專題5-2數(shù)列遞推及通項應(yīng)用（原卷版）

專題5-2數(shù)列遞推及通項應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型 1題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型 2題型03累加法求通項 3題型04累加法求通項：裂項型 3題型05累加法求通項：換元型 4題型06累積法求通項 5題型07待定系數(shù)型等比求通項 6題型08分式型求通項 6題型09不動點方程求通項 7題型10前n項和型求通項 8題型11前n項積型求通項 8題型12因式分解型求通項 9題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項 10題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項 10題型15周期數(shù)列求通項：分段型 11題型16周期數(shù)列求通項：三階型 11題型17奇偶各自獨立型求通項 12高考練場 13題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型【解題攻略】等差數(shù)列的判定方法

①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù).【典例1-1】（2024上·山東威海·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列，對都有，且，則.【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中學校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且，則.【變式1-1】（2023下·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，則，.【變式1-2】（2024上·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W?？迹┰跀?shù)列中，，則．【變式1-3】（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知各項均不為0的數(shù)列滿足，且，則．題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型【解題攻略】等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【典例1-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知數(shù)列滿足：對任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】．（2022上·山東日照·高三統(tǒng)考）正項數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（

）A． B．[3，9] C． D．[3，15]【變式1-2】（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前項和，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．數(shù)列為遞減數(shù)列 D．【變式1-3】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知為數(shù)列的前n項和，且，，則（

）A． B． C． D．題型03累加法求通項【解題攻略】對于遞推公式為，一般利用累加法求出數(shù)列的通項公式；【典例1-1】已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（

）A．2-1 B． C． D．【典例1-2】已知數(shù)列中，，時，，______.【變式1-1】（2023下·北京·高三北京八中?？迹┤魯?shù)列滿足，則通項公式為.【變式1-2】（2022·陜西西安·西安中學校考模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項和．【變式1-3】．（2020上·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項和是．題型04累加法求通項：裂項型【解題攻略】形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項；利用累乘法求通項：【典例1-1】（2022·北京·清華附中高三開學考試（理））已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為__．【典例1-2】（2023上海市南洋模范中學高三階段練習）數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式________.【變式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)第二中學?？迹┮阎獢?shù)列滿足，則=（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023下·山東濰坊·高三山東省昌樂第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式1-3】（2021·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．題型05累加法求通項：換元型【典例1-1】（2022·全國·高三階段練習（理））已知數(shù)列滿足,數(shù)列的通項公式為___________.【典例1-2】（2021上·陜西西安·高三西安市鐵一中學校考階段練習）數(shù)列滿足，且，則(

)A．－1 B．20 C．21 D．22【變式1-1】（2021上·江西吉安·高三吉安一中?？奸_學考試）已知數(shù)列的首項為，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則數(shù)列的通項公式為.【變式1-3】（2022·甘肅白銀·高三）已知數(shù)列中，，當時，，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．.題型06累積法求通項【解題攻略】累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則【典例1-2】（2021·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，.記，則（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）某軟件研發(fā)公司對某軟件進行升級，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是3，且，，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為（

）A． B．C． D．題型07待定系數(shù)型等比求通項【解題攻略】形如為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當q為2時，=p，，變形為，也可以變形為.【典例1-1】（2019·模擬預測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，對任意，有，，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【典例1-2】（19·20·專題練習）在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1＝4，a2＝6，且當時，，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，bn＝，則當為整數(shù)時，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．24【變式1-1】（19·20下·綿陽·開學考試）數(shù)列滿足且，則此數(shù)列第5項是（

）A．15 B．255 C．16 D．63【變式1-2】（2021下·許昌）數(shù)列的首項，且，令，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【變式1-3】（2022學業(yè)考試）數(shù)列滿足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型08分式型求通項【解題攻略】形如，取倒數(shù)變形為；【典例1-1】（2020上·濰坊）在數(shù)列中，，(n∈N+)，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2021上·南寧·）數(shù)列中，，，則是這個數(shù)列的第幾項（

）A．100項 B．101項 C．102項 D．103項【變式1-1】（2022上·楚雄·）已知數(shù)列滿足,(),則A． B． C． D．【變式1-2】（2016·六安·階段練習）已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【變式1-3】（2021·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．題型09不動點方程求通項【解題攻略】形如的遞推數(shù)列，方程的根，可以分兩種情況：（1）、若其中有一個不動點x0，則是等差數(shù)列（2）、若其中有兩個不動點m，n，則是等比數(shù)列【典例1-1】（22·23下·浦東新·）若嚴格遞增數(shù)列滿足，則首項的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（22·23下·開封·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，且，若不等式對一切恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23·24上·廈門·階段練習）數(shù)列滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2020下·南寧·階段練習）數(shù)列滿足若不等式對任何正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)λ的最小值為【變式1-3】（22·23下·浦東新）若嚴格遞增數(shù)列滿足，則首項的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型10前n項和型求通項【解題攻略】若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項和公式，求數(shù)列的通項.【典例1-1】（2023下·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校考階段練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【典例1-2】（2023·北京·北京四中校考模擬預測）設(shè)數(shù)列的前項和，則；使得命題“，都有”為真命題的一個的值為.【變式1-1】．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為．【變式1-2】（2023上·北京·高三北京市十一學校?？迹┮阎獢?shù)列的前項和為，則的通項公式為.題型11前n項積型求通項【解題攻略】前n項積型求通項，可以類比前n項和求通項過程來求數(shù)列前n項積：1.n=1，得a12.n時，所以【典例1-1】（22·23·沈陽·三模）記數(shù)列的前n項積，已知，則（

）A．4 B．5 C．7 D．8【典例1-2】（21·22·石嘴山·一模）已知為數(shù)列的前n項積，若，則數(shù)列的通項公式（

）A． B． C． D．【變式1-1】（21·22下·包頭·一模）已知為數(shù)列的前n項積，若，則數(shù)列的前n項和（

）A． B． C． D．【變式1-2】（21·22上·合肥）若數(shù)列的前項積，則的最大值與最小值之和為（

）A． B． C．2 D．【變式1-3】（20·21·廣西·模擬預測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，則數(shù)列的前n項之積的最大值為（

）A．16 B．32 C．64 D．128題型12因式分解型求通項【解題攻略】因式分解型求通項經(jīng)驗型：一般情況下，數(shù)列次冪比較高（二次型）遞推公式，可以考慮因式分解，或者配方型【典例1-1】（22·23上·四川·階段練習）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，且，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【典例1-2】（22·23上·漳州·）若正項數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（20·21下·衡水·）在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，為前項和，且，則.【變式1-2】（19·20上·浙江·開學考試）已知正項數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項和為．題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項【解題攻略】同除型換元形如，累加法即可。【典例1-1】（2022下·上饒·）在數(shù)列中，若，則數(shù)列的通項公式．【典例1-2】（2022下·沈陽·）已知數(shù)列中，,,則數(shù)列的通項公式．【變式1-1】（22·23下·淄博·）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為【變式1-2】（22·23·對口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項公式為．.題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項【典例1-1】（2022·唐山·二模）數(shù)列滿足，若時，，則的取值范圍是．【典例1-2】（20·21上·清遠·階段練習）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式.【變式1-1】（2019·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為______．【變式1-2】.（2021·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式________.題型15周期數(shù)列求通項：分段型【典例1-1】（2023上·江蘇無錫·高三統(tǒng)考開學考試）已知數(shù)列滿足．若，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023下·高三課時練習）數(shù)列滿足若，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考）在數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022上·河南鶴壁·高三鶴壁高中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．題型16周期數(shù)列求通項：三階型【解題攻略】若數(shù)列{an}滿足若數(shù)列{an}滿足【典例1-1】（2023·河北·校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列中，，則.【典例1-2】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，且（n為正整數(shù)），則．【變式1-1】（2023上·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學校考階段練習）已知，則其前2022項的和為.【變式1-2】（2023下·吉林長春·高三校考開學考試）已知數(shù)列中，，，，則.題型17奇偶各自獨立型求通項【解題攻略】奇偶各自獨立型求通項【典例1-1】（2020上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A．4 B．2 C．5 D．【典例1-2】（2022·高三課時練習）已知數(shù)列的前項和為，，，，則（

）A．62 B．63 C．64 D．65【變式1-1】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項為，則.【變式1-2】（2022下·四川自貢·高三統(tǒng)考）如果數(shù)列滿足=1，當為奇數(shù)時，；為偶數(shù)時，，則下列結(jié)論成立的是（）A．該數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列B．該數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列C．該數(shù)列的奇數(shù)項各項分別加后構(gòu)成等比數(shù)列D．該數(shù)列的偶數(shù)項各項分別加后構(gòu)成等比數(shù)列.高考練場1.（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則．2.（2021·江蘇·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足，，記集合，若集合M的子集個數(shù)為16，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.．（2020·全國·高三專題練習）在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝．4.（2023下·江蘇南京·高三南京市秦淮中學?？茧A段練習）已知數(shù)列