1.1.2空間向量基本定理

1.1.2空間向量基本定理分層練習(xí)一、單選題1．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形為平面外一點(diǎn)，且平面，分別為上的點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，故，?故選：B2．（2022秋·廣東揭陽·高二普寧市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D二、多選題3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知，，，，是空間五點(diǎn)，且任何三點(diǎn)不共線.若，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底B．，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C．，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】ABC【詳解】解：因?yàn)椋?，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且，，，，是空間五點(diǎn)，且任何三點(diǎn)不共線所以空間五點(diǎn)，，，，共面，所以這五點(diǎn)，，，，中，任意兩個(gè)點(diǎn)組成的三個(gè)向量都不可能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以ABC正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC4．（2022秋·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且（，），則，的值可能為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】CD【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，所以由平面向量基本定理可知：，化簡(jiǎn)得：，顯然有，而，所以有，當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)A不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)B不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)C可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)D可能，故選：CD三、填空題5．（2022春·廣東茂名·高二信宜市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，將用基底表示，=__________.【答案】【詳解】由題意，，，，連接，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，又由點(diǎn)在上，且，可得，所以.6．（2022秋·江蘇徐州·高二?？计谥校┤鐖D，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為_____．【答案】【詳解】，，即線段的長(zhǎng)為.故答案為：.7．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為、，是邊的中點(diǎn)，是的重心，則用基向量，，表示向量的表達(dá)式為___________.【答案】【詳解】如圖所示，連AG延長(zhǎng)交BC于，故答案為：.8．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱、、上分別有一點(diǎn)、、，且滿足，，，若、、、四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)__________．【答案】/【詳解】因?yàn)?、、、四點(diǎn)共面，則存在、使得，所以，，所以，，因?yàn)?，即，所以，，因?yàn)?，即，所以，，可得，解?故答案為：.四、解答題9．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，設(shè)=，=，=，{，，}為空間向量的一個(gè)基底，計(jì)算:（1）·；（2）||.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意得||=||=||=1，·=·=·=，∵==，=，∴·=·()=+=.（2）∵==(+)，∴==2+2+2+···=，∴||=.10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，空間四邊形的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，且.

（1）用表示；（2）求向量與向量所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)镋是的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，，又因?yàn)椋韵蛄颗c向量所成角的余弦值為.一、單選題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題可知不共面，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得，則共面，與不共面矛盾，因此不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以共面.故選：C．2．（2023秋·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體中，M是棱上靠近O的三等分點(diǎn)，N，P分別是，的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在四面體中，N是的中點(diǎn)，則，又，而P是的中點(diǎn)，所以.故選：A3．（2022秋·河南·高二河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，為與交點(diǎn)，為中點(diǎn)，為與的交點(diǎn).過作平行交于.如圖,則為中點(diǎn)，所以.所以，因此，因?yàn)?，所?.故選：C4．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）在三棱柱中，M，N分別為，的中點(diǎn)，若則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，故.，故選：A5．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，所以，所以故選：D.二、多選題6．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二濟(jì)寧一中?？计谀┙o出下列命題，其中是假命題的是（

）A．若A，B，C，D是空間中的任意四點(diǎn)，則有B．是，共線的充要條件C．若，共線，則D．對(duì)空間中的任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面【答案】BCD【詳解】解：由向量的加法運(yùn)算，顯然A是真命題；若，共線，則（同向）或（反向），故B是假命題；若，共線，則直線AB，CD平行或重合，故C是假命題；只有當(dāng)時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故D是假命題．故選：BCD．7．（2023春·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若，，不共線，且，則，，、四點(diǎn)共面C．對(duì)同一平面內(nèi)給定的三個(gè)向量，，，一定存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得.D．中，若，則一定是鈍角三角形.【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，依題意，，且與不同向共線，求得，解得：且，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，即，于是得共面，且公共起點(diǎn)C，而，，不共線，，，，四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C，同一平面內(nèi)不共線的非零向量，，，才存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得，否則不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在中，，則，于是得是銳角，不能確定是鈍角三角形，D錯(cuò)誤.故選：ACD三、填空題8．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則的值為___．【答案】1【詳解】在正四面體ABCD中，令，顯然，，，如圖：因點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則，，于是得，所以的值為1.故答案為：19．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①已知，則；②為空間四點(diǎn)，若不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么共面；③已知，則與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底；④若共線，則所在直線或者平行或者重合．正確的結(jié)論為_________________．【答案】①②④【詳解】對(duì)于①中，由，可得，又由，所以①正確；對(duì)于②中，由不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得這3個(gè)向量共面，所以四點(diǎn)共面，所以②正確．對(duì)于③中，若向量與向量這3個(gè)向量不共面，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以③不正確．對(duì)于④中，根據(jù)向量共線的定義，由共線，則所在直線或者平行或者重合，所以④正確．綜上，①②④正確，③不正確．故答案為：①②④．四、解答題11．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量.【答案】【詳解】.12．（2020·高二課時(shí)練習(xí)）直三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，、分別是、的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】【詳解】如下圖所示，設(shè)，，，則，由題意可得，，又、分別為、的中點(diǎn)，，所以，，因此，.一、單選題1．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則下列向量與相等的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】由于M是的中點(diǎn)，所以．故選：A2．（2023秋·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？计谀┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．已知四棱錐是陽馬，平面，且，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，所以．故選：C3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，，，所以，故選：B4．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）在平行六面體中，，且交平面于點(diǎn)M，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，連接交于點(diǎn)H，連接與交于點(diǎn)O，如圖，在平行六面體中，，則，根據(jù)平面的基本性質(zhì)易知點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，故．∴故選：D．5．（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橄蛄?，，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以、、共面，故存在實(shí)數(shù)、使得，即，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，則，解得.故選：D.6．（2023春·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，若，，平面與棱交于點(diǎn)，則四棱錐與四棱錐的體積比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，

設(shè)，由、、、四點(diǎn)共面，設(shè)，則，即，得，又，，不共面，則，解得：，即，設(shè)，分別是點(diǎn)到平面和點(diǎn)到平面的距離，則，所以，，，同理，，，，則四棱錐與四棱錐的體積比為.故選：B二、多選題7．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對(duì)于A，因?yàn)?，所以可以得出，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于C，，則，，為共面向量，所以與,，一定共面；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面．故選：AC．8．（2022秋·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且夾角都是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不是空間的一組基底B．不是空間的一組基底C．向量的模是2D．向量和的夾角為【答案】BD【詳解】假設(shè)共面，則，所以，方程組無解，所以假設(shè)不成立，所以空間向量不共面，所以是空間的一組基底，A錯(cuò)誤；假設(shè)共面，則，即，解得，所以三個(gè)向量共面，不是空間的一組基底，B正確；由題意，得，所以，C錯(cuò)誤；，設(shè)向量和的夾角為，則，又，所以，D正確.故選：BD.三、填空題9．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在四棱錐中，底面是矩形，為矩形外接圓的圓心.若，則___________.【答案】【詳解】如圖，由題意可得，則，，，故.故答案為：10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外任意一點(diǎn)O，有，則A，B，C，M四點(diǎn)__________（填“共面”或“不共面”）．【答案】共面【詳解】，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線則不共線，則共面則A，B，C，M四點(diǎn)共面.故答案為：共面.11．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．【答案】1【詳解】由題意得，，則,故答案為：1.12．（2021秋·湖北襄陽·高二襄陽五中?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)命題：（1）已知向量是空間的一組基底，則向量也是空間的一組基底；（2）在正方體中，若點(diǎn)在內(nèi)，且，則的值為1；（3）圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)有2個(gè)；（4）方程表示的曲線是一條直線.其中正確命題的序號(hào)是________.【答案】(1)(2)(4)【詳解】（1）已知向量是空間的一組基底，即向量不共面，則也不共面，所以向量是空間的一個(gè)基底，正確；（2），，，正確；（3）由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，圓上的點(diǎn)到直線的距離為的點(diǎn)有個(gè)，錯(cuò)誤；（4）由題意可化為或，不成立，方程表示的曲線是一條直線，正確，故答案為(1)(2)(4).