云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷1（共192題）

云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷1（共7套）（共192題）云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷第1套一、單項選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列哪組函數(shù)是線性相關的()A、e2x，e－2xB、e2＋x，ex－2C、D、標準答案：B知識點解析：e2＋x／ex－2＝e4是常數(shù)，故B項的函數(shù)是線性相關的；而，都不是常數(shù)，故A、C、D項的函數(shù)都是線性無關的．2、已知y是關于x的函數(shù)，則微分方程y2dx－(1－x)dy＝0是()A、一階齊次線性微分方程B、一階非齊次線性微分方程C、可分離變量微分方程D、二階線性微分方程標準答案：C知識點解析：將該微分方程整理可得dy／y2＝dx／(1－x)，所以該微分方程是可分離變量微分方程．3、設y1，y2是一階非齊次線性微分方程y’＋p(x)y＝g(x)的兩個特解，若存在常數(shù)λ，μ使λy1＋μy2是該方程的解，λy1－μy2是該方程對應的一階齊次線性方程的解，則()A、λ＝1／2，μ＝1／2B、λ＝－1／2，μ＝－1／2C、λ＝2／3，μ＝1／3D、λ＝2／3，μ＝_2／3標準答案：A知識點解析：將解λy1＋μy2代入方程y’＋p(x)y＝q(x)，得λ[y1’＋p(x)y1]＋μ[y2’＋p(x)y2]＝q(x)．①將解λy1－μy2代入方程Yy’＋p(x)y＝0，得λ[y1’＋p(x)y1]－μ[y2’＋p(x)y2]＝0．②又y1’＋p(x)y1＝q(x)．y2’＋p(x)y2＝q(x)，代入①、②式中，得λ＋μ＝1，λ－μ＝0，解得λ＝1／2，μ＝1／2，故選A．4、已知函數(shù)y＝y(tǒng)(x)在任意點x處的增量△y＝y(tǒng)△x／(1＋x2)＋α，且當△x→0時，α是△x的高階無窮小，y(0)＝π，則y(1)＝()A、2πB、πC、eπ／4D、πeπ／4標準答案：D知識點解析：由題意可得則得y’＝y(tǒng)／(1＋x2)，即dy／dx＝y(tǒng)／(1＋x2)，分離變量得dy／y＝dx／(1＋x2)，兩邊積分并整理得y＝Cearctanx，把y(0)＝π代入y＝Cearctanx得C＝π，則y＝πearctanx．當x＝1時，y(1)＝πeπ／4．5、已知某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個特征根分別為r1＝－1，r2＝－3，則該微分方程為()A、y”－4y’＋3y＝0B、y”＋4y’＋3＝0C、y”＋4y’＋3y＝1D、y”＋4y’＋3y＝0標準答案：D知識點解析：由特征根的值可知微分方程對應的特征方程為(r＋1)(r＋3)＝r2＋4r＋3＝0，所以對應的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y’＋4y’＋3y＝0．6、微分方程y”－2y’＝x的特解可設為y*＝()A、AxB、Ax＋BC、Ax2＋BxD、Ax2＋Bx＋C標準答案：C知識點解析：該二階齊次微分方程對應的特征方程為r2－2r＝0，得特征根為r1＝0，r2＝2．因為f(x)＝x中，λ＝0是特征方程的單根，于是特解應設為y’＝(Ax＋B)x＝Ax2＋Bx．7、設y＝y(tǒng)(x)是微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y＝ex滿足y(0)＝0，y’(0)＝1的解，則＝()A、不存在B、0C、1D、2標準答案：C知識點解析：由于y＝y(tǒng)(x)是方程的解，從而y(x)有二階連續(xù)導數(shù)，因為y(0)＝0，y’(0)＝1，則y”(0)－1＝1，即y"(0)＝2，從而二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、若微分方程的解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與該微分方程的________相同，則該解叫作微分方程的通解．標準答案：階數(shù)知識點解析：由微分方程通解的定義可知，通解中任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程中的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)即方程的階數(shù)一致．9、微分方程xy’－y＝0的通解為y＝________．標準答案：Cx知識點解析：方程可化為dy／dx＝y(tǒng)／x，分離變量得dy／y＝dx／x，兩邊積分得ln｜y｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜，即y＝Cx．10、方程(xy2＋x)dx＋(y－x2y)dy＝0滿足y｜x＝0＝1的特解為________．標準答案：(1＋y2)／(1－x2)＝2知識點解析：方程分離變量得xdx／(x2－1)dx＝y(tǒng)dy／(1＋y2)，兩邊積分得ln｜x2－1｜／2＝ln(y2＋1)／2＋ln｜C／2，所以x2－1＝C(y2＋1)．又y｜x＝0＝1，故C＝－1／2，則方程的特解為(1＋y2)／(1－x2)＝2．11、已知曲線C通過原點，且其上任一點(x，y)處的法線都經(jīng)過點(1，0)，則曲線C的方程為________．標準答案：(x－1)2＋y2＝1知識點解析：由題意可得－1／y’＝(y－0)／(x－1)，分離變量得(x－1)dx＝－ydy，兩邊積分并整理得(x－1)2＋y2＝C1，將點(0，0)代入得C1＝1，故曲線C的方程為(x－1)2＋y2＝1．12、微分方程xy”－3x3＝0的通解為________．標準答案：y＝x4／4＋C1x＋C2知識點解析：方程整理得y”＝3x2，等式兩邊積分得y’＝x3＋C1，兩邊再次積分得方程通解為y＝x4／4＋C1x＋C2．13、微分方程y”－2y’＋5y＝0的通解是________．標準答案：y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)知識點解析：特征方程為r2－2r＋5＝0，得特征根為r1,2＝1±2i，故通解為y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)．14、設y1＝x，y2＝ex，y3＝e－x是y"＋py’＋qy＝f(x)(其中p、q都是常數(shù))的三個特解，則該方程的通解為________．標準答案：y＝x＋C1(ex－x)＋C2(e－x－x)知識點解析：y1＝x，y2＝ex，y3＝e－x是y”＋Py’＋qy＝f(x)的三個特解，且線性無關，則ex－x，e－x－x是y”＋py’＋qy＝0的解，且ex－x，e－x－x線性無關，故C1(ex－x)＋C2(e－x－x)是y”＋Py’＋qy＝0的通解，所以y“＋py’＋qy＝f(x)的通解為y＝C1(ex－x)＋C2(e－x－x)＋x．三、計算題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求微分方程(ex＋y－ex)dx＋(ex3y＋ey)dy＝0的通解．標準答案：方程可化為ex(ey－1)dx＋ey(ex＋1)dy＝0，分離變量得[ey／(ey－1)]dy＝－exdx／(ex＋1)，兩邊積分得∫eydy／(ey－1)＝故原方程通解為(ey－1)(ex＋1)＝C．知識點解析：暫無解析16、求微分方程滿足初始條件y｜x＝0＝0的特解．標準答案：方程分離變量得兩邊積分有即將初始條件y｜x＝0＝π／2代入得C＝2，則方程的特解為知識點解析：暫無解析17、求方程(x2＋3)y’＋2xy－e2x＝0的通解．標準答案：將原方程改寫成則通解為知識點解析：暫無解析18、求微分方程(y＋x3)dx－2xdy＝0滿足y｜x＝1＝5／6的特解．標準答案：原微分方程整理得y’－y／2x＝x2／2，此方程為一階非齊次線性微分方程，則其通解為把y｜x＝1＝6／5代入通解得C＝1，所以特解為y＝x3／5＋．知識點解析：暫無解析19、已知可導函數(shù)f(x)滿足f(x)＝∫03xf(t／3)dt＋e2x，求f(x)．標準答案：等式兩端對x求導并整理得f’(x)－3f(x)＝2e2x，利用通解公式得f(x)＝e∫3dx(∫2e2xe－∫3dxdx＋C)＝e3x(∫2e－xdx＋C)＝e3x(－2e－x＋C)＝Ce3x－2e2x，又f(0)＝0＋1＝1，代入通解中得C－2＝1，解得C＝3，故f(x)＝3e3x－2e2x．知識點解析：暫無解析20、已知可導函數(shù)f(x)滿足∫01f(tx)dt＝f(x)／3＋x，求f(x)．標準答案：將所給方程兩邊同乘以x得∫01f(tx)d(tx)＝xf(x)／3＋x2，令u＝tx，則上式變?yōu)椤?xf(u)du＝xf(x)／3＋x2，兩邊對x求導得f(x)＝f(x)／3＋xf’(x)／3＋2x，即f’(x)－2f(x)／x＝－6．由一階非齊次線性微分方程的通解公式得知識點解析：暫無解析21、求微分方程y"－(y’)2＝0滿足初始條件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝－1的特解．標準答案：令y’＝p，則y”＝dp／dy．dy／dx＝pdp／dy，代入方程得pdp／dy－p2＝p(dp／dy－p)＝0，當p＝0時，y’＝0，與已知條件不符，所以dp／dy－p＝0，即dp／p＝dy，兩邊積分得p＝C1ey，把y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝－1代入得C1＝－1，所以dy／dx＝－ey，即e－ydy＝－dx，兩邊積分得－e－y＝－x＋C2，把y｜x＝0＝0代入得C2＝－1，所以－e－y＝－x－1，即方程特解為e－y＝x＋1．知識點解析：暫無解析22、設y＝f(x)是第一象限內連接點A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x，y)為該曲線上任意一點．點C為M在x軸上的投影，O為坐標原點．若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為x3／6＋1／3，求f(x)的表達式．標準答案：根據(jù)題意可得圖，有(x／2)[1＋f(x)]＋∫x1f(t)dt＝x3／6＋1／3，兩邊關于x求導得[1＋f(x)]／2＋xf’(x)／2-f(z)－f(x)＝x2／2．當x≠0時，得f’(x)－f(x)／x＝(x2－1)／x，故＝x(x＋1／x＋C)＝x2＋1＋Cx．由于x＝1時，f(1)＝0，故有2＋C＝0，從而C＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2．知識點解析：暫無解析23、設質量為m的物體在高空中靜止下落，空氣對物體運動的阻力與物體的速度成正比，比例系數(shù)為k，求物體下落的速度v與時間t的關系，再求物體下落的距離S與時間t的關系．標準答案：物體重力為W＝mg，阻力為R＝－kv，其中g是重力加速度．由牛頓第二定律得mdv／dt＝mg－kv，從而得線性方程dv／dt＋kv／m＝g，v｜t＝0＝0，知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)24、求微分方程y”＋13y’－30y＝0的通解．標準答案：微分方程的特征方程為r2＋13r－30＝0，解得r1＝－15，r2＝2，故原方程的通解為y＝C1e－15x＋C2e2x．知識點解析：暫無解析25、求微分方程y”＋4y’＋29y＝0滿足初始條件y(0)＝0，y’(0)＝15的特解．標準答案：微分方程的特征方程為r2＋4r＋29＝0，解得特征根為r1＝－2＋5i，r2＝2－5i，則原方程的通解為y＝e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)，則y’＝[(－5C1－2C2)sin5x＋(5C2－2C1)cos5x]e－2x，將初始條件y(0)＝0，y’(0)＝15代入得C1＝0，C2＝3，故原方程的特解為y＝3e－2xsin5x．知識點解析：暫無解析26、求方程y”－2y’－3y＝3x＋1的一個特解．標準答案：方程對應的二階齊次方程的特征方程為r2－2r－3＝0，其特征根為r1＝－1，r2＝3．由于f(x)＝3x＋1中λ＝0不是特征根，所以設特解為y*＝Ax＋B，則(y*)’＝A，(y*)”＝0．把y*，(y*)’，(y*)”代入原方程，得－3Ax－2A－3B＝3x＋1，利用對應項系數(shù)相等得A＝－1，B＝1／3，于是求得方程的一個特解為y*＝－x＋1／3．知識點解析：暫無解析27、求微分方程y”－y＝e2x(sinx－cosx)的通解．標準答案：原方程對應的齊次方程的特征方程為r2－1＝0，解得r＝±1，所以對應的齊次方程的解為＝C1e－x＋C2ex，λ±ωi＝2±i，不是特征方程的根，故設原方程的特解為Y＝e2x(Asinx＋Bcosx)，則Y’＝e2x[(2A－B)sinx＋(A＋2B)cosx]，Y”＝e2x[(3A－4B)sinx＋(4A＋3B)cosx]，代入原方程得e2x[(3A－4B)sinx＋(4A＋3B)cosx]－e2x(Asinx＋Bcosx)＝e2x(sinx－cosx)，解得A＝－1／10，B＝－3／10，故原方程的通解為y＝C1e－x＋C2ex－e2x(sinx＋3cosx)／10．知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷第2套一、單項選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知函數(shù)y＝x3／6－x2／2＋x＋C和微分方程y”＝x－1，則下列說法正確的是()A、y是該微分方程的通解B、y是該微分方程滿足初始條件y｜x＝0＝1的特解C、y是該微分方程的特解D、y是該微分方程的解標準答案：D知識點解析：方程為二階微分方程，則通解中應含有兩個獨立的任意常數(shù)，因此y＝x3／6－x2／2＋x＋C顯然不是方程的通解．又y＝x3／6－x2／2＋x＋C時，y’＝x2／2－x＋1，y”＝x－1，故可知y＝x3／6－x2／2＋x＋C是y”＝x－1的解，因為含有任意常數(shù)，則不是特解，故選D．2、下列可以作為微分方程xlny．y’＝y(tǒng)lnx的解的是()A、y＝exB、y＝lnxC、ln2x＋ln2y＝1D、In2x＝In2y標準答案：D知識點解析：微分方程分離變量得lnydy／y＝lnxdx／x，兩邊積分得ln2y／2＝ln2x／2＋C1，即ln2y＝ln2x＋C，取C＝0，得方程的一個解為ln2x＝ln2y，故選D．3、．微分方程y’＋y／x＝1／[x(x2＋1)]的通解是y＝()A、arctanx＋CB、(arctanx＋C)／xC、arctanx／x＋CD、1／x＋arctanx＋C標準答案：B知識點解析：所求方程為一階非齊次線性微分方程，故由通解公式可得4、求微分方程y’＋x2y”＝y(tǒng)”的通解時，可()A、設y’＝p，則有y”＝p’B、設y’＝p，則有y”＝dp／dyC、設y’＝p，則有y”＝pdp／dxD、設y’＝p，則有y”＝p’dp／dx標準答案：A知識點解析：對于可降階方程中的y”＝f(x，y’)型，需令y’＝P，則y”＝p’，故選A．5、已知y＝e－3x是微分方程y”＋4y’＋ay＝0的一個解，則常數(shù)a＝()A、1B、－1C、3D、－1／3標準答案：C知識點解析：因為y＝e－3x，則y’＝－3e－3x，y”＝9e－3x，將y，y’，y”代入原方程有9e－3x－12e－3x＋ae－3x＝0，由于e－3x≠0，則有9－12＋a＝0，a＝3．故選C．6、方程y”－2y’＋y＝ex的一個特解的形式可設為y*＝()A、Aex＋BB、AxexC、AexD、Ax2ex標準答案：D知識點解析：方程對應的二階齊次線性微分方程的特征方程為r2－2r＋1＝0，所以r1＝r2＝1，又有f(x)＝ex，則可知λ＝1是該特征方程的二重根，所以特解形式為y*＝Ax2ex．故選D．7、下列方程中，具有待定特解形式為y＝ax＋b＋Bex的微分方程是()A、y”＋y’－2y＝2x＋exB、y”－y’－2y＝4x－2exC、y”－2y’＋y＝x＋exD、y”－y’＝x＋2ex標準答案：B知識點解析：根據(jù)特解形式以及選項中等式右端的式子可知，λ＝0，λ＝1不是二階齊次線性微分方程的特征根，分別求解四個選項對應的二階齊次線性微分方程的特征根，可知只有B選項滿足條件，故選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、微分方程xy’’’＋2(y’)5＋3y4＝0的階數(shù)為________．標準答案：3知識點解析：題中含有的未知函數(shù)y的最高階導數(shù)為y”，故該微分方程的階數(shù)為3．9、方程dy／dx＝滿足初始條件y(1)＝0的特解是________．標準答案：＝x－1知識點解析：方程分離變量得＝dx，兩邊積分得＝x＋C，將y(1)＝0代入得C＝－1，所以滿足初始條件的方程的特解為＝x－1．10、微分方程y’＋3x2y＝的通解是_______．標準答案：y＝(x2／2＋C)知識點解析：由通解公式得y＝11、設可導函數(shù)f(x)滿足∫0xf(t)dt＝ex－f(x)，則f(x)＝________．標準答案：(ex＋e－x)／2知識點解析：等式兩邊同時對x求導并整理得f’(x)＋f(x)＝ex，則通解為f(x)＝e－x∫e2x＋C)＝e－x(e2x／2＋C)＝ex／2＋Ce－x．又當x＝0時，f(0)＝1，代入通解可得C＝1／2，故f(x)＝(ex＋e－x)／2．12、微分方程xy”＋3y’＝0的通解為________．標準答案：y＝C1／x2＋C2知識點解析：令y’＝P，則y”＝P’，原方程可化為xp’＋3p＝0，分離變量可dp／p＝－3dx／x，兩邊積分得∫(1／p)dp＝－∫(3／x)dx，即p＝y(tǒng)’＝C／x3．分離變量可得dy＝Cdx／x3，兩邊積分得∫dy＝Cdx／x3，故方程通解為y＝C1／x2C2(C1＝－C／2)．13、已知y＝eex，y＝xeex是某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個特解，則該微分方程為________．標準答案：y”－2ey’＋e2y＝0知識點解析：由已知條件可得所求微分方程有兩個相等的實根為r＝e，則特征方程為(r－e)2＝r2－2er＋e2＝0，故微分方程為y”－2ey’＋e2y＝0．14、方程y”－2y’＋5y＝exsin2x的特解可設為y*＝________．標準答案：xex(Asin2x＋Bcos2x)知識點解析：方程對應的齊次方程的特征方程為r2－2r＋5＝，解得特征根為r1,2＝1±2i，而原方程的非齊次項為exsin2x，λ＝1±2i是特征根，因此其特解可設為y*＝xex(Asin2x＋Bcos2x)．三、計算題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、求微分方程xy’－ylnx／(1＋y2)＝0的通解．標準答案：程分離變量得兩邊積分有則方程的通解為2ln｜y｜＋y2－In2x＝C．知識點解析：暫無解析16、求微分方程xcos(y／x)dy＝[ycos(y／x)－x]dx的通解．標準答案：方程化為dy／dx＝y(tǒng)／x－sec(y／x)，令y／x＝u，則y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式再分離變量得cosudu＝－dx／x，兩邊積分得sinu＝－ln｜x｜＋C，將u＝y(tǒng)／x代入得通解為sin(y／x)＝－ln｜x｜＋知識點解析：暫無解析17、求微分方程dy／dx＝1／(x＋y)的通解．標準答案：方程兩端同時取倒數(shù)得dx／dy＝x＋y，即dx／dy－x＝y(tǒng)，此方程可看作未知函數(shù)為x的一階非齊次線性微分方程，其中P(y)＝－1，Q(y)＝y(tǒng)，故通解為x＝e－∫P(y)dy[∫Q(y)e∫P(y)dydy＋C]＝e－∫－1dyldy(∫ye∫－1dydy＋C)＝ey(∫ye－ydy＋C)＝ey(－∫yde－y＋C)＝－y－1＋Cey．知識點解析：暫無解析18、求微分方程(x2－1)dy＋(2xy－cosx)dx＝0滿足初始條件y｜x＝0＝1的特解．標準答案：原方程可化為，此一階非齊次線性微分方程的通解為由y｜x＝0＝1得C＝－1l，故滿足初始條件的特解是y＝(sinx－1)／(x2－1)．知識點解析：暫無解析19、設可導函數(shù)f(x)滿足f(x)cosx＋2∫0xf(t)sintdt＝x＋1，求f(x)．標準答案：等式兩端對x求導得f’(x)cosx＋f(x)sinx＝1，整理可得f‘(x)＋f(x)tanx＝secx．則通解為f(x)＝e－∫tanxdx(∫secxe∫tanxdxdx＋C)＝cosx(∫sec2xdx＋C)＝cosx(tanx＋C)＝sinx＋Ccosx．又f(0)＝1，所以C＝1，故f(x)＝sinx＋cosx．知識點解析：暫無解析20、求y”＝xex的通解．標準答案：y”＝∫xexdx＋C1＝(x－1)ex＋C1，y’＝∫[(x－1)ex＋C2]dx＋C2＝(x－2)ex＋C2x＋C2，y＝∫[(x－2)ex＋C1x＋C2]dx＋C3＝(x－3)ex＋Cx2＋C2x＋C3(C＝C1／2)．知識點解析：暫無解析21、求微分方程yy”＋(y’)2＝0滿足初始條件y｜x＝0＝1，y’｜x＝0＝1／2的特解．標準答案：令y’＝p，則y”＝pdp／dy，原方程可化為p(ydp／dy＋p)＝0．因為y’｜x＝0＝1／2÷，所以p≠0，此時有ydp／dy＋p＝0，解得p＝C1／y．把代入p＝C1／y中得C1＝1／2，即y’＝1／2y．分離變量并對等式兩邊積分可解得y2＝x＋C2，把y｜x＝0＝1代入得C2＝1，故所求特解為y2＝x＋1．知識點解析：暫無解析22、設y＝y(tǒng)(x)在[0，＋∞)內可導，且在任意點x＞0處的增量△y＝y(tǒng)(x＋△x)－y(x)滿足△y＝y(tǒng)△x／(4＋x)＋α，其中α是當△x→0時△x的等價無窮小，又y(0)＝2，求y(x)．標準答案：由題意可得△y／△x＝y(tǒng)／(4＋x)＋α／△x，因為△x→0時，α是△x的等價無窮小，所以取△x→0的極限得dy／dx＝y(tǒng)／(4＋x)＋1，從而y＝y(tǒng)(x)可看作是一階線性方程y’－y／(4＋x)＝1滿足條件y(0)＝2的特解，由通解公式可得將y(0)＝2代入通解可得C＝1／2－2ln2，故y＝(4＋x)[ln(4＋x)＋[ln(4＋x)＋1／2－2ln2]．知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)23、求微分方程的通解．標準答案：微分方程的特征方程為4r2－20r＋25＝0，其特征根為r1＝r2＝5／2，故原方程的通解為x＝(C1＋C2t)e5t／2．知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)f(x)滿足f”(x)－3f’(x)＋2f(x)＝0，且在x＝0處取得極值1，求函數(shù)f(x)的表達式．標準答案：原微分方程的特征方程為r2－3r＋2＝0，解得特征根為r1＝1，r2＝2，所以通解為f(x)＝C1ex＋C2e2x，則f’(x)＝C1ex＋2C2e2x．又f(x)在x＝0處取得極值1，所以f(0)＝C1＋C2＝1，f’(0)＝C1＋2C2＝0，解得C1＝2，C2＝－1，故f(x)＝2ex－e2x．知識點解析：暫無解析25、求y”－2y’＋y＝ex的一個特解．標準答案：方程對應的齊次方程的特征方程為r2－2r＋1＝0，解得r＝1為二重根，由于f(x)＝ex，故λ＝1是特征方程的重根，故應設特解為y＝Ax2ex，則y’＝A(x2＋2x)ex，y”＝A(x2＋4x＋2)ex，代入原方程得2Aex＝ex，則A＝1／2，故特解為y＝x2ex／2．知識點解析：暫無解析26、已知函數(shù)y＝(x＋1)ex是一階線性微分方程y’＋2y＝f(x)的解，求二階常系數(shù)線性微分方程y”＋3y’＋2y＝f(x)的通解．標準答案：根據(jù)題意得y’＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，f(x)＝y(tǒng)’＋2y＝(x＋2)ex＋2(x＋1)ex＝(3x＋4)ex．下面求微分方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的通解，對應的齊次方程的特征方程為r2＋3r＋2＝0，求得r1＝－1，r2＝－2，所以y”＋3y’＋2y＝0的通解為Y＝C1e－x＋C2e－2x，因為f(x)＝(3x＋4)ex中λ＝1不是特征方程的根，所以設y*＝(Ax＋B)ex為方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的一個特解，則把(y*)’＝(Ax＋A＋B)ex，(y*)”＝(Ax＋2A＋B)ex代入原方程得6Ax＋5A＋6B＝3x＋4，比較系數(shù)得A＝1／2，B＝1／4，所以微分方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的通解為y＝Y＋y*＝C1e－x＋C2e－2x＋(x／2＋1／4)ex．知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷第3套一、單項選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、微分方程(y’)3＋＝x＋y4的階數(shù)為()A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：微分方程中未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為該微分方程的階，所給方程中最高階導數(shù)為，故此微分方程的階數(shù)為2．2、設C是任意常數(shù)，則下列以y＝Cex為解的二階微分方程是()A、y”＝0B、y”－3y’－4y＝0C、y”－4y’＋3y＝0D、y”＋4y’＋3y＝0標準答案：C知識點解析：將y＝Cex，y’＝Cex，y”＝Cex分別代入到四個選項的方程中，只有C項成立，故選C．3、微分方程y’＝e3x－2y滿足初始條件y｜x＝0＝0的特解為()A、e2y／2＝e3x／3＋1／6B、e2y＝e3x／2＋1／3C、ey／2＝ex／3＋1／6D、2e2y＝3ex－1標準答案：A知識點解析：對方程分離變量可得e2ydy＝e3xdx，兩邊積分得e2y／2＝e3x／3＋C，代入初始條件y｜x＝0＝0，得,1／2＝1／3-＋C，所以C＝1／6，故所求特解為e2y／2＝e3x／3＋1／6．4、已知可導函數(shù)f(x))滿足f(x)＝4∫0x／2f(2f)dt＋ln2，則f(x)＝()A、exln2B、e2xln2C、ex＋ln2D、e2x＋ln2標準答案：B知識點解析：由題意可得f’(x)＝4f(x)．(1／2)，令y＝f(x)，即y’＝2y，分離變量得dy／y＝2dx，兩邊積分得ln｜y｜＝2x＋C1。故通解為y＝Ce2x．又當x＝0時，f(0)＝ln2，所以C＝ln2，故f(x)＝e2xln2．5、下列方程中，可用p＝y(tǒng)’，y”＝p’代換將方程降為關于p的一階微分方程的是()A、d2y／dx2＋xy’－x＝0B、d2y／3dx2＋yy’－y2＝0C、d2y／dx2＋x2y’－y2x＝0D、d2y／dx2＋ydy／dx＋x＝0標準答案：A知識點解析：可降階方程中的y”＝f(x，y’)型可用p＝y(tǒng)’，y”＝p’代換，觀察四個選項，只有A項是y”＝f(x，y’)型，故選A．6、微分方程y”＋2y’＋y＝0的通解為()A、y＝C1e－x＋C2exB、y＝C1e－x＋C2xe－xC、y＝C1cosx＋C2sinxD、y＝C1ex＋C2xex標準答案：B知識點解析：微分方程對應的特征方程為r2＋2r＋1＝0。解得特征根為r1＝r2＝－1，則方程的通解為y＝(C1＋C2x)e－x＝C1e－x＋C2xe－x，故選B．7、已知函數(shù)y1＝1，y2＝ex，y3＝2ex，y4＝ex＋3均為某個二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解，則下列說法錯誤的是()A、y＝C1y1＋C2y2是方程的通解B、y＝C1y2＋C2y3是方程的通解C、y＝C1y3＋C2y4是方程的通解D、該方程為y”－y’＝0標準答案：B知識點解析：由于y2＝ex，y3＝2ex不是兩個線性無關的解，故y＝C1y2＋C2y3不是微分方程的通解．y1＝1與y2＝ex線性無關，y3＝2ex與y4＝ex＋3線性無關，則選項A、C正確．由y1＝1與y2＝ex可得微分方程的特征方程為r(r－1)＝0，故方程為y”－y’＝0，經(jīng)驗證y3，y4也為該方程的解．8、11．設方程y”－2y’－3y＝f(x)有特解y*，則它的通解為()A、y＝C1e－x＋C2e3x＋y*B、y＝C1e－x＋C2e3xC、y＝C1e－x＋C2e3x＋y*D、y＝C1ex＋C2e－3x＋y*標準答案：A知識點解析：y”－2y’－3y＝0的特征方程為r2－2r－3＝0，所以r1＝－1，r2＝3，得y”－2y’－3y＝0的通解為＝C1e－x＋C2e3x，所以原方程的通解為y＝C1e－x＋C2e3x＋y*．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、微分方程(1＋x)ydx＋(1－y)xdy＝0的通解為________．標準答案：y＝ln｜xy｜＋x＋C知識點解析：方程分離變量得[(1＋x)／x]dx＝[(y－1)／y]1dy，兩邊積分得x＋ln｜x｜＋C＝y(tǒng)－ln｜y｜，即通解為y＝x＋In｜xy｜＋C．10、已知微分方程y’＋ay＝ex的一個特解為y＝xex，則常數(shù)a＝________．標準答案：－1知識點解析：把y＝xe2x，y’＝ex＋xex代入微分方程可得y’＋ay＝ex＝(1＋a)xex＋ex，利用對應系數(shù)相等解得a＝－1．11、已知可導函數(shù)f(x)滿足y(x)＝1＋∫1x(4／s)y(s)ds，則y(x)＝________．標準答案：x4知識點解析：將方程兩邊同時對x求導得y’(x)＝4y(x)／x，則y’(x)／y(x)＝4／x，兩邊積分得∫y’(x)／y(x)dx＝∫(4／x)dx，解得ln｜y(x)｜＝lnx4＋C1，即y(x)＝Cx4．又由題意可知y(1)＝1，代入解得C＝1，故y(x)＝x4．12、微分方程y”－16y’＋64y＝0的通解是________．標準答案：y＝(C2＋C2x)e8x知識點解析：方程對應的特征方程為r2－16r＋64＝0，解得特征根r1＝r2＝8，故通解為y＝(C1＋C2x)e8x．13、以y＝e2x(C1cosx＋C2sinx)為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為________．標準答案：y”－4y’＋5y＝0知識點解析：由通解可知該方程的特征根為r1＝2＋i，r2＝2－i，從而可得特征方程為(r－2)2＋1＝r2－4r＋5＝0，故此二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y”－4y’＋5y＝0．14、已知二階常系數(shù)非齊次微分方程y”＋4y＝cosx，它的一個特解可設為________．標準答案：y*＝Acosx＋Bsinx知識點解析：方程對應的二階齊次線性微分方程的特征方程為r2＋4＝0，所以r1,2＝±2i，f(x)＝cosx，則±i不是該特征方程的特征根，所以特解形式可設為y*＝Acosx＋Bsinx．三、計算題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、求微分方程y’＝4x／e2x的通解．標準答案：方程分離變量得dy＝4xe－2xdx，兩邊積分，得通解為y＝∫4xe－2xdx＝－∫2xd(e－2x)＝－2xe－2x＋2∫e－2xdx＝－2xe－2x－e－2x＋C．知識點解析：暫無解析16、求方程xsecydx＋(1＋x2)dy＝0滿足初始條件y｜x＝0＝π／2的特解．標準答案：方程分離變量得xdx／(1＋x2)＝－dy／secy，即[x／(1＋x2)]dx＝－cosydy兩邊積分有＝－∫cosydy，即ln(1＋x2)／2＝－siny＋C，代入初始條件y｜x＝0＝π／2得C＝1，則方程的特解為siny＋＝1．知識點解析：暫無解析17、求微分方程y’＋ycosx－e－sinxlnx＝0的通解．標準答案：由通解公式得y＝e－∫cosxdx(∫ejisinxlnx．e∫cosxdxdx＋C)＝e－sinx(∫lnxdx＋C)＝[x(lnx－1)＋C]e－sinx．知識點解析：暫無解析18、求微分方程y2dx＋(x－2xy－y2)dy＝0的通解．標準答案：原方程變形為其中P(y)＝(1－2y)／y2，Q(y)＝1，代入通解公式得知識點解析：暫無解析19、已知一曲線y＝y(tǒng)(x)通過原點，且曲線上任意一點(x，y)處的切線斜率均等于2x＋y，求該曲線方程．標準答案：由題意得y’＝2x＋y，即y’－y＝2x，故通解為y＝e∫dx(∫2xe∫－1dxdx＋C)＝ex(∫－2xde－x＋C)＝ex(－2xe－x＋∫2e－xdx＋C)＝－2x－2＋Cex．又因為曲線通過原點，將y(0)＝0代入通解得C＝2，故所求曲線的方程為y＝2x－2＋2ex．知識點解析：暫無解析20、求解方程∫0x(x－s)y(s)ds＝sinx＋∫0xy(s)ds，其中y為可導函數(shù)．標準答案：∫0x(x－s)y(s)ds＝x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds＝sinx＋∫0xy(s)ds，方程兩邊對x求導得∫0xy(s)ds＝cosx＋y(x)，且y(0)＝－1，上式再次對x求導并整理得y’－y＝sinx，為一階非齊次線性微分方程，其中P(x)＝－1，Q(x)＝sinx，故通解為y＝e∫dx(∫sinxe－∫dxdx＋C)＝ex(∫sinxe－xdx＋C)＝ex[－e－x(cosx＋sinx)／2＋C]＝Cex－(sinx＋cosx)／2．又y(0)＝－1，代入通解中得C＝－1／2，故原方程的解為y(x)＝－(ex＋sinx＋cosx)／2．知識點解析：暫無解析21、求y”＝y(tǒng)’／x＋xex的通解．標準答案：令y’＝p，則y"＝p’，代入方程得p’－p／x＝xex，因此即y’＝xex＋Cx，分離變量后再積分得微分方程的通解為y＝(x－1)ex－C1x2＋C2(C1＝C／2)．知識點解析：暫無解析設F(x)＝f(x)g(x)，其中函數(shù)f(x)，g(x)在(－∞，＋∞)內滿足條件：f’(x)＝g(x)，g‘(x)＝f(x)，f(0)＝0，且f(x)＋g(x)＝2ex22、求F(x)所滿足的一階微分方程；標準答案：由題意可知F’(x)＝f’(x)g(x)＋f(x)g’(x)＝g2(x)＋f2(x)＝[f(x)＋g(x)]2－2f(x)g(x)＝(2ex)2－2F(x)，可見F(x)所滿足的一階微分方程為F’(x)＋2F(x)＝4e2x；知識點解析：暫無解析23、求出F(x)的表達式．標準答案：由一階微分方程通解公式得F(x)＝e－∫2dx[∫4e2x．e∫2dxdx＋C]＝e－2x[∫4e4xdx＋C]＝e2x＋Ce－2x．將F(0)＝f(0)g(0)＝0代入上式。得C＝－1，于是F(x)＝e2x－e－2x．知識點解析：暫無解析24、在宏觀經(jīng)濟研究中，知道某地區(qū)的國民收入y，國民儲蓄S和投資I均是時間t的函數(shù)，且在任一時刻t，儲蓄S(t)為國民收入y(t)的1／10，投資額f(t)是國民收入增長率dy／dt的1／3．設t＝0時國民收入為5(億元)，假定在時刻t的儲蓄全部用于投資，試求國民收入函數(shù)．標準答案：由題意可得S＝y(tǒng)／10，I＝(1／3)．(dy／dt)，S＝I，則dy／dt＝3y／10，分離變量得dy／y＝3dt／10，解之得通解y＝Ce3t／10，將y｜t＝0＝5代入通解得C＝5，所以國民收入函數(shù)為y＝5e3t／10．知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)25、證明x4－2x2y2＝8是微分方程(x2－y2)dx－xydy＝0滿足y(2)＝1的特解．標準答案：把y(2)＝1代入x4－2x2y2＝8中，方程成立；x4－2x2y2＝8兩邊同時微分得4x3dx－4xy2dx－4x2ydy＝0，整理可得(x2－y2)dx－xydy＝0，所以x4－2x2y2＝8是微分方程(x2－y2)dx－xydy＝0滿足y(2)＝1的特解．知識點解析：暫無解析26、求微分方程y”－8y’＋20y＝0的通解．標準答案：微分方程的特征方程為r2－8r＋20＝0，其特征根為r1,2＝4±2i，故原方程的通解為y＝(C1sin2x＋C2cos2x)e4x．知識點解析：暫無解析27、求滿足微分方程y”－12y’＋36y＝0的曲線，使其在點(0，1)處與直線y＝5x＋1相切．標準答案：原方程的特征方程為r2－12r＋36＝0，即(r－6)2＝0，解得特征根為r1＝r2＝6，故原方程的通解為y＝(C1＋C2x)e6x，則y’＝C2e6x＋6(C1＋C2x)e6x，又由題意可知y(0)＝1，y’(0)＝5，所以可得C1＝1，C2＝－1，故曲線為y＝(1－x)e6x．知識點解析：暫無解析28、求y”＋y’－12y＝(x＋2)e－x的通解．標準答案：原方程對應的齊次方程的特征方程為r2＋r－12＝0，解得r1＝－4，r2＝3，所以對應的齊次方程的通解為Y＝C1e－x＋C2e3x，又f(x)＝(x＋2)e－x中λ＝－1不是特征方程的根，故設原方程的特解為y*＝e－x(Ax＋B)，則(y*)’＝e－x(－Ax－B＋A)，(y*)”＝e－x(Ax＋B－2A)，代入原方程得e－x(Ax＋B－2A)＋e－x(－Ax－B＋A)－12e－x(Ax＋B)＝(x＋2)e－x，解得A＝－1／12，B＝－23／144，故原方程的通解為y＝Y＋y*＝C1e－4x＋C2e3x－e－x(x／12＋23／144)．知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷第4套一、單項選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列方程是二階線性微分方程的是()A、(y’)2＋5yy”＋xy＝0B、x2y’’’＋2y’＋y＝0C、y”＋x2y’＋y2＝0D、xy’＋2y”＋x2y＝0標準答案：D知識點解析：由二階線性微分方程的定義可知D項正確．A、C項是非線性的微分方程，B項是三階的微分方程．2、已知y＝x／lnx是微分方程y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)的解，則φ(x／y)＝()A、－y2／x2B、y2／x2C、－x2／y2D、x2／y2標準答案：A知識點解析：y＝x／lnx，y’＝(lnx－1)／ln2x代入y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)，得(lnx－1)／ln2x＝1／lnx＋φ(lnx)，即φ(lnx)＝(lnx－1)／ln2x－1／lnx＝－1／ln2x，令lnx＝u，則φ(u)＝－1／u2，所以φ(x／y)＝－y2／x2．3、下列方程是可分離變量微分方程的是()A、(y’)2＋xy’＝xB、yy’－2y＝xC、2y’／x＋2y／x2＝0D、y”－y’＋3xy2＝cosy標準答案：C知識點解析：C項整理可得dy／y＝－dx／x，是可分離變量微分方程，其他三項的方程均不能整理成g(y)dy＝f(x)dx的形式．4、已知函數(shù)y＝f(x)是微分方程2y’＝y(tǒng)滿足初始條件y｜x＝4＝1的特解，則f(16)＝()A、1B、eC、e2D、0標準答案：C知識點解析：微分方程分離變量可得，兩邊積分得In｜y｜＝＋C1，即y＝，代入初始條件y｜x＝4＝1，可得C＝e－2，故方程特解為y＝f(x)＝當x＝16時，f(16)＝e2，故選C．5、微分方程dy／dx＝y(tǒng)／x＋2(y／x)2滿足y｜x＝1＝－1／2的特解為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：令u＝y(tǒng)／x，則y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入方程得u＋xdu／dx＝u＋2u2，分離變量得du／2u2＝dx／x，兩邊積分得－1／2u＝ln｜x｜＋C，即－2y／x＝1／(ln｜x｜＋C)．令x＝1，y＝－1／2，得C＝1．因此所求特解為y＝－x／[2(1＋ln｜x｜)]．6、設二階常系數(shù)齊次線性微分方程y”＋py’＋qy＝0的特征方程有兩個相等的實根r1＝r2＝r，則方程的通解是y＝()A、C1cos(rx)＋C2sin(rx)B、C1erx＋C2xerxC、C1erx＋C2e－rxD、x(C1erx＋C2erx)標準答案：B知識點解析：由二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的根的情況可得該方程的通解為y＝C1erx＋C2xerx．7、已知曲線y＝y(tǒng)(x)經(jīng)過原點，且在原點處的切線平行于直線2x－y＋5＝0，而y(x)滿足微分方程y”－6y’＋9y＝0，則此曲線方程為y＝()A、sin2xB、x2e3x／2C、2xe3xD、2e3x標準答案：C知識點解析：微分方程的特征方程為r2－6r＋9＝(r－3)2＝0，其特征根為r1＝r2＝3，所以二階齊次方程的通解為y＝(C1＋C2x)e3x，y’＝(3C2x＋3C1＋C2)e3x．由題意可得y’(0)＝2，y(0)＝0，代入可得C1＝0，C2＝2，故所求曲線方程為y＝2xe3x．8、設y＝y(tǒng)(x)是二階常系數(shù)微分方程y”＋Py’＋qy＝e3x滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)’(0)＝0的特解，則()A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3標準答案：C知識點解析：由y”＋py’＋qy＝e3x得y”(x)在x＝0處連續(xù)，且y"(0)＝－py’(0)－qy(0)＋1＝1，則二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、微分方程dy／dx＝ex／(2y＋4y3)的通解為________．標準答案：y2＋y4＝ex＋C知識點解析：方程分離變量得(2y＋4y3)dy＝exdz，兩邊積分得∫(2y＋4y3)dy＝∫exdx，所以通解為y2＋y4＝ex＋C．10、微分方程eyy’－＝0滿足y｜x＝0＝0的特解為________．標準答案：4ey＝＋3知識點解析：方程分離變量得eydy＝xdx，兩邊積分有∫eydy＝∫xdx，即ey＋C．將初始條件y｜x＝0＝0代入得C＝3／4，則方程的特解為4ey＝＋3．11、已知曲線y＝f(x)過點(0，－1／2)，且其上任一點(x，y)處的切線斜率均為xln(1＋x2)，則f’(x)＝________．標準答案：(1＋x2)[ln(1＋x2)－1]／2知識點解析：由題意可知y’＝xln(1＋x2)，即dy＝xln(1＋x2)dx，等式兩端積分得y＝∫xln(1＋x2)dx＝(1／2)ln(1＋x2)d(1＋x2)＝＝(1／2)(x2＋1)ln(1＋x2)－x2／2＋C．把(0，－1／2)代入上式，得C＝－1／2，故f(x)＝(1＋x2)[ln(1＋x2)－1]／2．12、設函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內可導，且滿足f’(x)＝xf(x)／(1＋x2)，f(0)＝m，如果xf(x)dx＝3，則m＝________．標準答案：9／26知識點解析：方程分離變量得而df(x)／f(x)＝xdx／(1＋x2)，兩邊積分得ln｜f(x))｜＝ln(1＋x2)／2＋C1，即f(x)＝C(1＋x2)1／2．又f(0)＝m，則C＝m，故f(x)＝m(1＋x2)1／2，則所以m＝9／26．13、已知某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y＝C1e－x＋C2e2x，則該微分方程為________．標準答案：y”－y’－2y＝0知識點解析：由該二階齊次線性微分方程的通解可知該方程對應的特征方程的特征根為r1＝－1，r2＝2，所以對應的特征方程為(r＋1)(r－2)＝r2－r－2＝0，故該微分方程為y”－y’－2y＝0．14、微分方程y”＋9y＝0的通解是________．標準答案：y＝C1cos3x＋C2sin3x知識點解析：特征方程為r2＋9＝0，解得特征根為r1，2＝±3i，故通解為y＝C1cos3x＋C2sin3x．15、設二階常系數(shù)齊次線性微分方程y”＋ay’＋by＝0的通解為y＝C1ex＋C2e2x，那么可得非齊次微分方程y”＋ay’＋by＝1的一個特解為________．標準答案：y*＝1／2知識點解析：二階常系數(shù)齊次線性方程對應的特征方程為r2＋ar＋b＝0，又由通解可得特征根r1＝1，r2＝2，即(r－1)(r－2)＝r2－3r＋2＝0，故a＝－3，b＝2，所以非齊次微分方程為y”－3y’＋2y＝1．由于λ＝0不是特征方程的根，因此設特解y*＝A，則(y*)’＝0，(y*)”＝0，代入可得A＝1／2，所以y*＝1／2．三、計算題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、求微分方程ysin(x／2)dx－cos(x／2)dy＝0的通解．標準答案：方程分離變量得dy／y＝，兩邊積分有l(wèi)n｜y｜＝－2ln｜cos(x／2)｜＋ln｜C1｜，故方程通解為y＝知識點解析：暫無解析17、求方程(1＋x2)ydy＋(1＋y4)dx＝0滿足y｜x＝0＝1的特解．標準答案：方程分離變量得兩邊積分有，即rctany2／2＝－arctanx＋C，將初始條件y｜x＝0＝1代入得C＝π／8，則方程的特解為arctany2＋2arctanxπ＝π／4．知識點解析：暫無解析18、求微分方程secx．y’＋tanx．y＝ecosx的通解．標準答案：將原方程改寫成y’＋ysinx＝cosxecosx，則通解為y＝e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx＋C)＝ecosx(∫cosxdx＋C)＝ecosx(sinx＋C)．知識點解析：暫無解析19、求微分方程xy’＋2y＝xlnx滿足y(1)＝－1／9的特解．標準答案：方程xy’＋2y＝xlnx兩邊同時除以x，得y’＋2y／x＝lnx，此為一階非齊次線性微分方程，則利用通解公式得又因為y(1)＝－1／9，所以－1／9＋C＝－1／9，解得C＝0，從而得特解y＝xlnx／3－x／9．知識點解析：暫無解析20、已知可導函數(shù)f(x)滿足∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)，求函數(shù)f(x)的表達式．標準答案：等式∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)兩端對x求導得xf(x)＝2x＋f’(x)，即f’(x)－xf(x)＝－2x，則通解為等式∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)中，令x＝0，得f(0)＝0，代入通解中得C＝－2，故f(x)＝2－知識點解析：暫無解析21、設f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)＝∫0xf(t)dt＋2∫01tf2(t)dt，求f(x)．標準答案：令∫01tf2(t)dt＝a≥0，則f(x)＝∫0xf(t)dt＋2a．上式兩邊同時對x求導，得f’(x)＝f(x)，解得f(x)＝Cex．又由已知條件可知f(0)＝2a，所以C＝2a，從而f(x)＝2aex．再將f(t)＝2aet代入∫01tf2(t)dt＝a中，得4a2∫01te2tdt＝a，可解得a＝0或1／(e2＋1)，所以f(x)＝0或2ex／(e2＋1)．知識點解析：暫無解析22、求y”＝3y2／2滿足條件y(3)＝1，y’(3)＝1的特解．標準答案：方程不顯含x，因此令y’＝p，則y”＝pdp／dy，將其代入原方程并分離變量得2pdp＝3y2dy，兩邊積分得p2＝y(tǒng)3＋C1．由y｜x＝3＝1，y’｜x＝3＝1得C1＝0，p＝y(tǒng)3／2(因為y’｜x＝3＝1＞0，所以取正號)，即y－3／2dy＝dx，兩邊積分得－2y－1／2＝x＋C2．將y｜x＝3＝1代入得C2＝－5，所以特解為y＝4／(x－5)2．知識點解析：暫無解析23、假設：(1)函數(shù)y＝f(x))(0≤x＜＋∞)滿足條件f(0)＝0和0≤f(x)≤ex－1；(2)平行于y軸的動直線MN與曲線y＝f(x)和y＝ex－1分別相交于點P1和P2；(3)曲線y＝f(x)、直線MN與x軸所圍成的封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長度．求函數(shù)y＝f(x)的表達式．標準答案：根據(jù)題意可得圖設直線MN對應的橫坐標為x，則由已知條件可知∫0xf(t)dt＝ex－1－f(x)兩端分別對x求導得f(x)＝ex－f’(x)，即f’(x)＋f(x)＝ex，由一階非齊次線性微分方程的通解公式得f(x)＝(∫ex．e∫dxdx＋C)e－∫dx＝(∫ex．exdx＋C)e－x＝Ce－x＋ex／2．由f(0)＝0得C＝－1／2，因此所求函數(shù)為f(x)＝(ex－e－x)／2．知識點解析：暫無解析人工繁殖細菌，其增長速度和當時的細菌數(shù)成正比．24、如果經(jīng)過4小時的細菌數(shù)為原細菌數(shù)x0的2倍，那么經(jīng)過12小時應有多少細菌?標準答案：設t時刻的細菌數(shù)為x(t)，由題意可知dx／dt＝kx(k為比例系數(shù))，得x＝Cekt，又t＝0時，x＝x0，則x＝x0ekt．又t＝4時，x(4)＝x0e4k＝2x0，則ek＝21／4，x(t)＝x0．2t／4，故t＝12時，x(12)＝x0．212／4＝8x0；知識點解析：暫無解析25、若在3小時的時候，有細菌數(shù)104個，在5小時的時候有4×104個，那么在開始時有多少個細菌?標準答案：x(t)＝x0ekt，則解得x0＝1250，即開始時有1250個細菌．知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)26、求微分方程y”－4y’＋4y＝0滿足初始條件y(0)＝3，y’(0)＝9的特解．標準答案：微分方程的特征方程為r2－4r＋4＝0，其特征根為r＝2(二重根)，故原方程的通解為y＝(C2x＋C2)e2x，則y’＝(2C1x＋2C2＋C1)e2x，將初始條件y(0)＝3，y’(0)＝9代入得C1＝3，C2＝3，故原方程的特解為y＝3(x＋1)e2x．知識點解析：暫無解析27、已知函數(shù)y＝e3x是微分方程y”－2y’＋ay＝0的一個特解，求常數(shù)a的值，并求該微分方程的通解．標準答案：把y＝e3x，y’＝3e3x，y”＝9e3x代入微分方程y”－2y’＋ay＝0中，得(3＋a)e3x＝0，所以a＝－3，故方程為y”－2y’－3y＝0；微分方程y”－2y’－3y＝0的特征方程為r2－2r－3＝0，可求得方程的特征根為r1＝3，r2＝－1，故原微分方程的通解為y＝C1e3x＋C2e－x．知識點解析：暫無解析28、求y”＋4y’－12y＝xe2x的通解．標準答案：原方程對應的齊次方程的特征方程為r2＋4r－12＝0，解得r1＝2，r2＝－6，所以對應的齊次方程的通解為y＝C1e2x＋C2e－6x，又f(x)＝xe2x中λ＝2是特征方程的單根，故設原方程的特解為y*＝xe2x(Ax＋B)，則(y*)’＝[2Ax2＋(2A＋2B)x＋B]e2x，(y*)”＝[4Ax2＋(8A＋4B)x＋2A＋4B]e2x，代入原方程得(16Ax＋2A＋8B)e2x＝xe2x，解得A＝1／16，B＝－1／64，故原方程的通解為y＝C1e2x＋C2e－6x＋xe2x(x／16－1／64)．知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷第5套一、單項選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列方程是微分方程的是()A、2y5＋x2＋6xy＝0B、(x－y)2＋(x＋y)2＝16C、(y’)5＋xy(4)－y2＝0D、4x2＋9y2＝36標準答案：C知識點解析：微分方程是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)或微分與自變量之間的關系的方程，故C項為微分方程．2、下列函數(shù)可以作為某個二階微分方程的通解的是()A、y＝CsinxB、y＝C1sin3x＋C22cos3xC、y＝sin3x＋cos3xD、y＝(C1＋C2)cosx標準答案：B知識點解析：二階微分方程的通解中應含有兩個相互獨立的任意常數(shù)，故排除A、C、D項，選B．3、微分方程3x2＋5x－5y’＝0的通解為()A、y＝x3／4＋x2／3＋CB、y＝x3＋x2＋CC、y＝x3／5＋x2／2＋CD、y＝x3／5＋x2／2標準答案：C知識點解析：微分方程分離變量為dy＝(3x2＋5x)dx，兩邊同時積分可得y＝x3／5＋x2／2＋C．4、9．設函數(shù)y(x)滿足微分方程cos2x．y’＋y＝tanx，且當x＝π／4時，y＝0，則當x＝0時，y＝()A、π／4B、－π／4C、－1D、1標準答案：C知識點解析：方程兩邊同時除以cos2x，得y’＋sec2．y＝tansec2x，此為一階非齊次線性微分方程，由通解公式可得又當x＝π／4時，y＝0，則C＝0，即y＝tanx－1，所以x＝0時，y＝－1，故選C．5、已知微分方程(ey＋e－y)y”＝2(y’)2，降階時可令y’＝P，則需將y”轉化為()A、dp／dxB、xdp／dxC、pdp／dyD、dp／dy標準答案：C知識點解析：對于可降階方程中的y”＝f(y，y’)型，需令y’＝p，則y”＝dp／dx＝dp／dy．dy／dx＝pdp／dy，故選C．6、設y＝f(x)是方程y”－3y’＋5y＝0的一個解，若f’(x0)＝0，且f(x0)＞0，則函數(shù)f(x)()A、在點x0處取得極大值B、在點x0處取得極小值C、在點x0的某個鄰域內單調遞增D、在點x0的某個鄰域內單調遞減標準答案：A知識點解析：由題意可知f"(x)－3f’(x0)＋5f(x0)＝0，結合f(x0)＞0，f’(x0)＝0，可得f"(x0)＝－5f(x0)＜0，由極值的充分條件可知，x＝x0是f(x)的極大值點．故選A．7、已知二階微分方程y”＋y’－6y＝3e2xsinx，則可設其特解形式為y*＝()A、e2xz(acosx＋bsinx)B、e2x(acos2x＋bsin2x)C、xe2x(acosx＋bsinx)D、xe2x(acos2x＋bsin2x)標準答案：A知識點解析：方程對應的齊次方程的特征方程為r2＋r－6＝0，解得r1＝－3，r2＝2，而λ±iω＝2±i不是特征根，所以y”＋y’－6y＝3e2xsinx的特解形式可設為y*＝e2x(acosx＋bsinx)，故選A．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設函數(shù)y＝ae－x＋be5x是某個二階微分方程滿足初始條件y｜x＝0＝3，y’｜x＝0＝9的特解，a，b為常數(shù)，則a＝________，b＝________．標準答案：1，2知識點解析：y＝ae－x＋be5x，y’＝－ae－x＋5be5x，將y｜x＝0＝3，y’｜x＝0＝9代入，有解得9、微分方程3extanydx＋(1－ex)sec2ydy＝0的通解是________．標準答案：tany＝C(ex－1)3知識點解析：方程分離變量為(sec2y／tany)dy＝[3ex／(ex－1)]dy，兩邊積分得ln｜tany｜＝3ln｜ex－1｜＋ln｜C｜，所以方程的通解為tany＝C(ex－1)3．10、微分方程y’－2y／(x＋1)＝(x＋1)5／2的通解是________．標準答案：y＝(x＋1)2知識點解析：由通解公式得微分方程的通解為11、微分方程xy’－xsin(y／x)－y＝0的通解為________．標準答案：csc(y／x)－cot(y／x)＝Cx知識點解析：原方程可化為dy／dx＝sin(y／x)＋y／x，令y／x＝u，即y＝xu，于是dy／dx＝u＋xdu／dx，將上式代入微分方程得u＋xdu／dxdu＝sinu＋u，整理得cscudu＝dx／x，兩邊積分得ln｜cscu－cotu｜＝In｜x｜＋ln｜C｜，即cscu－cotu＝Cx，將u＝y(tǒng)／x代入上式，得原方程的通解為csc(y／x)－cot(y／x)＝Cx．12、滿足方程y”＝x，且在點(0，1)處的切線方程為y＝x／2＋1的曲線方程為________．標準答案：y＝x3／6＋x／2＋1知識點解析：對方程y”＝x兩邊積分得y’＝x2／2＋C1，再積分得y＝x3／6＋C1x＋C．由曲線過點(0，1)可得C＝1；又曲線在該點處的切線方程為y＝x／2＋1，所以y’(0)＝1／2，則C1＝1／2，故所求曲線方程為y＝x3／6＋x／2＋1．13、微分方程y”－11y’＋10y＝0的通解為________．標準答案：y＝C1ex＋C2e10x知識點解析：特征方程為r2－11r＋10＝0，特征根為r1＝1，r2＝10，故通解為y＝C2ex＋C2e10x．14、已知某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個特解y1＝ex，y2＝e2x，則該方程滿足初始條件y(0)＝1，y’(0)＝3的解為________．標準答案：y＝－ex＋2e2x知識點解析：y1，y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關的特解，所以由線性微分方程解的結構得y＝C1y1＋C2y2＝C1ex＋C2e2x是該方程的通解．又y’＝C1ex＋2C2e2x，將初始條件y(0)＝1，y’(0)＝3代入可得C1＝－1，C2＝2，故所求解為y＝－ex＋2e2x．15、已知二階常系數(shù)非齊次微分方程y”－5y’＋6y＝xe2x，它的一個特解可設為________．標準答案：y*＝x(Ax＋B)e2x知識點解析：方程對應的二階齊次線性微分方程的特征方程為r2－5r＋6＝(r－2)(r－3)＝0，所以r1＝2，r2＝3，f(x)＝xe2x中，λ＝2是該特征方程的單根，所以特解形式可設為y*＝x(Ax＋B)e2x．三、計算題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)16、求微分方程y’sinx＝y(tǒng)lny滿足初始條件y(π／2)＝e的特解．標準答案：方程y’sinx＝y(tǒng)lny分離變量得，兩溈積分得則ln｜lny｜＝ln｜cscx－cotx｜＋ln｜C｜，lny＝C(cscx－cotx)，即通解為y＝eC(cscx－cotx)．將y(π／2)＝e代入通解得C＝1，故原方程的特解為y＝ecscx－cotx．知識點解析：暫無解析17、求微分方程(y2－x2)dx－xydy＝0滿足y｜x＝1＝1的特解．標準答案：原方程可化為dy／dx＝(y2－x2)／xy＝y(tǒng)／x－x／y，令u＝y(tǒng)／x，則dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式得u＋xdu／dx＝u－1／u，整理后并分離變量可得－udu＝dx／x，兩邊積分得－u2／2＝ln｜x｜＋C1，即y2＝y(tǒng)2(C－2ln｜x｜)，又y｜x＝1＝1，所以C＝1，故所求特解為y2＝x2(1－2ln｜x｜)．知識點解析：暫無解析18、求微分方程dy／dx＝y(tǒng)／(2x－y2)的通解．標準答案：當把x看作未知函數(shù)時，可以得到線性微分方程dx／dy－2x／y＝－y．于是由一階非齊次線性微分方程的通解公式得原方程的通解為知識點解析：暫無解析19、設y＝ex是微分方程xy’＋p(x)y＝x的一個特解，求該微分方程滿足條件y(in2)＝0的特解．標準答案：將y＝ex，y’＝ex代入微分方程xy’＋p(x)y＝x得xex＋P(x)ex＝x，從而p(x)＝xe－x－x，微分方程變?yōu)閤y’＋(xe－x－xz)y＝x。即y’＋(e－x－1)y＝1，此為一階非齊次線性微分方程，其通解為將y(ln2)＝0代入通解得C＝－e－1／2，故所求特解為y＝ex－知識點解析：暫無解析20、求一個不恒等于零的可導函數(shù)f(x)，使它滿足f2(x)＝∫0x[f(t)sint／(2＋cost)]dt．標準答案：f2(x)＝∫0xf(t)兩邊同時對x求導可得2f(x)．f’(x)＝f(x)，因為f(x)不恒等于零，所以令y＝f(x)，解微分方程，分離變量得dy＝兩端積分得，所以y＝f(x)＝－ln(2＋cosx)／2＋C，又因為f(0)＝0，可得C＝ln3／2，所以所求函數(shù)f(x)＝－ln(2＋cosx)／2＋ln3／2．知識點解析：暫無解析21、求y”＝y(tǒng)’＋x的通解．標準答案：令y’＝p，則y”d2P’，原方程化為p’－p＝x，解此一階非齊次線性微分方程得p＝e∫dx(∫xe－∫dxdx＋C1)＝ex(∫xe－xdx＋C1)＝C1ex－x－1，即y’＝C1ex－x－1，分離變量后兩邊積分得通解為y＝C1ex－x2／2－x＋C2．知識點解析：暫無解析22、求方程x2y”＋2xy’＝1滿足條件y(1)＝0，y’(1)＝1的特解．標準答案：將原方程改寫為y”＋2y’／x＝1／x2，令y’＝p，則y”＝p’，方程可寫為p’＋2p／x＝1／x2，則代入y’(1)＝1，得C＝0，即y’＝1／x，分離變量并兩邊積分得y＝ln｜x｜＋C1，由y(1)＝0得C1＝0，則所求特解為y＝In｜x｜．知識點解析：暫無解析23、設函數(shù)f(t)在[0，＋∞)上連續(xù)，且滿足方程f(t)＝，求f(t)．標準答案：顯然f(0)＝1，由于于是f(t)＝解上述關于f(t)的一階非齊次線性微分方程，得代入f(0)＝1，得C＝1．因此f(t)＝知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)24、求微分方程y”－3y＝0的通解．標準答案：微分方程的特征方程為r2－3＝0，其特征根為r1＝，r2＝－．故原方程的通解為y＝知識點解析：暫無解析25、求微分方程y”－4y’＋13y＝0滿足初始條件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝3的特解．標準答案：微分方程的特征方程為r2－4r＋13＝0，解得特征根為r1，2＝2±3i，故方程的通解為y＝e2x(C1cos3x＋C2sin3x)，且有y’＝e2x[(2C1＋3C2)cos3x＋(2C2－3C1)sin3x]，代入初始條件得所以所求特解為y＝e2xsin3x．知識點解析：暫無解析26、求微分方程y”－4y’＋8y＝sinx的一個特解．標準答案：方程對應的二階齊次方程的特征方程為r2－4r＋8＝0，特征根為r1,2＝2±2i，因為f(x)＝sinx中±i不是特征根，所以設特解為y*＝C1sinx＋C2cosx，則(y*)’＝C1cosx－C2sinx，(y*)”＝－C1sinx－C1cosx，代入原方程得解得C1＝7／65，C2＝4／65，所以特解為y*＝7sinx／65＋4cosx／65．知識點解析：暫無解析27、已知二階可導函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝x3＋1－x∫0xf(t)dt＋∫0xtf(t)dt，求f(x)．標準答案：等式兩邊對x求導得f’(x)＝3x2－∫0xf(t)dt－xf(x)＋xf(x)＝3x2－∫0xf(t)dt，再求導得f"(x)＝6x－f(x)，即f"(x)＋f(x)＝6x，這是二階非齊次線性微分方程，其對應的齊次方程的特征方程為r2＋1＝0，所以r1＝i，r2＝－i，故對應二階齊次微分方程通解為Y＝C1cosx＋C2sinx．因為f(x)＝6x中λ＝0不是該特征方程的特征根，故特解形式為y*＝Ax＋B，(y*)’＝A，(y*)”＝0。代入原方程得Ax＋B＝6x，解得A＝6，B＝0，則y*＝6x，故通解為f(x)＝Y＋y*＝C1cosx＋C2sinx＋6x，則f’(x)＝－C1sinx＋C2cosx＋6．又方程滿足f(0)＝1，f’(0)＝0，代入解得C1＝1，C2＝－6，故函數(shù)f(x)＝cosx－6sinx＋6x．知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（常微分方程）模擬試卷第5套一、單項選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列方程是二階線性微分方程的是()A、(y’)2＋5yy”＋xy＝0B、x2y’’’＋2y’＋y＝0C、y”＋x2y’＋y2＝0D、xy’＋2y”＋x2y＝0標準答案：D知識點解析：由二階線性微分方程的定義可知D項正確．A、C項是非線性的微分方程，B項是三階的微分方程．2、已知y＝x／lnx是微分方程y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)的解，則φ(x／y)＝()A、－y2／x2B、y2／x2C、－x2／y2D、x2／y2標準答案：A知識點解析：y＝x／lnx，y’＝(lnx－1)／ln2x代入y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)，得(lnx－1)／ln2x＝1／lnx＋φ(lnx)，即φ(lnx)＝(lnx－1)／ln2x－1／lnx＝－1／ln2x，令lnx＝u，則φ(u)＝－1／u2，所以φ(x／y)＝－y2／x2．3、下列方程是可分離變量微分方程的是()A、(y’)2＋xy’＝xB、yy’－2y＝xC、2y’／x＋2y／x2＝0D、y”－y’＋3xy2＝cosy標準答案：C知識點解析：C項整理可得dy／y＝－dx／x，是可分離變量微分方程，其他三項的方程均不能整理成g(y)dy＝f(x)dx的形式．4、已知函數(shù)y＝f(x)是微分方程2y’＝y(tǒng)滿足初始條件y｜x＝4＝1的特解，則f(16)＝()A、1B、eC、e2D、0標準答案：C知識點解析：微分方程分離變量可得，兩邊積分得In｜y｜＝＋C1，即y＝，代入初始條件y｜x＝4＝1，可得C＝e－2，故方程特解為y＝f(x)＝當x＝16時，f(16)＝e2，故選C．5、微分方程dy／dx＝y(tǒng)／x＋2(y／x)2滿足y｜x＝1＝－1／2的特解為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：令u＝y(tǒng)／x，則y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入方程得u＋xdu／dx＝u＋2u2，分離變量得du／2u2＝dx／x，兩邊積分得－1／2u＝ln｜x｜＋C，即－2y／x＝1／(ln｜x｜＋C)．令x＝1，y＝－1／2，得C＝1．因此所求特解為y＝－x／[2(1＋ln｜x｜)]．6、設二階常系數(shù)齊次線性微分方程y”＋py’＋qy＝0的特征方程有兩個相等的實根r1＝r2＝r，則方程的通解是y＝()A、C1cos(rx)＋C2sin(rx)B、C1erx＋C2xerxC、C1erx＋C2e－rxD、x(C1erx＋C2erx)標準答案：B知識點解析：由二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的根的情況可得該方程的通解為y＝C1erx＋C2xerx．7、已知曲線y＝y(tǒng)(x)經(jīng)過原點，且在原點處的切線平行于直線2x－y＋5＝0，而y(x)滿足微分方程y”－6y’＋9y＝0，則此曲線方程為y＝()A、sin2xB、x2e3x／2C、2xe3xD、2e3x標準答案：C知識點解析：微分方程的特征方程為r2－6r＋9＝(r－3)2＝0，其特征根為r1＝r2＝3，所以二階齊次方程的通解為y＝(C1＋C2x)e3x，y’＝(3C2x＋3C1＋C2)e3x．由題意可得y’(0)＝2，y(0)＝0，代入可得C1＝0，C2＝2，故所求曲線方程為y＝2xe3x．8、設y＝y(tǒng)(x)是二階常系數(shù)微分方程y”＋Py’＋qy＝e3x滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)’(0)＝0的特解，則()A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3標準答案：C知識點解析：由y”＋py’＋qy＝e3x得y”(x)在x＝0處連續(xù)，且y"(0)＝－py’(0)－qy(0)＋1＝1，則二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、微分方程dy／dx＝ex／(2y＋4y3)的通解為________．標準答案：y2＋y4＝ex＋C知識點解析：方程分離變量得(2y＋4y3)dy＝exdz，兩邊積分得∫(2y＋4y3)dy＝∫exdx，所以通解為y2＋y4＝ex＋C．10、微分方程eyy’－＝0滿足y｜x＝0＝0的特解為________．