經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 第18講4.4分部積分法

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)輔導第18講顧靜相4.4分部積分法教學要求

掌握計算不定積分的分部積分法．分部積分法

第17講介紹的湊微分法是對應于復合函數(shù)求導法的積分方法，本講將要講解的積分方法是對應于乘積求導公式的方法．分部積分法

設函數(shù)

u=u(x)與

v=v(x)都有連續(xù)導數(shù)，由乘積求導公式

d(uv)=vdu+udv，即udv=d(uv)–vdu，兩邊積分得

，(18.1)或

，(18.2)公式(18.1)或(18.2)稱為分部積分公式．這說明，如果計算積分

較難、而積分較易，那么較難的一個積分

可以轉(zhuǎn)化為乘積函數(shù)

uv與較易的那個積分

的差．分部積分法

能利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵是能將積分

的被積函數(shù)

f(x)化成兩個因子

f(x)=ku(x)v

(x)(k是常數(shù))．

一般地，當被積函數(shù)中有冪函數(shù)因子、指數(shù)函數(shù)因子、對數(shù)函數(shù)因子、三角函數(shù)因子和反三角函數(shù)因子時，可以考慮用分部積分法．分部積分法

應用分部積分法的常見積分形式及

u，dv的選取方法：

1．

(n>0，n為正整數(shù))，應利用分部積分法計算．一般設

u=

xn，被積表達式的其余部分設為

dv．分部積分法

應用分部積分法的常見積分形式及

u，dv的選取方法：

1．

(n>0，n為正整數(shù))，應利用分部積分法計算．一般設

u=

xn，被積表達式的其余部分設為

dv．

2．

(n≠1,n為正整數(shù))，應利用分部積分法計算．一般設

dv=

xndx，被積表達式的其余部分設為

u．分部積分法例1求不定積分

．分部積分法例1求不定積分

．解設

u=x，v

=sin(2x-3)，則du=dx，

．所以分部積分法例2求不定積分

．分部積分法例2求不定積分

．解設

u=lnx，v

=x2，則

．所以分部積分法

在初步掌握分步積分法后，可不必明確地設出

u和dv，而直接應用公式．從下面的例題中我們還可以看到，在一些較復雜的積分問題中，有可能多次應用分部積分法．分部積分法例3求不定積分

．分部積分法例3求不定積分

．解(再用分部積分求之)

分部積分法例4求不定積分

．分部積分法例4求不定積分

．解上式右端第三項

恰好是所求的不定積分，移項后，有

注意：移項后，等式右端已不含積分項，必須加上任意常數(shù)

，所以

分部積分法

還要注意，在第二次應用分部積分法時，u

和dv的選取要與第一次保持一致，否則將回到原積分．分部積分法

還要注意，在第二次應用分部積分法時，u

和dv的選取要與第一次保持一致，否則將回到原積分．

用換元積分法、分部積分法求積分的方法要靈活運用，切忌死套公式．有的問題往往需要這兩種方法交互使用才能求得最終結(jié)果．分部積分法例5求不定積分

．分部積分