高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)專項(xiàng)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)冪的大小用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握指數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會(huì)結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考知識(shí)講解指數(shù)的基本知識(shí)根式的基本性質(zhì)①的定義域?yàn)?的定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰埽x域?yàn)棰?，定義域?yàn)橹笖?shù)的基本性質(zhì)①零指數(shù)冪:;②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:③正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:;④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:指數(shù)的基本計(jì)算①同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算②同底數(shù)冪的除法運(yùn)算③冪的乘方運(yùn)算④積的乘方運(yùn)算指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式一般地，函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；時(shí),當(dāng)時(shí)，；時(shí),在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)考點(diǎn)一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤．【詳解】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.1．（上?！じ呖颊骖}）滿足方程的值為________．【答案】0【分析】令，原方程化為，即可求出，從而求出；【詳解】解：令，原方程化為，解得或因?yàn)?，所以，即，解得故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可.【詳解】．故選：A．3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：B.4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】B【分析】方法一：可得，即可得到函數(shù)關(guān)于對稱，從而得到為偶函數(shù)；方法二：求出的解析式，即可判斷.【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，所以函?shù)關(guān)于對稱，將的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù).方法二：因?yàn)椋?，則，所以為偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù).故選：B考點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．（2023·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可確定大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知：，.故選：C.2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知，，再結(jié)合二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可解出．【詳解】由圖可知，，而，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以．故選：A．1．（2023·安徽安慶·?？家荒＃┖瘮?shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】，為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不成立；，為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，，故C和D不成立.故選：B.2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）（多選）已知，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，按分類探討，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)增長速度的大小判斷作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，函數(shù)圖象為曲線，A可能；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的圖象是不含端點(diǎn)的射線，B可能；當(dāng)時(shí)，取，有，即函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，又，隨著的無限增大，函數(shù)呈爆炸式增長，其增長速度比的大，因此存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，C可能，D不可能.故選：ABC3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是______.【答案】【分析】求出函數(shù)所過的定點(diǎn)，則有，則，則，化簡整理，分離常數(shù)再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)，則，所以，由，得，則令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是.故答案為：.考點(diǎn)三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】A【分析】由函數(shù)奇偶性定義判斷的奇偶性，根據(jù)解析式，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷在定義域上的單調(diào)性即可.【詳解】由且，為奇函數(shù)，∵在上遞減，則遞增，又在上遞增，∴在上遞增，故選：A.1．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)C．是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性定義及復(fù)合函數(shù)單詞性判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，AB錯(cuò)誤，因?yàn)楹瘮?shù)在R上遞增，則函數(shù)在R上遞減，所以函數(shù)是增函數(shù)，D錯(cuò)誤，C正確.故選：C2．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減，所以不等式等價(jià)于，解得．即不等式的解集為；故選：C3．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出函數(shù)與在均單調(diào)遞減時(shí)，a的取值區(qū)間結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】函數(shù)在均單調(diào)遞減可得即；函數(shù)在均單調(diào)遞減可得，解得，若函數(shù)與均單調(diào)遞減，可得，由題可得所求區(qū)間真包含于，結(jié)合選項(xiàng)，函數(shù)與均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是C故選：C考點(diǎn)四、指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值1．（山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____________.【答案】【詳解】若，則在上為增函數(shù),所以，此方程組無解；若，則在上為減函數(shù),所以，解得，所以.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞增，所以，則，解得或（舍去）.故答案為：.2．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)開______．【答案】【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】令，∵，∴，∴，又關(guān)于對稱，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，.故答案為：.3．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.4．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）函數(shù)的最小值為___________.【答案】1【分析】先求定義域,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求解最小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.而.所以,函數(shù)的最小值為1.故答案為:1.5．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．【答案】ABD【分析】對于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC，利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】由，可得，所以且，故A正確；由，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，所以，故D正確.故選：ABD.考點(diǎn)五、指數(shù)值的大小比較（構(gòu)造函數(shù)比較大小）1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故1．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性判定大小即可.【詳解】，令，則，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，即，即，從而可知.故選：B.2．（2023·山東日照·三模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由，可得，再由，再作商法，得，從而得解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，故，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，從而有，綜上所述：.故選：B.3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性的最值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可證明，再證明，令，通過指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證明，即可得出答案.【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，，又，則，，所以，對于，令，則，此時(shí)，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于比較實(shí)數(shù)大小方法：（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進(jìn)行比較，（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)探究單調(diào)性，即可判斷和的大??；構(gòu)造函數(shù)，再令，通過二次求導(dǎo)探究單調(diào)性，即可判斷和的大小.【詳解】由，，，得，，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，x＝1，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，在x＝1處取最小值，時(shí)，，即，取，得，，，即；設(shè)，則，令，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，則，即，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，即，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)探究單調(diào)性來比較大小，考查求導(dǎo)運(yùn)算，屬于中檔題.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則“”是“”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，進(jìn)而根據(jù)充分、必要條件分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t等價(jià)于，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，則等價(jià)于，即等價(jià)于，故“”是“”的充要條件.故選：C.2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，故選:B.3．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過比較的大小可得，通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可選出答案.【詳解】，，．故選：A4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：①；②對于，，則函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行辨析即可.【詳解】由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)滿足，則函數(shù)為奇函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)滿足，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)定義域均為，，都有對于A，，故為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，∵與均在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，滿足性質(zhì)②；對于B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，性質(zhì)①，②均不滿足；對于C，，故為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，令，，解得，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故在不單調(diào)，不滿足性質(zhì)②；對于D，由冪函數(shù)的性質(zhì)，為偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，不滿足性質(zhì)①，滿足性質(zhì)②.故選：A.5．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個(gè)等級(jí)，其等級(jí)（）與其對應(yīng)等級(jí)的市場銷售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢買到的級(jí)草莓比級(jí)草莓多倍，且級(jí)草莓的市場銷售單價(jià)為元千克，則級(jí)草莓的市場銷售單價(jià)最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克【答案】C【分析】由指數(shù)運(yùn)算，可得，求得的值.【詳解】由題可知，由則.故選：C.6．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，若為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先分析函數(shù)在各段函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得且，結(jié)合與的函數(shù)圖象及增長趨勢求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使函數(shù)為增函數(shù)，則且，又函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)和，且的增長趨勢比快得多，與的函數(shù)圖象如下所示：所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B二、填空題7．（2023·上海·模擬預(yù)測）已知，則的值域是______；【答案】【分析】分段討論的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時(shí),.綜上:的值域?yàn)?故答案為：.8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞增，所以，則，解得或（舍去）.故答案為：.9．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)滿足，且，請寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)___________．【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只要找到符合題意的解析式即可，不妨令，再一一判斷即可.【詳解】令，顯然在定義域上單調(diào)遞增，滿足，且，即滿足，所以符合題意．故答案為：（答案不唯一）10．（2023·四川綿陽·三臺(tái)中學(xué)校考一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【分析】分別在和的情況下，結(jié)合指數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，，解得：（舍）；當(dāng)，即時(shí)，，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.【能力提升】一、單選題1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算以及正切函數(shù)的性質(zhì)判斷，從而可得答案.【詳解】，，，所以，故選：B.2．（2023·山東濱州·鄒平市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可比較，再構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可比較，從而可得出答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，令，則，令，則，所以在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)和，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，.3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)探究單調(diào)性，即可判斷和的大小；構(gòu)造函數(shù)，再令，通過二次求導(dǎo)探究單調(diào)性，即可判斷和的大小.【詳解】由，，，得，，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，x＝1，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，在x＝1處取最小值，時(shí)，，即，取，得，，，即；設(shè)，則，令，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，則，即，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，即，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)探究單調(diào)性來比較大小，考查求導(dǎo)運(yùn)算，屬于中檔題.4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，構(gòu)造且研究單調(diào)性比較大小，構(gòu)造且研究單調(diào)性判斷函數(shù)值符號(hào)比較的大小，即可得結(jié)果.【詳解】由，因?yàn)?，，則，，令且，則，則遞減，所以，即，則，故；因?yàn)椋?，由，令且，則，則遞增；故，，而，所以，則，即，綜上，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用中間值得到，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較，作差法并構(gòu)造研究函數(shù)值符號(hào)比較大小.5．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，而，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較的大小，再求出，則可得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷.【詳解】由，得，所以，又函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，即，所以由，得，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)和在上單調(diào)遞減，故，，所以A錯(cuò)誤；，．又，所以，，所以C錯(cuò)誤；由，得．因?yàn)?，所以，故，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，故．故選：D．6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意正數(shù)，，都有，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過條件，利用定義法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，通過賦值，求得和，再利用奇偶性和單調(diào)生即可求出結(jié)果.【詳解】令，則，即，令，，則，又，則，不妨取任意正數(shù)，，因?yàn)?，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，則，令，，則，∴，又因?yàn)?，即，由和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可以得到或，故選：B.7．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．253 B．506 C．507 D．759【答案】B【分析】由得的周期，再根據(jù)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可得答案.【詳解】由得，所以，即是以8為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)2和4，當(dāng)時(shí)，，令，則有，當(dāng)時(shí)，，，所以無解，所以當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，又，因此在上函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)2和4，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，因此有上，有個(gè)零點(diǎn)．故選：B．二、多選題8．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義，探討出函數(shù)的周期，即可逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，B正確；又函數(shù)是奇函數(shù)，則，因此，即有，于是，即函數(shù)的周期為4，有，C正確；因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，解得，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，D錯(cuò)誤．故選：ABC9．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有8個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值不可能為（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】AD【分析】對方程變形，因式分解得到或，畫出的圖象，結(jié)合圖象特點(diǎn)，對進(jìn)行分類討論，求出答案.【詳解】由，得，解得或，作出的圖象如圖所示，若，則或，設(shè)，由，得，此時(shí)或.當(dāng)時(shí)，，有2個(gè)不等的實(shí)根;當(dāng)時(shí)，，有2個(gè)不等的實(shí)根，所以有4個(gè)不等的實(shí)根，若原方程至少有8個(gè)不等的實(shí)根，則必須有且至少有4個(gè)不等實(shí)根，若，由，得或有1個(gè)根，有3個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)有4個(gè)不等的實(shí)根，滿足題意;若，由，得有1個(gè)根，不滿足題意;若，由，得有1個(gè)根，不滿足題意;若，由，得或或，當(dāng)有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)不等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)共有7個(gè)不等的實(shí)根，滿足題意.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：AD.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).三、填空題10．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【分析】先計(jì)算得到函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，又由當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，從而根據(jù)對稱性和單調(diào)性可得或或，求解即可.【詳解】依題意，，故，故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，且因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于中心對稱，所以在上單調(diào)遞減，且.而，故或或，解得或，故所求不等式的解集為.故答案為：【真題感知】一、單選題1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因?yàn)?，，顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．3．（江蘇·高考真題）定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，，有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減可得答案.【詳解】定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，?故選：B.二、填空題4．（遼寧·高考真題）設(shè)，則______．【答案】/0.5【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，再求的值．【詳解】∵，∴，∴．故答案為：．5．（全國·高考真題）不等式的解集是___________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】．故答案為：．6．（全國·高考真題）不等式的解集是___________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，解得答案.【詳解】，則，整理得，解得.故答案為：.

第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)冪的大小用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握指數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會(huì)結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考知識(shí)講解指數(shù)的基本知識(shí)根式的基本性質(zhì)①的定義域?yàn)?的定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰郏x域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰荩x域?yàn)橹笖?shù)的基本性質(zhì)①零指數(shù)冪:;②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:③正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:;④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:指數(shù)的基本計(jì)算①同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算②同底數(shù)冪的除法運(yùn)算③冪的乘方運(yùn)算④積的乘方運(yùn)算指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式一般地，函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；時(shí),當(dāng)時(shí)，；時(shí),在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)考點(diǎn)一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．1．（上?！じ呖颊骖}）滿足方程的值為________．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．33．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)考點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．（2023·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2023·安徽安慶·?？家荒＃┖瘮?shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）（多選）已知，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是______.考點(diǎn)三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減1．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)C．是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)2．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四、指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值1．（山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____________.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．2．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)開______．3．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）函數(shù)的最小值為___________.5．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．考點(diǎn)五、指數(shù)值的大小比較（構(gòu)造函數(shù)比較大小）1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．1．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（2023·山東日照·三模）若，則（

）A． B．C． D．3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則“”是“”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則的