預(yù)習(xí)10講橢圓2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性）

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性必修第一冊）預(yù)習(xí)10講橢圓（精講+精練）①橢圓的定義及其應(yīng)用②橢圓的幾何性質(zhì)③求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程④橢圓的離心率一、橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系注：給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.三、橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，注：離心率常用變形：.（）當(dāng)越接近1時，越接近，橢圓越扁；當(dāng)越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當(dāng)且僅當(dāng)時，圖形為圓，方程為四、直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2、直線與橢圓的相交弦直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；①橢圓的定義及其應(yīng)用策略方法橢圓定義的應(yīng)用類型及方法(1)探求軌跡：確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是不是橢圓．(2)應(yīng)用定義轉(zhuǎn)化：涉及焦半徑的問題，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a實現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換．(3)焦點三角形問題：常把正、余弦定理同橢圓定義相結(jié)合，求焦點、三角形的面積等問題．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·陜西榆林·期中）已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.【詳解】由橢圓，得，即，設(shè)左焦點為，右焦點為，則，因為，所以，即點到左焦點的距離為2.故選:D.2．（2324高二上·海南省直轄縣級單位·期中）已知坐標(biāo)平面上的兩點和，動點P到A、B兩點距離之和為常數(shù)3，則動點P的軌跡是（

）A．射線 B．線段 C．圓 D．橢圓【答案】D【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合題意判斷即可得解.【詳解】因為，，所以，因為動點P到A、B兩點距離之和為常數(shù)3，則，由橢圓的定義可知動點P的軌跡是橢圓.故選：D.3．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）以下方程表示橢圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程的知識求得正確答案.【詳解】A選項，方程，即，表示圓，不是橢圓，A選項錯誤.B選項，方程，即，方程中間是減號，不是橢圓，B選項錯誤.C選項，方程，即，表示焦點在軸上的橢圓，C選項正確.D選項，方程右邊不是，不是橢圓，D選項錯誤.故選：C4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知為兩定點，，動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【答案】D【分析】利用橢圓軌跡的相關(guān)定義即可得解.【詳解】因為所以為線段上的點.故選：D.5．（2324高二下·浙江·期中）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以列出不等式組，解得的范圍即可．【詳解】方程表示橢圓，，得，得且．故選：D．6．（2324高二上·山東煙臺·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，若過且斜率不為0的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義即可由焦點三角形的周長公式求解.【詳解】由題意可得，的周長為，故選：D7．（2324高二上·廣東佛山·期末）已知平行四邊形的頂點在橢圓上，頂點分別為的左、右焦點，則該平行四邊形的周長為（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求解即得.【詳解】橢圓的長半軸長，由點在橢圓上，分別為的左、右焦點，得，所以平行四邊形的周長為.故選：D8．（2324高二上·吉林長春·期末）橢圓上的點到左焦點的距離為2，N為的中點，則（O為坐標(biāo)原點）的值為（）A．8 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理求得，從而得解.【詳解】依題意，設(shè)橢圓的右焦點為，由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點，為的中點，線段為中位線，∴.故選：C.9．（2324高二下·安徽蕪湖·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C②橢圓的幾何性質(zhì)策略方法利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系．(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關(guān)系求解．【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·上海·課后作業(yè)）已知下列橢圓的方程，分別求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)．(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】根據(jù)橢圓方程求出，再根據(jù)長軸、短軸、焦點和頂點的定義可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得,，得，，，所以橢圓的長軸長為、短軸長為、焦點坐標(biāo)為、、頂點坐標(biāo)為、、、.（2）由，得，得，，得，，，所以橢圓的長軸長為、短軸長為、焦點坐標(biāo)為、、頂點坐標(biāo)為、、、.2．（2324高三上·西藏林芝·階段練習(xí)）已知橢圓的一個焦點為.(1)求出橢圓的方程；(2)求出橢圓的離心率及其長軸長.【答案】(1)(2)離心率，長軸長【分析】由橢圓方程和焦點坐標(biāo)得b，c的值，求得橢圓方程和離心率，長軸長.【詳解】（1）由焦點坐標(biāo)為，所以橢圓焦點在x軸上，所以，橢圓方程為：.（2）由第一問，得，，所以橢圓的離心率為，長軸長.二、單選題3．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓上的點的橫、縱坐標(biāo)的范圍分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析判斷【詳解】由，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，因為點在橢圓上，所以．故選：C4．（2324高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的短軸長為，焦距為，則橢圓的上頂點到右焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】依題意，所以，則，則橢圓的上頂點到右焦點的距離為.故選：B5．（2324高二上·云南昆明·期末）焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出，結(jié)合焦點位置，得到橢圓方程.【詳解】由題意得，，又，解得，故橢圓方程為.故選：D6．（2324高二上·河南焦作·階段練習(xí)）橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由題意可得關(guān)于的方程，解方程即可得解.【詳解】橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，，解得．故選：A．7．（2324高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到，即可求出，再由離心率公式求出，最后再求出長軸長.【詳解】因為，依題意可得，所以，則離心率，解得，則，所以橢圓的長軸長為.故選：B8．（2324高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知橢圓，則不隨參數(shù)的變化而變化的是（

）A．頂點坐標(biāo) B．離心率 C．焦距 D．長軸長【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的長短半軸長、半焦距、離心率即可判斷得解.【詳解】橢圓中，長半軸長，短半軸長，半焦距，顯然頂點坐標(biāo)隨的變化而變化，離心率隨的變化而變化，長軸長隨的變化而變化，ABD不是；焦距不隨的變化而變化，C是.故選：C9．（2324高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知A為橢圓的上頂點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】設(shè)，確定，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】由題意可知：，設(shè)，由可得，，則，因為，可知當(dāng)時，最大為.故選：B③求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程策略方法待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·四川成都·階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點；【答案】(1)(2)或.【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，待定系數(shù)法求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分焦點位于x軸和軸兩種情況，設(shè)出橢圓方程，求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由解得：.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意：當(dāng)橢圓的焦點位于x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故，此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)橢圓的焦點位于軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故，此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.2．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)長軸長是短軸長的5倍，且過點；(2)離心率，焦距為12.【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓的長短半軸長，再按焦點位置求出橢圓方程.（2）根據(jù)給定條件，由離心率求出橢圓的長短半軸長，再按焦點位置求出橢圓方程.【詳解】（1）當(dāng)橢圓焦點在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓過點，得，由橢圓長軸長是短軸長的5倍，得，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)焦點在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓過點，得，由橢圓長軸長是短軸長的5倍，得，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）令橢圓長半軸長為a，半焦距為c，由，得，由離心率，得，即，因此橢圓短半軸長，當(dāng)焦點在x軸上時，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)焦點在y軸上時，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.3．（2324高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點和；(3)經(jīng)過和點．【答案】(1)1(2)(3)．【分析】（1）由焦點坐標(biāo)求，由橢圓定義得即可求，從而得方程；（2）結(jié)合圖形，已知點是長短軸的頂點，則可得；（3）設(shè)橢圓方程的簡化形式，待定系數(shù)解方程組可得.【詳解】（1）由題意，橢圓焦點在軸上，且，則，∴橢圓方程為1；（2）根據(jù)題意，所求橢圓的焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點和，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）根據(jù)題意，要求橢圓經(jīng)過（，）和點（，1）兩點，設(shè)其方程為，則有，解可得，則所求橢圓的方程為．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到橢圓中心的距離為3；(2)離心率為，且經(jīng)過點．【答案】(1)或．(2)或．【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)直接寫出a，c的值，然后求出b的值即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)離心率可設(shè)，，對橢圓焦點的位置進(jìn)行分類討論寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】（1）由題意知，，所以，又焦點所在坐標(biāo)軸可為x軸，也可為y軸，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）由題意可得，設(shè)，，，則．又橢圓經(jīng)過的點為其頂點，故若點為長軸頂點，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若點為短軸頂點，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．5．（2324高二上·福建福州·階段練習(xí)）回答下面兩個題(1)求經(jīng)過點和點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖是一個橢圓形拱橋，當(dāng)水面在處時，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個橢圓.此時拱頂離水面，水面寬，那么當(dāng)水位上升時，求水面的寬度

【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先設(shè)橢圓的一般方程，代入兩個點，即可求解；（2）首先建立坐標(biāo)系，求解橢圓方程，再根據(jù)水面上升后的值求的值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，將點和點代入可知，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）

以圖中水面所在的直線為軸，水面的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：，當(dāng)水位上升時，水面的寬度也即當(dāng)時，直線被橢圓所截的弦長.把代入橢圓方程可得：，所以當(dāng)水位上升時，水面的寬度為.④橢圓的離心率策略方法求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)構(gòu)造a，c的齊次式．離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·四川眉山·期中）若橢圓的離心率為e，則e的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由橢圓的離心率公式直接求解.【詳解】由題意得橢圓長半軸，短半軸，所以半焦距，所以離心率，故選：C.2．（2324高二上·廣西·階段練習(xí)）已知橢圓：的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)離心率公式即可得解.【詳解】由題意，，所以，則離心率.故選：B.3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分焦點在軸或軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)，再求橢圓的焦距.【詳解】若橢圓的焦點在軸，則離心率，得，此時焦距，若橢圓的焦點在軸，則離心率，得，此時焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】先分別表示出，結(jié)合離心率公式列出方程即可求解.【詳解】，解得.故選：C.5．（2324高二下·北京·開學(xué)考試）橢圓的左右焦點分別為，過與長軸垂直的直線與橢圓交于兩點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意求出，，，再根據(jù)橢圓的定義及離心率公式計算可得.【詳解】依題意，，，又，即，所以離心率.故選：B6．