山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE19-山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文（含解析）（本試卷考試時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】否定命題的結(jié)論，同時把存在量詞改為全稱量詞．【詳解】命題“，”的否定是“，”．故選：C．【點睛】本題考查命題的否定，命題的否定除結(jié)論否定外，存在量詞與全稱量詞需互換．2.已知直線過點，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】截距為3，說明直線過點(0,3)，由此求得直線斜率，由斜截式寫出直線方程并整理為一般式．【詳解】由題意，直線l過點(0,3)，∴其斜率為，直線方程為y=-2x+3，即2x+y-3=0，故選：B.【點睛】本題考查直線方程，求直線方程可先求出直線斜率，然后由斜截式或點斜式寫出直線方程，再化為一般式．3.函數(shù)在區(qū)間的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值點，求得在區(qū)間上的最小值.【詳解】依題意，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得微小值也即是最小值為.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，屬于基礎(chǔ)題.4.劉徽注《九章商功》曰:“當(dāng)今大司農(nóng)斛圓徑一尺三寸五分五厘，深一尺，積一千四百四十一寸非常之三.王莽銅斛于今尺為深九寸五分五厘，徑一尺三寸六分八厘七毫.以徽術(shù)計之，于今斛為容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中國古代量器名，也是容量單位，并且形態(tài)各異，常見的斗叫“方斗”，“方斗”的形態(tài)是一種上大下小的正四棱臺（兩個底面都是正方形的四棱臺）,假如一個方斗的三視圖如圖所示，則其容積為（）正視圖側(cè)視圖俯視圖A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三視圖視察尺寸，由棱臺體積公式計算體積．【詳解】由三視圖，棱臺體積為．故選：C.【點睛】本題考查棱臺的體積，駕馭臺體體積公式是解題基礎(chǔ)．5.拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的左焦點，則拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的左焦點坐標(biāo)，從而求得拋物線的參數(shù)p，得拋物線焦點坐標(biāo)．【詳解】雙曲線中，，∴雙曲線的左焦點為，右焦點就是拋物線的焦點．故選：A．【點睛】本題考查求拋物線的焦點坐標(biāo)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題．6.若函數(shù)存在極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過探討導(dǎo)函數(shù)零點，結(jié)合判別式，求得的取值范圍.【詳解】依題意函數(shù)存在極值點，其導(dǎo)函數(shù)的，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點，考查二次函數(shù)的判別式的運用，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出兩直線平行時的a值，然后再依據(jù)充分必要條件的概念推斷．【詳解】直線與直線平行，則，，時，兩直線方程分別為，平行，時，兩直線方程分別為，平行，∴直線與直線平行充要條件是，則“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件．故選：A.【點睛】本題考查充分必要條件的推斷，推斷充分必要條件一種是證明兩個命題的真假，一種是求出命題成立的參數(shù)范圍，利用集合的包含關(guān)系推斷充分必要條件．8.設(shè)，是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，下面四個命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)面面垂直的性質(zhì)推斷A，B，由線面平行的性質(zhì)推斷C，由面面平行的性質(zhì)推斷D．【詳解】若，，與也可以垂直，如正方體有公共點的三個面，A錯；若，，但不與的交線垂直時，不與垂直，還可以平行，B錯；若，，m與n可能異面，可能平行，C錯；若，，，則，這是面面平行的性質(zhì)定理，D正確．故選：D.【點睛】本題考查空間線面間的位置關(guān)系，駕馭面面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理，面面平行的性質(zhì)定理是解題基礎(chǔ)．9.若圓：關(guān)于直線對稱，，則與間的距離是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓心在直線l上求得m，然后由平行間距離公式求得距離．【詳解】由題意，圓關(guān)于直線對稱，則，，即l方程為，所求距離為．故選：D.【點睛】本題考查兩平行線間的距離，解題時需由圓關(guān)于直線對稱，即直線過圓心求出參數(shù)m，再則平行間距離公式計算．10.《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鰲臑.在鰲臑中，平面，，，鰲臑的四個頂點都在同一個球上，則該球的表面積是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】四個面都是直角三角形，由得，然后證明，這樣PC中點O，就是外接球球心，易求得其半徑，得面積．【詳解】四棱錐的四個面都是直角三角形，∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中點O，則O是外接球球心．由得，又，則，，所以球表面積為．故選：C．【點睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是找尋外接球的球心：三棱錐的外接球的球心肯定在過各面外心且與此面垂直的直線上．11.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)是導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)題意求得的符號，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得使成立的的取值范圍.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，，即在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，所以在上遞減.而，所以當(dāng)或時，；當(dāng)或時，.所以當(dāng)或時.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.12.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點引漸近線的垂線，垂足為，的面積是，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】離心率為可得，與漸近線垂直，則有，從而，由的面積是，可得，這樣可求得，得雙曲線方程．【詳解】如圖，漸近線方程是，即，由于且，所以，所以，，，又，即，∴，，∴，，雙曲線方程為：．故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)題意列出關(guān)于的兩個等量關(guān)系即可求．題中假如駕馭雙曲線的性質(zhì)，求解更加便利：雙曲線的焦點到漸近線的距離為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則在點處的切線方程為_.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，結(jié)合切點坐標(biāo)求得切線方程.【詳解】依題意，，切點坐標(biāo)為，由點斜式得，即.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.14.以為圓心，且與圓外切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【解析】【分析】由圓心距離等于兩圓半徑之和求出所求圓的半徑．【詳解】設(shè)所求圓半徑為，則由題意，，所以所求圓方程為：．故答案為：．【點睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題關(guān)鍵是駕馭兩圓外切的條件，由此求出圓半徑．15.傾斜角是，且過點的直線交圓于，兩點，則直線的一般式方程__________，__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由點斜式寫出直線方程整理成一般式即可，求出圓心到直線的距離，由垂徑定理求弦長．【詳解】由題意直線l的方程為：，即，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為，圓心到直線l的距離為，∴．故答案為：；．【點睛】本題考查直線方程的一般式，考查直線與圓相交弦長問題．求直線與圓相交弦長一種結(jié)合垂徑定理計算．16.給出下列命題：（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則；（2）直線與線段相交，其中，，則的取值范圍是；（3）點關(guān)于直線的對稱點為，則的坐標(biāo)為；（4）直線與拋物線交于，兩點，則以為直徑的圓恰好與直線相切.其中正確的命題有__________.（把全部正確的命題的序號都填上）【答案】（3）（4）【解析】【分析】對四個命題逐一分析，由此確定命題正確的選項.【詳解】對于（1），依題意在區(qū)間上恒成立，所以，所以，故（1）錯誤.對于（2），直線過，而點在直線的兩側(cè)，所以的取值范圍是，即，故（2）錯誤.對于（3）直線的斜率為，，；的中點為，點滿意直線.所以（3）正確.對于（4），拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，直線過焦點.直線與拋物線相交與兩點，依據(jù)拋物線的定義可知，AB中點到拋物線準(zhǔn)線距離等于AB一半，所以為直徑的圓恰好與拋物線的準(zhǔn)線相切，故（4）正確.故答案為：（3）（4）【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查直線的斜率，考查點關(guān)于直線對稱軸問題，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.命題：直線與圓相交，命題方程表示焦點在軸上的橢圓.（1）若命題為真，求的取值范圍；（2）若命題為真，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圓心到直線的距離小于半徑求得為真時m的范圍．（2）由方程表示焦點在x軸上橢圓求出m的范圍，由p真且為真得結(jié)論．【詳解】解：（1）因為直線與圓相交，所以，解得，即的取值范圍為.（2）橢圓焦點在軸上，所以為真，真假.或所以的取值范圍為.【點睛】本題考查由復(fù)合命題的真假求參數(shù)取值范圍，駕馭復(fù)合命題的真值表是解題關(guān)鍵．pq真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真18.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，過點作斜率為的直線交拋物線于，兩點.（1）求拋物線的方程；（2）求面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離求得，由此求得拋物線的方程.（2）求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理求得弦長，結(jié)合點到直線的距離公式以及三角形的面積公式，求得的面積.【詳解】（1）由題意可知，所以拋物線的方程為.（2）直線的方程為y=x-1.設(shè)直線與拋物線交于，.聯(lián)立方程得...點到直線的距離，所以.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查與拋物線有關(guān)的三角形面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由及得，，從而有平面，于是可得面面垂直．（2）取的中點，連接，證明平面，同時說明底面是正方形，即可求體積．【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，.又，即，，，平面，平面，從而平面.又平面，所以平面平面.（2）如圖，取的中點，連接.，，，.又因為平面，平面，平面，，，四邊形為正方形，又，平面，.【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查求棱錐的體積．證明面面垂直，一般要證線面垂直，而要證線面垂直，就是要證線線垂直，除了垂直以外，判定定理中還有其他條件也應(yīng)滿意才能得出結(jié)論．20.已知直線恒過定點，過點引圓的兩條切線，設(shè)切點分別為，.（1）求直線的一般式方程；（2）求四邊形的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直線方程整理成a的多項式，關(guān)于a恒成立，由恒等式學(xué)問可得定點坐標(biāo)，過圓外一點的圓的切線有兩條，先考慮斜率不存在的直線是否是切線，然后再求斜率存在的切線方程，本題中知道定點是P(3,1)，直線x=3是一條切線，可知一切點為A(3,0)，由可求得AB的斜率，從而得直線AB的方程．不需求另一切點坐標(biāo)．（2）由切線性質(zhì)知PC是四邊形的外接圓的直徑，外接圓方程易求．【詳解】（1）直線，直線恒過定點.由題意可知直線是其中一條切線，且切點為.，，所以直線的方程為，即.（2），所以四邊形的外接圓時以為直徑的圓，的中點坐標(biāo)為，所以四邊形的外接圓為【點睛】本題考查求直線與圓相切的切點弦所在直線方程，求圓的方程，求圓的方程方法就是確定圓心坐標(biāo)和圓半徑，寫出圓標(biāo)準(zhǔn)方程．求直線方程就是求出直線斜率和直線所過的點，即可寫出直線方程，本題直線AB方程可以由四邊形的外接圓方程與已知圓方程相減可得．21.已知橢圓的短半軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點作直線交橢圓C于，兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）直線的方程為或【解析】【分析】（1）由短半長求得，結(jié)合離心率和求得，由此求得橢圓的方程.（2）當(dāng)直線與軸垂直時，干脆求得兩點的坐標(biāo)，得到，不符合題意.當(dāng)當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用列方程，解方程求得的斜率，進而求得直線的方程.【詳解】（1）由題意得.又因為，，所以，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線與軸垂直時，直線，得，.，不符合題意.當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，把直線的方程代入，得，則，，，所以.故直線的方程為或.【點睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查運算求解實力，屬于中檔題.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有零點，求的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）求得的定義域為導(dǎo)函數(shù)，對分