高考數(shù)學 3-4-1基本不等式課后強化作業(yè) 新人教A版必修5

【成才之路】-學年高考數(shù)學3-4-1基本不等式課后強化作業(yè)新人教A版必修5基礎鞏固一、選擇題1．設0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列四個數(shù)中最大的是()A.eq\f(1,2) B．a(chǎn)2＋b2C．2ab D．a(chǎn)[答案]B[解析]解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜eq\f(1,2)，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大數(shù)一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2eq\r(ab)，∴ab＜eq\f(1,4)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，即a2＋b2＞eq\f(1,2).故選B.解法二：特值檢驗法：取a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(5,9)，∵eq\f(5,9)＞eq\f(1,2)＞eq\f(4,9)＞eq\f(1,3)，∴a2＋b2最大．2．(～學年度湖南師大附中高二期中測試)設a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8 B．4C．1 D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]根據(jù)題意得3a·3b＝3，∴a＋b∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4.當a＝b＝eq\f(1,2)時“＝”成立．故選B.3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個是()A．a(chǎn)2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a(chǎn)＋b[答案]D[解析]解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2eq\r(ab)，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故選D.解法二：取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，則a2＋b2＝eq\f(13,36)，2eq\r(ab)＝eq\f(\r(6),3)，2ab＝eq\f(1,3)，a＋b＝eq\f(5,6)，顯然eq\f(5,6)最大．4．設a、b是正實數(shù)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，則A、B的大小關系是()A．A≥B B．A≤BC．A＞B D．A＜B[答案]C[解析]∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2eq\r(ab))－(a＋b)＝2eq\r(ab)＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B.5．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a,第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則()A．x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)[答案]B[解析]∵這兩年的平均增長率為x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由題設a＞0，b＞0.∴1＋x＝eq\r(1＋a1＋b)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴x≤eq\f(a＋b,2)，等號在1＋a＝1＋b即a＝b時成立．∴選B.6．(～學年度山西忻州一中高二期中測試)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y為正數(shù))，若a⊥b，則xy的最大值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1[答案]A[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝eq\f(2x2－2x,2)≤eq\f(1,2)×(eq\f(2x＋2－2x,2))2＝eq\f(1,2).二、填空題7．若0<x<1，則x(1－x)的最大值為________．[答案]eq\f(1,4)[解析]∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[eq\f(x＋1－x,2)]2＝eq\f(1,4)，等號在x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時成立，∴所求最大值為eq\f(1,4).8．(～學年度湖南師大附中高二期中測試)已知t>0，則函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值是________．[答案]－2[解析]∵t>0，∴y＝eq\f(t2－4t＋1,4)＝t＋eq\f(1,t)－4≥2eq\r(t·\f(1,t))－4＝－2，當且僅當t＝eq\f(1,t)，即t＝1時，等號成立．三、解答題9．今有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確．有人說要用它稱物體的質(zhì)量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次稱量結果的和的一半就是物體的真實質(zhì)量，這種說法對嗎？證明你的結論．[解析]不對．設左右臂長分別為l1，l2，物體放在左、右托盤稱得重量分別為a、b，真實重量為G，則由杠桿平衡原理有：l1·G＝l2·a，①l2·G＝l1·b，②①×②得G2＝ab，∴G＝eq\r(ab)，由于l1≠l2，故a≠b，由均值不等式eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)知說法不對，真實重量是兩次稱量結果的幾何平均數(shù).能力提升一、選擇題1．設函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0)，則f(x)()A．有最大值 B．有最小值C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)[答案]A[解析]∵x<0，∴f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1≤－2eq\r(－2x－\f(1,x))－1＝－2eq\r(2)－1，等號在－2x＝eq\f(1,－x)，即x＝－eq\f(\r(2),2)時成立．∴f(x)有最大值．2．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．4[答案]D[解析]由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＋2＝4.當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，∴所求最小值為4.3．設a、b∈R，且ab>0.則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2[答案]D[解析]a＝b時，A不成立；a、b<0時，B、C都不成立，故選D.[點評]對于D選項，∵ab>0，∴eq\f(b,a)>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.4．已知0＜a＜1,0＜x≤y＜1，且logax·logay＝1，那么xy()A．無最大值也無最小值 B．無最大值而有最小值C．有最大值而無最小值 D．有最大值也有最小值[答案]C[解析]∵0<a<1,0<x≤y<1，∴l(xiāng)ogax>0，logay>0，1＝logax·logay≤(eq\f(logax＋logay,2))2＝[eq\f(1,2)loga(xy)]2＝(logaeq\r(xy))2，∵0<eq\r(xy)<1，∴l(xiāng)ogaeq\r(xy)>0，∴l(xiāng)ogaeq\r(xy)≥1，∴0<eq\r(xy)≤a，∴0<xy≤a2，等號在logax＝logay即x＝y(tǒng)時成立，∴xy有最大值a2，在x＝y(tǒng)＝a時取得；無最小值，選C.二、填空題5．已知a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lg(eq\f(a＋b,2))，則P、Q、R的大小關系是________．[答案]P<Q<R[解析]因為a>b>1，所以lga>lgb>0，所以eq\f(1,2)(lga＋lgb)>eq\r(lga·lgb)，即Q>P，又因為eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，所以lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，所以R>Q.故P<Q<R.6．已知x＜eq\f(5,4)，則函數(shù)y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值是________．[答案]1[解析]∵x＜eq\f(5,4)，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3＝3－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))≤3－2＝1，等號在5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時成立．三、解答題7．已知a、b、x、y∈R，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：ax＋by≤1.[解析]∵a2＋x2≥2ac，b2＋y2≥2by∴a2＋x2＋b2＋y2≥2ax＋2by，又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴2ax＋2by≤2，∴ax＋by≤1.8．某商場預計全年分批購入每臺2000元的電視機共3600臺．每批都購入x臺(x是自然數(shù))且每批均需付運費400元．貯存購入的電視機全年所需付的保管費與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比．若每批購入400臺，則全年需用去運輸和保管總費用43600元．現(xiàn)在全年只有24000元資金可以支付這筆費用，請問，能否恰當安排每批進貨數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結論，并說明理由．[解析]設總費用為y元(y＞0)，且將題中正比例函數(shù)的比例系數(shù)設為k，則y＝eq\f(3600,x)×400＋k(2000x)，依條件，當x＝400時，y＝43600，可得k＝5%，故有y＝eq\f(1440000,x)＋100x≥2eq\r(\f(1440000,x)·100x)＝24000(元)．當且僅當eq\f(1440000,x)＝100x，即x＝120時取等號．所以只需每批購入120臺，可使資金