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文檔簡(jiǎn)介

第一章極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性

在現(xiàn)實(shí)生活中，許多量都是連續(xù)變化的，例如，水的流動(dòng)、氣溫的變化、植物的生長(zhǎng)，等等.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.它與極限是密切相關(guān)的.為了定義函數(shù)的連續(xù)，首先必須引入函數(shù)增量的概念.1、函數(shù)的增量

2、函數(shù)連續(xù)的定義

因?yàn)橛缮?，定義2可改寫成以下定義:

有了函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)，就可以進(jìn)一步定義函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).

3、初等函數(shù)的連續(xù)性

可以證明：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)；初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù).

例2

計(jì)算下列極限。

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)分類:

第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)

如果說連續(xù)是蜿蜒不斷的萬(wàn)里長(zhǎng)城，那么間斷則不僅有“抽刀斷水水更流”的可去間斷，有“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”的跳躍間斷，更有“我欲乘風(fēng)歸去”的無(wú)窮間斷。不論是連續(xù)還是間斷，我們都可以發(fā)現(xiàn)它的美好。

例如:

(3)

(4)

總結(jié)：判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的一般步驟：Step1：找出函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)（分段函數(shù)還需考慮分段點(diǎn)）Step2：求出該點(diǎn)的左右極限。觀察極限是否存在，左右極限是否相等。Step3：根據(jù)定義判斷間斷點(diǎn)類型。

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)為什么必須是閉區(qū)間，必須是連續(xù)函數(shù)？由以上兩個(gè)圖可以看出，如果函數(shù)不是閉區(qū)間或者連續(xù)函數(shù)，有可能沒有最大值或者最小值.

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