專(zhuān)題8-1排列組合歸類(lèi)（解析版）

專(zhuān)題8-1排列組合歸類(lèi)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01基礎(chǔ)模型：人與座位 1題型02基礎(chǔ)模型：先分組后排列 3題型03基礎(chǔ)模型：保序型 4題型04基礎(chǔ)模型：數(shù)字化法 5題型05基礎(chǔ)模型：空車(chē)位等相同元素型 8題型06基礎(chǔ)模型：多重受限條件型 10題型07地圖染色型 11題型08立體幾何型 14題型09醫(yī)生、護(hù)士等平均分配型 16題型10走樓梯模型 18題型11擋板法模型 20題型12相同元素型 21題型13不定方程模型 22題型14球放盒子型：公交車(chē)模型 24題型15球放盒子型：電梯模型 26題型16球放盒子型： 27題型17配對(duì)模型 29題型18機(jī)器人跳棋模型 30高考練場(chǎng) 32題型01基礎(chǔ)模型：人與座位【解題攻略】模型：人坐座位特征：一人一位；2有順序；座位可能空；人是否都來(lái)；要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列難題特征：相鄰：捆綁法捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）不相鄰：插空法限制條件較多。特多的限制條件，稱(chēng)為“多重限制型題”，屬于超難題【典例1-1】（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考）第三屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇于年月在北京召開(kāi)，某記者與參會(huì)的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.【答案】【分析】先考慮代表甲與代表乙相鄰，利用捆綁法求出排法種數(shù)；然后考慮記者站兩端中的某個(gè)位置，且代表甲與代表乙相鄰，求出此時(shí)的排法種數(shù).再利用間接法可求得結(jié)果.【詳解】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進(jìn)行排序，共有種不同的排法，若記者站兩端中的某個(gè)位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進(jìn)行排序，此時(shí)不同的站法種數(shù)為種，因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.故答案為：.【典例1-2】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】18【分析】先把小王、小李視為1組，再把剩下的3人分成2組，把這3組全排列即可.【詳解】把小王、小李視為1組，剩下的3個(gè)人先分成2組，分組的方式是：1，2；則有，把這3組人再分配給3個(gè)敬老院，則.故答案為：18【變式1-1】（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中?？迹┈F(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相鄰，共有種排法．【答案】288【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合相鄰問(wèn)題、不相鄰問(wèn)題及特殊元素站位列式計(jì)算即得.【詳解】先把乙丙捆綁在一起與除甲丁戊外的另兩人作全排列，并把乙丙排列，有種，再把丁戊插入前面排列形成的4個(gè)空隙（除乙丙間的外）中，有種，最后讓甲站首末兩位之一有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同排法種數(shù)是.故答案為：288【變式1-2】（2024上·河南南陽(yáng)·高三校聯(lián)考）某觀光旅游團(tuán)計(jì)劃在春節(jié)期間，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六個(gè)小鎮(zhèn)游覽，每個(gè)小鎮(zhèn)游覽一天，連續(xù)游覽六天.若小鎮(zhèn)甲不排在首末兩天，乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)排在相鄰的三天，則不同的游覽順序方案共有種.【答案】72【分析】現(xiàn)將乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)捆綁，然后從中間2個(gè)位置選出一個(gè)安排甲小鎮(zhèn)，剩余全排列.求出各步的方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，相乘即可得出答案.【詳解】分步：第一步，把乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)捆綁，看成一個(gè)元素，三個(gè)小鎮(zhèn)的游覽順序有種方案；第二步，將該整體與其他三個(gè)小鎮(zhèn)作為4個(gè)元素，依次對(duì)應(yīng)4個(gè)游覽位置進(jìn)行安排，中間2個(gè)位置選一個(gè)作為小鎮(zhèn)甲的游覽有種方案；第三步，剩余三個(gè)元素進(jìn)行全排有種方案.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的游覽順序方案共有種.故答案為：72.【變式1-3】（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高三年級(jí)派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有種(用數(shù)字作答)．【答案】24【分析】應(yīng)用捆綁、插空法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，排完后其中有3個(gè)空，最后將甲、乙插入其中的兩個(gè)空有種，綜上，共有種排法.故答案為：題型02基礎(chǔ)模型：先分組后排列【解題攻略】先分組后排列模型：又稱(chēng)“球放盒子”基礎(chǔ)型：冪指數(shù)型如四個(gè)不同的球放三個(gè)不同的盒子，有多少種方法？特征：1.先分組再排列（盡量遵循這個(gè)，否則容易出現(xiàn)重復(fù)）2.分組時(shí)候要注意是否存在“平均分配”的情況【典例1-1】某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.【詳解】將5名大學(xué)生分為1-2-2三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，共有種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由種方法；按照分步乘法原理，共有種方法；故選：C.【典例1-2】某地一重點(diǎn)高中為讓學(xué)生提高遵守交通的意識(shí)，每天都派出多名學(xué)生參加與交通相關(guān)的各類(lèi)活動(dòng).現(xiàn)有包括甲、乙兩人在內(nèi)的6名中學(xué)生，自愿參加交通志愿者的服務(wù)工作這6名中學(xué)生中2人被分配到學(xué)校附近路口執(zhí)勤，2人被分配到醫(yī)院附近路口執(zhí)勤，2人被分配到中心市場(chǎng)附近路口執(zhí)勤，如果分配去向是隨機(jī)的，則甲、乙兩人被分配到同一路口的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合排列、組合求得把6名同學(xué)平均分配到三個(gè)不同的路口分配種數(shù)，再求得甲、乙兩人被分配到同一路口種數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，把6名同學(xué)平均分配到三個(gè)不同的路口，共有種分配方案，其中甲、乙兩人被分配到同一路口有種可能，所以甲、乙兩人被分配到同一路口的概率為.故選：A.【變式1-1】從人中選派人承擔(dān)甲，乙，丙三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人承擔(dān)，則不同的選派方法的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【解析】先從6人中選派4人，再將選取的4人分成三組，分別從事甲、乙、丙三項(xiàng)工作，進(jìn)而可得不同的選派方法的種數(shù).【詳解】先從6人中選派4人，共有種方法，再將選取的4個(gè)人分成三組共有種方法，再將三組分配從事甲、乙、丙三項(xiàng)工作共有種方法，所以不同的選派方法共有種，故選B.【變式1-2】4名學(xué)生參加3個(gè)興趣小組活動(dòng)，每人參加一個(gè)或兩個(gè)小組，那么3個(gè)興趣小組都恰有2人參加的不同的分組共有_________種.【答案】90【分析】由題意得4名學(xué)生中，恰有2名學(xué)生參加2個(gè)興趣小組，，其余2名學(xué)生參加一個(gè)興趣小組，然后分情況討論可得參加的不同的分組的種數(shù).【詳解】由題意得4名學(xué)生中，恰有2名學(xué)生參加2個(gè)興趣小組，，其余2名學(xué)生參加一個(gè)興趣小組，首先4名學(xué)生中抽出參加2個(gè)興趣小組的學(xué)生共有種.下面對(duì)參加興趣小組的情況進(jìn)行討論：參加兩個(gè)興趣小組的同學(xué)參加的興趣小組完全相同，共種；2、參加兩個(gè)興趣小組的同學(xué)參加的興趣小組有一個(gè)相同，共種.故共有種.即答案為90.【變式1-3】.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù)．則甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的基本事件種數(shù)，再求出甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件所含基本事件數(shù)即可求解作答.【詳解】依題意，4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的試驗(yàn)的基本事件有種，它們等可能，甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)，甲、乙各有2種選法，丙、丁各有3種選法，甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件含有的基本事件有種，所以甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率.故選：B題型03基礎(chǔ)模型：保序型【解題攻略】基礎(chǔ)模型：保序型，又稱(chēng)為“書(shū)架插書(shū)”模型書(shū)架插書(shū)法：、書(shū)架上原有書(shū)的順序不變；（2）、新書(shū)要一本一本插；（3）、也可以把有順序的“書(shū)”最后放，先放沒(méi)順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）【典例1-1】從“”（我愛(ài)實(shí)驗(yàn)）中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種【答案】C【分析】從另外5個(gè)字母中任意取4個(gè)字母，再把“sy”看成一個(gè)整體和選出的4個(gè)字母全排列，列式計(jì)算即得解.【詳解】從另外5個(gè)字母中任意取4個(gè)字母，有種取法；再把“sy”看成一個(gè)整體和選出的4個(gè)字母全排列，共有種排法，所以一共有種.故選：C【典例1-2】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【分析】由已知，根據(jù)題意可使用插空法，將2個(gè)新節(jié)目有順序插入5個(gè)節(jié)目形成的6個(gè)空中，直接列式求解即可.【詳解】因?yàn)樵黾恿藘蓚€(gè)新節(jié)目．將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，所以原來(lái)5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的2個(gè)節(jié)目插入到6個(gè)空中，共有種插法.故選：D.【變式1-1】書(shū)架上某一層有5本不同的書(shū)，新買(mǎi)了3本不同的書(shū)插進(jìn)去，要保持原來(lái)5本書(shū)的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【分析】依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).【詳解】將新買(mǎi)的3本書(shū)逐一插進(jìn)去：第1本書(shū)插入5本書(shū)形成的6個(gè)空隙中的1個(gè)，有6種插法；第2本書(shū)插入6本書(shū)形成的7個(gè)空隙中的1個(gè)，有7種插法；最后1本書(shū)插入7本書(shū)形成的8個(gè)空隙中的1個(gè)，有8種插法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.故選：C【變式1-2】10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列即可求解.【詳解】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有種，調(diào)整后前排有5個(gè)人，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列，原來(lái)的3人按照原順序站在剩下的3個(gè)位子，有種，按照乘法計(jì)數(shù)原理可得總共有種.故選：B.【變式1-3】班會(huì)課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時(shí)加入甲，乙2位同學(xué)也發(fā)言，若保持原來(lái)3位同學(xué)發(fā)言的相對(duì)順序不變，且甲，乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)題意可知在原來(lái)三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時(shí)，他們之間會(huì)形成個(gè)空位，插入甲，乙2位同學(xué)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】在原來(lái)三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時(shí)，他們之間會(huì)形成個(gè)空位，插入甲，乙2位同學(xué)有種.故選：B..題型04基礎(chǔ)模型：數(shù)字化法【解題攻略】數(shù)字化法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合。特別適用于“相同元素”【典例1-1】.2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門(mén)口匯合，事件A：小明經(jīng)過(guò)F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)起點(diǎn)走向終點(diǎn)所需要向上、向右走的總步數(shù)，并確定向上或向右各走的步數(shù)，則最短路徑的走法有，再利用古典概率及條件概率求法，求小明到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率、小明經(jīng)過(guò)F且從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能向下、向左移動(dòng)，對(duì)于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為條，錯(cuò)誤；對(duì)于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為條，正確；對(duì)于③，小明到的最短路徑走法有條，再?gòu)腇處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，所以到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為，正確；對(duì)于④，由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，所以，錯(cuò)誤.故說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是2.故選：B.【典例1-2】．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種【答案】B【分析】分別計(jì)算兩人經(jīng)過(guò)的走法種數(shù)，由排列組合與古典概型對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于甲，經(jīng)過(guò)到達(dá)有1種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有1種，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，同理對(duì)于乙，經(jīng)過(guò)到達(dá)分別有種．對(duì)于A，甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種，A正確，對(duì)于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，對(duì)于D，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，D正確故選：B【變式1-1】如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】分類(lèi)分步排列即可.【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，故選：B.【變式1-2】夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】先求出由到的最短路徑的條數(shù)，然后求出由到且經(jīng)過(guò)的最短路徑的條數(shù)，最后相減即可.【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過(guò)的最短路徑有.故選：D.【變式1-3】如圖，小明從街道的處出發(fā)，選擇最短路徑到達(dá)處參加志愿者活動(dòng)，在小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用組合數(shù)與分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出從處出發(fā)到達(dá)處的最短路徑數(shù)，并計(jì)算出小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的最短路徑數(shù)，然后利用古典概型的概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】解：由題意，小明從處出發(fā)到達(dá)處，最短需要走四橫三縱共七段路，共有條不同的路；小明從處到處，最短需要走兩橫兩縱共四段路，共有條不同的路，從處到處，最短需要走兩橫一縱共三段路，共有條不同的路.所以小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的概率.故選：.題型05基礎(chǔ)模型：空車(chē)位等相同元素型【解題攻略】空座位型，1.單獨(dú)空座位，可以看成相同元素?zé)o排列，字母化法處理。2.如果2個(gè)或者3個(gè)或者更多空座位相連型，與單獨(dú)空座位則屬于不同元素3.空座位，屬于相同元素，則符合“直選不排”原理【典例1-1】（巴彥淖爾·階段練習(xí)）某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀眾前來(lái)就座，若他們每?jī)扇硕疾荒芟噜彛乙竺咳俗笥抑炼鄡蓚€(gè)空位，則不同的坐法共有A．36種 B．42種 C．48種 D．96種【答案】C【詳解】試題分析：共有6個(gè)空位，如果3人旁邊有三個(gè)位置時(shí)空位，那就是222的空位組合，共有種情況，當(dāng)3人旁邊有4個(gè)位置有空位，那空位組合就是1122的組合，采用插空法，共有種情況，所以不同的做法就是12+36=48種情況，故選C.【典例1-2】（·東城·）一個(gè)停車(chē)場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車(chē)位，現(xiàn)有2輛不同的車(chē)停進(jìn)這個(gè)停車(chē)場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車(chē)位空著，則不同的停車(chē)方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】分類(lèi)討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車(chē)位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車(chē)可以停進(jìn)4個(gè)停車(chē)場(chǎng)，由題意,若2輛不同的車(chē)相鄰,則有種方法若2輛不同的車(chē)不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車(chē)位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車(chē)方法共有：種，綜上,共有12種方法，所以B選項(xiàng)是正確的.【變式1-1】（22·23下·河北·）一條長(zhǎng)椅上有6個(gè)座位，3個(gè)人坐．要求3個(gè)空位中恰有2個(gè)空位相鄰，則坐法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．96【答案】C【分析】分兩個(gè)相鄰空位包括最左端或最右端時(shí)和不含最左端或最右端時(shí)，兩種情況求出坐法后相加即可.【詳解】先考慮相鄰的2個(gè)空位，當(dāng)兩個(gè)相鄰空位包括最左端或最右端時(shí)，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個(gè)人，有3種選擇，剩余的3個(gè)座位，安排2個(gè)人，有種選擇，則有種選擇，當(dāng)兩個(gè)相鄰空位不含最左端或最右端時(shí)，此時(shí)有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個(gè)人，有種選擇，最后一個(gè)人有2種選擇，則有種選擇，綜上：坐法的種數(shù)共有個(gè).故選：C【變式1-2】（·成都·階段練習(xí)）有6個(gè)座位連成一排，三人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把三個(gè)空位分成兩組，2個(gè)相鄰，1個(gè)單獨(dú)放置，利用插空法結(jié)合分步計(jì)數(shù)乘法原理求得符合條件的排法數(shù)，再求總排法數(shù)，根據(jù)古典概型可得結(jié)果.【詳解】第一步，把三個(gè)空位分成兩組，2個(gè)相鄰，1個(gè)單獨(dú)放置，3個(gè)人共有種排法，第二步，把兩組不同的空位插入3個(gè)人產(chǎn)生的4個(gè)空檔里，共有種排法，共有排法種，而所有排法為，所以所求概率為故答案為，故答案為:.【變式1-3】（19·20·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車(chē)場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車(chē)去停放，要求每輛車(chē)左右兩邊都有空車(chē)位且甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間的停放方式共有種.【答案】40【分析】根據(jù)題意，先將甲、乙、丙三輛不同的車(chē)排列，使得甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車(chē)位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車(chē)形成的四個(gè)空上，然后，求出不同的分組方法，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車(chē)排列，使得甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車(chē)位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車(chē)形成的四個(gè)空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有種.題型06基礎(chǔ)模型：多重受限條件型【解題攻略】相鄰不相鄰1.相鄰元素捆綁法，要注意捆綁在一起的元素，是否還需要排列2.不相鄰元素排列，一般是插空法，不相鄰者最后插孔排【典例1-1】現(xiàn)有2名學(xué)生代表2名教師代表和3名家長(zhǎng)代表合影，則同類(lèi)代表互不相鄰的排法共有___________種．【答案】【分析】設(shè)表示兩名學(xué)生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長(zhǎng)位置.第一步先排學(xué)生；第二步再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，分類(lèi)討論①②③種情況時(shí)教師和家長(zhǎng)的排法，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解．【詳解】由題意，設(shè)表示兩名學(xué)生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長(zhǎng)位置，第一步：先排學(xué)生有種方法；第二步：再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，對(duì)于①，教師有種排法，然后再將三名家長(zhǎng)排入五個(gè)空中，共有種方法；對(duì)于②，教師有種排法，然后家長(zhǎng)先在A與A之間和與之間各選一個(gè)家長(zhǎng)排入，剩余一個(gè)家長(zhǎng)插入剩余三個(gè)空中的一個(gè)空中，有種；對(duì)于③，教師有種排法，然后選一個(gè)家長(zhǎng)排在最中間一個(gè)空中，再將剩余兩個(gè)家長(zhǎng)排在剩余的四個(gè)空中，有種排法，綜上，共有．故答案為：912.【典例1-2】現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種【答案】67【分析】根據(jù)特殊元素特殊處理的原則，以丙進(jìn)行分類(lèi)，排完丙后，由甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，還要進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】因?yàn)楸?dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，以丙進(jìn)行分類(lèi)：第一類(lèi)，當(dāng)丙當(dāng)物理課代表時(shí)，丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，再根據(jù)甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當(dāng)英語(yǔ)和語(yǔ)文中的任一課，有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能當(dāng)英語(yǔ)課代表，乙只能當(dāng)語(yǔ)文課代表，戊當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，有種，共計(jì)種；第二類(lèi)，當(dāng)丙不當(dāng)物理課代表時(shí)，分四類(lèi)：①丙為語(yǔ)文課代表時(shí)，乙只能從英語(yǔ)、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種種，②丙為數(shù)學(xué)課代表時(shí)，甲只能從英語(yǔ)、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，③丙為英語(yǔ)課代表時(shí)，繼續(xù)分類(lèi)，甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表時(shí)，其他三位同學(xué)任意當(dāng)有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課,乙只能從語(yǔ)文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有種，共計(jì)種，④丙為化學(xué)課代表時(shí)，同③的選法一樣有種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，不同的選法共有種.故答案為：67.【變式1-1】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為）排成一排拍照，若其中三人互不相鄰，兩人也不相鄰，而兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】把排列，產(chǎn)生4個(gè)空位，然后將看作一個(gè)整體與插入到中可求解.【詳解】解：因兩人必須相鄰，所以把看作一個(gè)整體有種排法.又三人互不相鄰，兩人也不相鄰，所以把排列，有種排法，產(chǎn)生了4個(gè)空位，再用插空法.（1）當(dāng)分別插入到中間的兩個(gè)空位時(shí)，有種排法，再把整體插入到此時(shí)產(chǎn)生的6個(gè)空位中，有6種排法.（2）當(dāng)分別插入到中間的兩個(gè)空位其中一個(gè)和兩端空位其中一個(gè)時(shí)，有種排法，此時(shí)必須排在中間的兩個(gè)空位的另一個(gè)空位，有1種排法.所以共有.【變式1-2】某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個(gè)發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時(shí)丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論，若甲乙其中一人參加，有種情況，若甲乙兩人都參加，則丙不能參加，有種情況，其中甲乙相鄰的有種情況，則甲、乙兩人都發(fā)言順序不相鄰的概率為，故選C.【變式1-3】，亞非領(lǐng)導(dǎo)人會(huì)議在印尼雅加達(dá)舉行，某五國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人、、、，除與、與不單獨(dú)會(huì)晤外，其他領(lǐng)導(dǎo)人兩兩之間都要單獨(dú)會(huì)晤．現(xiàn)安排他們?cè)趦商斓纳衔?、下午單?dú)會(huì)晤（每人每個(gè)半天最多進(jìn)行一次會(huì)晤），那么安排他們單獨(dú)會(huì)晤的不同方法共有A．48種 B．36種 C．24種 D．8種【答案】A【分析】由題設(shè)可得他們的會(huì)晤方法有兩類(lèi)：第一類(lèi)是含，其會(huì)晤方法有是偶數(shù)，可分兩類(lèi)：一是取出的三個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，只能從中選取，共有種；第二類(lèi)取出的三個(gè)數(shù)是兩奇一偶，偶數(shù)從中選取，共有4種，兩個(gè)奇數(shù)從中選取，有，然后再全排，共有種；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得函數(shù)的個(gè)數(shù)為，應(yīng)選答案A題型07地圖染色型【解題攻略】染色問(wèn)題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒(méi)有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒(méi)有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開(kāi)始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化染色的地圖，還要從“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”來(lái)轉(zhuǎn)化以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)【典例1-1】如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求用5種顏色任意涂色的方法總數(shù)，再求恰好用完4種顏色涂色的方法總數(shù)，最后按照古典概型求概率即可.【詳解】若按要求用5種顏色任意涂色：先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇.則共有種方法.若恰只用其中4種顏色涂色：先在5種顏色中任選4種顏色，有種選擇.先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇.則共有種方法，故恰用4種顏色的概率是.故選：C.【典例1-2】網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時(shí)間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個(gè)塊涂色（圖中的1，2，3，4，5），有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有______種不同的涂色方案.【答案】252【分析】先給2涂色，再涂5，再涂3、4，這一步要分3與5同色和3和5不同色兩種情況，最后涂1，按分步計(jì)數(shù)乘法原理計(jì)算.【詳解】第一步：涂2，有4種顏色；第二步：涂5，有3種顏色第三步：涂3、4，當(dāng)3與5同色時(shí)，4有3種顏色；當(dāng)3和5不同色時(shí)，3有2種顏色，4有2種顏色，第三步共7種.第四步：涂1，有3種顏色.共計(jì)種.故答案為：252【變式1-1】如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【答案】A【分析】按照①②③④的順序，結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理即可得到結(jié)果.【詳解】首先對(duì)①進(jìn)行涂色，有5種方法，然后對(duì)②進(jìn)行涂色，有4種方法，然后對(duì)③進(jìn)行涂色，有3種方法，然后對(duì)④進(jìn)行涂色，有3種方法，由乘法計(jì)數(shù)原理可得涂色方法種數(shù)為種故選:A【變式1-2】．對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可計(jì)算出1號(hào)格子涂灰色的方案總數(shù)，再計(jì)算1號(hào)格子和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色的方案數(shù)，即可算出其概率.【詳解】由題意可知，整個(gè)事件需要分四步，按照格子標(biāo)號(hào)依次涂色即可；若在1號(hào)格子涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，同時(shí)3號(hào)格子也有3種選色方案，4號(hào)格子還剩2種選色方案，即1號(hào)格子涂灰色的方案總數(shù)為種；若1號(hào)格子和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，3號(hào)格子還有2種選色方案，即1號(hào)和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色的方案總數(shù)為種；所以，在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是.故選：A.【變式1-3】如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）種．A．12 B．36 C．48 D．72【答案】C【分析】根據(jù)使用顏色的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算即可.【詳解】如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，則涂法有種；如果用了全部4種顏色，則涂法有種；所以總共有種涂法.故選：C..題型08立體幾何型【解題攻略】立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧?，這是幾何體染色的一個(gè)小技巧所以注意這類(lèi)圖形之間的互相轉(zhuǎn)化【典例1-1】已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【分析】先將種產(chǎn)品分成三組，然后存放在三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求得安全存放的方法種數(shù).【詳解】設(shè)種產(chǎn)品分別為，畫(huà)出圖像如下圖所示，根據(jù)題意，安全的分組方法有，，，，共種，每一種分組方法安排到個(gè)倉(cāng)庫(kù)，有種方法，故總的方法種數(shù)有種，故選D.【典例1-2】用4種顏色給正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同的顏色，則符合條件的所有涂法共有A．24種 B．48種 C．64種 D．72種【答案】D【詳解】解法一：假設(shè)四種顏色為紅、黑、白、黃，先考慮三點(diǎn)的涂色方法，有種，若與不同色，則、點(diǎn)只有種涂色的方法，有種涂法；若與同色，則點(diǎn)有種涂色的方法，共種涂法，所以不同的涂法共有種．解法二：用種顏色涂色時(shí)，即與，與都同色，共有種涂色的方法，用種顏色時(shí)，有與，與中一組同色，有種情況，共有種，故共有種，故選D．【變式1-1】從正方體的頂點(diǎn)及其中心共9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_____．【答案】【分析】由正方體性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)求出所有共面的4個(gè)點(diǎn)的選法，而所有可能情況有種，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】如下圖，選正方體6個(gè)側(cè)面上的頂點(diǎn)，共有6種共面的情況；過(guò)中心的平面共有6個(gè)平面，每個(gè)平面含9個(gè)點(diǎn)中的5個(gè)，則共有種；所有可能情況有種，所以這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.故答案為：【變式1-2】給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．【答案】114【分析】先考慮兩種顏色的情況，易得有6種方法；再考慮三種顏色的情況，分同色、同色不同色，同色不同色，及不同色四種情況，對(duì)每個(gè)點(diǎn)的著色情況進(jìn)行考慮，最終可得答案.【詳解】如下圖所示的正方體，①用兩種顏色，和同色，則有種；②用三種顏色，若同色，則各有兩種選色方法，故共有種；若同色，與之不同色，注意又與不同色，故只有一種涂色，同理也只有一種涂色，而各有兩種涂色方法，故共有種；若同色，與之不同色，同理，共有種；注意到顏色互不相同是不可能事件，否則無(wú)色可涂，故同色的情況討論完畢.若不同色，則各只有一種涂色方法，另外要么與同色，要么與同色，否則無(wú)色可涂，若與同色，則有兩種涂色，一種是與同色，則有兩種涂色方法，只有一種涂色方法，共有種，一種是與不同色，則必與同色，否則無(wú)色可涂，此時(shí)，都只有一種涂色方法，共有種；若與同色，與上述討論的情況等價(jià)，同理可得共有種；至此，所有情況討論完畢，故共有種.故答案為：114..【變式1-3】.以平行六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計(jì)算能構(gòu)成多少個(gè)三角形，再將共面的情況剔除，即通過(guò)對(duì)立事件就可以計(jì)算不共面的概率．【詳解】解：平行六面體有個(gè)頂點(diǎn)，任意取構(gòu)成的三角形個(gè)數(shù)為，即從56個(gè)三角形中任取兩個(gè)三角形，現(xiàn)共面的情況為表面?zhèn)€面與個(gè)對(duì)角面，每個(gè)面構(gòu)成個(gè)三角形，設(shè)任取兩個(gè)三角形不共面為事件“”，，故選：A．.題型09醫(yī)生、護(hù)士等平均分配型【解題攻略】平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘【典例1-1】（2022下·四川成都·高三成都七中校考開(kāi)學(xué)考試）某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護(hù)士緊急前往三個(gè)小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測(cè).要求每個(gè)小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士.問(wèn)共有多少種分配方案？（

）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【答案】B【分析】分三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，依據(jù)先分組再分配原則解決“至少”問(wèn)題.【詳解】每個(gè)小區(qū)至少一名護(hù)士，則把護(hù)士分為3組，共有3種情況：1,1,4；1,2,3；2,2,2把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,1,4，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,2,3，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為2,2,2，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為綜上，分配方案總數(shù)為故選：B【典例1-2】（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，分別計(jì)算每種放球方法種數(shù)，再利用分類(lèi)相加計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛蛩?個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有種.各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【變式1-1】（2022下·山西晉中·高三?？迹┠掣咝４笠恍律械?名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為A．4680 B．4770 C．5040 D．5200【答案】C【詳解】若有人參加“演講團(tuán)”，則從人選人參加該社團(tuán)，其余人去剩下個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有種情況：和，故人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為，若無(wú)人參加“演講團(tuán)”，則人參加剩下個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有種情況：和，故無(wú)人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為，故滿足條件的方法數(shù)為，故選C.【變式1-2】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先將紅球從數(shù)量分成，兩種類(lèi)型的分組，在分兩類(lèi)研究以上不同形式下紅球放入三個(gè)不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)，將兩類(lèi)情況的方法總數(shù)相加即可.【詳解】將個(gè)紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個(gè)最少個(gè)，則有，兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有種放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.綜上所述：將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.【變式1-3】（2024全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分組分配問(wèn)題，結(jié)合排列組合，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個(gè)人，所以不同的分配方案有.故選：D題型10走樓梯模型【解題攻略】走樓梯模型，可以轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化”模型：一步一階設(shè)為數(shù)字1，一步兩階設(shè)為數(shù)字2，一步n階，記為數(shù)字n，則把嗎、階臺(tái)階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。要注意數(shù)字的奇偶時(shí)是否能取到【典例1-1】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算可得.【詳解】10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，則4步是上一級(jí)，三步是上兩級(jí)，共種走法，若第二步走兩級(jí)臺(tái)階，則其余6步中有兩步是上兩級(jí)，共，所以第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為.故選：C【典例1-2】（2023下·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)樓梯共有11級(jí)臺(tái)階，甲同學(xué)正好站在第11級(jí)臺(tái)階上，現(xiàn)在他每步可邁1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)臺(tái)階，甲從第11級(jí)臺(tái)階走到第6級(jí)臺(tái)階（只能向前走），一共有多少種不同的走法？（

）A．11種 B．12種 C．13種 D．14種【答案】C【分析】根據(jù)邁步的級(jí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)求解，然后利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的計(jì)算公式即可求解.【詳解】從10級(jí)臺(tái)階至6級(jí)臺(tái)階分別用至表示，表示甲走到第級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有可能不同的走法，則①?gòu)牡?1級(jí)臺(tái)階邁步到第10級(jí)臺(tái)階需要1步，即當(dāng)時(shí)，；②從第11級(jí)臺(tái)階邁步到第9級(jí)臺(tái)階可以一步一級(jí)跨，也可以一步跨2級(jí)臺(tái)階，即當(dāng)時(shí)，；③從第11級(jí)臺(tái)階邁步到第8級(jí)臺(tái)階可以一步一級(jí)跨，也可以一步跨3級(jí)臺(tái)階，還可以第一步跨1級(jí)臺(tái)階，第二步跨2級(jí)或第一步跨2級(jí)，第二步跨1級(jí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，分三種情況討論，如果第一步跨一級(jí)臺(tái)階，那么還剩下三級(jí)臺(tái)階，由③可知有（種）跨法.如果第一步跨二級(jí)臺(tái)階，那么還剩下二級(jí)臺(tái)階，由②可知有（種）跨法.如果第一步跨三級(jí)臺(tái)階，那么還剩下一級(jí)臺(tái)階，由①可知有（種）跨法.根據(jù)加法原理，有，類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，甲只能從2，3，4跨到5，則，故選：C.【變式1-1】（2021·高三單元測(cè)試）某人在上樓梯時(shí)，一步上一個(gè)臺(tái)階或兩個(gè)臺(tái)階，設(shè)他從平地上到第一級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（1）種走法，從平地上到第二級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（2）種走法……則他從平地上到第n級(jí)(n≥3)臺(tái)階時(shí)的走法f(n)等于（

）A．f(n-1)+1 B．f(n-2)+2C．f(n-2)+1 D．f(n-1)+f(n-2)【答案】D【分析】確定他如何到達(dá)第級(jí)臺(tái)階即可：有兩種走法，在第級(jí)臺(tái)階跨兩步到達(dá)，或者在第級(jí)臺(tái)階跨一步到達(dá)，由此可得所求關(guān)系式．【詳解】解：要到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階有兩種走法：（1）在第n-2級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)；（2）在第n-1級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)．因此有．故選：D【變式1-2】有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：【變式1-3】某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【答案】C【解析】由題意可知，10級(jí)樓梯要8步走完，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，所以此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從8步中選2步即為答案.【詳解】由題意，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，只需確定這8步中，哪2步是一步上兩級(jí)即得答案為，故選：C.題型11擋板法模型【解題攻略】擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等【典例1-1】（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考）將20個(gè)無(wú)任何區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有（

）A．90種 B．120種 C．160種 D．190種【答案】B【分析】應(yīng)用“隔板法”求解即可.【詳解】先在編號(hào)為2，3的盒子內(nèi)分別放入1個(gè)，2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，則三個(gè)盒子內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)球，將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個(gè)盒子中，不同的放法共有（種）.故選：B.【典例1-2（2023上·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（

）A．124 B．246 C．114 D．108【答案】C【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計(jì)算.【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，不妨設(shè)甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用間接法計(jì)算，有種不同安排方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.故選：C【變式1-1】（2023下·安徽合肥·高三合肥市第五中學(xué)?？迹?個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．840 B．35 C．20 D．15【答案】C【分析】利用“隔板法”即可得解．【詳解】將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，因?yàn)槊總€(gè)盒子都有球，所以每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開(kāi)，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為20．故選：C．【變式1-2】（2022上·高三課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽參賽名額分給五個(gè)班，其中一、二班每班至少3個(gè)名額，三、四、五班每班至少2個(gè)名額，則名額分配方式共有（）A．15種 B．35種 C．70種 D．125種【答案】B【分析】利用隔板法求解.【詳解】根據(jù)題意，先將15個(gè)名額分配給一班、二班每班2個(gè)，三、四、五班每班1個(gè)，還剩下8個(gè)名額，將剩下的8個(gè)名額進(jìn)行分組，每組至少一人，利用“隔板法”求解，8個(gè)有7個(gè)間隔，要分成組，7個(gè)間隔選4個(gè)即可，則有種分配方法.故選：.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第個(gè)盒子中至少有個(gè)球（），則不同放法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】先在第個(gè)盒里放入個(gè)球，，即第1個(gè)盒里放1個(gè)球，第2個(gè)盒里放2個(gè)球，…，這時(shí)共放了個(gè)球，還余下個(gè)球．故轉(zhuǎn)化為把1940個(gè)球任意放入10個(gè)盒子里（允許有的盒子里不放球）．把這1940個(gè)球用9塊隔板隔開(kāi)，每一種隔法就是一種球的放法，1940個(gè)球連同9塊隔板共占有1949個(gè)位置，相當(dāng)于從1949個(gè)位置中選9個(gè)位置放隔板，有種放法．選D．題型12相同元素型【典例1-1】學(xué)校決定把12個(gè)參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分得的名額不比班級(jí)序號(hào)少；即二(1)班至少1個(gè)名額,二(2)班至少2個(gè)名額，……，則分配方案有()A．10種 B．6種 C．165種 D．495種【答案】A【詳解】根據(jù)題意，先在編號(hào)為2、3、4的3個(gè)班級(jí)中分別分配1、2、3個(gè)名額，編號(hào)為1的班級(jí)里不分配；再將剩下的6個(gè)名額分配4個(gè)班級(jí)里，每個(gè)班級(jí)里至少一個(gè)，分析可得，共種放法，即可得符合題目要求的放法共10種，故答案為A【典例1-2】記為一個(gè)位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，．若對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】由題意，對(duì)于“位重復(fù)數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個(gè)數(shù)位上也是相同的數(shù)字.“四位重復(fù)數(shù)”分兩種情況分別計(jì)數(shù)即可，即“四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同”“兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個(gè)數(shù)位上同為另外一個(gè)數(shù)字”.【詳解】由題意，對(duì)于“位重復(fù)數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個(gè)數(shù)位上也是相同的數(shù)字.所以“四位重復(fù)數(shù)”包含兩種情況.(1)四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，有共個(gè).(2)兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個(gè)數(shù)位上同為另外一個(gè)數(shù)字.若千位、百位相同(不能為)，十位、個(gè)位相同，故有個(gè).同理，若千位、十位相同(不能為)，百位、個(gè)位相同，也有個(gè).若千位、個(gè)位相同(不能為)，百位、十位相同，也有個(gè).綜上，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故選B.【變式1-1】．已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為_(kāi)_____.【答案】【分析】恰好取6次卡片時(shí)停止，說(shuō)明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼.分兩類(lèi)，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1.每類(lèi)中可以分步完成，先確定三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)順序有種，再分別確定這三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)的位置(注意平均分組問(wèn)題)，最后讓第四種顏色出現(xiàn)有一種方法,相乘可得，最后根據(jù)古典概型求概率即可.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，進(jìn)行6次一共有種不同的取法.恰好取6次卡片時(shí)停止，說(shuō)明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1,三種號(hào)碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時(shí)停止的取法有種，三種號(hào)碼分別出現(xiàn)2，2，1且6次時(shí)停止的取法有種，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知恰好取6次卡片時(shí)停止，共有種取法，所以恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為:，故答案為：【變式1-2】甲?乙?丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個(gè)位置中的3個(gè)，因疫情防控的需要（這一排沒(méi)有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（

）A．120種 B．80種 C．64種 D．20種【答案】A【分析】根據(jù)題意，先排7個(gè)空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個(gè)空檔，將3人連同座一起安排在空檔上，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，一并排座位有10個(gè)，3人就坐，有7個(gè)空座位，將7個(gè)空座位排成一排，中間有6個(gè)空檔，將3人連同座位一起安排空檔上，有種安排方法，故答案為：A.【變式1-3】電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，且每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為（

）A．120 B．80 C．64 D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意，先排好7個(gè)空座位，注意空座位是相同的，其中6個(gè)空位符合條件，將3人插入6個(gè)空位中，再對(duì)甲、乙、丙三個(gè)人進(jìn)行排列，最后用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】解：除甲、乙、丙三人的座位外，還有7個(gè)座位，它們之間共可形成六個(gè)空，三人從6個(gè)空中選三位置坐上去有種坐法，而甲、乙、丙三個(gè)人進(jìn)行排列，有種坐法，所以每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為：.故選：A.題型13不定方程模型【典例1-1】（2023上·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，記為，，中的最大值，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隔板法得到的解有組，然后列舉得到有6組解，最后求概率即可.【詳解】根據(jù)隔板法，將10看做10和完全相同的小球排成一排，中間形成9個(gè)空，放入兩個(gè)隔板，可求得的解有組，時(shí)，或或或或或，所以.故選：A.【典例1-2】（2023下·江蘇常州·高三校聯(lián)考）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)(所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為（

）A．35 B．36 C．84 D．21【答案】A【分析】首先求平面的一個(gè)法向量，并根據(jù)法向量確定三棱錐內(nèi)部的點(diǎn)滿足的條件，并結(jié)合隔板法，求方法種數(shù).【詳解】由條件可知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，故，設(shè)是平面上的點(diǎn)，則，故，則，不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)為，則，且，，，則若時(shí)，則在平面上，若，則在三棱錐的外部，所以，當(dāng)，且時(shí)，將寫(xiě)成個(gè)1排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，所有整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：A【變式1-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用空間向量法求得面的一個(gè)法向量為，從而求得面上的點(diǎn)滿足，進(jìn)而得到棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿足，再利用隔板法與組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，因?yàn)椋?，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)是面上的點(diǎn)，則，故，則，不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為，則，故，則，易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，所以，當(dāng)且時(shí)，將寫(xiě)成個(gè)排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，因?yàn)椋?故選：B.【變式1-2】（2018·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．231【答案】D【分析】根據(jù)隔板法可求方程不同的整數(shù)解的個(gè)數(shù).【詳解】先考慮的有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)，由引理可得該個(gè)數(shù)為.若有一個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，若有兩個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，若全為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè)，故共有不同組數(shù)231.故選：D.【變式1-3】（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．5151【答案】A【分析】利用隔板法，然后排除有兩個(gè)數(shù)相同的結(jié)果，再結(jié)合集合元素的無(wú)序性可得.【詳解】將100個(gè)小球排成一列，在101個(gè)空位（包括兩段的空位）中插入第一個(gè)擋板，再在產(chǎn)生的102個(gè)空位中插入第二個(gè)擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個(gè)數(shù)為a、b、c，共有種結(jié)果，因?yàn)椋詀、b、c中含有兩個(gè)0,1,2，…，50各有3種結(jié)果，所以a、b、c三個(gè)數(shù)各不相等的結(jié)果共有個(gè)因?yàn)槿齻€(gè)元素的每種取值有6種不同順序，所以，由集合元素的無(wú)序性可知符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A題型14球放盒子型：公交車(chē)模型【典例1-1】某奧運(yùn)村有，，三個(gè)運(yùn)動(dòng)員生活區(qū)，其中區(qū)住有人，區(qū)住有人，區(qū)住有人已知三個(gè)區(qū)在一條直線上，位置如圖所示奧運(yùn)村公交車(chē)擬在此間設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)路程總和最小，那么?？奎c(diǎn)位置應(yīng)在（

）A．區(qū) B．區(qū) C．區(qū) D．，兩區(qū)之間【答案】A【分析】分類(lèi)討論，分別研究?？奎c(diǎn)為區(qū)、區(qū)、區(qū)和，兩區(qū)之間時(shí)的總路程，即可得出答案．【詳解】若?？奎c(diǎn)為區(qū)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)的路程和為：米；若?？奎c(diǎn)為區(qū)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員步行到停靠點(diǎn)的路程和為：米；若?？奎c(diǎn)為區(qū)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)的路程和為：米；若?？奎c(diǎn)為區(qū)和區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離區(qū)為米，所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)的路程和為：，當(dāng)取最小值，故?？奎c(diǎn)為區(qū)．故選：A【典例1-2】通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站，經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市，全線正線運(yùn)營(yíng)長(zhǎng)度，其中新建線路長(zhǎng)度，是《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中“八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分，是長(zhǎng)江三角洲城市群的重要城際通道，沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等10座車(chē)站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時(shí)上車(chē)，在沿途剩余9站中隨機(jī)下車(chē)，兩人互不影響，則甲、乙兩人在同一站下車(chē)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲、乙兩人下車(chē)包含的基本事件個(gè)數(shù)為，甲、乙兩人在同一車(chē)站下車(chē)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此算出甲、乙兩人在同一站下車(chē)的概率.【詳解】解：甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時(shí)上車(chē)，沿途經(jīng)過(guò)剩余9個(gè)車(chē)站，甲、乙兩人隨機(jī)下車(chē)，互不影響，故甲、乙兩人下車(chē)包含的基本事件個(gè)數(shù)為：設(shè)“甲、乙兩人在同一車(chē)站下車(chē)為事件M”，則事件M包含的基本事件個(gè)數(shù)為：.故選：D.【變式1-1】車(chē)上有6名乘客，沿途有3個(gè)車(chē)站，每名乘客可任選1個(gè)車(chē)站下車(chē)，則乘客不同的下車(chē)方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用每名乘客都有3種下車(chē)方式，總共有6名乘客，相乘直接計(jì)算得到答案【詳解】根據(jù)題意，汽車(chē)上有6名乘客，沿途有3個(gè)車(chē)站，每名乘客可以在任意一個(gè)車(chē)站下車(chē)，即每名乘客都有3種下車(chē)方式，則6名乘客有種可能的下車(chē)方式．故選：B【變式1-2】長(zhǎng)春54路有軌電車(chē)建成于上個(gè)世紀(jì)30年代，大概是現(xiàn)存最美的電車(chē)路線了，見(jiàn)證著這座城市的歷史與發(fā)展.學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)在長(zhǎng)影站上了開(kāi)往西安大路方向的電車(chē)，甲將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車(chē)，乙將在景陽(yáng)大路站之前任何一站下車(chē)，他們都至少坐一站再下車(chē)，則甲比乙后下車(chē)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出甲、乙下車(chē)的情況共有種可能，再求出甲比乙后下車(chē)共有15種可能，最后利用幾何概型公式求解即可.【詳解】甲將在長(zhǎng)影站上車(chē)，將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車(chē),可能在6個(gè)站下車(chē)，乙在長(zhǎng)影站上車(chē)，將在景陽(yáng)大路站之前任何一站下車(chē)，可能在9個(gè)站下車(chē)，則甲、乙下車(chē)的情況共有種可能；他們都至少坐一站再下車(chē)，若乙在湖西路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有5種可能，若乙在長(zhǎng)久路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有4種可能，若乙在寬平大路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有3種可能，若乙在寬平大橋先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有2種可能，若乙在迎春路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有1種可能，則甲比乙后下車(chē)共有15種可能，故他們都至少坐一站再下車(chē)，則甲比乙后下車(chē)的概率為.故選：.【變式1-3】某公交車(chē)上有6位乘客，沿途4個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的可能方式有（

）A．64種 B．46種 C．24種 D．360種【答案】B【分析】對(duì)于每一位乘客都有4種下車(chē)可能，即可求6位乘客的可能下車(chē)情況數(shù).【詳解】由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車(chē)的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46種，故選：B．題型15球放盒子型：電梯模型【典例1-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考）有一座6層大樓，3人從大樓第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型，根據(jù)這人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為的情況進(jìn)行分類(lèi)求解.【詳解】假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的,則基本事件的總數(shù)，這人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為有4種情況：①三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，②三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，③三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，④三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，所以這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是.故選：B.【典例1-2】（2020上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類(lèi)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先把6人按分面四組，然后選擇4個(gè)樓層讓這四組的人分別下去即可得．【詳解】由題意所有種類(lèi)數(shù)為．故選：C．【變式1-1】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中?？迹┯?個(gè)人在一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人從第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型的概率公式與對(duì)立事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意得，由于每一個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層電梯是等可能的，故兩人離開(kāi)電梯的所有可能情況有種，而兩人在同一層電梯的可能情況有，所以?xún)扇嗽谕粚与x開(kāi)電梯的概率為，所以?xún)扇嗽诓煌瑢与x開(kāi)電梯的概率為，故選：B.【變式1-2】（2020·四川達(dá)州·統(tǒng)考三模）有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合分步乘法、排列組合的知識(shí)可得所有基本情況數(shù)及滿足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同情況；恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同情況；故所求概率.故選：C.【變式1-3】（2020·廣東珠?！そy(tǒng)考三模）甲、乙、丙人從樓乘電梯去商場(chǎng)的到樓，每層樓最多下人，則下電梯的方法有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】分兩種情況討論：①每個(gè)樓層下人；②人中有人從一個(gè)樓層下，另人從其它樓層選一個(gè)樓層下，利用排列組合思想結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分兩種情況討論：①每個(gè)樓層下人，則人下電梯的方法種數(shù)為；②人中有人從一個(gè)樓層下，另人從其它樓層選一個(gè)樓層下，此時(shí)，人下電梯的方法種數(shù)為.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，人下電梯的方法種數(shù)為種.故選：D.題型16球放盒子型：【解題攻略】球放盒子，要考慮以下情況是否存在：類(lèi)型一：球不同，盒子不同（主要的）類(lèi)型二：球相同，盒子不同方法技巧：不受限制，則指數(shù)冪形式，受限制，則“先分組再排列”【典例1-1】已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，分別計(jì)算每種放球方法種數(shù)，再利用分類(lèi)相加計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛蛩?個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有種.各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放入A，B，C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為（

）A．30 B．24 C．48 D．72【答案】A【詳解】分析：由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C42，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A33種結(jié)果，而①②好小球放在同一個(gè)盒子里有A33種結(jié)果，用所有的排列數(shù)減去不合題意的，得到結(jié)果．詳由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C42，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A33種結(jié)果，而①②好小球放在同一個(gè)盒子里有A33=6種結(jié)果，∴編號(hào)為①②的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是C42A33-6=30，故選A．【變式1-1】（2018下·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？迹⒕幪?hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球放入A,B,C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為（

）A．30 B．24 C．48 D．72【答案】A【分析】由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，求所有的排列數(shù)，再減去1、2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有種，得到結(jié)果．【詳解】由題意知：4個(gè)小球選出2個(gè)放在一個(gè)盒子里，種數(shù)是，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有種結(jié)果，而1、2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有種結(jié)果，∴編號(hào)為1，2的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是.故選：A【變式1-2】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將4個(gè)小球分成三組，一組2個(gè)球，另外兩組分別為1個(gè)球，然后將三組球分配到個(gè)不同的盒子，有種放法，而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有種放法，利用間接法即可求解.【詳解】解：由題意，將4個(gè)小球分成三組，一組2個(gè)球，另外兩組分別為1個(gè)球，有種分組方法，再將三組球分配到個(gè)不同的盒子，有種分法，所以將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有種放法，而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有種放法，所以紅球和藍(lán)球不能放到同一個(gè)盒子里的不同放法種數(shù)為，故選：C.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將編號(hào)的小球放入編號(hào)為盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號(hào)不能相同，則不同的放球方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【詳解】由題意可知，這四個(gè)小球有兩個(gè)小球放在一個(gè)盒子中，當(dāng)四個(gè)小球分組為如下情況時(shí)，放球方法有：當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；因此，不同的放球方法有種，故選C題型17配對(duì)模型【典例1-1】（2022上·浙江杭州·高三統(tǒng)考）柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用列舉法列出所有可能情況，再找出符合題意的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的情況有種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事件有6種，即，，，，，，故選：C【典例1-2】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）從5對(duì)夫妻中任選4人，這4人恰好是2對(duì)夫妻的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出所有的基本事件，再求出恰好是2對(duì)夫妻的基本事件，可得概率.【詳解】從5對(duì)夫妻中任選4人，則不同的選法有種，這4人恰好是2對(duì)夫妻的選法有種，故所求概率為．故選：C.【變式1-1】.新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法：第一步A送錯(cuò)有4種可能，然后第二步是關(guān)鍵，考慮A送錯(cuò)的地方對(duì)應(yīng)的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯(cuò)位置分兩類(lèi)，一類(lèi)是送到甲，一類(lèi)是送其他三個(gè)地方，再對(duì)剩下的3個(gè)快遞分別考慮即可完成．【詳解】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯(cuò)有4種方法，第二步考慮所送位置對(duì)應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對(duì)分類(lèi)，第一類(lèi)送到甲地，則剩下要均送錯(cuò)有2種可能（丁戊乙，戊乙丁），第二類(lèi)送到乙丁戊中的一個(gè)地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯(cuò)有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【變式1-2】（2021下·浙江金華·高三校聯(lián)考）現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件總數(shù)，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出取出的鞋都是左腳的概率．【詳解】解：現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，基本事件總數(shù)，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)，則取出的鞋都是左腳的概率是．故選：．【變式1-3】（2021上·河南·高三校聯(lián)考）從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】任意兩只都不成雙，說(shuō)明3只鞋子是從3雙鞋子中各取1只得到的，這樣計(jì)數(shù)后可計(jì)算出概率．【詳解】從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只的方法為，這3只鞋子中任意兩只都不成雙，選取的方法為，所以所求概率為．故選：C題型18機(jī)器人跳棋模型【典例1-1】（2024上·河南漯河·高三統(tǒng)考）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【分析】設(shè)出事件，分兩種情況，結(jié)合排列知識(shí)進(jìn)行求解，