4.3.1等比數(shù)列的概念（第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列

等比數(shù)列的概念第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能夠根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).2.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)

1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則

.

2.an=am·

(q為公比,m,n∈N*).

3.在等比數(shù)列{an}中,公比為q,每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng),取出的項(xiàng)按原來(lái)順序組成新數(shù)列,該數(shù)列仍然是等比數(shù)列,公比為

.

aman=apaq

qn-mqk+1名師點(diǎn)睛等比數(shù)列{an}的增減性(1)當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),{an}是遞增數(shù)列.(2)當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),{an}是遞減數(shù)列.(3)當(dāng)q=1時(shí),{an}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí),{an}是擺動(dòng)數(shù)列.思考辨析已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么數(shù)列a1,a4,a7,…,a3n-2是等比數(shù)列嗎?如果是的話公比是多少?提示

是等比數(shù)列,公比為q3.自主診斷1.在等比數(shù)列{an}中,已知a3=2,q=-1,則a15=

.

2解析

a15=a3q12=2×(-1)12=2.2.[人教B版教材習(xí)題改編]已知等比數(shù)列{an}中,a5=20,a15=5,則a25=

.

3.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a4a8a12=8,則log2a2+log2a14=

.

2重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用角度1.等比數(shù)列的增減性【例1-1】

(1)已知{an}是遞增的等比數(shù)列,且a2<0,則其公比q滿足(

)A.q<-1 B.-1<q<0C.q>1 D.0<q<1D解析

{an}是等比數(shù)列,故an=a1qn-1,當(dāng)q<0時(shí),{an}各項(xiàng)正負(fù)項(xiàng)間隔,為擺動(dòng)數(shù)列,故q>0,顯然q≠1,由a2=a1q<0得a1<0,又{an}是遞增的等比數(shù)列,故{qn-1}為遞減數(shù)列,所以0<q<1.故選D.(2)(多選題)下面關(guān)于公比為q的等比數(shù)列{an}的敘述不正確的是(

)A.q>1?{an}為遞增數(shù)列B.{an}為遞增數(shù)列?q>1C.0<q<1?{an}為遞減數(shù)列ABC解析

若a1=-2,q=2>1,則{an}的各項(xiàng)為-2,-4,-8,…,是遞減數(shù)列,A不正確;若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)為-16,-8,-4,-2,…是遞增數(shù)列,則q=<1,B不正確,D正確;若a1=-16,q=∈(0,1),則{an}的各項(xiàng)為-16,-8,-4,…,顯然是遞增數(shù)列,C不正確.變式訓(xùn)練1(1)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列,則“a2>a1>0”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

∵a2>a1>0,設(shè)q為{an}的公比,∴a1q>a1>0,可得q>1,于是數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;∴“a2>a1>0”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選A.(2)已知q是等比數(shù)列{an}的公比,則“a1(1-q)>0”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件D解析

已知q是等比數(shù)列{an}的公比,當(dāng)a1=1,q=-1時(shí),a1(1-q)>0,數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,推不出數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.當(dāng)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時(shí),不妨取an=2n,則a1=2,q=2,不滿足a1(1-q)>0.故“a1(1-q)>0”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.角度2.等比數(shù)列的常用性質(zhì)【例1-2】

(1)已知{an}為等比數(shù)列.①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.②根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.(2)[蘇教版教材習(xí)題]已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,且a1a2a3…a30=230,求a3a6a9…a30的值.解

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1·a30=a2·a29=…=a15·a16,∴a1·a2·a3·…·a30=(a15·a16)15=230,∴a15·a16=4.變式探究1(變條件變結(jié)論)在例1-2(1)①中,添加條件a1a7=4,其他條件不變,求an.解由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a5=a1a7=4,又由例1-2(1)①知a3+a5=5,解得a3=1,a5=4或a3=4,a5=1.由an>0知公比q>0,若a3=1,a5=4,則q=2,an=2n-3;變式探究2(變條件變結(jié)論)在例1-2(1)②中添加“an>0”,求log2a1+log2a2+…+log2a10的值.解

∵a1·a2·a3…a30=(a15·a16)15=230,∴a15·a16=4,∴a5a6·220=4,∴a5a6=2-18.∴l(xiāng)og2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a5a6)5=-90.規(guī)律方法

應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的解題策略(1)等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形,熟練掌握和靈活運(yùn)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等比數(shù)列問(wèn)題.(2)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中涉及的數(shù)列各項(xiàng)的下標(biāo)之間的關(guān)系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則aman=apaq;②若探究點(diǎn)二等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【例2】

有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的和是16,中間兩個(gè)數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).變式探究1(變條件)將例2中的條件改為“有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是-8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積為-80”,求這四個(gè)數(shù).變式探究2(變條件變結(jié)論)將例2中的條件改為“有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,其積規(guī)律方法

等比數(shù)列的項(xiàng)的巧妙設(shè)法在等比數(shù)列中,靈活設(shè)項(xiàng)是非常重要的.一般來(lái)說(shuō),當(dāng)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí),探究點(diǎn)三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】

[北師大版教材習(xí)題改編]某工廠2023年產(chǎn)值為200萬(wàn)元,計(jì)劃從2024年開始,每年的產(chǎn)值比上一年增長(zhǎng)20%.問(wèn)至少?gòu)哪哪觊_始,該廠的年產(chǎn)值可超過(guò)1200萬(wàn)元?(lg2≈0.3,lg6≈0.78)解每年的產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列{an},a1=200,公比q=1+20%=1.2.由an=200×1.2n-1>1

200,得n>1+log1.26≈1+9.75=10.75,n≥11.2

023+11-1=2

033,即至少?gòu)?033年開始,該廠的年產(chǎn)值可超過(guò)1

200萬(wàn)元.規(guī)律方法

等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的求解策略(1)一般地,產(chǎn)值增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行利息問(wèn)題、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問(wèn)題,往往與等比數(shù)列有關(guān),可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解.(2)建立等比數(shù)列模型進(jìn)行運(yùn)算時(shí),往往涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)方程或不等式的問(wèn)題,要注意運(yùn)算的正確性,還要善于進(jìn)行估算,對(duì)于近似計(jì)算問(wèn)題,答案要符合實(shí)際問(wèn)題的需要.變式訓(xùn)練2十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬(wàn)歷十二年(公元1584年),他寫成《律學(xué)新說(shuō)》,提出了十二平均律的理論,這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過(guò)絲綢之路帶到了西方,對(duì)西方音樂(lè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是:在1和2之間插入11個(gè)正數(shù),使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列,依此規(guī)則,新插入的第2個(gè)數(shù)應(yīng)為(

)A本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(2)等比數(shù)列中項(xiàng)的設(shè)解技巧.(3)等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:定義法、類比、分類討論.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a2a9=8,a5=2,則公比q為(

)B解析

由已知得a2a9=a5a6=8,而a5=2,所以a6=4,所以公比q==2.123452.在等比數(shù)列{an}中,a4=24,a6=6,則a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15C解析

由等比數(shù)列{an},可知

=a4a6=24×6=144,解得a5=±12.123453.對(duì)任意等比數(shù)列{an},下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列D解析

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=2k(m,n,k∈N*),則am,