充分條件與必要條件 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

1.4.1充分條件與必要條件

一、命題

一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題.若p，則q命題的條件命題的結(jié)論例1

將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并指出命題的條件與結(jié)論.(1)對頂角相等；

(2)兩個全等三角形的面積相等；

(3)三角形的內(nèi)角和等于180°

若一個平面圖形是三角形，則它的內(nèi)角和等于180°.若兩個角是對頂角，則這兩個角相等.若兩個三角形是全等三角形，則這兩個三角形面積相等.二、充分條件與必要條件思考1(教材P17)

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若x2-4x+3=0，則x=1；(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b.

命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系條件關(guān)系p?qp?qp是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件想一想

若q不成立，則p是否成立？請舉例說明.例：若參評三好學生，則平均分要大于90分.不成立q是p成立必不可少的條件二、充分條件與必要條件例2(教材P18例1節(jié)選)

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件?

(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；(2)若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；(3)若x2=1，則x=1；(4)若x，y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù).p?qp?qp?qp?q思考2(教材P18)

例2(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分

別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形.歸納

平行四邊形的每條判定定理實際上都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件.一般地，數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的一個充分條件.二、充分條件與必要條件例3(教材P19例2節(jié)選)

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件?

(1)若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；(2)若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；(3)若x=1，則x2=1；(4)若xy為無理數(shù)，則x，y為無理數(shù).p?qp?qp?qp?q思考3

例3(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩組對角分別

相等”.這樣的必要條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的必要條件嗎？①若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等；③若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分.歸納

平行四邊形的每條性質(zhì)定理實際上都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件.一般地，數(shù)學中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的一個必要條件.二、充分條件與必要條件例4(P20練習1)1.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若平面內(nèi)點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB；(2)若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；(3)若兩個三角形相似，則兩個三角形的面積比等于周長比的平方.(P20練習2)2.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若直線l與⊙O有且僅有一個交點，則l為⊙O的一條切線；(2)若x是無理數(shù)，則x2也是無理數(shù).(P20練習3)3.如圖，直線a與b被直線l所截，分別得到了∠1，∠2，∠3和∠4.請根據(jù)

這些信息，寫出幾個“a∥b”的充分條件和必要條件.p?qp?qp?qp?qp?q充分條件：“∠1=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3=180°”必要條件：“∠1=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3=180°”三、充分(必要)條件與集合的關(guān)系例5指出下列哪些命題中p是q的充分條件？

(1)已知x∈R，p：x>2，q：x>1；

(2)已知x∈R，p：x>2，q：x>3(3)已知x∈R，p：x>2，q：x>2.p?qp?qp?q思考4

觀察例5，你能否利用集合間的關(guān)系判斷充分條件和必要條件.設(shè)P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}

定義Venn圖集合表示p?qP?Q小范圍?大范圍判斷充分(必要)條件的方法(1)定義法；(2)集合法.三、充分(必要)條件與集合的關(guān)系例6

已知p：實數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實

數(shù)a的取值范圍.設(shè)集合A＝{x|3a<x<a}，集合B＝{x|－2≤x≤3}.因為p?q，所以A?B.訓練1(1)

使x>3成立的一個充分條件是()A.x>4B.x