2.3函數的單調性和最值（第2課時函數的最值）課件高一上學期數學北師大版

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函數的單調性和最值第2課時函數的最值第二章函數北師大版

數學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.理解函數的最大值和最小值的概念及其幾何意義.2.能借助函數的圖象和單調性,求一些簡單函數的最值或值域.3.能利用函數的最值解決有關的實際應用問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點

函數的最值1.定義名稱前提條件圖象函數的最大值M設函數y=f(x)的定義域是D.若存在實數M,對所有的x∈D都有

且存在x0∈D,使得f(x0)=M

函數的最大值對應其圖象

點的縱坐標

函數的最小值M都有

函數的最小值對應其圖象

點的縱坐標

注意M是一確定的實數x0也可理解為方程f(x)=M的根2.函數的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.f(x)≤M

f(x)≥M最高

最低

名師點睛函數的最值和值域的聯系與區(qū)別(1)聯系:函數的最值和值域反映的都是函數的基本性質,針對的是整個定義域.(2)區(qū)別:①函數的值域一定存在,而函數的最大(小)值不一定存在;②若函數的最值存在,則最值一定是值域中的元素.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)f(x)=在其定義域內無最大值、最小值.(

)(2)f(x)=2x2+4x+1的值域為[-1,+∞).(

)(3)若函數f(x)在其定義域內有最大值和最小值,則最大值一定大于其最小值.(

)√√×2.函數y=-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最大值為

.

2解析

函數y=-3x2+2的圖象的對稱軸為直線x=0,又0∈[-1,2],∴f(x)max=f(0)=2.3.[人教B版教材例題]判斷函數f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的單調性,并求這個函數的最值.解

任取x1,x2∈[-1,6]且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0,所以這個函數是增函數.因此,當-1≤x≤6時,有f(-1)≤f(x)≤f(6),從而這個函數的最小值為f(-1)=2,最大值為f(6)=23.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求函數的最值角度1利用函數的圖象求最值【例1-1】

已知函數y=-|x-1|+2,畫出函數的圖象,確定函數的最值情況,并寫出值域.由圖象知,函數y=-|x-1|+2的最大值為2,沒有最小值.所以其值域為(-∞,2].規(guī)律方法

圖象法求最值的基本步驟

(1)畫出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫出該函數的最大值和最小值.解

(1)函數f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.角度2利用函數的單調性求最值【例1-2】

已知函數f(x)=x+.(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調性;(2)根據f(x)的單調性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.解

(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,則∵1≤x1<x2≤2,∴x1-x2<0,1<x1x2<4,x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞減.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2)=2+=4,f(x)的最大值為f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.變式探究本例已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.規(guī)律方法

函數的最值與單調性的關系(1)若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上單調遞增(或單調遞減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上單調遞增(或單調遞減),在區(qū)間(b,c]上單調遞減(或單調遞增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.(3)若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的線,則函數f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.角度3利用數形結合思想與分類討論思想求一元二次函數的最值【例1-3】

求函數y=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最值.解

y=(x-a)2-1-a2.當a<0時,函數在[0,2]上單調遞增,如圖①.故函數在x=0處取得最小值-1,在x=2處取得最大值3-4a.當0≤a≤1時,結合函數圖象(如圖②)知,函數在x=a處取得最小值-a2-1,在x=2處取得最大值3-4a.當1<a≤2時,結合圖象(如圖③)知,函數在x=a處取得最小值-a2-1,在x=0處取得最大值-1.當a>2時,函數在區(qū)間[0,2]上單調遞減,如圖④.函數在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.綜上,當a<0時,函數在區(qū)間[0,2]上的最小值為-1,最大值為3-4a;當0≤a≤1時,函數在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;當1<a≤2時,函數在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為-1;當a>2時,函數在區(qū)間[0,2]上的最小值為3-4a,最大值為-1.規(guī)律方法

1.探求一元二次函數在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的圖象,再根據函數的單調性進行研究.特別要注意一元二次函數圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系,它是求解一元二次函數在已知區(qū)間上最值問題的主要依據.一元二次函數圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系通常有三種:(1)對稱軸在所給區(qū)間的右側;(2)對稱軸在所給區(qū)間的左側;(3)對稱軸在所給區(qū)間內.2.對于一元二次函數f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值可作如下討論:h與m,n的關系f(x)的單調性最大值最小值h<m在[m,n]上單調遞增f(n)f(m)h>n在[m,n]上單調遞減f(m)f(n)m≤h≤nm≤h<在[m,h]上單調遞減,在(h,n]上單調遞增f(n)f(h)h=f(m)或f(n)f(h)<h≤nf(m)f(h)變式訓練2函數f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值為g(t),求g(t)的表達式.解

由函數f(x)=x2-2x+2知其圖象開口向上,對稱軸為直線x=1.下面分三種情況討論:當t+1≤1,即t≤0時,如圖①所示,此時函數f(x)在[t,t+1]上單調遞減,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.當

即0<t<1時,如圖②所示,此時,函數f(x)在[t,1]上單調遞減,在[1,t+1]上單調遞增,∴g(t)=f(1)=1.當t≥1時,如圖③所示,此時,函數f(x)在[t,t+1]上單調遞增,∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.探究點二與最值有關的應用問題【例2】

某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出,當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛,租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.(1)當每輛車的月租金為3600元時,能租出多少輛車?(2)當每輛車的月租金為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?所以當x=4

050,即每輛車的月租金為4

050元時,租賃公司的月收益最大,最大月收益是307

050元.規(guī)律方法

1.本題建立的是一元二次函數模型,應利用配方法求函數的最值.2.解函數應用題的一般步驟是變式訓練3某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數:其中x(單位:臺)是儀器的產量.(1)將利潤表示為產量的函數f(x).(2)當產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)(2)當0≤x≤400時,f(x)=-(x-300)2+25

000,∴當x=300時,f(x)max=25

000.當x>400時,f(x)=60

000-100x單調遞減,f(x)<60

000-100×400<25

000.∴當x=300時,f(x)max=25

000.即產量為300臺時利潤最大,最大利潤為25

000元.探究點三利用函數的最值解決恒成立問題所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.記y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),因為y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上單調遞增,故當x=1時,y取得最小值,最小值為3+a,所以當3+a>0,即a>-3時,f(x)>0恒成立,所以實數a的取值范圍為(-3,+∞).規(guī)律方法

對于任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般轉化為最值問題:f(x)min>a來解決.對于任意x∈D,f(x)<a恒成立一般可轉化為f(x)max<a.變式訓練4已知ax2+x≤1對任意x∈(0,1]恒成立,求實數a的取值范圍.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)函數的最值;(2)一元二次函數在給定區(qū)間上的最值(或值域);(3)與最值有關的應用.2.方法歸納:數形結合法、分類討論法.3.常見誤區(qū):在求函數的最值時,一定注意函數的定義域,有值域不一定存在最值.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練1.[探究點一]函數y=-|x|在R上(

)A.有最大值0,無最小值

B.無最大值,有最小值0C.既無最大值,又無最小值

D.既有最大值,又有最小值A解析

因為函數y=-|x|的圖象如圖所示,所以函數y=-|x|在R上有最大值0,無最小值.1234567891011121314151617C1234567891011121314151617A12345678910111213141516174.[探究點一]函數f(x)=x2+3x+2在區(qū)間(-5,5)內(

)A.有最大值42,有最小值12D12345678910111213141516175.[探究點三](多選題)已知函數f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),則下列結論正確的是(

)A.?x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,則實數a的取值范圍是(-∞,-3)B.?x∈[-2,2],f(x)>a,則實數a的取值范圍是(-∞,-3)C.?x∈[0,3],g(x)=a,則實數a的取值范圍是[-1,3]D.?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)AC1234567891011121314151617解析

在A中,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])單調遞減,所以當x=2時,函數取得最小值,最小值為-3,因此a<-3,A正確;在B中,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])單調遞減,所以當x=-2時,函數取得最大值,最大值為5,因此a<5,B錯誤;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴當x=1時,函數取得最小值,最小值為-1,當x=3時,函數取得最大值,最大值為3,故函數的值域為[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正確;在D中,?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)等價于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D錯誤.故選AC.12345678910111213141516176.[探究點一]設函數y=x2-2x,x∈[-2,a],若函數的最小值為0,則a=

.

0解析

作出函數y=x2-2x的圖象如圖所示.若a≥1,則ymin=-1,不符合題意,則a<1,當且僅當a=0時,有ymin=0,所以a=0.12345678910111213141516177.[探究點二·2024北京西城高一期末]“空氣質量指數(AQI)”是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數.當AQI大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動.某地某天0~24時的空氣質量指數y隨時間t變化的趨勢由函數

描述,則該天適宜開展戶外活動的時長至多為

小時.

7123456789101112131415161712345678910111213141516178.[探究點三]已知函數f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值-2.(1)求a,b的值;(2)若在區(qū)間[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求實數m的取值范圍.1234567891011121314151617解

(1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),∴函數f(x)的圖象開口向上,且對稱軸方程為x=2,∴f(x)在[0,1]上單調遞減,∴f(x)max=f(0)=b=1,f(x)min=f(1)=b-3a=-2,∴a=b=1.(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函數g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上單調遞減,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.因此滿足條件的實數m的取值范圍是(-∞,-1).1234567891011121314151617B級關鍵能力提升練9.函數

的值域是(

)A.[-2,2] B.[1,2]C.[0,2] C1234567891011121314151617123456789101112131415161710.(多選題)對于實數x,符號[x]表示不超過x的最大整數,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定義函數f(x)=x-[x],則下列結論正確的是(

)A.f(-3.9)=f(4.1)B.函數f(x)的最大值為1C.函數f(x)的最小值為0D.函數f(x)是增函數AC1234567891011121314151617解析

根據符號[x]的意義,討論當自變量x取不同范圍時函數f(x)=x-[x]的解析式:當-1≤x<0時,[x]=-1,則f(x)=x-[x]=x+1;當0≤x<1時,[x]=0,則f(x)=x-[x]=x;當1≤x<2時,[x]=1,則f(x)=x-[x]=x-1;當2≤x<3時,[x]=2,則f(x)=x-[x]=x-2.畫出函數f(x)=x-[x]的圖象如圖所示.根據定義可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正確;根據圖象易判斷,函數f(x)=x-[x]在最高點處取不到,所以B錯誤;函數圖象最低點處函數值為0,所以C正確;根據函數單調性,可知函數f(x)=x-[x]在特定區(qū)間內單調遞增,在整個定義域內沒有單調性,所以D錯誤.12345678910111213141516171234567891011121314151617D123456789101112131415161712.在實數的原有運算法則中,補充定義新運算“⊕”如下:當a≥b時,a⊕b=a;當a<b時,a⊕b=b.已知函數f(x)=(1⊕x)x-2(2⊕x)(x∈[-2,2]),則滿足f(m+1)≤f(3m)的實數m的取值范圍是(

)C解析

當-2≤x≤1時,f(x)=1·x-2×2=x-4;當1<x≤2時,f(x)=x·x-2×2=x2-4.12345678910111213141516171234567891011121314151617[-2,3)解析

由題意得y=f(x)為增函數,∴3-a>0,且-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.123456789101112131415161714.用min{a,b}表示a,b兩個數中的最小值.設f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為

.

6解析

在同一平面直角坐標系中畫出函數y=x+2和y=10-x的圖象.根據min{x+2,10-x}(x≥0)的含義可知,f(x