高等數(shù)學（第五版）課件 5.3 定積分的計算_第1頁
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文檔簡介

第五章定積分第三節(jié)定積分的計算一、定積分的換元積分法

【引例分析】根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式，要計算該定積分，必須先求被積函數(shù)的一個原函數(shù)，

計算過程是先求原函數(shù)，再使用牛頓—萊布尼茲公式，顯得較為復雜。再看下面的計算過程：從結(jié)果上看是一樣的，但計算過程顯得更簡捷。

【引例分析】被積函數(shù)是無理式，無法直接計算，可采用下面的辦法來解決：

定積分的換元積分法

上述等式稱為定積分的換元公式。說明：（1）從左到右應用該公式時，相當于不定積分的第二換元法（如引例2），使用時要引入新的變量，同時切記：換元必換限。換限時原上限對新上限，原下限對新下限，換元后變量不用回代。（2）從右到左應用該公式時，相當于不定積分的第一換元法（如引例1），使用時不引入新的變量，因而積分的上、下限不變，只要求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，直接使用牛頓—萊布尼茲公式。例1

例1

例3求下列定積分

解

解

例3求下列定積分

解

例3求下列定積分

規(guī)律

利用函數(shù)的對稱性,有時可簡化計算.

證:由定積分的區(qū)間可加性，得

將式（2）代入式（1），得

結(jié)論：

二、定積分的分部積分法

該公式稱為定積分的分部積分公式。對于由兩個不同函數(shù)組成的被積函數(shù)，因其不便于進行換元，可以考慮使用分部積分法。其原理是對導數(shù)乘法法則的逆用。

證:

規(guī)律1：當被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（反三角函數(shù)）的積時，要用分部積分法，且要用冪函數(shù)湊微分。

定積分的分部積分公式可以多次使用。

規(guī)律2：當被積函數(shù)為冪函數(shù)與指對數(shù)函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)）的積時，要用分部積分法，且不能用冪函數(shù)湊微分。

規(guī)律3：

當被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）

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