2sinBCsinBCBsinC2sinBCsinCBCsinBsinCBBCB或BCB（舍）C2B（2）△ABC為銳角三角形03B220BB6402B2由（1C2B原式2sin2BBsinB431令tBsinB2sinB2t2t則原式21t22t221173122t,t481當t時，所求式子的最大值為．48191）取BC中Q，連接、MQ．又M為PB的中點，MQ∥PC，又PC平面PCF,MQ平面PCF，MQ∥平面PCF，又AEBQ，四邊形EABQ為平行四邊形，EQ∥AB，又AB∥，∴EQ∥，又平面PCF,EQ平面PCF，EQMQQ,EQ平面EMQ,MQ平面EMQ平面EMQ∥平面PCF，又EM平面EMQEM∥平面PCF．（2）取EF中點D，連接PD由PEPF知PDEF，又平面PEF平面AC，故PD平面AC以D為坐標原點，DP為Z軸，過D作x軸∥BC，過點D作y軸∥AB建立如圖所示空間直角坐標系，235,F0,C0由題得：A1,0,P2,B0,M,,2222設平面PCF的法向量為nx,y,z,PC2,PFx5y2z0有，令zn2,0,1xy2z03722231521015又AM,,cosAM,n22221015直線AM與平面PCF所成角的正弦值為20．解：20253035406568757273（1）x30，y70.6555xxyyii10(5.6)((2.6)04.451.4102.4100?bi10.45100250251002502xxii1?aybx70.60.43058.6所求經驗回歸方程為：y0.4x58.6202535406568727369.5（2）設l的方程為ybxa，x30，y11444xxyyii10(5.6)((2.6)51.4102.4∴bi10.414100250251002xxii1aybx69.50.43057.511bb的方程為y0.4x57.5，故l1，l∥l1a（3）由（12）知，剔除異常值后①x40時，l的斜率為0.4，x40時，回歸直線的斜率為0.01而0.4遠大于0.01（或0.01接近于0）②x40時，回歸直線的最大值點為40故認為建議合理211）設Ax,y,Bx,y，由AP2PB，即x,1y2x,y11122112212x2有12x2，從而y2y3132y212m3y222x2432y24m24進一步，解得x224y224m2m210m9x242354故m2時，y242m10m9x2204（2）1m9o21m243設Mx,y3①當AQ斜率不存在時，、M重合，此時xx023111y22x2②當AQ斜率存在時，設直線AQ:yx1x1y22x22yx1y22y22則4x28x44m0x2x2x24y24m∵僅在橢圓內，AQ與橢圓一定相交44m44mm314132x23(m2m922y222414x241m210m94m1m1182m3256271116x23m1m1182m16319當且僅當m1182m即m時，等號成立325627故xx32221）fxexxa(x23x1eaxx上恒成立由題，有fx0在即exax在上恒成立10exa在上恒成立x1xx1exexx2exe令gx(xgxx1(x2(x2由gx0，解得x2；由gx0，解得1x2gx在1,2上單調遞減，在上單調遞增g(x)g2e2,a