2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練不等式含解析

不等式高考試題不等式的考查有兩類，一是涉及不等式的性質(zhì)、不等式的解法、肯定值不等式；二是基本不等式及其應(yīng)用等，一般不獨(dú)立命題，而是以工具的形式，與充要條件、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等綜合考查.1、“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2、分式不等式，然后統(tǒng)分轉(zhuǎn)化為分式不等式3、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.4、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．5、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)假如xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)(2)假如x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(q2,4)6、基本不等式的兩種常用變形形式(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)．(2)a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)．7、幾個(gè)重要的結(jié)論(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)．(3)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．不等式比較大小，可以從以下幾個(gè)方面解決：運(yùn)用不等式的性質(zhì)，化為同底構(gòu)造法特別的方法2、運(yùn)用基本不等式要留意不等式成立的條件。1、若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，滿意，，知A錯(cuò)，解除A；因?yàn)?，知B錯(cuò)，解除B；取，滿意，，知D錯(cuò)，解除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．2、在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿意,令,.故選：A．3、設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】化簡不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.4、若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿意，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.5、已知集合，則A． B．C． D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故選B．6、設(shè)，，則A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，，,即，又，，即，故選B.7、已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確；故選：ABD.8、古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿意上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：，腿長為105cm得，即，，，所以AD>169.89.②頭頂至頸項(xiàng)下端長度為26cm，即AB<26，，，，，所以.綜上，.故選B.方法二：設(shè)人體頸項(xiàng)下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B．9、2024年1月3日嫦娥四號探測器勝利實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸須要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，放射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，依據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿意方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得因?yàn)椋?，即，解得，所?0、已知，則的最小值是▲．【答案】【解析】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.∴的最小值為.故答案為：.11、已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號成立.故答案為：12、李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15.【解析】（1）,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,須要支付元.（2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.13、設(shè)，則的最小值為__________．【答案】【解析】方法一：.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號成立.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，結(jié)合可知，可以取到3，故的最小值為.方法二：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為.一、單選題1、下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故是假命題；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不滿意，故為假命題；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不滿意，故為假命題.對于D選項(xiàng)，由于，所以，即，故為真命題.故選：D.2、不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】不等式的解集為,的兩根為，，且，即,解得則不等式可化為解得故選3、已知，，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知，，且，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值是.故選：B.4、（2025屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，

，所以．

故選：D．5、若，，，則的最小值為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號，∴的最小值為9.故選：A.6、若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧星∮袀€(gè)正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為所以這三個(gè)正整數(shù)為，所以，即故選：D7、已知正數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，正數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解.所以的最小值為.故選：C.8、電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工語音：“道路千萬條，平安第一條，行車不規(guī)范，親人兩行淚”，成為網(wǎng)絡(luò)熱句．講的是“開車不喝酒，喝酒不開車”．2024年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)看法》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，依據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般狀況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的改變規(guī)律的散點(diǎn)圖如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型．假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過小時(shí)才可以駕車，則的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類別閾值飲酒駕車醉酒駕車A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】由散點(diǎn)圖可知，該人喝一瓶啤酒后的2個(gè)小時(shí)內(nèi)，其血液酒精含量大于20，則令，即，解得，，的最小值為6，故至少經(jīng)過6小時(shí)才可以駕車.故選：B.二、多選題9、設(shè)，則（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)?，可得函?shù)均是減函數(shù)，可得，，所以CD不正確；又由函數(shù)是增函數(shù)，是減函數(shù)，可得，且，所以，所以故A正確；因?yàn)?，可得，所以函?shù)是增函數(shù)，可得，所以B正確.故選：AB.10、已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則【答案】BC【解析】若，，則，故A錯(cuò)；若，，則，化簡得，故B對；若，則，又，則，故C對；若，，，，則，，，故D錯(cuò)；故選：BC．11、設(shè)，則下面不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12、下列結(jié)論正確的是（）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以A不正確；若，則，考慮函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，依據(jù)基本不等式有所以D正確.故選：BD13、設(shè)，則下列不等式中，恒成立的有（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A.作差比較推斷；B.利用基本不等式推斷；C.作差比較推斷；D.利用不等式的加法性質(zhì)推斷.【詳解】A.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故正確；B.因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以，故正確；故選：AD14、已知、、．若，則（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，，，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，，，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，可得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.15、設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿意，則下列說法正確的是（）A．的最小值為3 B．的最大值為1C．的最小值為2 D．的最小值為2【答案】ABD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值3，A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，mn取得最大值1，B正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號，故≤2即最大值為2，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此處取得最小值2，故D正確．故選：ABD16、若，且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由且，利用基本不等式，對選項(xiàng)中的不等式逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由，故D錯(cuò)誤；,故A正確；

又前面可知，故B正確；由，故C正確，故選ABC.17、已知在則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】首先，原式中有，所以無意義，題目錯(cuò)誤；其次，若四個(gè)選項(xiàng)改為不含0的開區(qū)間時(shí)，利用特別值法，取，則不等式可化為，即，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故解除選項(xiàng)AB；取時(shí)，代入，即，正確，故CD不滿意.故無正確答案.三、填空題18、當(dāng)取得最小值時(shí)，______.【答案】4【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：19、函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為.故填：.20、談祥柏先生是我國聞名的數(shù)學(xué)科普作家，他寫的《數(shù)學(xué)百草園》、《好玩的數(shù)學(xué)》、《故事中的數(shù)學(xué)》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣闊讀者寵愛.下面我們一起來看《好玩的數(shù)學(xué)》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分?jǐn)?shù)》：文章首先告知我們，古埃及人寵愛運(yùn)用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）.如用兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)與的和表示等.從這100個(gè)埃及分?jǐn)?shù)中挑出不同的3個(gè)，使得它們的和為1，這三個(gè)分?jǐn)?shù)是________.（依據(jù)從大到小的依次排列）【答案】【解析】三個(gè)埃及分?jǐn)?shù)和為1，肯定有一個(gè)是，否則和不行能為1，剩下2個(gè)和為，都小于也不合題意，否則兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的和，因此第2個(gè)是，第3個(gè)只能是．故答案為：．21、已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知直線過圓心，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，又即時(shí)等號成立，故的最小值為9.故答案為：922、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且．若對隨意，，則的解集為______．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)閷﹄S意，，所以，所以對隨意，是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?/p>