+浙江省杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷+

2024-2025學(xué)年浙江省杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中，，，，那么等于(

)A. B. C. D.2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了如圖，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是(

)A.①

B.②

C.③

D.④3.如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形．設(shè)，，，則下列各式中正確的是(

)A.

B.

C.

D.4.如圖，在中，，，AB的垂直平分線OD交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，連接BD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)

A. B.BD平分

C. D.點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn)5.已知二次函數(shù)的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…013…y…131…則下列判斷中正確的是(

)A.拋物線開(kāi)口向上

B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)時(shí)，

D.方程的正根在3與4之間6.二次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的兩根之和(

)A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能確定7.如圖，直徑為10的上經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則的余弦值為(

)

A. B. C. D.8.如圖，在半徑為1的中，直徑AB把分成上、下兩個(gè)半圓，點(diǎn)C是上半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)A、B不重合，過(guò)點(diǎn)C作弦，垂足為E，的平分線交于點(diǎn)P，設(shè)，，下列圖象中，最能刻畫(huà)y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是(

)

A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9.分解因式：______.10.如圖，線段，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，且以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_____.11.如圖，在扇形OAB中，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與A，B重合，，，垂足分別為D，若，則扇形OAB的面積為_(kāi)_____.

12.已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，其圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①，

②，

③，

④，，

⑤正確的序號(hào)是______.

三、解答題：本題共4小題，共42分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。13.本小題10分

計(jì)算：；

解分式方程：14.本小題10分

如圖，四邊形ABCD中，AC平分，，E為AB的中點(diǎn)，連接CE，

求證：；

若，，求的值.15.本小題14分

已知、、、、五個(gè)點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)其中的三個(gè)點(diǎn).

求證：C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上；

點(diǎn)A在拋物線上嗎？為什么？

求a和k的值.16.本小題8分

如圖，在矩形ABCD中，是大于0的常數(shù)，，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)不與B、C重合連接DE，作，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)，

求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

若，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

若，要使為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：，

，

是直角三角形，，

，

故選：

根據(jù)中，，，可利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，再根據(jù)正弦的定義可得答案．

此題主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．2.【答案】A

【解析】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．

故選：

利用段完整的弧結(jié)合垂徑定理確定圓心即可．

本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．3.【答案】D

【解析】解：連接OM、OD、OA、根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得，，再根據(jù)同圓的半徑相等，得

故選

本題主要根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂徑定理進(jìn)行做題．

此題主要能夠根據(jù)矩形的對(duì)角線相等把線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，根據(jù)同圓的半徑相等即可證明．4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．

求出的度數(shù)即可判斷A；求出和的度數(shù)，求出的度數(shù)，即可判斷B；根據(jù)三角形面積即可判斷C；求出∽，得出，求出，即可判斷

【解答】

解：A、，，

，

，正確，

B、是AB垂直平分線，

，

，

，

是的角平分線，正確，

C，根據(jù)已知不能推出的面積和面積相等，錯(cuò)誤，

D、，，

∽，

，

，

，，

，

，

，

，

，

即點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)，正確，

故選：5.【答案】D

【解析】解：由圖表可得，

該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，有最大值，

拋物線開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

拋物線與y軸的交點(diǎn)為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

和時(shí)的函數(shù)值相等，則時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

方程的正根在3與4之間，故選項(xiàng)D正確，

故選：

根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸、開(kāi)口方向，從而可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題．

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．6.【答案】A

【解析】解：設(shè)的兩根為，，

由二次函數(shù)的圖象可知，，

設(shè)方程的兩根為m，n，則，

，

，

故選

設(shè)的兩根為，，由二次函數(shù)的圖象可知，，設(shè)方程的兩根為m，n再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論．

本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】解：如圖，連接CA并延長(zhǎng)交與點(diǎn)D，連接OD，

同弧所對(duì)的圓周角相等，

，

是的直徑，

，

，

，

，

，

即的余弦值為

故選：

首先根據(jù)圓周角定理，判斷出；然后根據(jù)CD是的直徑，判斷出，在中，用OD的長(zhǎng)度除以CD的長(zhǎng)度，求出的余弦值為多少，進(jìn)而判斷出的余弦值為多少即可．

此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．

此題還考查了銳角三角函數(shù)值的求法，要熟練掌握．8.【答案】A

【解析】解：連接OP，

，

，，

，

故選：

連接OP，根據(jù)條件可判斷出，即AP是定值，與x的大小無(wú)關(guān)，所以函數(shù)圖象是平行于x軸的線段．要注意CE的長(zhǎng)度是小于1而大于0的．

解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象類習(xí)題時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)條件找到所給的兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，尤其是在幾何問(wèn)題中，更要注意基本性質(zhì)的掌握和靈活運(yùn)用．9.【答案】

【解析】解：原式

，

故答案為：

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

此題考查了因式分解-提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．10.【答案】1或3或

【解析】解：設(shè)

以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似，

①當(dāng)時(shí)，，解得

②當(dāng)時(shí)，，解得或，

當(dāng)以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，AP的長(zhǎng)為1或3或8，

故答案為1或3或

分兩種情形構(gòu)建方程求解即可．

本題考查了相似三角形的判定，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：連接AB，

，，

、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，

為的中位線，

又在中，，，

，

扇形OAB的面積為：

故答案是：

連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂徑定理得到D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，即ED為三角形ABC的中位線，即可求出AB的長(zhǎng)．利用勾股定理、，且，可以求得該扇形的半徑．

此題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形面積的計(jì)算以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．12.【答案】④⑤

【解析】解：拋物線開(kāi)口向下，

，

拋物線對(duì)稱軸為直線，

，

，②錯(cuò)誤．

拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，

，

，①錯(cuò)誤．

由圖象可得時(shí)，，

③錯(cuò)誤．

由圖象可得時(shí)，為最大值，

，即，④正確．

時(shí)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，

時(shí)，，

，

，

，

，⑤正確．

故答案為：④⑤．

由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

本題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)確定．13.【答案】解：

；

，

方程可化為，

方程兩邊同乘，得，

解得，，

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以不是分式方程的解；

當(dāng)時(shí)，，所以是分式方程的解；

所以原分式方程的解是

【解析】先根據(jù)有理數(shù)的乘方、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；

分式方程兩邊同乘，將分式方程化為整式方程求解即可．

本題考查了解分式方程，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則以及解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．14.【答案】證明：平分，

，

，

∽，

：：AB，

；

解：，E為AB中點(diǎn)，

，

，

平分，

，

，

，

∽，

：：CF，

，

，

，

【解析】由AC平分，，可證得∽，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得；

易證得∽，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值．

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】解：拋物線的對(duì)稱軸為，

而，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，

由拋物線的對(duì)稱性可知，C、E關(guān)于直線對(duì)稱，

又與對(duì)稱軸相距2，與對(duì)稱軸相距3，

、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上；

假設(shè)點(diǎn)在拋物線上，

則，解得，

因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)5個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，

將、、、代入，

得出a的值分別為，，，，

所以拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是B，D，

又因?yàn)?，與矛盾，

所以假設(shè)不成立．

所以A不在拋物線上；

由題意，拋物線可能經(jīng)過(guò)BCD或者BDE，

將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得

，

解得，

，

在拋物線上．

或?qū)、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得

，

解得，

，

在拋物線上．

綜上所述，或

【解析】由拋物線可知，拋物線對(duì)稱軸為，而，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，應(yīng)該關(guān)于直線對(duì)稱，但與對(duì)稱軸相距2，與對(duì)稱軸相距3，故不可能；

假設(shè)A點(diǎn)在拋物線上，得出矛盾排除A點(diǎn)在拋物線上；

、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，一定在拋物線上，另外一點(diǎn)可能是C點(diǎn)或E點(diǎn)，分別將C、D或D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求a和k的值．

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．關(guān)鍵是明確圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式．16.【