高中數(shù)學(xué)：空間向量及其線性運算

1.1.1空間向量及其線性運算

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.理解空間向量的概念；2.掌握空間向量的線性運算；

3.掌握共線向量定理、共面向量定理及推論的應(yīng)用。

教學(xué)重難點

重點：空間向量的線性運算難點：共線向量定理、共面向量定理及推論的應(yīng)用

教學(xué)過程

一、預(yù)習(xí)課本、新知探究

閱讀課本2-5頁，思考并理解完成以知識點:

知識點一空間向量

(1)定義：在空間，具有和的量叫做空間向量.

(2)長度或模：空間向量的

⑶表示方法：①幾何表示法：空間向量用表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起點是A,終點、是B,也可記作：

其模記為或.

知識點二幾類常見的空間向量

名稱方向模記法

零向量____1

單位向量任意____________——

相反向量相等a的相反向量：____AB的相反向量：____,

相等向量相同a=b

知識點三空間向量的線性運算

⑴向量的加法、減法

c

加法0B=.=a+b

空間向量的運算

減法CA=____=g-bo?A

加法運算律①交換律：a+b=___.②結(jié)合律:（a+辦）+c=____

1

(2)空間向量的數(shù)乘運算

①定義：實數(shù)九與空間向量a的乘積仍然是一個稱為向量的數(shù)乘運算.

當(dāng)X>0時，而與向量a方向1；當(dāng)九<0時，而與向量a方向1；

當(dāng)九=0時，Azz=j入a的長度是a的長度的/(冷

②運算律

a.結(jié)合律：X(jua)—...

b.分配律：(九+〃)a=X(a+Z>)=..

知識點四共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線則這些向量叫做^或平行向

量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量a,與向量aJ勺非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a,都有0〃a.

(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a,a〃方的充要條件是存在實數(shù)九使t

(4)如圖，。是直線/上一點，在直線/上取非零向量a,則對于直線/上任意一點P,由數(shù)乘向量定

義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)入，使得d=而.

知識點五共面向量

(1)定義：平行于1的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個向量a,方不共線，則向量p與向量a,方共面的充要條件是存在唯一的有

序?qū)崝?shù)對(x,y),使.

(3)空間一點尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使嬴=或?qū)臻g任意

一點O,有OP=

二、典例分析、舉一反三

題型一空間向量的有關(guān)概念

例1、(1)給出下列命題：①若⑷=|臼，則a=Z>或a=—岳②若向量a是向量〃的相反向量，則⑷

=|*|；③在正方體ABCD-ALBICLDI中，AC=A7CI；④若空間向量相，n,0滿足m=〃，n=p,則加

=p.其中正確命題的序號是..

⑵如圖所示，在平行六面體A3CD-AEC。中，頂點連接的向量中，與向量后湘

等的向量有與向量AE相反的向量有.(要求寫出所有適合

2

條件的向量）

跟蹤訓(xùn)練一

1、下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個數(shù)是（）

①長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；②平行且模相等的兩個向量是相等向量；

③若aW4則|a|W瓦④兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.

A.0B.1C.2D.3

題型二空間向量的線性運算

例2、（1）如圖所示，在正方體ABCD-AbBCiDi中，下列各式中運算結(jié)果為向量人后的有（）

①（獲+族）+⑦；②（啟+4辦）+族1；③（獲十屆i）+加1；?（AAI+A^O+BTCI.

A.1個B.2個C.3個D.4個

（2）已知正四棱錐P-A3CD,。是正方形A3CD的中心，。是CD的中點，求下

列各式中x,?z的值.

①歷=M+A+zR；?^=xPO+yPQ+PD.

跟蹤訓(xùn)練二

1.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)M,G分別是BC,CD的中點，則證一獲十最>等于（）

3-A->->—>

A.^DBB.3MGC.3GMD.2MG

題型三共線問題

例3、（1）設(shè)ei,e2是空間兩個不共線的向量，已知獲=ei+阮2,靛=5ei+4e2,DC=-ei-2e2,

且A,B,。三點共線，實數(shù)左=.

⑵如圖所示，已知四邊形A3CD,ABER都是平行四邊形且不共面，M,N分別

3

A

是AC,3R的中點，判斷CE與MN是否共線.

跟蹤訓(xùn)練三

-~>—>2-

如圖，在正方體ABCD-ALBCLDI中，E在ALDI上，且AiE=2EDi,R在對角線AC上，且ALF=JC.

求證：E,F,3三點共線.

題型四共面問題

例4、如圖，已知。、a、3、C、D、E、F、G、H為空間的9個點，且無=瑜1，OF=kOB,

OH=kOD.AC=AD+ntAB,EG=EH+mEF，k^O,w^O.

求證：（1）A.B、C、。四點共面，E、F、G、H四點共面；

（2）ACEG；（3）OG=kOC

4

三、作業(yè)：班級：姓名：

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.空間任意四個點A,B,C,D,則法+無一不等于（）

A.DBB.ACC.ABD.BA

2.設(shè)有四邊形ABC。，。為空間任意一點，且15+d=麗+次，則四邊形43。是（）

A.平行四邊形B.空間四邊形C.等腰梯形D.矩形

3.已知A,B,C三點不共線，對平面A3C外的任一點。，下列條件中能確定點”與點A,B,C

一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.0M=20A~0B~0C

—>]—>1—>—>1—>1—>1—>

C.OM=OA+^OB+^OCD.OM=^OA+^OB+^OC

4.若空間中任意四點。，A,B,P滿足小=機（％+〃5k其中機+〃=1,則（）

A.PWABB.PiABC.點P可能在直線A3上D.以上都不對

5.已知在長方體ABCD-4BC1D1中，點E是4G的中點，點尸是AE的三等分點，1.AF=^EF,

則/=（）

A.AAi+^AB+^ADB.1AAI+^AB+^AD

C.^4Ai+^AB+^ADD.1AAI++|AD

二、填空題

5

6.已知A,B,C三點不共線，。為平面ABC外一點，若由0M=—2。4+。3+入。C確定的點M與

A,B,C共面，則九=.

7.在平行六面體ABCD-ALBCLDI中，”為AC與3。的交點，若A而i=a,AxDi=b,A^A=c,用a,

b,c表示DiAf,則￡>iA/=.

8.在空間四邊形A3CD中，E,R分別是A3,CD的中點，則還和石+說的關(guān)系是.（填

“平行”，“相等”或“相反”）

三、解答題

9.如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E,R分別為邊CD和AD的中點，試化簡/

+標(biāo)一緊，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.

10.在長方體ABCD-ALBICLDI中，〃為。Di的中點，點N在AC上，且⑷V：NC=2：1,

求證：/而與A%,啟洪面.

6

B組能力提升

一、選擇題

1.（多選題）若A,B,C,。為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（）

A.AB+2BC+2CD+DCB.2AB+2BC+3CD+3DA+AC

C..AB+CA+BDD..AB-CB+CD-AD

2.（多選題）有下列命題，其中真命題的有（）

A.若獲〃丘），則A,B,C,。四點共線

B.若獲〃/，則A,B,C三點共線

,71

C.若ei,e2為不共線的非零向量，a=4ei—ge2,b=—ei+~^e2