專題8-1排列組合歸類（解析版）

專題8-1排列組合歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01基礎模型：人與座位 1題型02基礎模型：先分組后排列 3題型03基礎模型：保序型 4題型04基礎模型：數(shù)字化法 5題型05基礎模型：空車位等相同元素型 8題型06基礎模型：多重受限條件型 10題型07地圖染色型 11題型08立體幾何型 14題型09醫(yī)生、護士等平均分配型 16題型10走樓梯模型 18題型11擋板法模型 20題型12相同元素型 21題型13不定方程模型 22題型14球放盒子型：公交車模型 24題型15球放盒子型：電梯模型 26題型16球放盒子型： 27題型17配對模型 29題型18機器人跳棋模型 30高考練場 32題型01基礎模型：人與座位【解題攻略】模型：人坐座位特征：一人一位；2有順序；座位可能空；人是否都來；要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列難題特征：相鄰：捆綁法捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）不相鄰：插空法限制條件較多。特多的限制條件，稱為“多重限制型題”，屬于超難題【典例1-1】（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于年月在北京召開，某記者與參會的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.【答案】【分析】先考慮代表甲與代表乙相鄰，利用捆綁法求出排法種數(shù)；然后考慮記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，求出此時的排法種數(shù).再利用間接法可求得結果.【詳解】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進行排序，共有種不同的排法，若記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進行排序，此時不同的站法種數(shù)為種，因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.故答案為：.【典例1-2】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個敬老院做義工，每個敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】18【分析】先把小王、小李視為1組，再把剩下的3人分成2組，把這3組全排列即可.【詳解】把小王、小李視為1組，剩下的3個人先分成2組，分組的方式是：1，2；則有，把這3組人再分配給3個敬老院，則.故答案為：18【變式1-1】（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中?？迹┈F(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相鄰，共有種排法．【答案】288【分析】利用分步乘法計數(shù)原理，結合相鄰問題、不相鄰問題及特殊元素站位列式計算即得.【詳解】先把乙丙捆綁在一起與除甲丁戊外的另兩人作全排列，并把乙丙排列，有種，再把丁戊插入前面排列形成的4個空隙（除乙丙間的外）中，有種，最后讓甲站首末兩位之一有種，由分步乘法計數(shù)原理得不同排法種數(shù)是.故答案為：288【變式1-2】（2024上·河南南陽·高三校聯(lián)考）某觀光旅游團計劃在春節(jié)期間，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六個小鎮(zhèn)游覽，每個小鎮(zhèn)游覽一天，連續(xù)游覽六天.若小鎮(zhèn)甲不排在首末兩天，乙、丙、丁三個小鎮(zhèn)排在相鄰的三天，則不同的游覽順序方案共有種.【答案】72【分析】現(xiàn)將乙、丙、丁三個小鎮(zhèn)捆綁，然后從中間2個位置選出一個安排甲小鎮(zhèn)，剩余全排列.求出各步的方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，相乘即可得出答案.【詳解】分步：第一步，把乙、丙、丁三個小鎮(zhèn)捆綁，看成一個元素，三個小鎮(zhèn)的游覽順序有種方案；第二步，將該整體與其他三個小鎮(zhèn)作為4個元素，依次對應4個游覽位置進行安排，中間2個位置選一個作為小鎮(zhèn)甲的游覽有種方案；第三步，剩余三個元素進行全排有種方案.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的游覽順序方案共有種.故答案為：72.【變式1-3】（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習）某中學為慶祝建校130周年，高三年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學成果展”活動，活動結束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有種(用數(shù)字作答)．【答案】24【分析】應用捆綁、插空法，結合分步計數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，排完后其中有3個空，最后將甲、乙插入其中的兩個空有種，綜上，共有種排法.故答案為：題型02基礎模型：先分組后排列【解題攻略】先分組后排列模型：又稱“球放盒子”基礎型：冪指數(shù)型如四個不同的球放三個不同的盒子，有多少種方法？特征：1.先分組再排列（盡量遵循這個，否則容易出現(xiàn)重復）2.分組時候要注意是否存在“平均分配”的情況【典例1-1】某校有5名大學生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學生且至多2名學生前往，則甲同學不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.【詳解】將5名大學生分為1-2-2三組，即第一組1個人，第二組2個人，第三組2個人，共有種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由種方法；按照分步乘法原理，共有種方法；故選：C.【典例1-2】某地一重點高中為讓學生提高遵守交通的意識，每天都派出多名學生參加與交通相關的各類活動.現(xiàn)有包括甲、乙兩人在內(nèi)的6名中學生，自愿參加交通志愿者的服務工作這6名中學生中2人被分配到學校附近路口執(zhí)勤，2人被分配到醫(yī)院附近路口執(zhí)勤，2人被分配到中心市場附近路口執(zhí)勤，如果分配去向是隨機的，則甲、乙兩人被分配到同一路口的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合排列、組合求得把6名同學平均分配到三個不同的路口分配種數(shù)，再求得甲、乙兩人被分配到同一路口種數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，把6名同學平均分配到三個不同的路口，共有種分配方案，其中甲、乙兩人被分配到同一路口有種可能，所以甲、乙兩人被分配到同一路口的概率為.故選：A.【變式1-1】從人中選派人承擔甲，乙，丙三項工作，每項工作至少有一人承擔，則不同的選派方法的個數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【解析】先從6人中選派4人，再將選取的4人分成三組，分別從事甲、乙、丙三項工作，進而可得不同的選派方法的種數(shù).【詳解】先從6人中選派4人，共有種方法，再將選取的4個人分成三組共有種方法，再將三組分配從事甲、乙、丙三項工作共有種方法，所以不同的選派方法共有種，故選B.【變式1-2】4名學生參加3個興趣小組活動，每人參加一個或兩個小組，那么3個興趣小組都恰有2人參加的不同的分組共有_________種.【答案】90【分析】由題意得4名學生中，恰有2名學生參加2個興趣小組，，其余2名學生參加一個興趣小組，然后分情況討論可得參加的不同的分組的種數(shù).【詳解】由題意得4名學生中，恰有2名學生參加2個興趣小組，，其余2名學生參加一個興趣小組，首先4名學生中抽出參加2個興趣小組的學生共有種.下面對參加興趣小組的情況進行討論：參加兩個興趣小組的同學參加的興趣小組完全相同，共種；2、參加兩個興趣小組的同學參加的興趣小組有一個相同，共種.故共有種.即答案為90.【變式1-3】.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有A，B，C三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū)去服務．則甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出4名志愿者到三個小區(qū)服務的基本事件種數(shù)，再求出甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務的事件所含基本事件數(shù)即可求解作答.【詳解】依題意，4名志愿者到三個小區(qū)服務的試驗的基本事件有種，它們等可能，甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務，甲、乙各有2種選法，丙、丁各有3種選法，甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務的事件含有的基本事件有種，所以甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務的概率.故選：B題型03基礎模型：保序型【解題攻略】基礎模型：保序型，又稱為“書架插書”模型書架插書法：、書架上原有書的順序不變；（2）、新書要一本一本插；（3）、也可以把有順序的“書”最后放，先放沒順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）【典例1-1】從“”（我愛實驗）中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種【答案】C【分析】從另外5個字母中任意取4個字母，再把“sy”看成一個整體和選出的4個字母全排列，列式計算即得解.【詳解】從另外5個字母中任意取4個字母，有種取法；再把“sy”看成一個整體和選出的4個字母全排列，共有種排法，所以一共有種.故選：C【典例1-2】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【分析】由已知，根據(jù)題意可使用插空法，將2個新節(jié)目有順序插入5個節(jié)目形成的6個空中，直接列式求解即可.【詳解】因為增加了兩個新節(jié)目．將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，所以原來5個節(jié)目形成6個空，新增的2個節(jié)目插入到6個空中，共有種插法.故選：D.【變式1-1】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【分析】依據(jù)分步計數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).【詳解】將新買的3本書逐一插進去：第1本書插入5本書形成的6個空隙中的1個，有6種插法；第2本書插入6本書形成的7個空隙中的1個，有7種插法；最后1本書插入7本書形成的8個空隙中的1個，有8種插法.由分步乘法計數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.故選：C【變式1-2】10名同學進行隊列訓練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先從7個人中選2人調(diào)整到前排，再把兩個人在5個位子中選2個進行排列即可求解.【詳解】先從7個人中選2人調(diào)整到前排有種，調(diào)整后前排有5個人，再把兩個人在5個位子中選2個進行排列，原來的3人按照原順序站在剩下的3個位子，有種，按照乘法計數(shù)原理可得總共有種.故選：B.【變式1-3】班會課上原定有3位同學依次發(fā)言，現(xiàn)臨時加入甲，乙2位同學也發(fā)言，若保持原來3位同學發(fā)言的相對順序不變，且甲，乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)題意可知在原來三位同學的發(fā)言順序一定時，他們之間會形成個空位，插入甲，乙2位同學，由此即可求出結果.【詳解】在原來三位同學的發(fā)言順序一定時，他們之間會形成個空位，插入甲，乙2位同學有種.故選：B..題型04基礎模型：數(shù)字化法【解題攻略】數(shù)字化法：標記元素為數(shù)字或字母，重新組合。特別適用于“相同元素”【典例1-1】.2021年高考結束后小明與小華兩位同學計劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)起點走向終點所需要向上、向右走的總步數(shù)，并確定向上或向右各走的步數(shù)，則最短路徑的走法有，再利用古典概率及條件概率求法，求小明到F處和小華會合一起到老年公寓的概率、小明經(jīng)過F且從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移動，對于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為條，錯誤；對于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為條，正確；對于③，小明到的最短路徑走法有條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，所以到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為，正確；對于④，由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，所以，錯誤.故說法正確的個數(shù)是2.故選：B.【典例1-2】．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N?M處為止，則下列說法錯誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過到達N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達N處的方法有20種【答案】B【分析】分別計算兩人經(jīng)過的走法種數(shù)，由排列組合與古典概型對選項逐一判斷【詳解】對于甲，經(jīng)過到達有1種，經(jīng)過到達有種，經(jīng)過到達有種，經(jīng)過到達有1種，甲從M到達N處的方法共有20種，同理對于乙，經(jīng)過到達分別有種．對于A，甲從M必須經(jīng)過到達N處的方法有9種，A正確，對于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯誤，對于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，對于D，甲從M到達N處的方法共有20種，D正確故選：B【變式1-1】如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個數(shù)字的移動路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】分類分步排列即可.【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，故選：B.【變式1-2】夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在處，學校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】先求出由到的最短路徑的條數(shù)，然后求出由到且經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，最后相減即可.【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過的最短路徑有.故選：D.【變式1-3】如圖，小明從街道的處出發(fā)，選擇最短路徑到達處參加志愿者活動，在小明從處到達處的過程中，途徑處的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用組合數(shù)與分步乘法計數(shù)原理，計算出從處出發(fā)到達處的最短路徑數(shù)，并計算出小明從處到達處的過程中，途徑處的最短路徑數(shù)，然后利用古典概型的概率公式，即可得到結果.【詳解】解：由題意，小明從處出發(fā)到達處，最短需要走四橫三縱共七段路，共有條不同的路；小明從處到處，最短需要走兩橫兩縱共四段路，共有條不同的路，從處到處，最短需要走兩橫一縱共三段路，共有條不同的路.所以小明從處到達處的過程中，途徑處的概率.故選：.題型05基礎模型：空車位等相同元素型【解題攻略】空座位型，1.單獨空座位，可以看成相同元素無排列，字母化法處理。2.如果2個或者3個或者更多空座位相連型，與單獨空座位則屬于不同元素3.空座位，屬于相同元素，則符合“直選不排”原理【典例1-1】（巴彥淖爾·階段練習）某電影院第一排共有9個座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若他們每兩人都不能相鄰，且要求每人左右至多兩個空位，則不同的坐法共有A．36種 B．42種 C．48種 D．96種【答案】C【詳解】試題分析：共有6個空位，如果3人旁邊有三個位置時空位，那就是222的空位組合，共有種情況，當3人旁邊有4個位置有空位，那空位組合就是1122的組合，采用插空法，共有種情況，所以不同的做法就是12+36=48種情況，故選C.【典例1-2】（·東城·）一個停車場有5個排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進這個停車場，若停好后恰有2個相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結論.【詳解】把空著的2個相鄰的停車位看成一個整體，即2輛不同的車可以停進4個停車場，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，綜上,共有12種方法，所以B選項是正確的.【變式1-1】（22·23下·河北·）一條長椅上有6個座位，3個人坐．要求3個空位中恰有2個空位相鄰，則坐法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．96【答案】C【分析】分兩個相鄰空位包括最左端或最右端時和不含最左端或最右端時，兩種情況求出坐法后相加即可.【詳解】先考慮相鄰的2個空位，當兩個相鄰空位包括最左端或最右端時，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個人，有3種選擇，剩余的3個座位，安排2個人，有種選擇，則有種選擇，當兩個相鄰空位不含最左端或最右端時，此時有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個人，有種選擇，最后一個人有2種選擇，則有種選擇，綜上：坐法的種數(shù)共有個.故選：C【變式1-2】（·成都·階段練習）有6個座位連成一排，三人就座，恰有兩個空位相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把三個空位分成兩組，2個相鄰，1個單獨放置，利用插空法結合分步計數(shù)乘法原理求得符合條件的排法數(shù)，再求總排法數(shù)，根據(jù)古典概型可得結果.【詳解】第一步，把三個空位分成兩組，2個相鄰，1個單獨放置，3個人共有種排法，第二步，把兩組不同的空位插入3個人產(chǎn)生的4個空檔里，共有種排法，共有排法種，而所有排法為，所以所求概率為故答案為，故答案為:.【變式1-3】（19·20·浙江·模擬預測）現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.【答案】40【分析】根據(jù)題意，先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個空上，然后，求出不同的分組方法，最后利用分步乘法計數(shù)原理即可求解【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計數(shù)原理得不同的停放方式共有種.題型06基礎模型：多重受限條件型【解題攻略】相鄰不相鄰1.相鄰元素捆綁法，要注意捆綁在一起的元素，是否還需要排列2.不相鄰元素排列，一般是插空法，不相鄰者最后插孔排【典例1-1】現(xiàn)有2名學生代表2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有___________種．【答案】【分析】設表示兩名學生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長位置.第一步先排學生；第二步再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，分類討論①②③種情況時教師和家長的排法，最后由分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理即可求解．【詳解】由題意，設表示兩名學生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長位置，第一步：先排學生有種方法；第二步：再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，對于①，教師有種排法，然后再將三名家長排入五個空中，共有種方法；對于②，教師有種排法，然后家長先在A與A之間和與之間各選一個家長排入，剩余一個家長插入剩余三個空中的一個空中，有種；對于③，教師有種排法，然后選一個家長排在最中間一個空中，再將剩余兩個家長排在剩余的四個空中，有種排法，綜上，共有．故答案為：912.【典例1-2】現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學生分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，若丙當物理科代表則丁必須當化學科代表，則不同的選法共有_____種【答案】67【分析】根據(jù)特殊元素特殊處理的原則，以丙進行分類，排完丙后，由甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，還要進行分類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得.【詳解】因為丙當物理課代表則丁必須當化學課代表，以丙進行分類：第一類，當丙當物理課代表時，丁必須當化學課代表，再根據(jù)甲當數(shù)學課代表，乙戊可以當英語和語文中的任一課，有種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能當英語課代表，乙只能當語文課代表，戊當數(shù)學課代表，有種，共計種；第二類，當丙不當物理課代表時，分四類：①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和化學中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種種，②丙為數(shù)學課代表時，甲只能從英語、物理和化學中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當數(shù)學課代表時，其他三位同學任意當有種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能從物理和化學課中選一課,乙只能從語文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有種，共計種，④丙為化學課代表時，同③的選法一樣有種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的選法共有種.故答案為：67.【變式1-1】現(xiàn)有7位同學（分別編號為）排成一排拍照，若其中三人互不相鄰，兩人也不相鄰，而兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】把排列，產(chǎn)生4個空位，然后將看作一個整體與插入到中可求解.【詳解】解：因兩人必須相鄰，所以把看作一個整體有種排法.又三人互不相鄰，兩人也不相鄰，所以把排列，有種排法，產(chǎn)生了4個空位，再用插空法.（1）當分別插入到中間的兩個空位時，有種排法，再把整體插入到此時產(chǎn)生的6個空位中，有6種排法.（2）當分別插入到中間的兩個空位其中一個和兩端空位其中一個時，有種排法，此時必須排在中間的兩個空位的另一個空位，有1種排法.所以共有.【變式1-2】某班班會準備從含甲、乙、丙的7名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論，若甲乙其中一人參加，有種情況，若甲乙兩人都參加，則丙不能參加，有種情況，其中甲乙相鄰的有種情況，則甲、乙兩人都發(fā)言順序不相鄰的概率為，故選C.【變式1-3】，亞非領導人會議在印尼雅加達舉行，某五國領導人、、、，除與、與不單獨會晤外，其他領導人兩兩之間都要單獨會晤．現(xiàn)安排他們在兩天的上午、下午單獨會晤（每人每個半天最多進行一次會晤），那么安排他們單獨會晤的不同方法共有A．48種 B．36種 C．24種 D．8種【答案】A【分析】由題設可得他們的會晤方法有兩類：第一類是含，其會晤方法有是偶數(shù)，可分兩類：一是取出的三個數(shù)都是偶數(shù)，只能從中選取，共有種；第二類取出的三個數(shù)是兩奇一偶，偶數(shù)從中選取，共有4種，兩個奇數(shù)從中選取，有，然后再全排，共有種；由分類計數(shù)原理可得函數(shù)的個數(shù)為，應選答案A題型07地圖染色型【解題攻略】染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓撲”轉化染色的地圖，還要從“拓撲結構”來轉化以下這倆圖，就是“拓撲”一致的結構【典例1-1】如圖，這是第24屆國際數(shù)學家大會會標的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的.現(xiàn)給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求用5種顏色任意涂色的方法總數(shù)，再求恰好用完4種顏色涂色的方法總數(shù)，最后按照古典概型求概率即可.【詳解】若按要求用5種顏色任意涂色：先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇.則共有種方法.若恰只用其中4種顏色涂色：先在5種顏色中任選4種顏色，有種選擇.先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇.則共有種方法，故恰用4種顏色的概率是.故選：C.【典例1-2】網(wǎng)課期間，小王同學趁課余時間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個塊涂色（圖中的1，2，3，4，5），有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有______種不同的涂色方案.【答案】252【分析】先給2涂色，再涂5，再涂3、4，這一步要分3與5同色和3和5不同色兩種情況，最后涂1，按分步計數(shù)乘法原理計算.【詳解】第一步：涂2，有4種顏色；第二步：涂5，有3種顏色第三步：涂3、4，當3與5同色時，4有3種顏色；當3和5不同色時，3有2種顏色，4有2種顏色，第三步共7種.第四步：涂1，有3種顏色.共計種.故答案為：252【變式1-1】如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【答案】A【分析】按照①②③④的順序，結合乘法計數(shù)原理即可得到結果.【詳解】首先對①進行涂色，有5種方法，然后對②進行涂色，有4種方法，然后對③進行涂色，有3種方法，然后對④進行涂色，有3種方法，由乘法計數(shù)原理可得涂色方法種數(shù)為種故選:A【變式1-2】．對如下編號為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理可計算出1號格子涂灰色的方案總數(shù)，再計算1號格子和4號格子同時涂灰色的方案數(shù)，即可算出其概率.【詳解】由題意可知，整個事件需要分四步，按照格子標號依次涂色即可；若在1號格子涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，同時3號格子也有3種選色方案，4號格子還剩2種選色方案，即1號格子涂灰色的方案總數(shù)為種；若1號格子和4號格子同時涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，3號格子還有2種選色方案，即1號和4號格子同時涂灰色的方案總數(shù)為種；所以，在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是.故選：A.【變式1-3】如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）種．A．12 B．36 C．48 D．72【答案】C【分析】根據(jù)使用顏色的數(shù)量進行分類計算即可.【詳解】如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，則涂法有種；如果用了全部4種顏色，則涂法有種；所以總共有種涂法.故選：C..題型08立體幾何型【解題攻略】立體型結構，可以“拍扁了”，“拓撲”為平面型染色，這是幾何體染色的一個小技巧所以注意這類圖形之間的互相轉化【典例1-1】已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的現(xiàn)用編號為1，2，3的三個倉庫存放這6種化工產(chǎn)品，每個倉庫放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【分析】先將種產(chǎn)品分成三組，然后存放在三個倉庫，由分步乘法計數(shù)原理求得安全存放的方法種數(shù).【詳解】設種產(chǎn)品分別為，畫出圖像如下圖所示，根據(jù)題意，安全的分組方法有，，，，共種，每一種分組方法安排到個倉庫，有種方法，故總的方法種數(shù)有種，故選D.【典例1-2】用4種顏色給正四棱錐的五個頂點涂色，同一條棱的兩個頂點涂不同的顏色，則符合條件的所有涂法共有A．24種 B．48種 C．64種 D．72種【答案】D【詳解】解法一：假設四種顏色為紅、黑、白、黃，先考慮三點的涂色方法，有種，若與不同色，則、點只有種涂色的方法，有種涂法；若與同色，則點有種涂色的方法，共種涂法，所以不同的涂法共有種．解法二：用種顏色涂色時，即與，與都同色，共有種涂色的方法，用種顏色時，有與，與中一組同色，有種情況，共有種，故共有種，故選D．【變式1-1】從正方體的頂點及其中心共9個點中任選4個點，則這4個點在同一個平面的概率為______．【答案】【分析】由正方體性質，結合組合數(shù)求出所有共面的4個點的選法，而所有可能情況有種，應用古典概型的概率求法求概率.【詳解】如下圖，選正方體6個側面上的頂點，共有6種共面的情況；過中心的平面共有6個平面，每個平面含9個點中的5個，則共有種；所有可能情況有種，所以這4個點在同一個平面的概率為.故答案為：【變式1-2】給正方體的八個頂點涂色，要求同一條棱的兩個端點不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．【答案】114【分析】先考慮兩種顏色的情況，易得有6種方法；再考慮三種顏色的情況，分同色、同色不同色，同色不同色，及不同色四種情況，對每個點的著色情況進行考慮，最終可得答案.【詳解】如下圖所示的正方體，①用兩種顏色，和同色，則有種；②用三種顏色，若同色，則各有兩種選色方法，故共有種；若同色，與之不同色，注意又與不同色，故只有一種涂色，同理也只有一種涂色，而各有兩種涂色方法，故共有種；若同色，與之不同色，同理，共有種；注意到顏色互不相同是不可能事件，否則無色可涂，故同色的情況討論完畢.若不同色，則各只有一種涂色方法，另外要么與同色，要么與同色，否則無色可涂，若與同色，則有兩種涂色，一種是與同色，則有兩種涂色方法，只有一種涂色方法，共有種，一種是與不同色，則必與同色，否則無色可涂，此時，都只有一種涂色方法，共有種；若與同色，與上述討論的情況等價，同理可得共有種；至此，所有情況討論完畢，故共有種.故答案為：114..【變式1-3】.以平行六面體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算能構成多少個三角形，再將共面的情況剔除，即通過對立事件就可以計算不共面的概率．【詳解】解：平行六面體有個頂點，任意取構成的三角形個數(shù)為，即從56個三角形中任取兩個三角形，現(xiàn)共面的情況為表面?zhèn)€面與個對角面，每個面構成個三角形，設任取兩個三角形不共面為事件“”，，故選：A．.題型09醫(yī)生、護士等平均分配型【解題攻略】平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘【典例1-1】（2022下·四川成都·高三成都七中校考開學考試）某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護士緊急前往三個小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測.要求每個小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護士.問共有多少種分配方案？（

）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【答案】B【分析】分三種情況進行分類討論，依據(jù)先分組再分配原則解決“至少”問題.【詳解】每個小區(qū)至少一名護士，則把護士分為3組，共有3種情況：1,1,4；1,2,3；2,2,2把護士分為3組，3組人數(shù)分別為1,1,4，共有種分法，再分配給3個小區(qū)，有種分法.每個小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護士分為3組，3組人數(shù)分別為1,2,3，共有種分法，再分配給3個小區(qū)，有種分法.每個小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護士分為3組，3組人數(shù)分別為2,2,2，共有種分法，再分配給3個小區(qū)，有種分法.每個小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為綜上，分配方案總數(shù)為故選：B【典例1-2】（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中，分別計算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計數(shù)原理可求得結果.【詳解】因為或所以5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中（1）5個球放到編號2、4、5的三個盒子中，因為每個盒子中至少放一個小球，所以在三個盒子中有兩種方法：各放1個，2個，2個的方法有種.各放3個，1個，1個的方法有種.（2）5個球放到編號1、2、3、5的四個盒子中，則各放2個，1個，1個，1個的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【變式1-1】（2022下·山西晉中·高三?？迹┠掣咝４笠恍律械?名同學打算參加學校組織的“雅荷文學社”、“青春風街舞社”、“羽乒協(xié)會”、“演講團”、“吉他協(xié)會”五個社團，若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這6個人中至多有1人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為A．4680 B．4770 C．5040 D．5200【答案】C【詳解】若有人參加“演講團”，則從人選人參加該社團，其余人去剩下個社團，人數(shù)安排有種情況：和，故人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為，若無人參加“演講團”，則人參加剩下個社團，人數(shù)安排安排有種情況：和，故無人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為，故滿足條件的方法數(shù)為，故選C.【變式1-2】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先將紅球從數(shù)量分成，兩種類型的分組，在分兩類研究以上不同形式下紅球放入三個不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個，將兩類情況的方法總數(shù)相加即可.【詳解】將個紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個最少個，則有，兩種組合形式，當紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.當紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有種放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.綜上所述：將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.【變式1-3】（2024全國·高三專題練習）《數(shù)術記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數(shù)學專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計數(shù).某學習小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【分析】根據(jù)題意，結合分組分配問題，結合排列組合，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個人，所以不同的分配方案有.故選：D題型10走樓梯模型【解題攻略】走樓梯模型，可以轉化為“數(shù)字化”模型：一步一階設為數(shù)字1，一步兩階設為數(shù)字2，一步n階，記為數(shù)字n，則把嗎、階臺階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。要注意數(shù)字的奇偶時是否能取到【典例1-1】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型概率公式結合組合數(shù)計算可得.【詳解】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C【典例1-2】（2023下·貴州·高三校聯(lián)考階段練習）一個樓梯共有11級臺階，甲同學正好站在第11級臺階上，現(xiàn)在他每步可邁1級、2級或3級臺階，甲從第11級臺階走到第6級臺階（只能向前走），一共有多少種不同的走法？（

）A．11種 B．12種 C．13種 D．14種【答案】C【分析】根據(jù)邁步的級數(shù)進行分類求解，然后利用分類計數(shù)原理的計算公式即可求解.【詳解】從10級臺階至6級臺階分別用至表示，表示甲走到第級臺階時，所有可能不同的走法，則①從第11級臺階邁步到第10級臺階需要1步，即當時，；②從第11級臺階邁步到第9級臺階可以一步一級跨，也可以一步跨2級臺階，即當時，；③從第11級臺階邁步到第8級臺階可以一步一級跨，也可以一步跨3級臺階，還可以第一步跨1級臺階，第二步跨2級或第一步跨2級，第二步跨1級，即當時，；當時，分三種情況討論，如果第一步跨一級臺階，那么還剩下三級臺階，由③可知有（種）跨法.如果第一步跨二級臺階，那么還剩下二級臺階，由②可知有（種）跨法.如果第一步跨三級臺階，那么還剩下一級臺階，由①可知有（種）跨法.根據(jù)加法原理，有，類推，當時，甲只能從2，3，4跨到5，則，故選：C.【變式1-1】（2021·高三單元測試）某人在上樓梯時，一步上一個臺階或兩個臺階，設他從平地上到第一級臺階時有f（1）種走法，從平地上到第二級臺階時有f（2）種走法……則他從平地上到第n級(n≥3)臺階時的走法f(n)等于（

）A．f(n-1)+1 B．f(n-2)+2C．f(n-2)+1 D．f(n-1)+f(n-2)【答案】D【分析】確定他如何到達第級臺階即可：有兩種走法，在第級臺階跨兩步到達，或者在第級臺階跨一步到達，由此可得所求關系式．【詳解】解：要到達第n級臺階有兩種走法：（1）在第n-2級的基礎上到達；（2）在第n-1級的基礎上到達．因此有．故選：D【變式1-2】有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學7步登完樓梯的概率為___________.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：【變式1-3】某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【答案】C【解析】由題意可知，10級樓梯要8步走完，這8步中有6步是一步上一級，2步是一步上兩級，所以此問題轉化為從8步中選2步即為答案.【詳解】由題意，這8步中有6步是一步上一級，2步是一步上兩級，只需確定這8步中，哪2步是一步上兩級即得答案為，故選：C.題型11擋板法模型【解題攻略】擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學生指標，相同小球，各種指標名額等等【典例1-1】（2024上·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考）將20個無任何區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子內(nèi)的小球個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法有（

）A．90種 B．120種 C．160種 D．190種【答案】B【分析】應用“隔板法”求解即可.【詳解】先在編號為2，3的盒子內(nèi)分別放入1個，2個球，還剩17個小球，則三個盒子內(nèi)每個至少再放入1個球，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒子中，不同的放法共有（種）.故選：B.【典例1-2（2023上·浙江·高三浙江省春暉中學校聯(lián)考階段練習）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學校支教，要求每位老師只能去一所學校，每所學校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學校，則不同的分派方法的種數(shù)是（

）A．124 B．246 C．114 D．108【答案】C【分析】利用分布乘法計數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計算.【詳解】設學校為，先把甲乙兩人安排到不同學校，有種，不妨設甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用間接法計算，有種不同安排方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.故選：C【變式1-1】（2023下·安徽合肥·高三合肥市第五中學?？迹?個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．840 B．35 C．20 D．15【答案】C【分析】利用“隔板法”即可得解．【詳解】將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，因為每個盒子都有球，所以每個盒子至少有一個球，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個盒子都有球的放法種數(shù)為20．故選：C．【變式1-2】（2022上·高三課時練習）現(xiàn)有15個數(shù)學競賽參賽名額分給五個班，其中一、二班每班至少3個名額，三、四、五班每班至少2個名額，則名額分配方式共有（）A．15種 B．35種 C．70種 D．125種【答案】B【分析】利用隔板法求解.【詳解】根據(jù)題意，先將15個名額分配給一班、二班每班2個，三、四、五班每班1個，還剩下8個名額，將剩下的8個名額進行分組，每組至少一人，利用“隔板法”求解，8個有7個間隔，要分成組，7個間隔選4個即可，則有種分配方法.故選：.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）把1995個不加區(qū)別的小球分別放在10個不同的盒子里，使得第個盒子中至少有個球（），則不同放法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】先在第個盒里放入個球，，即第1個盒里放1個球，第2個盒里放2個球，…，這時共放了個球，還余下個球．故轉化為把1940個球任意放入10個盒子里（允許有的盒子里不放球）．把這1940個球用9塊隔板隔開，每一種隔法就是一種球的放法，1940個球連同9塊隔板共占有1949個位置，相當于從1949個位置中選9個位置放隔板，有種放法．選D．題型12相同元素型【典例1-1】學校決定把12個參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個班級.要求每個班分得的名額不比班級序號少；即二(1)班至少1個名額,二(2)班至少2個名額，……，則分配方案有()A．10種 B．6種 C．165種 D．495種【答案】A【詳解】根據(jù)題意，先在編號為2、3、4的3個班級中分別分配1、2、3個名額，編號為1的班級里不分配；再將剩下的6個名額分配4個班級里，每個班級里至少一個，分析可得，共種放法，即可得符合題目要求的放法共10種，故答案為A【典例1-2】記為一個位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，．若對任意的正整數(shù)，至少存在另一個正整數(shù)，使得，則稱這個數(shù)為“位重復數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復數(shù)”的個數(shù)為A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】由題意，對于“位重復數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個數(shù)位上也是相同的數(shù)字.“四位重復數(shù)”分兩種情況分別計數(shù)即可，即“四個數(shù)位上的數(shù)字相同”“兩個數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個數(shù)位上同為另外一個數(shù)字”.【詳解】由題意，對于“位重復數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個數(shù)位上也是相同的數(shù)字.所以“四位重復數(shù)”包含兩種情況.(1)四個數(shù)位上的數(shù)字相同，有共個.(2)兩個數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個數(shù)位上同為另外一個數(shù)字.若千位、百位相同(不能為)，十位、個位相同，故有個.同理，若千位、十位相同(不能為)，百位、個位相同，也有個.若千位、個位相同(不能為)，百位、十位相同，也有個.綜上，“四位重復數(shù)”的個數(shù)為.故選B.【變式1-1】．已知一袋中有標有號碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當四種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取6次卡片時停止的概率為______.【答案】【分析】恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼.分兩類，三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1.每類中可以分步完成，先確定三種號碼卡片出現(xiàn)順序有種，再分別確定這三種號碼卡片出現(xiàn)的位置(注意平均分組問題)，最后讓第四種顏色出現(xiàn)有一種方法,相乘可得，最后根據(jù)古典概型求概率即可.【詳解】由分步乘法計數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號碼后放回，進行6次一共有種不同的取法.恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼，三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1,三種號碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時停止的取法有種，三種號碼分別出現(xiàn)2，2，1且6次時停止的取法有種，由分類加法計數(shù)原理知恰好取6次卡片時停止，共有種取法，所以恰好取6次卡片時停止的概率為:，故答案為：【變式1-2】甲?乙?丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個位置中的3個，因疫情防控的需要（這一排沒有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（

）A．120種 B．80種 C．64種 D．20種【答案】A【分析】根據(jù)題意，先排7個空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個空檔，將3人連同座一起安排在空檔上，計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，一并排座位有10個，3人就坐，有7個空座位，將7個空座位排成一排，中間有6個空檔，將3人連同座位一起安排空檔上，有種安排方法，故答案為：A.【變式1-3】電影院一排10個位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，且每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為（

）A．120 B．80 C．64 D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意，先排好7個空座位，注意空座位是相同的，其中6個空位符合條件，將3人插入6個空位中，再對甲、乙、丙三個人進行排列，最后用分步計數(shù)原理進行求解即可.【詳解】解：除甲、乙、丙三人的座位外，還有7個座位，它們之間共可形成六個空，三人從6個空中選三位置坐上去有種坐法，而甲、乙、丙三個人進行排列，有種坐法，所以每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為：.故選：A.題型13不定方程模型【典例1-1】（2023上·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知，且，記為，，中的最大值，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隔板法得到的解有組，然后列舉得到有6組解，最后求概率即可.【詳解】根據(jù)隔板法，將10看做10和完全相同的小球排成一排，中間形成9個空，放入兩個隔板，可求得的解有組，時，或或或或或，所以.故選：A.【典例1-2】（2023下·江蘇常州·高三校聯(lián)考）在空間直角坐標系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(所有坐標均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點)的個數(shù)為（

）A．35 B．36 C．84 D．21【答案】A【分析】首先求平面的一個法向量，并根據(jù)法向量確定三棱錐內(nèi)部的點滿足的條件，并結合隔板法，求方法種數(shù).【詳解】由條件可知，，，設平面的一個法向量，則，令，則，故，設是平面上的點，則，故，則，不妨設三棱錐內(nèi)部整數(shù)點為，則，且，，，則若時，則在平面上，若，則在三棱錐的外部，所以，當，且時，將寫成個1排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結果的個數(shù)為的取值的方法個數(shù)，顯然有個方法，所有整數(shù)點的個數(shù)為.故選：A【變式1-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）在空間直角坐標系中，，則三棱錐內(nèi)部整點（所有坐標均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點）的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用空間向量法求得面的一個法向量為，從而求得面上的點滿足，進而得到棱錐內(nèi)部整點為滿足，再利用隔板法與組合數(shù)的性質即可得解.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，因為，所以，設面的一個法向量為，則，令，則，故，設是面上的點，則，故，則，不妨設三棱錐內(nèi)部整點為，則，故，則，易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，所以，當且時，將寫成個排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結果的個數(shù)為的取值的方法個數(shù)，顯然有個方法，所有整點的個數(shù)為，因為，所以.故選：B.【變式1-2】（2018·北京·高三強基計劃）滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．231【答案】D【分析】根據(jù)隔板法可求方程不同的整數(shù)解的個數(shù).【詳解】先考慮的有序整數(shù)解的個數(shù)，由引理可得該個數(shù)為.若有一個為零，則有序整數(shù)解的個數(shù)為，若有兩個為零，則有序整數(shù)解的個數(shù)為，若全為零，則有序整數(shù)解的個數(shù)為個，故共有不同組數(shù)231.故選：D.【變式1-3】（2022·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）設集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．5151【答案】A【分析】利用隔板法，然后排除有兩個數(shù)相同的結果，再結合集合元素的無序性可得.【詳解】將100個小球排成一列，在101個空位（包括兩段的空位）中插入第一個擋板，再在產(chǎn)生的102個空位中插入第二個擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個數(shù)為a、b、c，共有種結果，因為，所以a、b、c中含有兩個0,1,2，…，50各有3種結果，所以a、b、c三個數(shù)各不相等的結果共有個因為三個元素的每種取值有6種不同順序，所以，由集合元素的無序性可知符合條件的集合A的個數(shù)為個.故選：A題型14球放盒子型：公交車模型【典例1-1】某奧運村有，，三個運動員生活區(qū)，其中區(qū)住有人，區(qū)住有人，區(qū)住有人已知三個區(qū)在一條直線上，位置如圖所示奧運村公交車擬在此間設一個?？奎c，為使所有運動員步行到?？奎c路程總和最小，那么?？奎c位置應在（

）A．區(qū) B．區(qū) C．區(qū) D．，兩區(qū)之間【答案】A【分析】分類討論，分別研究?？奎c為區(qū)、區(qū)、區(qū)和，兩區(qū)之間時的總路程，即可得出答案．【詳解】若?？奎c為區(qū)時，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：米；若停靠點為區(qū)時，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：米；若停靠點為區(qū)時，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：米；若?？奎c為區(qū)和區(qū)之間時，設距離區(qū)為米，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：，當取最小值，故停靠點為區(qū)．故選：A【典例1-2】通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站，經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進入寧波市，全線正線運營長度，其中新建線路長度，是《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中“八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分，是長江三角洲城市群的重要城際通道，沿途共設南通西、張家港、常熟西、蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等10座車站.假設甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時上車，在沿途剩余9站中隨機下車，兩人互不影響，則甲、乙兩人在同一站下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲、乙兩人下車包含的基本事件個數(shù)為，甲、乙兩人在同一車站下車包含的基本事件個數(shù)，由此算出甲、乙兩人在同一站下車的概率.【詳解】解：甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西）同時上車，沿途經(jīng)過剩余9個車站，甲、乙兩人隨機下車，互不影響，故甲、乙兩人下車包含的基本事件個數(shù)為：設“甲、乙兩人在同一車站下車為事件M”，則事件M包含的基本事件個數(shù)為：.故選：D.【變式1-1】車上有6名乘客，沿途有3個車站，每名乘客可任選1個車站下車，則乘客不同的下車方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用每名乘客都有3種下車方式，總共有6名乘客，相乘直接計算得到答案【詳解】根據(jù)題意，汽車上有6名乘客，沿途有3個車站，每名乘客可以在任意一個車站下車，即每名乘客都有3種下車方式，則6名乘客有種可能的下車方式．故選：B【變式1-2】長春54路有軌電車建成于上個世紀30年代，大概是現(xiàn)存最美的電車路線了，見證著這座城市的歷史與發(fā)展.學生甲和學生乙同時在長影站上了開往西安大路方向的電車，甲將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車，乙將在景陽大路站之前任何一站下車，他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出甲、乙下車的情況共有種可能，再求出甲比乙后下車共有15種可能，最后利用幾何概型公式求解即可.【詳解】甲將在長影站上車，將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車,可能在6個站下車，乙在長影站上車，將在景陽大路站之前任何一站下車，可能在9個站下車，則甲、乙下車的情況共有種可能；他們都至少坐一站再下車，若乙在湖西路先下車，甲后下車的情況有5種可能，若乙在長久路先下車，甲后下車的情況有4種可能，若乙在寬平大路先下車，甲后下車的情況有3種可能，若乙在寬平大橋先下車，甲后下車的情況有2種可能，若乙在迎春路先下車，甲后下車的情況有1種可能，則甲比乙后下車共有15種可能，故他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為.故選：.【變式1-3】某公交車上有6位乘客，沿途4個車站，乘客下車的可能方式有（

）A．64種 B．46種 C．24種 D．360種【答案】B【分析】對于每一位乘客都有4種下車可能，即可求6位乘客的可能下車情況數(shù).【詳解】由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46種，故選：B．題型15球放盒子型：電梯模型【典例1-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考）有一座6層大樓，3人從大樓第一層進入電梯，假設每個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則這3人離開電梯的層數(shù)之和為10的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型，根據(jù)這人離開電梯的層數(shù)之和為的情況進行分類求解.【詳解】假設每個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的,則基本事件的總數(shù)，這人離開電梯的層數(shù)之和為有4種情況：①三個人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，②三個人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，③三個人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，④三個人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，所以這3人離開電梯的層數(shù)之和為10的概率是.故選：B.【典例1-2】（2020上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學?？奸_學考試）電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先把6人按分面四組，然后選擇4個樓層讓這四組的人分別下去即可得．【詳解】由題意所有種類數(shù)為．故選：C．【變式1-1】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中校考）有2個人在一座8層大樓的底層進入電梯，假設每一個人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開電梯的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型的概率公式與對立事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意得，由于每一個人自第二層開始在每一層電梯是等可能的，故兩人離開電梯的所有可能情況有種，而兩人在同一層電梯的可能情況有，所以兩人在同一層離開電梯的概率為，所以兩人在不同層離開電梯的概率為，故選：B.【變式1-2】（2020·四川達州·統(tǒng)考三模）有3人同時從底樓進入同一電梯，他們各自隨機在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結合分步乘法、排列組合的知識可得所有基本情況數(shù)及滿足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】3人同時從底樓進入同一電梯，他們各自隨機在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同情況；恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同情況；故所求概率.故選：C.【變式1-3】（2020·廣東珠?！そy(tǒng)考三模）甲、乙、丙人從樓乘電梯去商場的到樓，每層樓最多下人，則下電梯的方法有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】分兩種情況討論：①每個樓層下人；②人中有人從一個樓層下，另人從其它樓層選一個樓層下，利用排列組合思想結合分類加法計數(shù)原理可得出結果.【詳解】分兩種情況討論：①每個樓層下人，則人下電梯的方法種數(shù)為；②人中有人從一個樓層下，另人從其它樓層選一個樓層下，此時，人下電梯的方法種數(shù)為.由分類加法計數(shù)原理可知，人下電梯的方法種數(shù)為種.故選：D.題型16球放盒子型：【解題攻略】球放盒子，要考慮以下情況是否存在：類型一：球不同，盒子不同（主要的）類型二：球相同，盒子不同方法技巧：不受限制，則指數(shù)冪形式，受限制，則“先分組再排列”【典例1-1】已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中，分別計算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計數(shù)原理可求得結果.【詳解】因為或所以5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中（1）5個球放到編號2、4、5的三個盒子中，因為每個盒子中至少放一個小球，所以在三個盒子中有兩種方法：各放1個，2個，2個的方法有種.各放3個，1個，1個的方法有種.（2）5個球放到編號1、2、3、5的四個盒子中，則各放2個，1個，1個，1個的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）將編號為1，2，3，4的四個小球放入A，B，C三個盒子中，若每個盒子至少放一個球，且1號球和2號球不能放在同一個盒子，則不同的放法種數(shù)為（

）A．30 B．24 C．48 D．72【答案】A【詳解】分析：由題意知4個小球有2個放在一個盒子里的種數(shù)是C42，把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有A33種結果，而①②好小球放在同一個盒子里有A33種結果，用所有的排列數(shù)減去不合題意的，得到結果．詳由題意知4個小球有2個放在一個盒子里的種數(shù)是C42，把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有A33種結果，而①②好小球放在同一個盒子里有A33=6種結果，∴編號為①②的小球不放到同一個盒子里的種數(shù)是C42A33-6=30，故選A．【變式1-1】（2018下·福建廈門·高三廈門外國語學校?？迹⒕幪枮?,2,3,4的四個小球放入A,B,C三個盒子中，若每個盒子至少放一個球，且1號球和2號球不能放在同一個盒子，則不同的放法種數(shù)為（

）A．30 B．24 C．48 D．72【答案】A【分析】由題意知4個小球有2個放在一個盒子里，把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，求所有的排列數(shù)，再減去1、2號小球放在同一個盒子里有種，得到結果．【詳解】由題意知：4個小球選出2個放在一個盒子里，種數(shù)是，把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有種結果，而1、2號小球放在同一個盒子里有種結果，∴編號為1，2的小球不放到同一個盒子里的種數(shù)是.故選：A【變式1-2】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）將紅、黑、藍、黃個不同的小球放入個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將4個小球分成三組，一組2個球，另外兩組分別為1個球，然后將三組球分配到個不同的盒子，有種放法，而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有種放法，利用間接法即可求解.【詳解】解：由題意，將4個小球分成三組，一組2個球，另外兩組分別為1個球，有種分組方法，再將三組球分配到個不同的盒子，有種分法，所以將紅、黑、藍、黃個不同的小球放入個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，有種放法，而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有種放法，所以紅球和藍球不能放到同一個盒子里的不同放法種數(shù)為，故選：C.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）將編號的小球放入編號為盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號不能相同，則不同的放球方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【詳解】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：當與號球放在同一盒子中時，有種不同的放法；當與號球放在同一盒子中時，有種不同的放法；當與號球放在同一盒子中時，有種不同的放法；當與號球放在同一盒子中時，有種不同的放法；當與號球放在同一盒子中時，有種不同的放法；當與號球放在同一盒子中時，有種不同的放法；因此，不同的放球方法有種，故選C題型17配對模型【典例1-1】（2022上·浙江杭州·高三統(tǒng)考）柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用列舉法列出所有可能情況，再找出符合題意的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的情況有種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事件有6種，即，，，，，，故選：C【典例1-2】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）從5對夫妻中任選4人，這4人恰好是2對夫妻的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出所有的基本事件，再求出恰好是2對夫妻的基本事件，可得概率.【詳解】從5對夫妻中任選4人，則不同的選法有種，這4人恰好是2對夫妻的選法有種，故所求概率為．故選：C.【變式1-1】.新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法：第一步A送錯有4種可能，然后第二步是關鍵，考慮A送錯的地方對應的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯位置分兩類，一類是送到甲，一類是送其他三個地方，再對剩下的3個快遞分別考慮即可完成．【詳解】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯有4種方法，第二步考慮所送位置對應的快遞，假設送到丙地，第二步考慮快遞，對分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯有2種可能（丁戊乙，戊乙?。诙愃偷揭叶∥熘械囊粋€地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【變式1-2】（2021下·浙江金華·高三校聯(lián)考）現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件總數(shù)，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個數(shù)，由此能求出取出的鞋都是左腳的概率．【詳解】解：現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機取出2只，基本事件總數(shù)，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個數(shù)，則取出的鞋都是左腳的概率是．故選：．【變式1-3】（2021上·河南·高三校聯(lián)考）從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】任意兩只都不成雙，說明3只鞋子是從3雙鞋子中各取1只得到的，這樣計數(shù)后可計算出概率．【詳解】從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只的方法為，這3只鞋子中任意兩只都不成雙，選取的方法為，所以所求概率為．故選：C題型18機器人跳棋模型【典例1-1】（2024上·河南漯河·高三統(tǒng)考）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實數(shù)3的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【分析】設出事件，分兩種情況，結合排列知識進行求解，