微積分學(xué)習(xí)與練習(xí)(例題 練習(xí)冊全集第一至十一章) 公式

一、考題重點內(nèi)容分析

重基礎(chǔ)，全面學(xué)習(xí)

無論是為了學(xué)好還是為在考試中取得理想成績，都應(yīng)當(dāng)全面學(xué)習(xí)、全面復(fù)習(xí)。

下面就（一）微積分的主要考試題目進(jìn)行分析：

【例一】考題（一）（5）（（—+2）1-心=（）

*—1

A.7iB.24C.3nD.44

分析：①學(xué)員需要知道1sin—是奇函數(shù)，所以有：（Psinx2dt=。

②要求學(xué)員根據(jù)定積分的兒何意義知道：「"/?2一》2以是半徑為R的上半圓的面積,所

J-R

以有:

=0+2?,4=）應(yīng)選A。

2

1

【例二】考題（一）（3）lim如--------=（）

x->otanx

A.0B.1C.eD.不存在

分析：①首先，要求學(xué)員知道xf。時，lanx~x。

②要求學(xué)員掌握微積分基本定理：

dcx

—\f（t）dt=f（x）

dx】a

③要求學(xué)員掌握第二個重要極限

lim(l+ax)x=e,

x->0

④要求學(xué)員掌握羅必達(dá)法則

11

lim------------=lim--------------Vtanx^x

x->otanxDx\0)

-lim(l+x)x=e選C。

【例三】考題（三）（18）計算f,1-----------dx

」FA2.X

V4-xarcsin

2

分析：①要求學(xué)員熟記積分表:

1,?x「

,rax=arcsin—+C

7a2-x2a

..X1.

<=>aarcsin—=..rdx

a^a2-x2

②要求學(xué)員熟記積分表:

^—du=ln\u\+C

1—1—dx=f-----5-----t/arcsHI

%JA2

arcsinarcsi-n

22

x

=ln|arcsin^|+C

【例四】考題（三）（22）計算（2——dx

JO1+cosc

分析：①需要學(xué)員掌握三角函數(shù)的倍角公式：

cos2x=2cos2x-1

l+cosc=2co§—

2

②需要學(xué)員熟記微分公式：

,1j

atanx=---------dx

cos~x

③需要學(xué)員掌握分部積分公式：

Judv=uv-^vdu

④需要學(xué)員熟記積分表：

nn

12—--dx=[2—--dx

J014-CO9；J。。2X

2cos—

2

CT.XX2C-X.

=2wtan—=xtan--2tan—ox

Jo22()Jo2

7T

=g+2In|cos=y+21n1

五

71,-

=-----m2

2

主要內(nèi)容反復(fù)練習(xí)

高數(shù)(一)微積分無論從學(xué)習(xí)還是從考試的角度看，最主要也是最核心的內(nèi)容是一元函數(shù)的微分

學(xué)和積分學(xué)及其應(yīng)用：一方面是這部分內(nèi)容占考分的70%；另一方面是這一部分內(nèi)容掌握好了，其他

內(nèi)容特別是多元微積分部分就迎刃而解了。

【例五】考題三(17)y=[lnarctan(l+X2)]2,求y'

分析：這是一道多次復(fù)合而成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，只要關(guān)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，經(jīng)過

多次復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式便可容易得到結(jié)果，請看：

V=2[lnarctan(l+x2)][lnarctan(l+x1)]'

=21narctan(1+x2)------------------|arctan(l+x1)]'

arctan(l+x2)

21narctan(l+x2)1八?、,

=-------------------------------------—(l+xz)

arctan(l+x)1+(1+x)

_4xlnarctan(l+x)

(x4+2x2+2)arctan(l+x2)

【例六】考題三(16)

*IAA-[.A/4—2x—+x

計算hm-------------

xf。Jl+X—Jl—X

分析：本題雖然是未定式0型，但不宜用羅必達(dá)法則，但在教材的例題和作業(yè)中，經(jīng)常利用公

a2-h2

式a-b=3~匕變形后計算，所以有：

a+b

-3x

j4—2x-J4+】，4-2x+j4+x

hm——~=hm-----------------------

x—J]+x—Ji—%x—

Jl+%+—x

..-3(Jl+?￥+J1—+)323

=lim----——.----f—…=——x—=

D2“4—2x+j4+x)244

【例七】計算定積分

—dx

J()x2+4文+3

分析：

解法一：①需要學(xué)員熟記積分公式:

f1111a+x「

I-----dx=—In-----+C

J一式2aa-x

j-3―~~7dx=--—Ina+x\

jx2-a22aI+C

a-x

②需要學(xué)員知道完全平方公式:

(x±a)=x±2ax-va

r2121

[F---------dx=\f----------或x+2)

Jox2+4x+3J()(x+2)2-1

2

1.l+(x+2)

—In----------=--{ln--ln-}

21—(x+2)0231

2925

a-b11

解法二:①部分分式需要學(xué)員知道:----=-----

abba

②學(xué)員應(yīng)熟記積分公式:

——--dx=~\n\ax+b\+C

ax+ba

p1dx=pl(x+3)-(x+l)

JoX2+4x+3c_Jo5(x+3)(x+l)dx

12

1211+1

z一

=-(

2)x32-3

x+X++o

I3119

X

---I=--

253/25

【例八】考題三⑵)y=+4求dy

分析：本題是只有一次復(fù)合而生成的函數(shù)，直接用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式即可

dy=y'dx=—1〔(x+4xydx

2{X+G

]2y[x+1

dx

2)x+五4Jx+4xy[x

【例九】考題四（24）

y=x2ax(a>0),y=0,x=l所圍圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為生,求ao

5

2

解：Vx=7r^ydx

寸）02+斕2公

"I)a"+2改3-i-a2x2)dx

524123\

XH--UX+-ClX)

43o

A112、%

=%(—i—aH—a)=一

5235

1.-a+-a2=0

23

3

**?。=0a=—(舍去)

2

【例十】考題三(23)

D是x=l,y=2,y=x-l所圍區(qū)域

求jjsiny2db

D

解：因為sin/對y積分原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以應(yīng)先對x積分

D：0WyW2,IWxWl+y

JJsiny2db=j)力j's\ny2dx

D

=j^(siny2)x|jdy=^ys\x\y2dy

121

=——cosy=—(1-cos4)

2o2

【例d—］考題三(20)/一切2+sin(xz)=0確定z］zy

解：*/F=ez-xy2+sin(xz)

F；=-y2+zcos(xz)

Fy=-2xy

F［=ez+xcos(xz)

?，—理_-y2+zcos(xz)

??zx-------=--------------------------

F：ez+xcos(xz)

，F(xiàn)y-2xy

Zy=----=——----------------

&ez+xcos(xz)

上面所列考題，都是教材和作業(yè)中常見的練習(xí)題和例題的類型題，只要考生在學(xué)習(xí)過程中反復(fù)練

習(xí)，就不會感到生疏或困難。建議考生將教材中的練習(xí)做過一遍以后，過兩周再重做一遍，考前再做

一遍，通過考試就會有較大把握。

如今社會上的輔導(dǎo)材料太多，有的并不完全符合考試要求，建議考生還應(yīng)以教材為主，學(xué)習(xí)之余

感到教材練習(xí)已做得很熟練后，再考慮看參考輔導(dǎo)材料。有個別考題，未見得在教材或習(xí)題中見過，

不要因為試卷中有個別偏題，就盲目到處找輔導(dǎo)材料。其實任何一份考試題都會有個別題目難度偏大,

并不為怪，例如在1995年4月高數(shù)(一)的考題中的證明題五(25)就比較困難。

例如考題五(25)

已知f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,證明存在C6(0,1),使得

Cf'(C)+f(C)=f'(C)

本題明顯和微分中值定理有關(guān)系，需要用微分中值定理證明，如果直接做，則有

f(0)=0,但f(l)不知道，立即就出現(xiàn)問題和困難，習(xí)慣是引入一個新函數(shù)，對于大多數(shù)學(xué)員來說，

如何引進(jìn)新函數(shù)是比較困難的，在本題中，因為f(l)不知道，因此新函數(shù)中不應(yīng)出現(xiàn)f(l),因此，令

F(x)=(l-x)f(x)

，F(xiàn)(x)在［0,1］上連續(xù)，且在(0,1)內(nèi)有F,(x)=-/(x)+(l+x)/,(x)

由于F(l)=0,F(l)=0

由羅爾中值定理，存在Cd(0,1),使

F'(C)=Q,即-/(C)+(1-Q/^C)=0

.../(C)=(1-C)/,(C)

...cy,(c)+/(c)=/,(c)

隨時總結(jié)知識，記憶積分表

考生一定要對學(xué)過的知識進(jìn)行總結(jié)，使知識系統(tǒng)化并掌握其中的要點。

例如，學(xué)過不定積分的概念和計算方法以后，可以小結(jié)如下：

(I)不定積分的概念

Jf(.x)dx=F(x)+C?/(x)=F\x)

(II)不定積分的性質(zhì)

(1)Jf'Mdx=/(x)+C或Jdf(x)=f(x)+C

(2)j/(x)iZx=/(x)或“f{x}dx-df{x}

(3)f(x}dx=k^f{x}dx

(4)J[/)(x)+f2(x)]^=J力(x)dx+J力(x)公

(III)基本積分表

(1)Jkdx=kx+C

(2)[x°dr=—5—xa+l+C(aw-l)

Ja+1

⑶1-d!x=ln|x|+C

(4)f——5-dx=—\n\ax-\-b\+C

Jax-vba

x

ca

(5)\axdx=----1-C

JIna

(6)Jexdx=ex+C

(J^eaxdx=-eax+C

(8)jsinAZZX=-cosx+C

(9)Jsin(ax+b)dx=一■-cos(6ix+b)+C

(10)cosxdx=sinx+C

(12)fsec2xdx=[——-dx=tanx+C

JJcos2x

(13)[esc2xdx=[—T：—dx=-cotx+C

JJsin2x

(14)secxtanAz&=secx+C

(15)jesccotxdx=-cscx+C

(16)Jtanxdx=-In|cosx\+C

(17)JcotAzZr=ln|sinx|+C

(18)[secxdx=In|secx+tanx|+C

(19)escxdx=In|escx-cotx|+C

(20)f—r-dx=arctanx+C

J1+無2

,1x一

ax=—airtan—+C

Ja+x

11i?。+X?-

=—In|-------\+C

2aa-x

(23)[「dx=arcsinx+C

f1Y

(24).rdx=arcsin—+C

a

(25)f,dx=\n|\la2+x2+x\+C

Jb+f

(26)J[^^=ln|P(x)|+C

特別情形：Idx=\n\x2±a2|+C

二+

(27)\^^=dx=lJp(X)+C

Jy[p(x)

22

特別情形：JjJ,dx=2ylx+a+C

由于不定積分難度較大，最好多記一些積分表大有好處。

例如，根據(jù)公式(20)和(26)便有:

——^-^rdx

J1八」旨公+l+X2

12

=-ln(l+x)+arctanx+C

1

J-dx=

,x[+ex

=[(1----------)dx=x-ln(l+ex)+C

J\+ex

根據(jù)公式(25)和(27)便有:

xI1dx

=dx==公+

2

2+l+1ylx+1

2

ylx+\+In|+i+x?+c

根據(jù)公式(23)和(27)便有:

,xdx+「1dx

J?Jl-f

=-71-x2+arcsinx+C

(IV)換元積分公式(一)湊微分法

J〃g(x)]g，(x)公=J/[g(x)]dg(x)

=Jf(u)du令〃=g*)

常見情形有：

(1)Jf(ax+b)dx=—Jf(cix+b)d{ax+b)

(2)jf(xn)x'idx=-^f(xn)dxn

(3)J/(Inx)—tZr=Jf(\nx)dlnx

(4)^f(ex)exdx=^f(ex)dex

(5)1/(sinx)cosxdx=J/(sinsinx

(6)|/(cosx)sinxdx=-j/(cosx)dcosx

(7)f/(tanx)sec2xdx=f/(tanx)——dx

JJcos2x

-J/(tanx)dtanx

(8)|/(cotx)esc2xdx=-J/(cotx)dcotx

(9)J/(arcsinx)/=dx=J/(arcsinx)darcsinx

(10)|/(arctanx)—公=j/(arctanx)darctanx

此外，還需注意：

d^x2±a2=-=^=dxdyla2-x2=——/xdx

ylx2±a2^a2-x2

Jln(7x2±cr+x)=/1:dx

（V）換元積分法（二）

令x=g(r)=>dx=g'(t)dt

二J7(x)4x=J7[g(f)]g?Mr

常見情形有：

①f(x)中含有tax+b時,令Vax+b=t

②f(x)中含有Ja?-x?時,令x二asint

③f（X）中含有Ja2+x2時,令x=atant

@f(x)中含有Jx2-a2時,令x=asect

均能達(dá)到有理化的目的。

（VI）分部積分公式

udv=wv-Jvdu

或juv'dx=uv-^u'vd:

常見情形有:

(y)^xneaxdx=\xnd^-eax)

Ja

(2)Jx〃sinoxzir=Jx〃d(-Lcosor)

(3)Jxncosaxdx=sinax)

(4)jxsec2xdx=^xdtanx

(5)J(Inx)xndx=jInM

H4-1

(6)J(arctanx)xndx=Jarctanxd(—彳xn+i)

(7)J(arcsinx)x,ldx=Jarcsinxd(J〔x,?+l

)

此外，需記住下列結(jié)果:

feaxsinbxdx=—----eax(asinbx-bcosbx)+C

Ja2+b2

[eaxcosbxdx=--eax(bsin/?x+acosbx)+C

Ja1+b2

打好基礎(chǔ)練習(xí)，做拔高訓(xùn)練

在基本練習(xí)題已經(jīng)比較熟練的基礎(chǔ)上，可以做一些下面的例題，以達(dá)到提高水平的目的。

【例一】計算

解：J(arcsin：).】=(^csin^)darcsinj

=—(arcsin—)2+C

23

.x.

(2)arcsin—ox

3

解：[arcsHW^=^arcsHI-f,Xdx

J33

=xarcsin—+^9-x2+C

3

【例二】計算

(1)[\n(y]x2+1+x)?/1dx

J

解：fln(7x2+1+x)?/dx

J777T

=Jln(7x2+1+x)dln(7^2+1+x)

=-[ln(7x24-l+x)]2+C

2

(2)Jln(7x2+1+x)dx

解：jin”.+1+x)公

2

=x\n(ylx+1+x)-Jj」dx

=xln(7%2+1+冗)-V%2+1+C

【例三】計算

解：令G=i，x=，2,dx=2tdt

Je4公=J2te%f=2(r-l)ez+C

=2(6-1)渣+C

【例四】計算。3*??2址

解：Je3xcos2xdx=gje”(1+cos2x\lx

=g{Je"dx+Je3xcos2xdx}

=g{g/“+-^e3x(2cos2x+3sin2x))4-C

【例五】考題三(18)

1

計算f^=dx

-x2arcsi.n%

2

解：令x=2sintdx=2costdt

.x

r=arcsin—

2

?■1J2cosr.

dx=-------dt

』4一x2arcsin—(2cos。/

2

二、練習(xí)做題

?微積分(上)練習(xí)冊-［第一章］函數(shù)

習(xí)題1-1函數(shù)

1.填空題:

(1)y=log2(log3x)的定義域。

,----3—2x

(2)y=J3-v+arcsin---的定義域。

1—X

(3)y=——的反函數(shù)__________o

1+x

(4)已知+3+3,則/(x)=_________

Vxjx

|sinx|,|x|<y

,求夕(?),。(一2),并作出函數(shù)〃=。(1)的圖形。

2.設(shè)(p{x)=<

。小信

班級：姓名：學(xué)號:

3.指出下列函數(shù)的復(fù)合過程。

(1)y—ex

(2)y=1

(3)y=arcsin[ln(2x+1)]

4,設(shè)/(x)為定義在(-L,L)內(nèi)的奇函數(shù)，若/(x)在(0,L)內(nèi)單調(diào)增加，證明：/(x)在(-L,0)

內(nèi)也單調(diào)增加。

?微積分（上）練習(xí)冊?［第一章］函數(shù)

x,x>0

5.設(shè)/(%)=<

1,x<0

（1）求/（X-1）;

(2)求/(x)+/(x—1),(寫出最終的結(jié)果)

班級：姓名：學(xué)號：

6.某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸公里運(yùn)價為：在a公里內(nèi)，每公里k元；超過a公里，超過部分每公

4

里二k元，求運(yùn)價m和里程s之間的函數(shù)關(guān)系，并作出此函數(shù)的圖形。

7.某商店年銷售某種產(chǎn)品800件，均勻銷售，分批進(jìn)貨。若每批訂貨費(fèi)為60元，每件每月庫存

費(fèi)為0.2元，試列出庫存費(fèi)與進(jìn)貨費(fèi)之和p與批量x之間的函數(shù)關(guān)系。

?微積分（上）練習(xí)冊-［第一章］函數(shù)

習(xí)題1-2常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)

1.某車間設(shè)計最大生產(chǎn)力為月生產(chǎn)100臺機(jī)床，至少要完成40臺方可保本，當(dāng)生產(chǎn)x臺時的總成

本函數(shù)4》）=，+1（氏（百元），按市場規(guī)律，價格為p=250—5x（x為需求量），可以銷售完，試

寫出月利潤函數(shù)。

2.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品年產(chǎn)量為x臺，每臺售價為250元，當(dāng)年產(chǎn)量在600臺內(nèi)時，可全部售出，

當(dāng)年產(chǎn)量超過600臺時，經(jīng)廣告宣傳后又可再多出售200臺，每臺平均廣告費(fèi)為20元，生產(chǎn)再多，本

年就售不出去了。試建立本年的銷售收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系。

班級：姓名：學(xué)號：

3.當(dāng)某商品價格為P時，消費(fèi)者對此商品的月需求量為D(P)=I2X103-200P.

(1)畫出需求函數(shù)的圖形；

(2)將月銷售額(即消費(fèi)者購買此商品的支出)表達(dá)為價格P的函數(shù)。

(3)畫出月銷售額的圖形，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

?微積分(上)練習(xí)冊-［第一章］函數(shù)

4.收音機(jī)每臺售價為90元，成本為60元，廠商為鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過100

臺以上的，每多訂購100臺售價就降低1元，但最低價為每臺75元：

(1)將每臺的實際售價P表示為訂購量X的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤表示為訂購量X的函數(shù)；

(3)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少？

班級：姓名：學(xué)號：

5.某飯店現(xiàn)有高級客戶房60套，目前租金每天每套200元則基本客滿，若提高租金，預(yù)計每租

金提高10元均有一套房間會空出來，試問租金定為多少時，飯店租收入最大？收入多少元？這時飯店

將空出多少套高級客房？

?微積分（上）練習(xí)冊-［第二章］極限與連續(xù)

習(xí)題27極限

1.填空:

lim/(x)=A

x—>x0+

lim/(x)=A

x―XQ—

對任意給定時，總有

lim/(x)=A的￡>0使得當(dāng)

總存在

%-%

lim/(x)=A

X—>4-00

lim/(x)=A

xf-oo

lim/(x)=A

X—>00

limx〃=A

I怎-

n-8

2

2.用極限的定義證明：lim‘=O

"T8

班級:姓名:學(xué)號:

3.若lim%=a,證明：iimlw=并舉例說明反過來未必成立。

?—>00“Tgl111

4.求y(x)=[x]在x-0時的左右極限，并說明它在xf0的極限是否存在。

?微積分(上)練習(xí)冊-［第二章］極限與連續(xù)

5.證明：若lim〃“=A,且4>(),則存在N>(),當(dāng)〃>N時，恒有%>0.

6.證明：lim/Q)=A的充要條件是lim/(x)=limf(x)=A

XfXoXTX。+X—>X0-

班級：姓名：學(xué)號:

7.設(shè)=回答下列問題:

X

（1）函數(shù)/（X）在x=（）處的右，左極限是否存在？

（2）函數(shù)/（x）在x=（）處是否有極限？為什么？

（3）函數(shù)/（%）在x=l處是否有極限？為什么？

?微積分（上）練習(xí)冊?［第二章］極限與連續(xù)

習(xí)題2-2無窮小，無窮大，極限運(yùn)算法則

1.填空題：

(1)若1加r,+"+”=2,則〃=________,b=_______.

Xf2X—x—2

(4r2+3、

(2)若lim---------Fax-vb=2,則。=_________,b=______.

X—>00Y_1

\A17

(3)若lim"”+''—2,則。=________,b=______.

xfx-l

(4)lim(x2-100x-105)=_______.

Xf+co'/

14.7r

2.根據(jù)定義證明：y為當(dāng)xf0時的無窮大，問尤應(yīng)滿足什么條件，能使帆>1。4?

班級:姓名:學(xué)號:

3.計算下列極限.

/、一arctanx

(1)hm-----------(2)

ISX

(3)lim*2(4)limiJ

ix2+1A->0h

?微積分（上）練習(xí)冊?［第二章］極限與連續(xù)

-4-1

(5)lim^~-(neN)(6)lim---------

3X-1XT0°x4-3x-2

x2+3x(2x-l),0.(3x+2)20

(7)lim(8)lim

xf3x-^c(5x+l)30

班級：姓名：學(xué)號:

(9)lim|1+—+—+—

…(242"

3、5"+(-2)"

(11)lim(12)lim

“TOO5n+1+(-2)川

?微積分(上)練習(xí)冊-［第二章］極限與連續(xù)

習(xí)題2-3極限存在準(zhǔn)則，兩重要極限及無窮小比較

1.計算下列極限

/八sin3x/入、「1-cos2x

(1)lim------(2)lim-----------

sin5xsoxsi;nx

Y1+x

⑶映2"。也^小為不等于。的常數(shù)）(4)lim

A—>oo|X

班級：姓名:學(xué)號:

2.利用夾逼準(zhǔn)則計算下列極限

(1)lim+...+

〃T8

(2)limx-[g],其中y=[x]為取整函數(shù)

(3)數(shù)列$=V2,X2=)2+V5,二3=，2+,2+收=J2+，2+...+后

〃個腦號

(1)證明：limx”存在.(2)求limx〃

?微積分(上)練習(xí)冊-［第二章］極限與連續(xù)

4.當(dāng)x-1時，無窮小l-x和下列無窮小是否同階？是否等價？

(1)l-x2(2)1(l-x3)

5.已知當(dāng)XfO時，(1++)一1與1一cosX是等價無窮小,

6.已知lim(—]=2,求c.

^^XX-cJ

班級：姓名：學(xué)號:

7.利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列極限.

,、arctan3x,、「tanx-sinx

(1)lim—；-----(2)hm---------

入一°sin2xio(arctanx)*

(4)limlMTx)

(3)limx21cosll

Ix->°sin5x

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習(xí)題2-4函數(shù)的連續(xù)性

1.填空題

(1)設(shè)/(x)JnQx),若補(bǔ)充/?)=可使/(X)在尤=0處連續(xù).

X

r2—1

(2)工=1是》=娟__的第______類間斷點，且為______間斷點.

x2一31+2

X

(3)函數(shù)y=——,x=0是第類間斷點，且為間斷點.

tanx

x=k7T(k=±1,±2…)是第類間斷點，且為間斷點.

x=k7r+^(k=±1,±2...)是第類間斷點，且為間斷點.

\x-a\

(4)%=。是丁=^——的第類間斷點，且為間斷點.

x-a

,1

(5)工=0是＞=00$2乙的第類間斷點，且為間斷點.

X

2-1

2.指出函數(shù)y=r—的間斷點，并判定其類型.

2；+1

班級：姓名：學(xué)號:

1-2?

3.已知y=lim---%-—?%,

“一81+x

(1)求函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式.

(2)討論了(尤)的連續(xù)性，若有間斷點，判別其類型.

4.設(shè)/(x)=1可2

(a>0),當(dāng)“取何值時，/(x)在x=0處連續(xù).

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5.求下列函數(shù)的極限.

(1)limsin

x-?0

/、sinx-sina

(4)lim----------

f,x-a

班級:姓名：學(xué)號:

1

(5)lime'(6)limcosIn1+

x-xx)I

(7)lim(l+x2)CI"(8)limlnA

—x2-1

sinm

(9)(m卜+](aw。)(10)lim

x-a)4(x-l)

?微積分（上）練習(xí)冊?［第二章］極限與連續(xù)

習(xí)題2-5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.試證下列方程在指定區(qū)間內(nèi)至少有一實根.

（1）工5—3%—1=0,在區(qū)間（1,2）；

(2)x=ex-2,在區(qū)間(0,2).

班級:姓名:學(xué)號:

2.設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間［0,20上連續(xù)，ja/(o)=y(2?)

證明：在［0,0上至少存在一點3使/G)=/(J+a).

3.證明方程3*=2至少有一個小于1的正根.

?微積分(上)練習(xí)冊?［第二章］極限與連續(xù)

4.若/(x)在(a,b)上連續(xù)，%］,%21./”為(。，b)內(nèi)的〃個點，

證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點J,使/(J)=Uf(xJ+/(X2)+-+/(x.)］

n

5.設(shè)/(x)在［a,勿上連續(xù)，且無零點，則/(尤)在［a,句上的值不變號.(提示：用反證法)

班級:姓名:學(xué)號:

6.若/(x)與g(x)都在［a,6上連續(xù)，且/(。)<g(a),/3)>g(。)，則至少存在一點ce(a,。),

使/(c)=g(c).

7.若/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且lim/(x)=+oo,lim/(x)=+oo

x—>a+x-^b-

證明：/(x)在(a,b)內(nèi)有最小值.

?微積分(上)練習(xí)冊-［第三章］導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性

習(xí)題37導(dǎo)數(shù)的概念

1.填空題：

(1)若/(0)=0,/'(0)=A,則lim^^=________.

XT°X

(2)若尸(%)存在，則下列的A取何值.

limA=.

仆詞-4。)=A,

Ar

lim/(xo+A)-/(xo-/z)=&■=_____

1。h

(3)函數(shù)y=/(x)在x=x()處可導(dǎo)是y=/(x)在x=x()處連續(xù)的條件.

(4)曲線＞=,在％=」處切線方程_____,法線方程______.

x2

2.利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)/(%)=,求/'(x)(2)/(耳二二在工二與處的導(dǎo)數(shù)71%).

X

班級：姓名：學(xué)號:

3.設(shè)/(x)=(x-x°)g(x)，其中g(shù)(x)在/處連續(xù),求/'(%).

v*~sin]v0

4.討論函數(shù)y=<F在x=o處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

0,x=0

■微積分（上）練習(xí)冊?［第三章］導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性

a+bx,x>0,.

5.已知/（冗）=<在％=0處可導(dǎo)，求〃，b.

cosx,x<0

Y'XV()

6.設(shè)/(x)=｛；,求導(dǎo)函數(shù)f(x).

x,x>0

班級：姓名：學(xué)號:

7.已知/(x)在x=l處連續(xù)，且lim/3=2,求/'⑴.

xfX-\

8.若/'(%o)=A,求lim〃yfxo+口

eg|_Vnj

?微積分（上）練習(xí)冊-［第三章］導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性

習(xí)題3-2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（“、仄C,為常數(shù)，X、八〃為自變量）

,、五2JI

(1)y=----(2)y=2excosx+sin—

2G5

(3)y=sinxcosx(4)y=ax-xa(a>0,aw1)

班級:姓名:學(xué)號:

1+sinr1+1

(5)s=----------(6)y

1+cost1+y[u1—yJ~U

2.求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù).

.14dy71

(1)y=^?sin^4--coscp,求^

2d(p

⑵刖=呂,求尸⑷

■微積分（上）練習(xí)冊?［第三章］導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性

xtanx,x>0

3.設(shè)/（》）=<0,x=0,求r（O）"Q）

ex-1,x<0

4.求曲線丁=》2+》一2的切線方程，使此切線平行于直線x+y-3=0.

班級：姓名：學(xué)號:

5.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)P=20-g,P為價格，。為銷售量.

(1)求收益R(Q)對銷售量。的變化率.

(2)問當(dāng)銷售量分別為15和20時，哪一點處收益變化得快？