湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)新改革提高訓(xùn)練五（九省聯(lián)考題型）含答案解析

湖南2024年高三數(shù)學(xué)新改革提高訓(xùn)練五（九省聯(lián)考題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某班12名同學(xué)某次測試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是（）A.74 B.78 C.83 D.912.已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.3.若，則（）A B. C. D.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面說法正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D若，則5.已知，，且，則（）A.4 B.5 C.7 D.86.圓和圓的公切線方程是（）A. B.或C. D.或7.鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學(xué)中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，函數(shù)在點處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點對稱D.在上單調(diào)遞增10.若、為復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點，在上（在第一象限），點在上，，，（）A.若，則 B.若，則C.則的面積最小值為 D.則的面積大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，關(guān)于x的不等式的解集為M，設(shè)，當(dāng)a變化時，集合N中的元素個數(shù)最少時的集合N為______．13.如圖，在中，是的中點，以為折痕把折疊，使點到達(dá)點的位置，則當(dāng)平面平面時，其外接球的體積為__________.14.若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，四邊形是圓柱軸截面，點在底面圓上，，點是線段的中點（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點到平面的距離.16.在統(tǒng)計學(xué)的實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)的箱型圖繪制，是統(tǒng)計學(xué)中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四分位數(shù)，箱型圖中“箱體”的下底邊對應(yīng)數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對應(yīng)數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中間的線對應(yīng)中位數(shù)，已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.（1）由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結(jié)論即可，不用說明理由）（2）若在兩班中隨機抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分?jǐn)?shù)小于128分，則求該同學(xué)來自甲班和乙班的概率分別是多少？（3）據(jù)統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流，3人中來自乙班的人數(shù)為，求的分布列.17.設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)（），直線．（1）若直線與函數(shù)（）的圖像相切，求證：當(dāng)取不同值時，切點在一條直線上；（2）當(dāng)時，直線與函數(shù)有兩個不同的交點，交點橫坐標(biāo)分別為，，且，求證：．18.已知圓，與x軸不重合的直線l過點，且與圓交于C、D兩點，過點作的平行線交線段于點M．（1）判斷與圓的半徑的大小關(guān)系，求點M的軌跡E的方程；（2）已知點，直線m過點，與曲線E交于兩點N、R（點N、R位于直線異側(cè)），求四邊形的面積的取值范圍．19.對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，若，則稱為“數(shù)列”.（1）已知數(shù)列、的通項公式分別為，.分別判斷、是否為“數(shù)列”；（只需給出判斷）（2）已知“數(shù)列”的各項互不相同，且，.若也是“數(shù)列”，求有窮數(shù)列的通項公式；（3）已知“數(shù)列”是的一個排列（即數(shù)列中的項不計先后順序，分別?。?，且，求的所有可能值.湖南2024年高三數(shù)學(xué)新改革提高訓(xùn)練五（九省聯(lián)考題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某班12名同學(xué)某次測試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是（）A.74 B.78 C.83 D.91【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可得到答案.【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因為，所以這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是83.故選：C.2.已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由代入即可求得.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)也滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故選：D3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，由，．故選：C4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線和平面平行和垂直的性質(zhì)即可判斷出它們的位置關(guān)系，逐項得出結(jié)論即可.【詳解】對于A，若，則可能平行或相交，可得A錯誤；對于B，若，則，即B正確；對于C，若，則或，可知C錯誤；對于D，若，則或，可知D錯誤；故選：B5.已知，，且，則（）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用二項式的通項公式求出的表達(dá)式，根據(jù)題意列方程，即可求得n的值.【詳解】通項公式為，二項式的展開式中項的系數(shù)為，項的系數(shù)為，，，即，即，（負(fù)值舍），故選：A.6.圓和圓的公切線方程是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】先判斷兩個圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.【詳解】解：，圓心，半徑，，圓心，半徑，因為，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點坐標(biāo)為，故公切線方程為，即．故選：A.7.鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學(xué)中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取線段的中點，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】取線段的中點，則，，由圖可知，當(dāng)點與點重合時，取最小值，且，由圖形可知，當(dāng)取最大值時，點在折線段上，連接，則，同理，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，所以，，則、、三點共線，則，即，當(dāng)點在線段上從點運動到點的過程中，在逐漸增大，同理可知，，當(dāng)點在線段上由點到的過程中，在逐漸增大，所以，當(dāng)取最大值時，點在折線段上運動，以線段的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，設(shè)點，（1）當(dāng)點在線段上運動時，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，則；（2）當(dāng)點在線段上運動時，，，則，所以，；（3）當(dāng)點在線段上運動時，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，所以，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.綜上所述，的最大值為，故，故的取值范圍是.故選：B.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．8.已知，函數(shù)在點處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線方程，進(jìn)而即可判斷AB；畫出函數(shù)與圖象，由可得，化簡計算即可判斷CD.【詳解】由題意知，，則，所以曲線在點處的切線方程分別為，因為切線均過原點，所以，即，得，故AB錯誤；由，得，畫出函數(shù)與圖象，如圖，設(shè)，如上圖易知：，由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯誤.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：證明選項CD的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，通過轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合思想分析是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可代入驗證求解對稱軸以及對稱中心，利用整體法即可判斷D，根據(jù)周期公式即可求解A.【詳解】，對于A，的最小正周期為，故A錯誤，對于B,,故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確，對于C，，故的圖象關(guān)于點對稱，C正確，對于D，時，，故在上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD10.若、為復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項；利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法可判斷B選項；利用復(fù)數(shù)的模長公式、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，取，，則，，所以，，，所以，，所以，，，故，A錯；對于B選項，設(shè)，，則，，，，則，所以，，B對；對于C選項，不妨取，，則，，，所以，，故，C錯；對于D選項，設(shè)，則，所以，，所以，，D對.故選：BD.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點，在上（在第一象限），點在上，，，（）A.若，則 B.若，則C.則的面積最小值為 D.則的面積大于【答案】ABD【解析】【分析】對A，設(shè)點在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點，由相似比可得解；對B，易證，可得為等邊三角形，得解；對C，分點在第一和第四象限兩種情況，由焦半徑公式求出，表示出利用三角函數(shù)求出最小值，對D，分點在第一和第四象限兩種情況，由焦半徑公式求出可證，得解.【詳解】對于A，如圖1，設(shè)點在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點，又，，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)點在準(zhǔn)線上投影為點，易證，又，，即，又，則為等邊三角形，所以，且，，故B正確；對于C，分兩種情況：當(dāng)點都在第一象限，如圖1所示，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，，令，設(shè)，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.當(dāng)點在第四象限時，如圖2所示，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤；對于D，當(dāng)點都在第一象限，如圖1所示，，，則，所以，即，，當(dāng)點在第四象限時，如圖2所示，同理可得，即，，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于C,D選項，關(guān)鍵是利用拋物線焦半徑公式求出，從而易求出三角形面積.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，關(guān)于x的不等式的解集為M，設(shè)，當(dāng)a變化時，集合N中的元素個數(shù)最少時的集合N為______．【答案】##【解析】【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素個數(shù)最少，則取最小值，得到答案.【詳解】，令得，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，其中，則的解集為，要想集合N中的元素個數(shù)最少，則取最小值，此時解集為，此時.故答案為：13.如圖，在中，是的中點，以為折痕把折疊，使點到達(dá)點的位置，則當(dāng)平面平面時，其外接球的體積為__________.【答案】##【解析】【分析】由題意可得兩兩垂直，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，補成長方體后計算體對角線即可得其外接球的半徑，即可得外接球的體積.【詳解】如圖，由題意，當(dāng)平面平面，是的中點，，即兩兩垂直，又，如圖，作長方體，則三棱錐的外接球，即是長方體的外接球，設(shè)長方體的外接球的半徑為，則，.當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的體積為.故答案為：.14.若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】先討論m的范圍，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求最值，根據(jù)最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.【詳解】令，即，當(dāng)時，由函數(shù)與的圖象可知，兩函數(shù)圖象有一個交點，記為，則當(dāng)時，，即，不滿足題意；當(dāng)時，令，則，令，則，因為單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以時，有最小值，又對恒成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】難點點睛：本題屬于恒成立問題，難點在于將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，以及利用m，n的不等關(guān)系將二元化一元，此處應(yīng)注意保證任何時候都能取到等號.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，，點是線段的中點（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點為，通過證明，得證平面；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】證明：取中點，連接，如圖所示，為中點，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】，易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，有，得，，設(shè)點到平面的距離為，16.在統(tǒng)計學(xué)的實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)的箱型圖繪制，是統(tǒng)計學(xué)中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四分位數(shù)，箱型圖中“箱體”的下底邊對應(yīng)數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對應(yīng)數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中間的線對應(yīng)中位數(shù)，已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.（1）由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結(jié)論即可，不用說明理由）（2）若在兩班中隨機抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分?jǐn)?shù)小于128分，則求該同學(xué)來自甲班和乙班的概率分別是多少？（3）據(jù)統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流，3人中來自乙班的人數(shù)為，求的分布列.【答案】（1）甲班（2），（3）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)甲乙兩班成績箱型圖中的中位數(shù)，第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的位置可以判斷結(jié)果；（2）依題知這是條件概率問題，分別設(shè)出從兩班中隨機抽取一人，“該同學(xué)來自甲班為事件”，“該同學(xué)分?jǐn)?shù)低于128分為事件”，則需要求和，而這需要先求和，再根據(jù)全概率公式求出，最后用貝葉斯公式求解即得；（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每個值對應(yīng)的概率，即得的分布列.【小問1詳解】由兩班成績箱型圖可以看出，甲班成績得中位數(shù)為128，而乙班的第三四分位數(shù)使128，同時，甲班的第一四分位數(shù)明顯高于乙班，由此估計甲班平均分較高.【小問2詳解】由圖可知，甲班中有的學(xué)生分?jǐn)?shù)低于128分；乙班中有的學(xué)生分?jǐn)?shù)低于128分設(shè)從兩班中隨機抽取一人，“該同學(xué)來自甲班為事件”，“該同學(xué)分?jǐn)?shù)低于128分為事件”，則，，，，所以，該同學(xué)來自甲乙兩班的概率分別為，.【小問3詳解】依題的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：17.設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)（），直線．（1）若直線與函數(shù)（）的圖像相切，求證：當(dāng)取不同值時，切點在一條直線上；（2）當(dāng)時，直線與函數(shù)有兩個不同的交點，交點橫坐標(biāo)分別為，，且，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由條件可得，即，令，構(gòu)造，求導(dǎo)得其單調(diào)性，即可得到切點在直線上，即可得證；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為有2個不同的解，即證，然后構(gòu)造函數(shù)有其單調(diào)性即可得證.【小問1詳解】設(shè)切點橫坐標(biāo)為，可得，得，即，化簡得，令，得，記，所以時，單減，且時，當(dāng)，單增，，所以，，，所以切點在直線上．【小問2詳解】當(dāng)時，由（1）得切線的斜率為，直線與函數(shù)有兩個不同的交點，得，即有2個不同的解，由題意得，，做差得，即，欲證，即證，即證，即令，，即證即下面先證明，令，即證，即，先證，令，，單調(diào)遞增得，因為，所以，證得成立，用替換，可得成立，所以，即成立，得.18.已知圓，與x軸不重合的直線l過點，且與圓交于C、D兩點，過點作的平行線交線段于點M．（1）判斷與圓的半徑的大小關(guān)系，求點M的軌跡E的方程；（2）已知點，直線m過點，與曲線E交于兩點N、R（點N、R位于直線異側(cè)），求四邊形的面積的取值范圍．【答案】（1），（2），且【解析】【分析】（1）根據(jù)平面幾何可得，故點的軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓定義即可求出軌跡的方程；（2）設(shè)直線：，，直線與曲線聯(lián)立方程組，根據(jù)的范圍得且，再根據(jù)四邊形的面積為，代入即可求解.【小問1詳解】圓，，，，，，∴點M的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為．【小問2詳解】設(shè)直線，由題意知且，設(shè)，，由，則，所