新教材高中數(shù)學(xué)第4章概率與統(tǒng)計(jì)單元質(zhì)量測(cè)評(píng)新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

第四章單元質(zhì)量測(cè)評(píng)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則D(2X＋1)等于()A．6B．4C．3D．9答案A解析D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴D(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.2．已知一個(gè)線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，其中x的取值依次為1,7,5,13,19，則eq\o(y,\s\up6(－))＝()A．58.5B．46.5C．60D．75答案A解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因?yàn)榛貋?lái)直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58.5.故選A.3．甲、乙、丙三人參與某項(xiàng)測(cè)試，他們能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是()A．0.16B．0.24C．0.96D．0.04答案C解析三人都不達(dá)標(biāo)的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－0.04＝0.96.4．設(shè)隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，則P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋pB．1－pC．1－2pD.eq\f(1,2)－p答案D解析P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)P(－1<ξ<1)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ>1)]＝eq\f(1,2)－P(ξ>1)＝eq\f(1,2)－p.5．若隨機(jī)變量X的分布列如表，且E(X)＝6.3，則D(X)的值為()X4a9P0.50.1bA．－14.39B．7C．5.61D．6.61答案C解析依題意，0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7，所以D(X)＝E(X2)－E2(X)＝16×0.5＋49×0.1＋81×0.4－6.32＝5.61.故選C.6．將兩枚質(zhì)地勻稱的骰子各擲一次，設(shè)事務(wù)A＝{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，B＝{出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)答案A解析出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不相同的共有6×5＝30種，∴P(A)＝eq\f(5,6)，A∩B共有5×2＝10種，∴P(A∩B)＝eq\f(5,18)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,3).7．某校14歲女生的平均身高為154.4cm，標(biāo)準(zhǔn)差是5.1cm，假如身高聽(tīng)從正態(tài)分布，那么在該校200個(gè)14歲女生中身高在164.6cm以上的約有()A．5人B．6人C．7人D．8人答案A解析設(shè)某校14歲女生的身高為Xcm，則X～N(154.4，5.12)．由于P(154.4－2×5.1<X≤154.4＋2×5.1)≈0.9544，所以P(X>164.6)≈eq\f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228.因?yàn)?00×0.0228＝4.56，所以身高在164.6cm以上的約有5人．8．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不計(jì)其他得分狀況)，則ab的最大值為()A.eq\f(1,48)B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,6)答案B解析由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋2b,2)))2＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,24)，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)時(shí)取“等號(hào)”．故選B.二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)9．設(shè)成年兒子身高y(單位：英寸)與父親身高x(單位：英寸)具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法求得的回來(lái)直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝33.73x＋0.516，則下列結(jié)論中正確的是()A．y與x正相關(guān)B．若eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，則回來(lái)直線過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若父親身高增加1英寸，則兒子身高約增加33.73英寸D．若父親身高增加1英寸，則兒子身高增加量必為33.73英寸答案ABC解析∵回來(lái)直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝33.73x＋0.516中，33.73>0，∴y與x正相關(guān)，故A正確；∵回來(lái)直線必過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，故B正確；回來(lái)直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝33.73x＋0.516表示一種不確定的關(guān)系，即若父親身高增加1英寸，則兒子身高約增加33.73英寸，故C正確，D錯(cuò)誤．故選ABC.10．已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)e－eq\f(x－μi2,2σ2i)(x∈R，i＝1,2,3)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．σ1＝σ2B．μ1>μ3C．μ1＝μ2D．σ2<σ3答案AD解析依據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對(duì)稱，且μ越大圖像越靠近右邊，所以μ1<μ2＝μ3，B，C錯(cuò)誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，圖像越瘦長(zhǎng)，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正確．故選AD.11．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務(wù)；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨(dú)立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事務(wù)答案BD解析易知A1，A2，A3是兩兩互斥的事務(wù)，由題意知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，P(B)的值是由A1，A2，A3中某一個(gè)事務(wù)發(fā)生所確定的，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，P(B|A1)＝eq\f(PB∩A1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11).故選BD.12．針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜愛(ài)抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生喜愛(ài)抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(4,5)，女生喜愛(ài)抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(3,5)，若有95%的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有()附表：P(χ2≥k)0.0500.010k3.8416.635附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)A．25人B．45人C．60人D．75人答案BCD解析設(shè)男生可能有x人，依題意可得列聯(lián)表如下：喜愛(ài)抖音不喜愛(ài)抖音總計(jì)男生eq\f(4,5)xeq\f(1,5)xx女生eq\f(3,5)xeq\f(2,5)xx總計(jì)eq\f(7,5)xeq\f(3,5)x2x若有95%的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)抖音和性別有關(guān)，則χ2>3.841，由χ2＝eq\f(2x·\f(4,5)x·\f(2,5)x－\f(3,5)x·\f(1,5)x2,\f(7,5)x·\f(3,5)x·x·x)＝eq\f(2x,21)>3.841，解得x>40.3305，由題意知x>0，且x是5的整數(shù)倍，所以45,60和75都滿意題意．故選BCD.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,2)，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(1,6)，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(2,3).現(xiàn)隨機(jī)選擇一名學(xué)生，則這名學(xué)生追星的概率是________．答案eq\f(1,3)解析記A1代表女生，A2代表男生，B代表追星．設(shè)女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為2x，總?cè)藬?shù)為x＋2x＝3x，所以P(A1)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(2x,3x)＝eq\f(2,3)，P(B|A1)＝eq\f(2,3)，P(B|A2)＝eq\f(1,6)，所以這名學(xué)生追星的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).14．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y(單位：萬(wàn)元)線性相關(guān)，兩者之間有如下表所示的數(shù)據(jù)，依據(jù)數(shù)據(jù)得到其回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋b，現(xiàn)要使銷(xiāo)售額達(dá)到100萬(wàn)元，則廣告費(fèi)支出約為_(kāi)_______萬(wàn)元．x24568y3040605070答案12.7解析∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，又(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))滿意eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋b，∴50＝32.5＋b，∴b＝17.5，∴當(dāng)y＝100時(shí)，x＝eq\f(100－17.5,6.5)≈12.7萬(wàn)元．15．已知隨機(jī)變量X，Y滿意X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)＝________，D(Y)＝________.答案22.4解析∵隨機(jī)變量X，Y滿意X＋Y＝8，X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.16．將一顆骰子連續(xù)拋擲4次，至多有2次點(diǎn)數(shù)為1的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(425,432)解析拋擲骰子一次可視為一次試驗(yàn)，連續(xù)拋擲4次可看作進(jìn)行了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若記事務(wù)A表示“拋擲一顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1”，則P(A)＝eq\f(1,6)，于是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)X滿意X～B4，eq\f(1,6)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)×eq\f(1,6)k×eq\f(5,6)4－k，k＝0,1,2,3,4.故所求概率為P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\f(1,6)0×eq\f(5,6)4＋Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,6)1×eq\f(5,6)3＋Ceq\o\al(2,4)×eq\f(1,6)2×eq\f(5,6)2＝eq\f(425,432).四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，A表示被檢驗(yàn)者患肝癌，B表示此法診斷被檢驗(yàn)者患肝癌．由于種種緣由使檢驗(yàn)方法帶有誤差．假定P(B|A)＝0.95，P(eq\o(B,\s\up6(－))|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.90，又設(shè)人群中患肝癌的比例為P(A)＝0.0004.現(xiàn)在若有一人被此法診斷為患肝癌，求此人真正患肝癌的概率P(A|B)．解＝eq\f(0.0004×0.95,0.0004×0.95＋0.9996×0.1)≈0.0038.18．(本小題滿分12分)甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,2)，乙每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3).(1)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；(3)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．解(1)X的概率分布列為X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)E(X)＝0×eq\f(1,8)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(3,8)＋3×eq\f(1,8)＝1.5或E(X)＝3×eq\f(1,2)＝1.5.(2)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1－Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(19,27).(3)設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事務(wù)A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事務(wù)B1，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事務(wù)B2，則A＝B1＋B2.B1，B2為互斥事務(wù)，P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(3,8)×eq\f(1,27)＋eq\f(1,8)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,24).所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為eq\f(1,24).19．(本小題滿分12分)隨機(jī)抽取某中學(xué)高一年級(jí)若干名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)成果，得到樣本，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，已知分組區(qū)間和頻數(shù)是[50,60)，2；[60,70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其頻率分布直方圖受到破壞，可見(jiàn)部分如圖所示，據(jù)此解答如下問(wèn)題．(1)求樣本容量及x的值；(2)從成果不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，記2人中成果不低于90分的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．解(1)由題意，得分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為2，頻率為0.008×10＝0.08，所以樣本容量n＝eq\f(2,0.08)＝25，x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成果不低于80分的人數(shù)為4＋2＝6，成果不低于90分的人數(shù)為2，所以ξ的全部可能取值為0,1,2，因?yàn)镻(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)所以ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3).20．(本小題滿分12分)為抗擊新型冠狀病毒，普及防護(hù)學(xué)問(wèn)，某校開(kāi)展了“疫情防護(hù)”網(wǎng)絡(luò)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成果(滿分為100分)分為6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成果(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競(jìng)賽成果不低于80分為“優(yōu)秀”，競(jìng)賽成果低于80分為“非優(yōu)秀”．請(qǐng)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？?jī)?yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生40女生50合計(jì)100參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828解(1)由題可得(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a＋0.010)×10＝1，解得a＝0.025.∵45×0.05＋55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.1＝74，∴估計(jì)這100名學(xué)生的平均成果為74.(2)由(1)知，在抽取的100名學(xué)生中，競(jìng)賽成果優(yōu)秀的有100×(0.25＋0.1)＝100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生104050女生252550合計(jì)3565100χ2＝eq\f(100×10×25－25×402,35×65×50×50)＝eq\f(900,91)≈9.890>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”．21．(本小題滿分12分)某愛(ài)好小組欲探討晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差狀況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x(℃)1011131286就診人數(shù)y222529261612該愛(ài)好小組確定的探討方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回來(lái)方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)依據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)若由線性回來(lái)方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，則認(rèn)為得到的線性回來(lái)方程是志向的，試問(wèn)該小組所得線性回來(lái)方程是否志向？參考公式：.解(1)設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事務(wù)A.從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)，共有15種狀況，每種狀況都是等可能出現(xiàn)的．其中，抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的狀況有5種．所以P(A)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由數(shù)據(jù)求得eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝24，由公式求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－eq\f(30,7)，所以y關(guān)于x的線性回來(lái)方程為y＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7).(3)當(dāng)x＝10時(shí)，eq