四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共234題）

四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共234題）四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、求y=ex，y=sinx，x=0與x=1所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由圖可知所求體積為Vx=π(1一cos2x)dx=sin2．知識點解析：解答本題首先應(yīng)畫出[0，1]上y=ex和y=sinx的圖象，確定積分變量，利用體積公式計算求得結(jié)果．2、將函數(shù)f(x)=展開成(x一1)的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為又=1一x+x2－x3+…+(－1)nxn+…(｜x｜＜1)，所以知識點解析：因為我們已知的展開式，所以首先將f(x)化成，然后套用已知展開式．這是間接展開的方法．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、證明：當(dāng)x＞1時，lnx＞標(biāo)準(zhǔn)答案：先將不等式變形為(x+1)lnx＞2(x－1)．設(shè)F(x)=(x+1)lnx－2(x－1)，則因為當(dāng)x=1時，F(xiàn)′(1)=0，所以當(dāng)x＞1時，只要證明F′(x)＞F′(1)=0，即證F′(x)為單調(diào)遞增函數(shù)即可．由于當(dāng)x＞1時，F(xiàn)″(x)＞0，所以F′(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．即當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′(x)＞F′(1)=0．由于F′(x)＞0，得F(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x＞1，F(xiàn)(x)＞F(1)=0，即當(dāng)x＞1時，(x+1)lnx－2(x－1)＞0．所以當(dāng)x＞1時，lnx＞．知識點解析：通過構(gòu)造函數(shù)F(x)=(x+1)lnx－2(x－1)，利用函數(shù)求導(dǎo)得出F(x)＞F(1)=0，即證明不等式成立．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、下列命題正確的是()A、無窮小量的倒數(shù)是無窮大量B、無窮小量是絕對值很小的數(shù)C、無窮小量是以零為極限的變量D、無界變量一定是無窮大量標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：A項：無窮小量(除去零)的倒數(shù)是無窮大量．B項：無窮小量不是絕對值很小很小的數(shù)(除去零)．C項：無窮小量是以零為極限的變量．D項：無界變量不一定是無窮大量，但無窮大量是無界變量．5、=()A、0B、1C、D、一1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：∵=0，cosx有界，∴=0(無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量)．6、方程x3+2x2－x－2=0在[－3，2]上()A、有1個實根B、有2個實根C、至少有1個實根D、無實根標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)f(x)=x3+2x2一x一2(x∈[一3，2])．因為f(x)在區(qū)間[一3，2]上連續(xù)，且f(－3)=－8＜0，f(2)=12＞0，由“零點定理”可知，至少存在一點ξ∈(3，2)，使f(ξ)=0，所以方程在[一3，2]上至少有1個實根．7、設(shè)z=x3ey2，則dz=()A、6x2yey2dxdyB、x2ey2(3dx+2xydy)C、3x2ey2dxD、x3ey2dy標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：公式法因為=3x2ey2．=x3.ey2.2y=2x3yey2，所以dz=dy=3x2ey2dx+23x3yey2dy=x2ey2(3dx+2xydy)．8、直線與平面x+y—z=2的位置關(guān)系是()A、平行B、直線在平面內(nèi)C、垂直D、相交但不垂直標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題意得直線過點(0，0，0)且直線的方向向量為(1，一1，0)，平面的法向量為(1，1，－1)，由(1，－1，0)×(1，1，－1)=0且點(0，0，0)不在平面上可得直線與平面平行．9、若f(x)dx=sin2，則xf(x2)dx=()A、sin2B、2sin2C、sin2D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查的知識點是定積分的概念和定積分的換元積分法．換元時積分的上、下限一定要一起換．因為f(x)dx=sin2更廣義的理解應(yīng)為f(u)du=sin2，所以10、設(shè)向量a=－j+3k，b=，那么()A、a⊥bB、a／／b且a，b同向C、a／／b且a，b反向D、a與b既不平行，也不垂直標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題意知a=－2b，則易判斷a∥b且a，b反向．11、若冪級數(shù)在點x=2處收斂，則實數(shù)a的取值范圍是()A、(1，3]B、[1，3)C、(1，3)D、[1，3]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令x一a=t，，收斂半徑R=1，收斂域為t∈[－1，1)，故的收斂域為[a一1，a+1)．∵2∈[a一1，a+1)．∴a一1≤2＜a+1．∴1＜a≤3．12、微分方程=y2cosx的通解是()A、y=C—cosxB、y－1=C－sinxC、y－1=C+sinxD、y=C—sinx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：y=0是原方程的常數(shù)解，當(dāng)y≠0時，原方程可化為dy=cosxdx，積分得原方程的通解為y－1=C—sinx．13、設(shè)A，B是兩個n階方陣，若AB=0，則必有()A、A=0且B=0B、A=0或B=0C、｜A｜=0且｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由A=，則AB=0，所以選項A，B錯誤；若AB=0，則｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，即｜A｜=0或｜B｜=0，即選項D正確．四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)14、設(shè)f′(1)=2，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：由導(dǎo)數(shù)定義有15、函數(shù)y=x3一2x+1在區(qū)間[1，2]上的最小值為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：y′=3x2－2，令其為0，得駐點x=＜1，所以將x=1，x=2代入y=x3一2x+1，得當(dāng)x=1時，y值最小，最小值為0．16、比較積分大?。簂nxdx___________(lnx)3dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：＞知識點解析：因為在[1，2]上lnx＞(lnx)3，所以(lnx)3dx．17、已知平面π：2x+y－3z+2=0，則過原點且與π垂直的直線方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：已知平面π：2x+y一3z+2=0，其法向量n=(2，1，－3)．又知直線與平面π垂直，則直線的方向向量為s=(2，1，－3)，所以直線方程為18、已知f(0)=1，f(1)=2，f′(1)=3，則xf″(x)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：由題設(shè)有f′(x)dx=f′(1)－f(x)=f′(1)－f(1)+f(0)=3—2+1=2．五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：利用等價無窮小量代換，當(dāng)x→0時，tanx～x，sinx4～x4，1一cosx～x2．20、求由方程siny+xey=0確定的曲線在點(0，π)處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊對x求導(dǎo)得cosy.y′+ey+xey.y′=0，得所以故所求切線方程為y一π=eπ(x—0)，即eπx一y+π=0．知識點解析：本題主要考查如何求切線方程．已知切線過定點，只需求出函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值，即得切線的斜率，代入直線方程，進(jìn)而求得切線方程．21、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)=x3+3xf(x)dx，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=f(x)dx，則f(x)=x3+3Ax．將上式兩端在[0，1]上積分，得因此f(x)=x3一x．知識點解析：由于定積分f(x)dx存在，因此它表示一個確定的數(shù)值，設(shè)A=f(x)dx，則f(x)=x3+3Ax．這是解題的關(guān)鍵，為了能求出A，可考慮將左端也轉(zhuǎn)化為A的表達(dá)式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得A=xdx，得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．22、設(shè)函數(shù)z=2cos2(x—y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z=2cos2(x—y)=1+cos(2x—y)，=sin(2x—y)，[sin(2x—y)]=2cos(2x—y)．知識點解析：對y求偏導(dǎo)時，將x視為常數(shù)．求二階混合偏導(dǎo)數(shù)時，次序可以互換，如本題中先求=－2sin(2x—y)，[一2sin(2x—y)]=2cos(2x—y)=23、計算(x+y)dx+(y—x)dy，其中L是先沿直線從點(1，1)到點(1，2)，然后再沿直線到點(4，2)的折線．標(biāo)準(zhǔn)答案：L1是先沿直線從點(1，1)到點(1，2)，L1：x=1，y：1→2，L2是沿直線點從(1，2)到點(4，2)，L2：y=2，x：1→4，知識點解析：本題考查對坐標(biāo)曲線積分的計算．24、將函數(shù)f(x)=ln(1+x一2x2)展開為x0=0的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為1+x一2x2=(1+2x)(1－x)，所以ln(1+x一2x2)=ln(1+2x)+ln(1－x)．由ln(1+x)=(一1＜x＜1)。得ln(1+2x)=ln(1一x)=(一1＜x＜1)，故知識點解析：因為我們已知ln(1+x)和ln(1一x)的展開式，所以首先將f(x)化成上述形式．即ln(1+x一2x2)=ln[(1+2x)(1一x)]=ln(1+2x)+ln(1一x)．然后套用已知展開式．這是間接展開的方法．25、求微分方程y″+4y′+3y=9e－3x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程：r2+4r+3=0r1=－1，r2=－3．故對應(yīng)的齊次方程y″+4y′+3y=0的通解為=C1e－x+C2e－3x，因為a=－3是特征值，故可設(shè)特解為y*=Axe－3x．因為(y*)′=Ae－3x一3Axe－3x，(y*)″=－3Ae－3x一3(Ae－3x一3Axe－3x)=－6Ae－3x+9Axe－3x，代入y″+4y′+3y=9e－3x得一2Ae－3x=9e－3x所以y*=xe－3x．故所求通解為y=C1e－x+C2e－3x－xe－3x．知識點解析：本題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解．求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y″+py′+qy=f(x)的一般步驟：(1)先求出其相應(yīng)的齊次方程通解=C1y1+C2y2；(2)再求出它的一個特解y*(3)y=C1y1+C2y2+y*即為所求方程的通解．26、a，b分別取何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解?有解時，求出所有解．標(biāo)準(zhǔn)答案：增廣矩陣討論：(1)當(dāng)a≠0時，繼續(xù)初等行變換可化為r(A)≠r(B)，無解．(2)當(dāng)a=0時，繼續(xù)初等行變換可化為進(jìn)一步討論b的值．①當(dāng)a=0，b≠4時，r(A)≠r(B)，無解．②當(dāng)a=0，b=4時，r(A)=r(B)=2＜5，有無窮多解，基礎(chǔ)解系個數(shù)為5—2=3，此時自由未知量x3，x4，x5，分別在對應(yīng)的齊次方程組中代入(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)可解出導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系：為求AX=β的一個特解，讓自由未知量(x3，x4，x5)=(0，0，0)可解出x0=(6，一4，0，0，0)T．于是此時非齊次線性方程組的通解為x0+k1x3+k2x4+k3x5．知識點解析：本題考查利用初等變換求非齊次線性方程組的通解．四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、某工廠要制造一個無蓋的圓柱形發(fā)酵池，其容積是立方米，池底的材料為30元／平方米，池壁的材料為20元／平方米，問如何設(shè)計，才能使成本最低?最低成本是多少元?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)池底半徑為r，池高為h(如圖所示)，則πr2h=又設(shè)制造成本為S，則S=30.πr2+20.2πrh=30.πr2+20.2πr.=30π(r2+)，S′=30π(2r一)．令S′=0，得駐點r=1．因為S′=30π(2+)＞0，所以，r=1為唯一的極小值點，即為最小值點．因此，池底半徑為1米，高為米時，可使成本最低，最低成本為90π元．知識點解析：本題考查的知識點是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求實際問題的極值．所謂“成本最低”，即求制造成本函數(shù)在已知條件下的最小值．因此，本題的關(guān)鍵是正確寫出制造成本函數(shù)的表達(dá)式，再利用已知條件將其化為一元函數(shù)，并求其極值．2、用二重積分計算由曲面z=x2+y2和z=所圍成的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知曲面的極坐標(biāo)方程分別為z=r2，z=r，D：0≤r≤1，0≤θ≤2π．知識點解析：本題考查的知識點是應(yīng)用二重積分求幾何體的體積．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、設(shè)函數(shù)f(x)在[一a，a](a＞0)上連續(xù)，證明[f(x)+f(－x)]dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)dx．對于f(x)dx，令x=－t，則所以知識點解析：本題利用定積分的性質(zhì)證明等式成立．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、函數(shù)y=的定義域是()A、(一1，+∞)B、[一1，+∞)C、(一1，0)∪(0，+∞)D、[一1，0)∪(0，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由已知，應(yīng)有解得x≥一1且x≠0．5、當(dāng)x→∞時，函數(shù)f(x)與是等價無窮小量，則2xf(x)=()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：所給問題為無窮小量的比較問題．由于=1，因此2xf(x)==26、定積分(2x+1)99dx=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令t=2x+1，則dt=2dx，dx=dt．當(dāng)x=－時，t=0；當(dāng)x=0時，t=1，因此說明使用定積分的換元法時，積分區(qū)間必須作相應(yīng)變化．7、設(shè)z=xy+y，則=()A、e+1B、+1C、2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為=elne+1=e+1．故選A．8、設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，則不定積分∫f′(x)dx=()A、sinx+CB、cosx+CC、一sinx+CD、一cosx+C標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由不定積分的性質(zhì)“先求導(dǎo)后積分，相差一個常數(shù)”可知選項A正確．9、已知數(shù)域F上的向量α1，α2，α3線性無關(guān)，下列不正確的是()A、α1，α2線性無關(guān)B、α2，α3線性無關(guān)C、α1，α3線性無關(guān)D、α1，α3線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為α1，α2，α3線性無關(guān)，則α1與α2，α1與α3，α2與α3均線性無關(guān)．10、設(shè)有直線l1：，當(dāng)直線l1與l2平行時，λ等于()A、1B、0C、D、一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：直線其方向向量s1=(1，2，λ)，s2=(2，4，－1)．若l1／／l2，則可知應(yīng)選C．11、冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查了冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求解．設(shè)un(x)=，因為=2x2，所以收斂半徑R=時，級數(shù)收斂，故收斂域為12、微分方程y″+2y′+y=0的通解為()A、y=(C1+C2x)exB、y=(C1+C2x)e－xC、y=(C1+C2)e－xD、y=(C1+C2)ex標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：微分方程的特征方程為r2+2r+1=0，解得r=－1，為二重根，由通解公式可知其通解為y=(C1+C2x)e－x．故選B．13、設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是()A、(A+B)T=AT+BTB、(A+B)－1=A－1+B－1C、(AB)－1=B－1A－1D、(AB)T=BTAT標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：(A+B)(A－1+B－1)=E+AB－1+BA－1+E，不一定是單位矩陣，故B不正確．四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)14、設(shè)y=x+ex，則y′=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1+ex知識點解析：本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)的四則運算．y′=(x+ex)′=x′+(ex)′=1+ex．15、xcosx2dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：本題考查定積分的對稱性．由于積分區(qū)間[一1，1]關(guān)于原點對稱，被積函數(shù)xcosx2為奇函數(shù)，因此xcosx2dx=0．16、曲線y=2x3一1的拐點是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，一1)知識點解析：本題考查二階導(dǎo)數(shù)計算及拐點的定義．y′=6x2，y″=12x，當(dāng)x＜0時，y″＜0；當(dāng)x＞0時，y″＞0，則拐點是(0，一1)．17、設(shè)二元函數(shù)z=3x2－2xy+2y2，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點解析：=－2．18、行列式D1=，若D1=D2，則λ的取值為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，－1知識點解析：本題考查行列式的計算．經(jīng)計算得D1=(λ+1)(λ一1)2，D2=0．若D1=D2，則(λ+1)(λ一1)2=0，于是λ=1，或λ=－1．五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、已知由方程x2+y2=e確定函數(shù)y=y(x)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：在x2+y2=e兩側(cè)關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得2x+2yy′=0，y′=－=知識點解析：此題是隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的題，且同時檢查了反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)20、計算dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=，x=t2，dx=2tdt．當(dāng)x=4時，t=2；當(dāng)x=9時，t=3．則有=2(cos2－cos3)．知識點解析：本題采用湊微分法．即=－2(cos3－cos2)=2(cos2－cos3)，也可采用下面的方法來解．21、計算∫sin3xdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t=3x，則dt=3dx．=cos3x+C．知識點解析：可以利用換元法，也可以利用直接湊微分法求不定積分．22、已知z=cos，y=et，x=t3+t，求，dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于而因此進(jìn)而知識點解析：此題可將x=t3+t，y=et直接代入z=cos，然后利用一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，即z=cos．當(dāng)然也可采用下面方法．23、求過點M0(0，2，4)，且與兩個平面π1，π2都平行的直線方程，其中π1：x+y－2z－1=0，π2：x+2y－z+1=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果直線l平行于π1，則平面π1的法向量n1必定垂直于直線l的方向向量s．同理，若直線l平行于π2，則平面π2的法向量n2必定滿足n2⊥s．由向量積的定義可知，取s=n1×n2==3i一j+k．由于直線l過點M0(0，2，4)，由直線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知為所求直線方程．知識點解析：本題考查直線方程的求解．據(jù)題意可求出直線的方向向量，進(jìn)而求出直線的點向式方程．24、求y″－2y′=2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y″一2y′=2x為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，與之相對應(yīng)的齊次線性微分方程為y″一2y′=0，特征方程為r2一2r=0．特征根為r1=0，r2=2．相應(yīng)齊次微分方程的通解為=C1+C2e2x．而λ=0為單一特征根，故可設(shè)y*=x(Ax+B)為原方程特解，把(y*)′=2Ax+B，(y*)″=2A代入原方程可得A=B=x(x+1)．故y=C1+C2e2x－x(x+1)為所求通解．知識點解析：本題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，求出y″一2y′=0的通解和y″一2y′=2x的一個特解即可．25、判斷級數(shù)(a＞0，a≠e)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：令un=，由于故有當(dāng)＜1，即a＞e時，該級數(shù)收斂；當(dāng)＞1，即a＜e時，該級數(shù)發(fā)散．知識點解析：這是一個正項級數(shù)，用正項級數(shù)比值判別法判定即可．26、解線性方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為它們的秩分別為r(A)=2，r(B)=2，所以方程有無窮多組解．因為≠0，所以由方程組的第一個和第二個方程解出x1，x2得x1=34+11x3，x2=－12—5x3，或?qū)懗蓌1=34+11t，x2=－12—5t，x3=t，其中t為參數(shù)．知識點解析：本題考查線性方程組的求解．通過對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換后，再進(jìn)行求解即可．四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、有一邊長為48厘米的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的正方形，然后將四邊折起做成一個方形無蓋容器，問截去的小正方形的邊長多大時，所得容器的容積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)截下的小正方形的邊長為z厘米，則正方體容器的底邊長為48－2x，高為x，容積為V(x)=(48－2x)2x，其中x的變化范圍是0＜x＜24．V′(x)=(48－2x)(48－6x)，令V′(x)=0，得駐點坐標(biāo)x=8，x=24(舍去)．V″(x)=24x－384，V″(8)=－192＜0，所以x=8是唯一的極大值點，也是最大值點，最大值是V(8)=8192．答：當(dāng)截去的小正方形的邊長是8厘米時，容器的容積達(dá)到最大，此時容積是8192立方厘米．知識點解析：本題考查實際問題中的求最值問題．根據(jù)題意寫容器容積的函數(shù)關(guān)系式，通過求導(dǎo)，計算最值．2、求由曲線y=lnx，x=e與y=0所圍成的封閉平面圖形繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)所得到的兩個旋轉(zhuǎn)體體積Vx，Vy．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=lnx，x=e與y=0所圍成的封閉平面圖形如圖所示．由于當(dāng)x=1時，lnx=ln1=0，可知圖形中x的變化范圍為[1，e]．由于y｜x=1=0，y｜x=e=lne=1，可知圖形中y的變化范圍為[0，1]．由y=lnx可知x=ey，因此由旋轉(zhuǎn)體體積公式知Vx=πl(wèi)n2xdx，Vy=π(e2一e2y)dy．從而有Vy=π(e2一e2y)dy=(e2+1)．知識點解析：本題考查的是利用定積分計算旋轉(zhuǎn)體體積．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、試證：｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于所給不等式，可以認(rèn)定為函數(shù)的增量與自變量的增量之間的關(guān)系．因此可以設(shè)y=f(x)=arctanx，不妨設(shè)a＜b，則y=arctanx在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．進(jìn)而可知，y=arctanx在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理條件，因此必定存在點ξ∈(a，b)。使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)．由于(arctanx)′=從而有arctanb—arctana=(a＜ξ＜b)，｜arctanb一arctana｜=｜b一a｜．由于1+ξ2≥1，因此｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．知識點解析：由于拉格朗日中值定理描述了函數(shù)的增量與自變量的增量及導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)某點值之間的關(guān)系，因而微分中值定理?？捎脕碜C明某些有關(guān)可導(dǎo)函數(shù)增量與自變量的增量，或它們在區(qū)間內(nèi)某點處函數(shù)值有關(guān)的等式與不等式．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、下列命題中正確的有()A、若x0為f(x)的極值點，則必有f′(x0)=0B、若f′(x0)=0，則x0必為f(x)的極值點C、若x0為f(x)的極值點，可能f′(x0)不存在D、若f(x)在(a，b)內(nèi)存在極大值，也存在極小值，則極大值必定大于極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：極值的必要條件：設(shè)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，且x0為f(x)的極值點，則f′(x0)=0，但反之不一定成立．故選C．5、當(dāng)x→0時，kx是sinx的等價無窮小量，則k=()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由等價無窮小量的概念，可知=1，從而k=1，故選B也可以利用等價無窮小量的另一種表述形式，由于當(dāng)x→0時，有sinx～x，由題設(shè)知當(dāng)x→0時，kx～sinx，從而kx～x，可知k=1．6、設(shè)y=ln(1－2x)，則y′=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：7、dx=()A、一1B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查定積分的運算．故選C．8、曲線y=xsin()A、僅有水平漸近線B、既有水平漸近線又有垂直漸近線C、僅有垂直漸近線D、既無水平漸近線又無垂直漸近線標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為所以曲線有水平漸近線y=1，但沒有垂直漸近線．9、過原點且與平面2x－y+3z+5=0平行的平面方程為()A、B、=0C、2x－y+3z=0D、2x=－y=3z標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：已知平面π1：2x—y+3z+5=0的法向量n1=(2，一1，3)，所求平面π∥π1，則平面π的法向量n∥n1，可以取n=n1=(2，一1，3)．由于所求平面過原點，由平面的點法式方程，得2x—y+3z=0為所求平面方程．10、dx=()A、ln｜1一x2｜+CB、ln｜1一x2｜+CC、ln｜1一x2｜+CD、一ln｜1一x2｜+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：ln｜1一x2｜+C11、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤a2，a＞0)，在極坐標(biāo)下二重積分e一x2一y2dxdy可以表示為()A、re一r2drB、re一r2drC、re一r2drD、e一r2dr標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為D：x2+y2≤a2，a＞0，令則有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤2π，所以re—r2dr．故選B．12、設(shè)A為三階矩陣，｜A｜=2，其伴隨矩陣為A*，則(A*)*=()A、2AB、4AC、8AD、16A標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為｜A｜.｜A*｜=｜A｜n，所以｜A*｜=｜A｜n－1=4，且｜A｜A－1=A*，所以A=(A*)－1，故(A*)*=(A*)－1.｜A*｜=.A.4=2A．13、微分方程y′+滿足初始條件y｜x=1=0的特解為()A、y=(lnx+1)B、y=lnxC、y=(lnx一1)D、y=lnx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由一階線性微分方程的通解公式有由初始條件y｜x=1=0，得C=0，故所求特解為y=lnx．四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)14、設(shè)方程y=1+xey確定了y是x的隱函數(shù)，則dy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：dx知識點解析：由y=1+xey得y′=ey+xeyy′，移項化簡可得y′=，則dy=dx．15、設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=f(P)=12一P，則P=6時的需求彈性為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將P=6代入得16、冪級數(shù)的收斂半徑為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為級數(shù)為，所以用比值判別法有當(dāng)＜1時收斂，即x2＜2．收斂區(qū)間為，故收斂半徑R=17、已知f(x)f(y)dy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π2知識點解析：因為f(x)dx=π，所以f(y)dy=(f(x)dx)2=π2．18、已知，則X=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為矩陣可逆，所以由，可得X=，即五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：此極限是“∞.(∞一∞)”的不定型．而已知(a一b)(a2+ab+b2)=a3一b3，所以分子、分母同乘后分式變?yōu)椤啊毙停指鶕?jù)當(dāng)n→∞時，分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)，所以所求極限為零．20、計算dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=lnx，則dt=dx．=ln(lnx)+C．也可以利用湊微分法計算：=ln(lnx)+C．知識點解析：本題考查的知識點是不定積分的換元積分運算．本題中出現(xiàn)的主要問題是不定積分運算丟掉任意常數(shù)C．dlnx=ln(lnx)+C．21、設(shè)x2+y2+z2－4z=0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x，y，z)=x2+y2+z2一4z，則F′x=2x，F(xiàn)′y=2yx，F(xiàn)′z=2z一4，故從而知識點解析：解這樣一個二元函數(shù)隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的題型．首先要設(shè)F(x，y，z)=x2+y2+z2一4z，然后要掌握公式：22、求微分方程xy′+y=ex滿足初始條件y｜x=1=e的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給方程為一階線性微分方程，將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程將初始條件y｜x=1=e代入上式，可得C=0，故y=為所求的特解．知識點解析：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，先求出微分方程的通解，冉利用初始條件求出特解．23、判定級數(shù)的收斂性!若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：所給級數(shù)是任意項級數(shù)，不是交錯級數(shù)．由于又由于的p級數(shù)，因而收斂．由正項級數(shù)的比值判別法可知收斂，從而絕對收斂．知識點解析：這是一道任意項級數(shù)判斷斂散性的題，首先清楚如果給了一個任意項級數(shù)(一1)nan那么先看看｜(一1)nan｜是否收斂．如收斂，則原級數(shù)(一1)nan絕對收斂．如｜(一1)nan｜發(fā)散，但原級數(shù)(一1)nan收斂，則稱(一1)nan條件收斂．24、已知直線l：，若平面π過點M(－2，9，5)且與l垂直，求平面π的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，直線l的方向向量s=(3，4，一7)必定平行于所求平面π的法向量n，因此可取n=s=(3，4，一7)．利用平面的點法式方程可知3[x一(一2)]+4(y一9)一7(z一5)=0，即3(x+2)+4(y一9)一7(z一5)=0為所求平面方程．或?qū)憺橐话闶椒匠蹋?x+4y一7z+5=0．知識點解析：由直線的方向向量可以確定平面的法向量，進(jìn)而求出平面的點法式方程．25、計算二重積分dxdy，其中區(qū)域D為y=0，y=x以及x=1所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于有唯一解x=1，y=1，對應(yīng)點(1，1)．作直線平行于y軸與區(qū)域D相交，沿y軸正方向看，入口曲線為y=0，出口曲線為y=x，因而0≤y≤x．又由于在D中0≤x≤1，于是sinxdx=1一cos1．知識點解析：積分區(qū)域D的圖形如圖所示．積分區(qū)域D較簡單，但是如果先對x積分，則遇到dx不能用初等函數(shù)表示出來，即不可積分．因此應(yīng)該考慮先對y積分，后對x積分的次序．26、解線性方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣施行初等行變換．由第一和第二行分別減去第三行的5倍和2倍，然后把第三行換到第一行的位置，再把新矩陣的第二行和第三行互換位置得，由第二行減去第三行的2倍得，雖然我們還沒有把增廣矩陣化成最簡的形式，但已可看出，相當(dāng)于最后矩陣的線性方程組中的一個方程是0=5，所以原方程無解．知識點解析：通過對增廣矩陣施行初等行變換，把矩陣化成最簡的形式．四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時，公寓會全部租出去，當(dāng)月租金每增加100元時，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費200元的維修費，試問租金定為多少可獲得最大收入?最大收入是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)租金定為x元時對應(yīng)的收入為y元，則y=(50一)(x一200)，即y=+72x一14000，x≥2000，令y′=+72=0，得唯一駐點x=3600，結(jié)合實際問題知，當(dāng)租金定為3600元時，可獲得最大收入，最大收入為115600元．知識點解析：根據(jù)題意，寫出收入函數(shù)y，然后用一元函數(shù)y=f(x)的求最值法，即可得解．2、設(shè)拋物線y=ax2+bx，當(dāng)0≤x≤1時，y≥0．已知它與直線y=0，x=1所圍成的圖形的面積為，求a，b的值，使此圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：S=(ax2+bx)dx=即2a+3b=2，則b=要使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小，則a=，把a(bǔ)=代入b=，所以b=，綜上所述a=知識點解析：一般情況下，如果有兩條曲線y=f(z)，y=g(x)(假設(shè)f(x)≥g(x))與x=a，x=b(a≤b)所圍成的平面繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后所成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式為：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、證明：1+xln(x+(一∞＜x＜+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=1+x.ln(x+于是令f′(x)=0，得駐點：x=0；又＞0，x∈(－∞，+∞)；從而可知，f′(x)在(一∞，+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)．因f′(0)=0，故x＜0時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；x＞0時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；進(jìn)而知f(x)在x=0處取得最小值，且最小值為f(0)=0，那么對任意的x∈(－∞，+∞)，有f(x)≥0，即1+x.ln(x+知識點解析：證明不等式的方法很多，利用函數(shù)的單調(diào)性證明是常用的方法之一．關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)f(x)，證明當(dāng)x＞x0時，f′(x)＞0(或＜0)，從而推出函數(shù)f(x)單調(diào)增加(或減少)，因而x＞x0時，f(x)＞f(x0)(或f(x)＜f(x0))．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、設(shè)函數(shù)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a的值為()A、一2B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：∵f(x)在x=0處連續(xù)，∴=－a，又∵f(0)=2，∴－a=2，a=－2．故選A．5、等于()A、2B、1C、D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查的知識點為無窮小量的性質(zhì)．由于x→∞時，為無窮小量，而sin2x為有界變量．由無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量的性質(zhì)可知6、設(shè)函數(shù)f(x)=，則()A、x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點C、x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點D、x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：顯然x=0，x=1為間斷點，其分類主要考慮左右極限．由于函數(shù)f(x)在x=0，x=1點處無定義，因此是間斷點，且f(x)=∞，所以x=0為第二類間斷點；f(x)=－1，所以x=1為第一類間斷點，故應(yīng)選D．應(yīng)特別注意：7、已知導(dǎo)函數(shù)y=ktan2x的一個原函數(shù)為ln(cos2x)，則k=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由題意tan2x，所以有ktan2x=tan2x，則k=．故選D．8、設(shè)函數(shù)f(x)=e2x，則不定積分∫f()dx=()A、2ex+CB、ex+CC、2e2x+CD、e2x+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：f(x)=e2x，令t=，則dx=2dt，∫f()dx=∫f(t).2dt=2∫e2tdt=∫e2td(2t)=e2t+C=ex+C．故選B．9、在空間直角坐標(biāo)系中，表示圓柱面的方程是()A、x2+y2一z2=0B、x2+y2=4C、x=y2D、x2+y2+z2=1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程F(x，y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面，稱之為柱面方程．方程x2+y2－a2=0表示母線平行Oz軸的圓柱面方程．同理，F(xiàn)(y，z)=0及F(x，z)=0都表示柱面，它們的母線分別平行于Ox軸及Oy軸．故選B．10、設(shè)vn是正項級數(shù)，且un＜vn(n=1，2，…)，則下列命題正確的是()A、若un收斂，則vn收斂B、若un發(fā)散，則vn發(fā)散C、若vn發(fā)散，則un發(fā)散D、若vn收斂，則un發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由正項級數(shù)的比較判別法可以得到，若小的級數(shù)un發(fā)散，則大的級數(shù)vn必發(fā)散．故選B．11、設(shè)向量組α1，α2，…，αr是向量組α1，α2，…，αr，β的一個極大線性無關(guān)組，記n×r矩陣A=(α1α2…αr)，則非齊次線性方程組AX=β()A、必?zé)o解B、必有解，且解唯一C、必有解，且有無窮多組解D、不能確定，可能有解，可能無解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：r(Anr)=r(α1α2…αr)=r，由條件知β必可由α1，α2，…，αr線性表示得r(α1α2…αr)=r(α1α2…αr，β)=r即AnrXr1=β有唯一解．12、微分方程y′+y=0的通解為()A、y=exB、y=e－xC、y=CexD、y=Ce－x標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查的知識點為一階微分方程的求解．可以將方程認(rèn)作可分離變量方程；也可以將方程認(rèn)作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程，并作為特例求解．將方程認(rèn)作可分離變量方程．分離變量=－dx，兩端分別積分=－∫dx，lny=－x+C1，或y=Ce－x．13、A，B為n階方陣，A可逆，則下面運算正確的是()A、｜—A－1｜=－｜A｜－1B、｜｜A｜B｜=｜A｜｜B｜C、(kA)*=kA*D、(A*)－1=(A－1)*標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A，｜－A－1｜=(－1)n｜A－1｜=(－1)n=(－1)n｜A｜－1，故A錯誤；B，｜A｜B｜=｜A｜n｜B｜，故B錯誤；C，由A－1=A*(d=｜A｜)知(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn－1｜A｜A－1，kA*=k｜A｜A－1，故C錯誤；D，由于A*(A－1)*=(｜A｜A－1)(｜A－1｜(A－1)－1)=｜A｜｜A－1｜A－1A=E，故D正確．四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)14、設(shè)y=2x.x2+sin2，則y′=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2xx2ln2+2x+1x知識點解析：已知y=2x.x2+sin2，則y′=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x．15、極限=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：16、過點(1，一1，0)且與直線平行的直線方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關(guān)系．由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，一1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為17、定積分(｜x｜+x)e｜x｜dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2+2知識點解析：xexdx，又exdx=e2+1，所以(｜x｜+x)e｜x｜dx=2e2+2．18、已知行列式，則A11+A21+A31=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：∵A11=(－1)1+1=ac一bc，A21=(一1)2+1=0．A31=(一1)3+1=bc一ac，∴A11+A21+A31=0．五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、若=5，求a與b．標(biāo)準(zhǔn)答案：若則當(dāng)x→2時，x2+ax+b與x－2為同階無窮小量，令x2+ax+b=(x－2)(x+k)，(※)則(x+k)=5，此時k=3，代入(※)式得x2+ax+b=(x一2)(x+3)，即x2+ax+b=x2+x一6，所以a=1，b=－6．知識點解析：本題關(guān)鍵在于根據(jù)同階無窮小量的定義，將x2+ax+b寫成兩個一次式的乘積，使得兩個未知數(shù)a，b變?yōu)橐粋€k，解答就簡便了．20、已知平面π1：x+2y+z=1，π2：－2x+y+z=3．求過點M0(1，一1，1)且與平面π1，π2都垂直的平面的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：π1的法向量為n1={1，2，1}，π2的法向量n2={－2，1，1}，所求平面π與π1，π2都垂直，故π的法向量為n=n1×n2==i一3j+5k．又因為所求平面過點M0(1，一1，1)，故其方程為1.(x一1)一3(y+1)+5(z一1)=0，即x一3y+5z一9=0．知識點解析：本題考查平面方程的求解，據(jù)題意可求出平面的法向量，進(jìn)而求出平面的點法式方程．21、計算dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=tant，則dx=dt．當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，t=注意到tan2t+1=，則有知識點解析：本題考查的知識點是用換元法去根號計算定積分．三角代換x=asint和x=atant是大綱要求掌握的內(nèi)容．22、設(shè)函數(shù)z=exey，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=ey.exey=ey.ey.exey=e2y+xey=ey.exey+ey.exey.xey=ey+xey知識點解析：本題考查對二階偏導(dǎo)數(shù)的求解．23、計算dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題主要考查不定積分的分母有理化問題．24、求(x+y)dxdy，其中D是由曲線y=x3，y=－x3及y=1所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，因區(qū)域關(guān)于y軸對稱，而f(x)=x是奇函數(shù)，所以xdxdy=0，所以知識點解析：計算二重積分的基本思想是將其化為累次積分．可以將二重積分轉(zhuǎn)化為：先對y積分，后對x積分的累次積分．25、求y″+6y′+13y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為，r2+6r+13=0，故r=－3±2i為共軛復(fù)根，于是通解為y=e－3x(C1cos2x+C2sin2x)．知識點解析：本題考查二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解．26、設(shè)線性方程組①且已知(1，一1，1，一1)T是該方程的一個解，試求(1)①的全部解；(2)①滿足x2=x3的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將(1，一1，1，一1)T代入①得1一λ+μ一1=0，即λ=μ．將Aλ=μ代入①得對它的系數(shù)矩陣為A施行初等行變換：由此可知，當(dāng)λ≠時，所以，此時①的通解為x=(x1，x2，x3，x4)T=C1(一1，，1)T+(1，一1，1，一1)T=(一C1+1，C1+1，C1一1)T(C1是任意常數(shù))．當(dāng)λ=時，所以，此時①的通解為x=(x1，x2，x3，x4)T=C2(1，一3，1，0)T+C3(，一1，0，1)T+(1，一1，1，一1)T=(C2－C3+1，一3C2一C3—1，C2+1，C3—1)T(C2，C3是任意常數(shù))．(2)當(dāng)λ≠時，由x2=x3得C1+1，即C1=2，所以，此時①的滿足x2=x3的通解為x=(x1，x2，x3，x4)T=(一1，0，0，1)T．當(dāng)λ=時，由x2=x3得一3C2—C3—1=C2+1，即C3=－4C2—2，所以，此時①的滿足x2=x3的通解為x=(x1，x2，x3，x4)T=(3C2+2，C2+1，C2+1，一4C2—3)T(C2是任意常數(shù))．知識點解析：本題考查的知識點是利用初等變換求線性方程組的通解．四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、要造一個容積為32π立方厘米的圓柱形容器，其側(cè)面與上底面用一種材料，下底面用另一種材料，已知下底面材料每平方厘米的價格為3元，側(cè)面材料每平方厘米的價格為1元，問該容器的底面半徑r與高h(yuǎn)各為多少時，造這個容器所用的材料費用最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)S為材料費用函數(shù)，則S=2πrh+πr2+3πr2，且滿足條件πr2h=32π．所以因令S′(r)=0，得駐點r=2．因S″(2)=24π＞0，且駐點唯一，所以r=2為S(r)的最小值點，此時所以r=2厘米，h=8厘米時，材料費用最少．知識點解析：本題為利用導(dǎo)數(shù)求最值問題．求最大值與最小值的一般方法是：(1)求出f(x)在(a，b)內(nèi)的所有(可能的極值點)駐點、導(dǎo)數(shù)不存在的點：x1，…，xk．(2)求出上述各點及區(qū)間兩個端點x=a，x=b處的函數(shù)值：f(x1)，…，f(xk)，f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的數(shù)即為y=f(x)在[a，b]上的最大值，相應(yīng)的x的取值即為f(x)在[a，b]上的最大值點，而其中最小的數(shù)值即為f(x)在[a，b]上的最小值，相應(yīng)的x的取值即為f(x)在[a，b]上的最小值點．2、求冪級數(shù)一1)x2n在區(qū)間(一1，1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在(一1，1)內(nèi)有記f(x)=x2n(x∈(一1，1))，則f(0)=0，且所以，對x∈(一1，0)∪(0，1)有從而因此，知識點解析：冪級數(shù)求和函數(shù)一般采用逐項求導(dǎo)，逐項積分或湊的方法，轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)或常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，從而達(dá)到求和的目的．本題利用初等函數(shù)和ln(1+x)的麥克勞林展開式即可．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、設(shè)f(x)為[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，試證(e—ex2)f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于二重積分區(qū)域D可以表示為0≤y≤1，0≤x≤，其圖形如圖陰影部分所示．如果換為先對y積分，作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿y軸正向看，入口曲線為y=x2，出口曲線為y=1，因此x2≤y≤1，在區(qū)域D中0≤x≤1．因此原等式成立．知識點解析：本題實際上是一道交換積分次序的題，對左式可先根據(jù)x的積分限畫出積分區(qū)域D的草圖，再由草圖所示轉(zhuǎn)化為先對y積分，求出后即得右式．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、設(shè)f(x)=e—x2一1，g(x)=x2，則當(dāng)x→0時()A、f(x)是比g(x)高階的無窮小B、f(x)是比g(x)低階的無窮小C、f(x)與g(x)是同階的無窮小，但不是等價無窮小D、f(x)與g(x)是等價無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：=－1．故選C．5、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則=()A、0B、2f(x)C、2f(x)f′(x)D、2f′(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：∵函數(shù)f(x)可導(dǎo)，∴=2f(x)f′(x)．6、函數(shù)y=ln(1+x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A、(－5，5)B、(－∞，0)C、(0，+∞)D、(－∞，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：y′=，由y′＞0得x＞0，所以函數(shù)y=ln(1+x2)在(0，+∞)上單調(diào)遞增．7、設(shè)函數(shù)z=x2y+x+1，則等于()A、2x+1B、2xy+1C、x2+1D、x2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：用二元函數(shù)求偏導(dǎo)公式計算即可．(x2y+x+1)=2xy+1．8、不定積分dx=()A、ln｜3x－1｜+CB、ln(3x－1)+CC、ln｜3x－1｜+CD、ln(3x－1)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．d(3x一1)=ln｜3x一1｜+C9、在空間直角坐標(biāo)系中，方程1=所表示的圖形是()A、橢圓B、橢圓面C、拋物面D、橢圓柱面標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為在平面直角坐標(biāo)系中，1=表示的平面圖形為橢圓，所以在空間直角坐標(biāo)系中，方程1=所表示的圖形為以xOy平面上橢圓=1為準(zhǔn)線，母線為平行z軸的直線所形成的橢圓柱面，故D項正確．10、下列命題中正確的有()A、設(shè)級數(shù)un收斂，vn發(fā)散，則級數(shù)(un+vn)可能收斂B、設(shè)級數(shù)un收斂，vn發(fā)散，則級數(shù)(un+vn)必定發(fā)散C、設(shè)級數(shù)un收斂，且un≥vn(n=k，k+1，…)，則級數(shù)vn必定收斂D、設(shè)級數(shù)(un+vn)收斂，則有(un+vn)=vn標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：本題考查的知識點為級數(shù)的性質(zhì)．由級數(shù)的性質(zhì)：若vn收斂，則(un+vn)必定收斂．利用反證法可知，若(un+vn)必定發(fā)散．可知應(yīng)選B．通?？梢詫⑵渥鳛榕卸墧?shù)發(fā)散的充分條件使用．11、向量組α1=(1，1+a，0)，α2=(1，2，0)，α3=(0，0，a2+1)線性相關(guān)，則a=()A、一1B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：∵向量α1，α2，α3線性相關(guān)，∴它們構(gòu)成的行列式的值為0，即=2a2+2一(1+a)(a2+1)=(a2+1)(1一a)=0，故a=1．12、方程y″+3y′=x2的待定特解y*應(yīng)取()A、AxB、Ax2+Bx+CC、Ax2D、x(Ax2+Bx+C)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性微分方程特解y*的取法．由于相應(yīng)齊次方程為y″+3y′=0，其特征方程為r2+3r=0，特征根為r1=0，r2=－3，而x2，λ=0為單一特征根，因此應(yīng)設(shè)y*=x(Ax2+Bx+C)，故應(yīng)選D．13、設(shè)A為n(n≥2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩B，A*，B*分別為A，B的伴隨矩陣，則()A、交換A*的第1列與第2列得B*B、交換A*的第1行與第2行得B*C、交換A*的第1列與第2列得－B*D、交換A*的第1行與第2行得－B*標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)A變?yōu)锽的初等矩陣為E12，則B=E12A，｜B｜=｜E12｜｜A｜=－｜A｜B－1=A－1=A－1E12，｜A｜B－1=｜A｜A－1E12－｜B｜B－1=A*E12，即－B*=A*E12．四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)14、由方程xy—ex+ey=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：兩邊對x求導(dǎo)y+xy′一ex+ey.y′=0，15、dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜x｜+C知識點解析：原式=ln｜x｜+C．16、直線垂直，則k=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點解析：因為直線的方向向量s1=(2k，k+2，5)，直線=的方向向量s2=(3，1，k+2)，又兩條直線垂直，所以6k+k+2+5(k+2)=0，解得k=－1．17、f′(3x)dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[f(3b)一f(3a)]知識點解析：18、設(shè)A=，且有AX+I=A2+X，則X=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：化簡矩陣方程得(A－I)X=A2一I，由A2一I=(A－I)(A+I)，且A—I==－1≠0．知A—I可逆，所以(A—I)－1(A—I)X=(A—I)－1(A—I)(A+I)，又因為(A－1)－1(A—I)=I，故矩陣方程化為X=A+I，即X=A+I=五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、求由方程y2+cost2dt=0確定的y=y(x)的導(dǎo)函數(shù)y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得2yy′+cosx2=0，y′=－知識點解析：本題考查隱函數(shù)的求導(dǎo)，對方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)即可．20、設(shè)f(x)=求f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題考查分段函數(shù)的積分，利用積分區(qū)間可加性即可求解．21、設(shè)z=z(x，y)由方程yz+x2+z=0所確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)=yz+x2+z，則F′x=2x，F(xiàn)′y=z，F(xiàn)′z=y+1，當(dāng)y+1≠0時，為連續(xù)函數(shù)，有知識點解析：為了求全微分dz，可以先求，如果兩個偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，那么由全微分的充分條件可知dz=dy．由于所給函數(shù)為隱函數(shù)形式，可利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的公式．22、計算∫x(1+x2)2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫x(1+x2)2dx=∫(1+x2)2d(1+x2)=(1+x2)3+C．知識點解析：暫無解析23、求(x2+y2)dxdy，其中D為(x—a)2+y2≤a2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，那么D對應(yīng)于區(qū)域D1={(r，θ)｜，0≤r≤2acosθ}，故知識點解析：本題考查重積分的計算．利用二重積分的變量代換求解即可．24、求微分方程y″一3y′+2y=xex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：該微分方程所對應(yīng)齊次線性方程y″一3y′+2y=0．的特征方程為r2－3r+2=0，特征根為r1=1，r2=2，所以齊次方程的通解為=C1ex+C2e2x．因為λ=1是單特征根，而α=1，所以，設(shè)特解形式為y*=x(a+bx)ex．將y*=x(a+bx)ex代入原微分方程，并求解得y*=－x(1+x)ex故原微分方程的通解為y=C1ex+C2e2x－x(1+x)ex知識點解析：本題考查的知識點為求解二階線性微分方程．25、將函數(shù)f(x)=展開為x的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間(不考慮端點)．標(biāo)準(zhǔn)答案：而(一1)nxn，且R1=1，且R2=2，故f(x)=xn，則R=min{R1，R2}=1，所以收斂區(qū)間為(一1，1)．知識點解析：將題給分式分解成兩個分式和的形式，分別轉(zhuǎn)化成的形式，再借用的已知展開式展開即可．26、λ取何值時，齊次線性方程組有非零解，并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查齊次線性方程組解的情況，先對系數(shù)矩陣化簡，再進(jìn)行討論求解．解因為系數(shù)矩陣所以當(dāng)λ=5時，方程組有非零解，且此時通解為知識點解析：本題考查齊次線性方程組解的情況，先對系數(shù)矩陣化簡，再進(jìn)行討論求解．四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、欲圍成一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，問場地的兩邊各為多少米時，才能使所用材料費最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所圍場地正面長為x，另一邊為y，則xy=150，從而y=．設(shè)四面圍墻高度相同，都是h，則四面圍墻所使用的材料總費用為f(x)=6xh+3(2yh)+3xh=9xh+6h.則f′(x)=9h(1一)，令f′(x)=0，得駐點x1=10，x2=－10(舍去)．f″(10)=1．8h＞0．由于駐點唯一，由實際意義可知最小值存在，因此當(dāng)正面長為10米，側(cè)面長為15米時所用材料費最少．知識點解析：先用其四個面的面積乘以相應(yīng)的單位面積的造價，求和寫出總費用函數(shù)f(x)，然后用求一元函數(shù)y=f(x)最值法即可得解．2、求由曲線y=2一x2，y=x(x≥0)與直線x=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由平面圖形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積為Vx=πy2(x)dx．畫出平面圖形的草圖(如圖所示)，則所求體積為0≤x≤1，0≤y≤2一x2所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積減去0≤x≤1，0≤y≤x所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積．當(dāng)x≥0時，由知識點解析：就一般情況而言，如果有兩條曲線y=f(x)，y=g(x)(假設(shè)f(x)≥g(x))與x=a，x=b(a≤b)所圍成的平面繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，則其所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式為：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、證明方程3x一1一=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一的實根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=3x一1一，則f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)．由于dt=1，所以f(1)=2－＞0．又f(0)=－1＜0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個零點，即所給方程在(0，1)內(nèi)至少有一個實根．又f′(x)=3一，當(dāng)0≤x≤1時，f′(x)＞0．因此，f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，由此知f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至多有一個零點．綜上可知，方程3x一1一=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一的實根．知識點解析：首先設(shè)f(x)=3x一1一dt，然后驗證f(x)在[0，1]上滿足介值定理條件．由介值定理得到f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個零點(實根)，并且根據(jù)f′(x)=3一＞0(0＜x＜1)說明f(x)是單調(diào)增函數(shù)，從而得到f(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個零點．由此得到方程3x一1一=0在(0，1)內(nèi)有唯一的實根．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、設(shè)f(x)在x=1處連續(xù)，且=2，則f′(1)=()A、2B、C、一2D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題設(shè)條件，有f(x)=f′(1)，則f′(1)=2．5、下列等式不成立的是()A、=eB、=e－1C、=eD、=e標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：利用重要極限=e可知選項C不成立．故選C．6、已知f′(cosx)=sinx，則f(cosx)=()A、一cosx+CB、cosx+CC、(sinxcosx—x)+CD、(x—sinxcosx)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：已知f′(cosx)=sinx，在此式兩側(cè)對cosx求積分，得∫f′(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)，有故選C．7、下列關(guān)系式正確的是()A、d∫f(x)dx=f(x)+CB、∫f′(x)dx=f(x)C、∫f(x)dx=f(x)D、∫f(x)dx=f(x)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：A項，d∫f(x)dx=f(x)dx；B項，∫f′(x)dx=f(x)+C；C項，∫f(x)dx=(∫f(x)dx)′=f(x)，則選C，由C知D項不正確．8、設(shè)z=x3y2，則=()A、12dx+4dyB、12dx一4dyC、6dx+4dyD、6dx一4dy標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，=12dx+4dy．9、a=(1，λ，2)，b=(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦為，則λ=()A、一2B、C、一2或D、2或標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：∵a.b=1×2+λ×(一1)+2×2=6一λ，又∵a.b=｜a｜.｜b｜cos(a，b)=10、過點M(0，－1，2)且垂直于平面2x—y+3z一1=0的直線方程為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：本題考查了空間中直線方程的求解．由于所求直線與已知平面垂直，因此直線的方向向量s可取為已知平面的法向量n=(2，一1，3)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為11、下列反常積分收斂的是()A、xdxB、x2dxC、dxD、dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A項，=∞發(fā)散；B項，=∞發(fā)散；C項，=∞發(fā)散；D項，=0+1=1收斂．故選D．12、微分方程dy=0的通解為()A、2(x3－y2)+3(x2－y3)=CB、2(x3－y3)+3(y2一x2)=CC、2(x3－y3)+3(x2－y2)=CD、3(x3－y3)+2(x2－y2)=C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對原式變形得(x+x2)dx一(y+y2)dy=0，移項得(x+x2)dx=(y+y2)dy．對等式兩邊積分可得y3+C1，從而可得2(x3－y3)+3(x2一y2)=C．13、A為n階可逆矩陣，則下列各項正確的是()A、(2A－1)T=(2AT)－1B、(2A)－1=2A－1C、E(A－1)－1]T=[(AT)－1]－1D、A=標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于(2AT)(2A－1)T=(2A)T(2A－1)T=((2A－1)(2A))T=4E，故A錯誤；B，(2A)－1=A－1；C，[(A－1)－1]T=AT=[(AT)－1]－1；D，由AA－1=E知該選項錯誤．四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)14、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則k=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：由已知及連續(xù)的定義得ex=1=f(0)，得k=1．15、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2t知識點解析：16、設(shè)f(2)=1，xf′(x)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：由分部積分公式有f(x)dx=2f(2)－f(x)dx=2×1—1=1．17、微分方程x(y′)2－2xy′+x=0的階數(shù)是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為這個方程的階．18、設(shè)A=，且矩陣X滿足AX=A+2X，則X=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：AX=A+2X(A一2E)X=A，A一2E=，容易證明A一2E=可逆，所以X=(A一2E)－1A，又因為(A一2E，A)=五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、設(shè)f(x)=試確定k的值使f(x)在點x=1處連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=1，要使f(x)在x=1處連續(xù)，應(yīng)有k=f(1)=f(x)=1．知識點解析：本題考查函數(shù)的極限和連續(xù)，關(guān)鍵是求出20、計算(x一1)99dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題考查的知識點為定積分的計算利用換元積分法計算即可．21、設(shè)z=sin(x2一xy+y2)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=，v=x2－xy+y2，則z=eusinv，于是有=eusinv.+eucosv.(2x—y)=sin(x2－xy+y2)+(2x—y)cos(x2－xy+y2)]，=eusinv.(－)+eucosv.(2y—x)=[(2y－x)cos(x2－xy+y2)－sin(x2－xy+y2)]．知識點解析：本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，引進(jìn)中間變量化簡運算求解即可．22、求微分方程y′+ycosx=e－sinx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e－∫cosxdx[∫e－sinx.e∫cosxdxdx+C]=e－sinx[∫e－sinx.esinxdx+C]=e－sinx(x+C)．知識點解析：本題考查一階線性微分方程的通解，利用非齊次線性微分方程的通解公式求解即可．23、將f(x)=展開為x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：＜1，即一3＜x＜3．知識點解析：本題考查的知識點為將函數(shù)展開為z的冪級數(shù)．24、(1)求由曲線y=e－x與直線x+y=1，x=1所圍成的平面圖形的面積S；(2)計算二重積分xydxdy，其中D為(1)中的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)S=(e－x－1+x)dx=(－e－x－x+(2)x(e－2x－(x2－2x+1))dx知識點解析：本題考查定積分與二重積分計算，至于第(2)問，把二重積分化為累次積分計算即可．25、設(shè)線性方程組問a，b分別為何值時，方程組無解，方程組有唯一解，方程組有無窮多解?標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程組的增廣矩陣變形過程為：討論：(1)當(dāng)a≠－3，b為實數(shù)時，秩(B)=3=n=3，方程組有唯一解；(2)當(dāng)a=－3，b=3時，秩(B)=2＜n=3，方程組有無窮多解；(3)當(dāng)a=－3，b≠3時，秩(B)=3≠秩(A)=2，方程組無解．知識點解析：本題是用初等行變換求非齊次線性方程組的解的不同情況．26、求函數(shù)f(x，y)=2x3一6xy+3y2+5的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f′x(x，y)=6x2－6y，f′y(x，y)=－6x+6y，f″xx(x，y)=12x，f″xy(x，y)=－6，f″yy(x，y)=6．令得駐點(0，0)，(1，1)．對于駐點(0，0)，A=f″xx(0，0)=0，B=f″xy(0，0)=－6，C=f″yy(0，0)=6，因為B2一AC=(一6)2＞0，所以點(0，0)不是極值點．對于駐點(1，1)，A=f″xx(1，1)=12，B=f″xy(1，1)=－6，C=f″yy(1，1)=6，因為B2－AC=(一6)2－12×6=－36＜0，且A=12＞0，所以點(1，1)是極小值點，極小值為f(1，1)=4．知識點解析：本題考查的知識點是二元函數(shù)的無條件極值．二元函數(shù)取得極值的充分條件：設(shè)z=f(x，y)在(x0，y0)的某個領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)，且f′x(x0，y0)=f′y(x0，y0)=0，令f′xx(x0，y0)=A，f′xy(x0，y0)=B，f′yy(x0，y0)=C，則當(dāng)B2一AC＜0且A＜0時，f(x0，y0)為極大值；當(dāng)B2一AC＜0且A＞0，f(x0，y0)為極小值；B2一AC＞0時，(x0，y0)不是極值點．四川省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、欲用板材作一容積為a3的長方體密封箱體，試問長、寬、高各為多少時，可以使板材最省?標(biāo)準(zhǔn)答案：令x，y分別為箱體的長、寬，則高z應(yīng)為，箱體的表面積為即所求問題就是求二元函數(shù)S=S(x，y)在區(qū)域D={(x，y)｜x＞0，y＞0)上的最小值點，由解得唯一駐點(a，a)∈D，顯然，這個駐點就是最小值點，由x=y=a，得z=a．即當(dāng)x=y=z=a時，板材最省．知識點解析：設(shè)箱體長、寬分別為x，y，并與容積a3表示出表面積S，通過=0，得唯一駐點，即得S的最小值．2、設(shè)平面薄片的方程可以表示為x2+y2≤R2，x≥0，薄片上點(x，y)處的密度ρ(x，y)=，求該薄片的質(zhì)量M．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用對稱性．依題設(shè)由于區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，為x的偶函數(shù)，記D在x軸上方的部分為D1，則知識點解析：由二重積分的物理意義知：該薄片的質(zhì)量M=ρ(x，y)dxdy(其中ρ(x，y)為密度函數(shù))，而此積分的區(qū)域D為半圓，即x2+y2≤R2(x≥0)，所以由下面解法可以得到質(zhì)量M的結(jié)果．二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、試證：當(dāng)x＞0時，有不等式x＞sinx＞x一．標(biāo)準(zhǔn)答案：先證x＞sinx(x＞0)．設(shè)f(x)=x—sinx，則f′(x)=1一cosx≥0(x＞0)，所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，于是對x＞0有f(x)＞f(0)=0，即x—sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)．再證sinx＞x－(x＞0)．令g(x)=sinx—x+，則g′(x)=cosx－1+x，g″(x)=－sinx+1≥0，所以g′(x)單調(diào)遞增，又g′(0)=0，可知g′(x)＞g′(0)=0(x＞0)，那么有g(shù)(x)單調(diào)遞增．又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)，所以sinx—x+＞0，即sinx＞x－(x＞0)．綜上可得：當(dāng)x＞0時，x＞sinx＞x－知識點解析：可將不等式分成兩部分來證，即：x＞sinx，sinx＞x一730，分別設(shè)f(x)=x—sinx和g(x)=sinx—x+731，然后再分別求導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性思想即可證出．三、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、已知當(dāng)x→0時，(1+ax2與cosx－1是等價無窮小，則a=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：∵當(dāng)x→0時，(1+x2．又(1+一1～cosx一1，∴當(dāng)x→0時，x2，于是，有：5、下列極限不正確的是()A、=eB、=eC、=eD、=e標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：B項：6、經(jīng)過點(1，0)，且切線斜率為3x2的曲線方程是()A、y=x3B、y=x3+1C、y=x3一1D、y=x3+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為y′=3x2，則y=x3+C．又曲線過點(1，0)，得C=－1．故曲線方程為y=x3一1．7、dx=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)x=sint，則dx=costdt，當(dāng)x=0時，t=0；x=1時，t=，所以8、設(shè)直線L：和平面π：x—y—z+2=0，則()A、L與π垂直B、L與π相交但不垂直C、L在π上D、L與π平行但L不在π上標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為直線L過點(2，3，－1)，且直線L的方向向量s=(1，2，－1)，又平面π的法向量n=(1，一1，一1)，所以n.s=1—2+1=0，故直線L與平面π平行，但點(2，3，一1)不在平面π上，所以直線L不在平面π上．9、已知D={(x，y)｜0≤x≤