云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共217題）

云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共217題）云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的原函數(shù)的是()A、B、tanx與cotxC、與e3xD、-cos2x與2sin2x標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若兩函數(shù)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則它們的導(dǎo)數(shù)相等。對(duì)每組兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)只有D項(xiàng)的兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后相等，故選D。2、已知函數(shù)y=acot3x的一個(gè)原函數(shù)為4ln(sin3x)，則a=()A、4/3B、12C、4D、3/4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知[4ln(sin3x)]’=4·(1/sin3x)·cos3x·3=12cot3x=acot3x，從而可得a=12。3、下列選項(xiàng)中不是f(x)=1/x的原函數(shù)的是()A、ln｜x｜+1B、ln｜x｜C、ln2｜x｜D、2ln｜x｜標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(2ln｜x｜)’=2/x≠1/x，故選D。4、已知函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則下列關(guān)系式不成立的是()A、d[∫f(x)dx]=f(x)dxB、(∫f(x)dx)’=f(x)C、∫f(x)dx=F(x)+CD、∫f’(x)dx=F(x)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∫f’(x)dx=∫df(x)=f(x)+C，故選D。5、已知f(x)可導(dǎo)，則下列等式中正確的是()A、∫f″(x)dx=f(x)+CB、d∫df(x)=f(x)+CC、(d/dx)∫f(x)dx=f(x)D、d∫f(x)dx=f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)：∫f″(x)dx=∫df’(x)=f’(x)+C；B項(xiàng)：d∫fdf(x)=d[f(x)+C]=f’(x)d；D項(xiàng)：d∫f(x)dx=f(x)dx。故選C。6、若F’(x)=G’(x)，則()A、∫F(x)dx=∫G(x)dxB、G(x)-F(x)=k(k為常數(shù))C、G(x)=F(x)D、(∫F(x)dx)’=(∫G(x)dx)’標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F’(x)=G’(x)，兩邊積分得∫F’(x)dx=∫G’(x)dx，則F(x)+C1=G(x)+C2，故G(x)-F(x)=C1-C2=k，k為常數(shù)。故選B。7、若f’(x)連續(xù)，則下列等式正確的是()A、∫df(x)=f(x)B、d∫f(2x)dx=2f(2x)dxC、d∫f’(x)dx=f’(x)D、d∫f(x2)dx=f(x2)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∫df(x)=f(x)+C；d∫f(2x)dx=f(2x)dx,a∫f’(x)dx=f’(x)dx；d∫f(x2)dx=(∫f(x2)dx)’dx=f(x2)dx，故選D。8、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為5x，則f’(x)=()A、5x/ln25B、5x/ln5C、5xln5D、5xln25標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于5x是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)=(5x)’=5xln5，因此f’(x)=(5xIn5)’=5xIn25。9、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是cosx，則函數(shù)f(x)有一個(gè)原函數(shù)是()A、1+sinxB、1-sinxC、1+cosxD、1-cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知f’(x)=cosx，則f(x)=∫cosxdx=sinx+C，∫f(x)dx=∫(sinx+C)dx=-cosx+Cx+C1，令C=0，C1=1，故f(x)的一個(gè)原函數(shù)為1-cosx。10、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，g(x)的不定積分存在，k為任意常數(shù)，則下列關(guān)系正確的是()A、∫kf(x)dx=k∫f(x)dxB、∫[2f(x)+3g(x)]dx=2∫f(x)dx+3∫g(x)dxC、d∫f(5x)dx=f(5x)D、∫f’(x)dx=f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由不定積分的線性性質(zhì)可知，B選項(xiàng)正確。當(dāng)k=0時(shí)，∫kf(x)dx=k∫f(x)dx不成立；d∫f(5x)dx=f(5x)dx=∫f’(x)dx=f(x)+C，故可排除A、C、D項(xiàng)。11、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知F’(x)=，則F’()=e-x，故。12、設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)cosx/x2，則∫f’(x)dx=()A、cosx/x2+CB、-sinx/x+CC、-[(xsinx+2cosx)/x3]+CD、[(xsinx-2cosx)/x3]+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知f(x)=(cosx/x2)’=(-sinx·x2-cosx·2x)/x4=(xsinx+2cosx)/x3。故∫f’(x)dx=∫df(x)=f(x)+C=(xsinx+2cosx)/x3+C。13、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：14、已知∫f(x)dx=F(x)+C，a≠0，則∫f(ax+b)dx=()A、(1/a)F(x)+CB、F(ax+b)+CC、(1/a)F(ax+b)+CD、aF(ax+b)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：c知識(shí)點(diǎn)解析：∫F(ax+b)dx=(1/a)∫f(ax+b)d(ax+b)=(1/a)F(ax+b)+C15、設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則∫sec2xf(tanx)dx=()A、F(tanx)+CB、F(sec2x)+CC、-F(tanx)+CD、-F(sec2x)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫sec2xf(tanx)dx=∫f(tanx)d(tanx)∫f(u)=F(u)+C=F(tanx)+C。16、設(shè)∫f(x)dx=x2+C，則∫x3f(1-x4)dx=()A、-4(1-x4)2+CB、4(1-x4)2+CC、(-1/4)(1-x4)2+CD、(1/4)(1-x4)2+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫x3f(1-x4)dx=(-1/4)∫f(1-x4)d(1-x4)=(-1/4)(1-x4)2+C。17、若∫f’()dx=4x2+C，則f(x)=()A、4x2+CB、x5+CC、(4/3)x6+CD、8x5+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：，故f’(x)=8x5，兩邊積分得∫f’(x)dx=∫8x5dx，則f(x)=(4/3)x6+C。18、已知∫f(2x-11)dx=arctanx2+C，則f(x)=()A、arctan(2x-1)2B、(2x-1)2/[1+(2x-1)4]C、[16(x+1)]/[16+(x+1)4]D、x2/(1+x4)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)可得f(2x-1)=2x/(1+x4)，令2x-1=t，x=(t+1)/2，則f(t)=[2·((t+1)/2)]/[1+((t+1)/2)4]=[16(t+1)]/[16+(t+1)4]，故f(x)=[16(x+1)]/[16+(x+1)4]。19、已知∫3x2f’(x3+1)dx=(x3+1)2+C，則f(x)=()A、2x+CB、(x3+1)2+CC、x2+CD、x3+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫3x2f’(x3+1)dx=∫f’(x3+1)d(x3+1)=(x3+1)2+C，令x3+1=t，則有∫f’(t)dt=t2+C，所以f(t)=t2+C，即f(x)=x2+C。20、若f’(lnx)=x+ln2x，則f(x)=()A、ex+x3/3+CB、x+ln2x+CC、ex+x2+CD、ex+2x+C標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f’(lnx)=x+ln2x，令lnx=t，則x=et，f’(t)=et+t2，故f(t)=∫(et+t2)dt=et+t3/3+C。因此f(x)=ex+x3/3+C。21、已知∫f(x2)dx=ex/2+C，x＞0，則f(x)=()A、(1/2)ex/2B、C、ex/2D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：∫f(x2)dx=ex/2+C兩邊求導(dǎo)得f(x2)=(1/2)ex/2，所以f(x)=(1/2)。22、不定積分∫[1/(7-3x)]dx=()A、ln｜7-3x｜+CB、(-1/3)ln｜7-3x｜+CC、(1/3)ln｜7-3x｜+CD、1/(7-3x)2+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：∫[1/(7-3x)]dx=(-1/3)∫[1/(7-3x)]d(7-3x)=(-1/3)ln｜7-3x｜+C。23、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫x3dx=(1/20)∫d(5x4)=(1/20)+C24、不定積分∫xcos(x2+11)dx=()A、(1/2)sin(x2+1)+CB、2sin(x2+1)+CC、(1/2)xsin(x2+1)+CD、2xsin(x2+1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫xcos(x2+1)dx=(1/2)cos(x2+1)d(x2+1)=(1/2)sin(x2+1)+C。二、解答題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0，1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。25、試證：存在x0∈(0，1)，使得區(qū)間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=x∫x1f(t)dt，則F(0)=F(1)=0，且F’(x)=∫x1f(f)dt-xf(x)。對(duì)F(x)在區(qū)間[0，1]上應(yīng)用羅爾中值定理知，存在一點(diǎn)x0∈(0，1)，使F’(x0)=0，因而f(x)dx-x0f(x0)=0，即矩形面積x0f(x0)等于曲邊梯形面積f(x)dx；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、又設(shè)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)＞-2f(x)/x，證明(1)中的x0是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)φ(x)=∫x1f(t)df-xf(x)，則當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，有φ’(x)=-f(x)-f(x)-xf’(x)=-2f(x)-xf’(x)。由f’(x)＞-2f(x)/x得2f(x)+xf’(x)＞0，所以φ’(x)＜0。所以φ(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)減少，故此時(shí)(1)中的x0是唯一的。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、下列說(shuō)法正確的是()A、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則∫abf(x)dx一定存在B、若f(x)在[a，b]上不連續(xù)，則∫abf(x)dx一定不存在C、若∫abf(x)dx存在，則f(x)在[a，b]上一定連續(xù)D、若∫abf(x)dx存在，則f(x)在[a，b]上一定可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由充分條件知A項(xiàng)正確。2、極限n/(n2+i2)=()A、1B、0C、π/4D、π/2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[1/(1+(i/n)2)]·(1/n)=∫01[1/(1+x2)]dx=arctanx｜01=π/43、下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是()A、(∫abf(x)dx)’=f(x)B、(∫abf(x)dx)’=0C、d(∫abf(x)dx)=[f(b)-f(a)]dxD、(∫abf’(x)dx)’=f’(b)-f’(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于定積分∫abf(x)dx，∫abf’(x)dx來(lái)說(shuō)，本質(zhì)都是一個(gè)常數(shù)。因此(∫abf(x)dx)’=0，(∫abf’(x)dx)’=0。故選B。4、若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則下列結(jié)論中正確的是()A、在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0B、在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f’(ξ)=0C、在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)D、在區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理可知，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)至少存在一點(diǎn)ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。5、定積分∫-55dx=()A、(25/8)πB、(25/4)πC、(25/2)πD、25π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫-55表示的是圓心在原點(diǎn)、半徑為5的上半圓域的面積，故∫-55=(1/2)·25π=(25/2)π。6、函數(shù)f(x)=cos(x/2)在區(qū)間[0，π]上的平均值為()A、-2/πB、2/πC、π/2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理得∫0πcos(x/2)dx=f(ξ)(π-0)(0≤ξ≤π)，所以平均值為f(ξ)=[∫0πcos(x/2)dx]/(π-0)=[2sin(x/2)｜0π]/π=2/π7、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a＞0)上連續(xù)，f(0)＞0，且在(0，a)內(nèi)恒有f’(x)＞0。設(shè)S1=∫0af(x)dx，S2=af(0)，則S1與S2的關(guān)系是()A、S1＜S2B、S1=S2C、S1＞S2D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(x)＞0在(0，a)內(nèi)恒成立知f(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞增，如圖3-2，由定積分的幾何意義知，s1代表曲邊梯形Oacd的面積，s2代表矩形Oabd的面積，即s1＞s2，故選C。8、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)且f(x)＞0，則()A、∫abf(x)dx＞0B、∫abf(x)dx＜0C、∫abf(x)dx=0D、∫abf(x)dx的符號(hào)無(wú)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且連續(xù)f(x)＞0，則由定積分的性質(zhì)知∫abf(x)dx＞0。9、下列各式中正確的是()A、∫01x3dx≥∫01x2dxB、∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dxC、(d/dx)∫abarcsinxdx=arcsinb-arcsinaD、∫34lnxdx≥∫34(lnx)2dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x3≤x2，則∫01x3dx≤∫01x2dx。對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤lnx＜1，lnx≥(lnx)2≥0，則∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dx對(duì)于選項(xiàng)C，(d/dx)∫abarcsinxdx=0(因?yàn)椤襛barcsinxdx是一個(gè)常數(shù))。對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，lnx＞1，則lnx＜(lnx)2，故∫34lnxd＜∫34(lnx)2dx二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)10、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、計(jì)算不定積分∫(lnx/x)2dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(lnx/x)2dx=-∫ln2xd(1/x)=-[(1/x)ln2x-∫(1/x)·2lnx·(1/x)dx]=-[(1/x)ln2x+∫2lnxd(1/x)]=-[(1/x)ln2x+(2/x)lnx-∫(2/x2)dx]=-[((1/x)ln2x+(x/2)lnx+2/x]+C=(-1/x)(ln2x+2lnx+2)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、計(jì)算∫(x+1)e3x-1dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(x+1)e3x-1dx=(1/3)∫(x+1)de3x-1=(1/3)(x+1)e3x-1-(1/3)∫e3x-1dx=(1/3)(x+1)e3x-1-(1/9)e3x-1+C=(1/9)(3X+2)e3x-1+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求∫(xsinx/cos3x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(xsinx/cos3x)dx=-∫(x/cos3x)d(cosx)=(1/2)∫xd(cosx)-2=(1/2)[x/cos2x-∫(1/cos2x)]=x/2cos2x-(1/2)tannx+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算∫sinxcosxdx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫xsinxcosxdx=(1/2)∫xsin2xdx=(-1/4)∫xd(cos2x)=(-1/4)xcos2x+(1/4)∫cos2xdx=(-1/4)xcos2x+(1/8)sin2x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、計(jì)算∫excosxdx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx=exsinx-∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=exsinx+excosx-∫excosxdx，故∫excosxdx=(1/2)ex(sinx+cosx)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、計(jì)算∫cos(lnx)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫cos(lnx)dx=xcos(lnx)-∫xdcos(lnx)=xcos(lnx)+∫xsin(lnx)·(1/x)dx=xcos(lnx)+∫sin(lnx)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫xcos(lnx)·(1/x)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx，故∫cos(lnx)dx=(x/2)cos(lnx)+sin(lnx)]+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求不定積分∫xln(1+x2)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫xln(1+x2)dx=(1/2)∫(1+x2)d(1+x2)ln(1+x2)-∫xdx=(1/2)(x2+1)ln(1+x2)-(1/2)x2+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(lnx)=[ln(1+x)/x]，計(jì)算∫f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則x=et，f(t)=[ln(1+et)/et]，所以∫f(x)dx=∫[(ln(1+ex))/ex]dx=-∫ln(1+ex)de-x=-e-xln(1+ex)+∫[1/(1+ex)]dx=-e-xln(1+ex)+∫[1-ex/(1+ex)]dx=-e-xln(1+ex)+x-ln(1+ex)+C=x-(1+e-x)ln(1+ex)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求不定積分∫[arctanx/x2(1+x2)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫[arctanx/(x2(1+x2))]dx=∫(arctanx/x2)dx-∫[arctanx/(1+x2)]dx=-∫arctanxd(1/x)-∫arctanxd(arctanx)=(-1/x)arctanx+∫(1/x)·[1/(1+x2)]dx-(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+∫[1/x-x/(1+x2)]dx-(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+∫(1/x)dx-(1/2)∫[1/(1+x2)]d(1+x2)+(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+ln-(1/2)arctan2x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t，則x=t2，dx=2tdt，∫dx=∫2tetdt=∫2tdet=2tet-∫2etdt=2tet-2et+C=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求不定積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t(t＞1)，則x=ln(t2-1)，dx=[2t/(t2-1)]dt。于是∫[xex/]dx=∫[(t2-1)ln(t2-1)/t]·[2t/(t2-1)]dt=2∫ln(t2-1)dt=2tln(t2-1)-2∫tdln(t2-1)=2tln(t2-1)-4∫[t2/(t2-1)]dt=2tln(t2-1)-4∫[(1+1/(t2-1)]dt=2tln(t2-1)-4t-2∫[1/(t-1)-1/(t+1)]dt=2tln(t2-1)-4t-2ln(t-1)+2ln(t+1)+C=2tln(t2-1)-4t+2ln[(t+1)/(t-1)]+C=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算∫[(x+1)/(x2+4x+9)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=(1/2)∫[(2x+2)/(x2+4x+9)]dx=(1/2)∫[((2x+4)-2)/(x2+4x+9)]dx=(1/2)∫[(d(x2+4x+9))/(x2+4x+9)]dx-∫[1/(x2+4x+9)]dx=(1/2)ln｜x2+4x+9｜-∫[1/((x+2)2+5)]d(x+2)=(1/2)ln｜x2+4x+9｜-=(1/2)ln(x2+4x+9)-知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求不定積分∫[(5x-2)/(x-1)2(2x+1)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(5x-2)/[(x-1)2(2x+1)]=A/(x-1)+B/(x-1)2+C/(2x+1)通分可得5x-2=A(x-1)(2x+1)+B(2x+1)+C(x-1)2=(2A+C)x2+(-A+2B-2C)x+B+C-A，則有，可解得A=1，B=1，C=2。于是∫[(5x-1)/(x-1)2(2x+1)]dx=∫[1/(x-1)+1/(x-1)2-2/(2x+1)]dx=ln｜x-1｜-1/(x-1)-ln｜2x+1｜+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求不定積分∫[1/(x3+1)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?/(x3+1)=1/[(x+1)(x2-x+1)]=(1/3)∫[1/(x+1)-(x-2)/(x2-x+1)]，所以∫[1/(x3+1)]dx=(1/3)∫[1/(x+1)-(x-2)/(x2-x+1)]dx=(1/3)∫[1/(x+1)]dx-(1/6)∫[(2x-1-3)/(x2-x+1)]dx=(1/3)ln｜x+1｜-(1/6)ln(x2-x+1)+(1/2)∫[1/((x-1/2)2)+3/4)]dx=(1/3)ln｜x+1｜-(1/6)ln(x2-x+1)+arctan[(2x-1)/]+C=(1/6)ln[(1+x)2/(x2-x+1)]+arctan[(2x-1)/]+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、定積分I=∫03dx的取值范圍為()A、-e≤I≤-e-1B、-3e≤I≤-eC、3e-6≤I≤3e-3D、3e-3≤I≤3e標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：記f(x)=，x∈[0，3]，f’(x)=(-2x+2)，令f’(x)=0，得f(x)在[0，3]上的唯一駐點(diǎn)x=1。f(1)=e，f(0)=1，f(3)=e-3，比較上面三者大小可知f(x)在[0，3]上的最大值為e，最小值為e-3。由定積分的估值定理可得∫03e-3dx≤∫03dx≤∫03edx，即3e-3≤∫03dx≤3e。2、定積分∫-11[xln(1+x2)/(2+cosx)]dx=()A、-1B、0C、1D、ln2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分區(qū)間是對(duì)稱(chēng)區(qū)間，被積函數(shù)[xln(1+x2)/(2+cosx)]是奇函數(shù)，因此∫-11[xln(1+x2)/(2+cosx)]dx=0。3、下列積分結(jié)果不為零的是()A、∫-ππcosxdxB、∫-π/2π/2sinxcos2xdxC、∫-π/4π/4x(1+x2)2dxD、∫-11｜x｜dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∫-ππcosxdx=2∫0πcosxdx=2∫0πcosxdx=2sinx｜0π=0。B、C項(xiàng)中的積分區(qū)間是對(duì)稱(chēng)的，且被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以B、C項(xiàng)中的積分值均為0?！?11｜x｜dx=2∫01xdx=x2｜01=14、定積分∫-33=()A、0B、9π/4C、9πD、9π/2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)在[-2，2]上連續(xù)，則∫-22f(x)dx=()A、∫-20[f(x)+f(-x)]dxB、∫02[f(x)-f(-x)]dxC、0D、2∫02f(x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫-22f(x)dx=∫-20f(x)dx+∫02f(x)dx,由于∫02f(x)dx(-t)(-dt)=∫-22f(-t)dt=∫-20f(-x)dx，故∫-22f(x)dx=∫-20f(x)dx+∫-20f(-x)dx=∫-20[f(x)+f(-x)]dx，同理可得∫-22f(x)dx=∫02[f(x)+f(-x)]dx，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤。由于f(x)的奇偶性未知，故C、D項(xiàng)均錯(cuò)誤。6、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則下列敘述正確的是()A、當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)B、當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)C、當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)D、當(dāng)f(x)是單調(diào)增加的函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增加的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：取f(x)=cosx+1，則f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，但f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)=sinx+x+1既不是周期函數(shù)，也不是奇函數(shù)，因而可以排除選項(xiàng)B，C。取f(x)=2x，顯然f(x)是單調(diào)增加的函數(shù)，但f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)=x2+1不是單調(diào)增加的函數(shù)，故又可排除選項(xiàng)D。對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=∫0xf(x)dt，則F(-x)=∫0-xf(x)dt-∫0xf(-u)du=∫0xf(u)du=∫0xf(t)dt=F(x)。故F(x)為偶函數(shù)。故選A。7、設(shè)φ(x)=，則φ’(x)=()A、sinx4B、x8sinx4C、8x7cos4x4D、8x7sinx4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?x)=是復(fù)合函數(shù)，所以φ’(x)=sin·(x8)’=8x7sinx4。8、設(shè)f(x)連續(xù)，則變上限定積分∫axf(t)dt是()A、f’(x)的一個(gè)原函數(shù)B、f’(x)的全體原函數(shù)C、f(x)的一個(gè)原函數(shù)D、f(x)的全體原函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由變上限的定積分的性質(zhì)可知，∫abf(t)dt是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，故選C。9、設(shè)連續(xù)曲線y=f(x)在區(qū)間[0，1]上與x軸圍成三塊圖形D1、D2、D3，它們的面積分別為S1、S2、S3，其中，D1、D3在x軸下方，D2在x軸上方，已知S1=5S2-3，4S2+S3=4，則∫01f(x)dx=()A、1B、-1C、-7D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分的幾何意義可得∫01f(x)dx=S2-(S1+S3)=S2-(5S2-3+4-4S2)=-1。10、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則(d/dx)∫0xf’(t)dt=()A、f(x)B、f’(x)C、f(x)+CD、f’(x)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：(d/dx)∫0xf’(t)dt=f’(x)11、設(shè)函數(shù)f(x)=∫0x[(1/2)t4-2t]dt，則f″(x)=()A、(1/2)x4-2xB、2x3-2C、6x2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)=∫0x((1/2)t4-2t)dt可得f’(x)=(1/2)x4-2x，則f″(x)=2x3-2。12、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且F(x)=f(t)dt，則F’(x)=()A、-e-xf(e-x)-f(x)B、-e-xf(e-x)+f(x)C、e-xf(e-x)-f(x)D、e-xf(e-x)+f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：F’(x)==f(e-x)(e-x)’-f(x)=-e-xf(e-x)-f(x)。13、設(shè)f(x)連續(xù)，則(d/dx)[∫0xtf(x-t)dt]=()A、xf(x2)B、-xf(x2)C、2xf(x2)D、-2f(x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫0xtf(x2-t2)dt則(d/dx)[∫0xtf(x2-t2)dt]=(1/2)(d/dx)[f(u)du]=xf(x2)。故選A。14、極限=()A、1/2B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)F(x)=[x2/(x-a)]∫axf(t)dt，其中f(x)是連續(xù)函數(shù)，則F(x)=()A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)=[x2/(x-a)]∫axf(t)dt=[(x2∫axf(t)dt)/(x-a)]=[2x∫axf(t)dt+x2f(x)]=a2f(a)。16、設(shè)f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()A、等價(jià)無(wú)窮小B、同階但非等價(jià)無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閇f(x)/g(x)]=[∫0sinxsint2dt/(x3+x4)]=[(sin(sin2x)·cosx)/(3x2+4x3)]=[sin2x/(3x2+4x3)]=[x2/(3x2+4x3)]=1/3，所以x→0時(shí)，f(x)是g(x)的同階但非等價(jià)無(wú)窮小。17、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且∫0xf(t)dt=a2x-1(a＞0且a≠1)，則f’(x)=()A、4a2xB、2a2xlnaC、2xa2x-1D、4a2xln2a標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題中等式對(duì)z求導(dǎo)得f(x)=(a2x-1)’=2a2xlna，則f’(x)=(2a2xlna)’=4a2xln2a。故選D。18、設(shè)f(x)=∫0xt2(t-1)dt，則f(x)的極小值點(diǎn)為()A、x=0，x=1B、x=0C、x=1D、x=1/2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=x2(x-1)，令f’(x)=0，得x=0或1，當(dāng)x＜0時(shí)f’(x)＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)f’(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)f’(x)＞0，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為x=1。19、已知F’(x)=f(x)，則∫abf(2x+a)dx=()A、F(b)-F(a)B、(1/2)F(2b+a)-(1/2)F(3a)C、2F(2b+a)-2F(3a)D、F(2b)-F(3a)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：∫abf(2x+a)dx=(1/2)∫abf(2x+a)d(2x+a)=(1/2)F(2x+a)-(1/2)F(2b+a)-(1/2)F(3a)，故選B。20、下列積分中，積分結(jié)果正確的是()A、∫abf(x)dx=f(b)-f(a)B、∫abf’(x)dx=f(b)+f(a)C、∫abf’(2x)dx=(1/2)[f(2b)-f(2a)]D、∫abf’(2x)dx=f(2b)-f(2a)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于不知道f(x)的原函數(shù)，故不能確定∫abf(x)dx的值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤?！襛bf’(x)dx=f(x)｜ab=f(b)-f(a)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤?！襛b()f’(2x)dx=(1/2)∫abf’(2x)d(2x)=(1/2)(2x)｜ab=(1/2)[f(2b)-f(2a)]，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。21、下列積分可以用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計(jì)算的是()A、∫-11(1/x4)dxB、∫0πC、∫03[x/(x-2)3]dxD、∫0π/2sec2xdx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：牛頓-萊布尼茨公式要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，否則不能利用此公式。選項(xiàng)A中的被積函數(shù)在點(diǎn)x=0處不連續(xù)；選項(xiàng)C中的被積函數(shù)在x=2處不連續(xù)；選項(xiàng)D中的被積函數(shù)在點(diǎn)x=π/2處不連續(xù)；只有選項(xiàng)B中的被積函數(shù)在積分區(qū)間[0，π]上連續(xù)，故選B。22、若定積分∫0a[x/(1+x2)]dx=4，常數(shù)a＞0，則a=()A、B、e4C、D、e8標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫0a[x/(1+x2)]dx=(1/2)ln(1+x2)｜0a=(1/2)ln(1+a2)=4，解得a=±，又a＞0，故a=。23、已知∫0k(3x2-4x3)dx=0，則常數(shù)k=()A、0或1B、0或-1C、0或2D、1或-1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫0k(3x2-4x3)dx=(x3-x4)｜0k=k3-k4=k3(1-k)=0，所以k=0或k=1。24、定積分∫-1e-2ln(2+x)dx=()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫-1e-2ln(2+x)dx=∫-1e-2ln(2+x)d(x+2)=(x+2)ln(2+x)｜-1e-2(x+2)-∫-1e-2(x+2)·[1/(x+2)]dx=e-[(e-2)-(-1)]=1云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、下列說(shuō)法正確的是()A、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則∫abf(x)dx一定存在B、若f(x)在[a，b]上不連續(xù)，則∫abf(x)dx一定不存在C、若∫abf(x)dx存在，則f(x)在[a，b]上一定連續(xù)D、若∫abf(x)dx存在，則f(x)在[a，b]上一定可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由充分條件知A項(xiàng)正確。2、極限n/(n2+i2)=()A、1B、0C、π/4D、π/2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[1/(1+(i/n)2)]·(1/n)=∫01[1/(1+x2)]dx=arctanx｜01=π/43、下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是()A、(∫abf(x)dx)’=f(x)B、(∫abf(x)dx)’=0C、d(∫abf(x)dx)=[f(b)-f(a)]dxD、(∫abf’(x)dx)’=f’(b)-f’(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于定積分∫abf(x)dx，∫abf’(x)dx來(lái)說(shuō)，本質(zhì)都是一個(gè)常數(shù)。因此(∫abf(x)dx)’=0，(∫abf’(x)dx)’=0。故選B。4、若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則下列結(jié)論中正確的是()A、在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0B、在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f’(ξ)=0C、在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)D、在區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理可知，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)至少存在一點(diǎn)ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。5、定積分∫-55dx=()A、(25/8)πB、(25/4)πC、(25/2)πD、25π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫-55表示的是圓心在原點(diǎn)、半徑為5的上半圓域的面積，故∫-55=(1/2)·25π=(25/2)π。6、函數(shù)f(x)=cos(x/2)在區(qū)間[0，π]上的平均值為()A、-2/πB、2/πC、π/2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理得∫0πcos(x/2)dx=f(ξ)(π-0)(0≤ξ≤π)，所以平均值為f(ξ)=[∫0πcos(x/2)dx]/(π-0)=[2sin(x/2)｜0π]/π=2/π7、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a＞0)上連續(xù)，f(0)＞0，且在(0，a)內(nèi)恒有f’(x)＞0。設(shè)S1=∫0af(x)dx，S2=af(0)，則S1與S2的關(guān)系是()A、S1＜S2B、S1=S2C、S1＞S2D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(x)＞0在(0，a)內(nèi)恒成立知f(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞增，如圖3-2，由定積分的幾何意義知，s1代表曲邊梯形Oacd的面積，s2代表矩形Oabd的面積，即s1＞s2，故選C。8、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)且f(x)＞0，則()A、∫abf(x)dx＞0B、∫abf(x)dx＜0C、∫abf(x)dx=0D、∫abf(x)dx的符號(hào)無(wú)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且連續(xù)f(x)＞0，則由定積分的性質(zhì)知∫abf(x)dx＞0。9、下列各式中正確的是()A、∫01x3dx≥∫01x2dxB、∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dxC、(d/dx)∫abarcsinxdx=arcsinb-arcsinaD、∫34lnxdx≥∫34(lnx)2dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x3≤x2，則∫01x3dx≤∫01x2dx。對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤lnx＜1，lnx≥(lnx)2≥0，則∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dx對(duì)于選項(xiàng)C，(d/dx)∫abarcsinxdx=0(因?yàn)椤襛barcsinxdx是一個(gè)常數(shù))。對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，lnx＞1，則lnx＜(lnx)2，故∫34lnxd＜∫34(lnx)2dx二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)10、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、計(jì)算不定積分∫(lnx/x)2dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(lnx/x)2dx=-∫ln2xd(1/x)=-[(1/x)ln2x-∫(1/x)·2lnx·(1/x)dx]=-[(1/x)ln2x+∫2lnxd(1/x)]=-[(1/x)ln2x+(2/x)lnx-∫(2/x2)dx]=-[((1/x)ln2x+(x/2)lnx+2/x]+C=(-1/x)(ln2x+2lnx+2)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、計(jì)算∫(x+1)e3x-1dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(x+1)e3x-1dx=(1/3)∫(x+1)de3x-1=(1/3)(x+1)e3x-1-(1/3)∫e3x-1dx=(1/3)(x+1)e3x-1-(1/9)e3x-1+C=(1/9)(3X+2)e3x-1+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求∫(xsinx/cos3x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(xsinx/cos3x)dx=-∫(x/cos3x)d(cosx)=(1/2)∫xd(cosx)-2=(1/2)[x/cos2x-∫(1/cos2x)]=x/2cos2x-(1/2)tannx+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算∫sinxcosxdx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫xsinxcosxdx=(1/2)∫xsin2xdx=(-1/4)∫xd(cos2x)=(-1/4)xcos2x+(1/4)∫cos2xdx=(-1/4)xcos2x+(1/8)sin2x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、計(jì)算∫excosxdx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx=exsinx-∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=exsinx+excosx-∫excosxdx，故∫excosxdx=(1/2)ex(sinx+cosx)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、計(jì)算∫cos(lnx)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫cos(lnx)dx=xcos(lnx)-∫xdcos(lnx)=xcos(lnx)+∫xsin(lnx)·(1/x)dx=xcos(lnx)+∫sin(lnx)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫xcos(lnx)·(1/x)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx，故∫cos(lnx)dx=(x/2)cos(lnx)+sin(lnx)]+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求不定積分∫xln(1+x2)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫xln(1+x2)dx=(1/2)∫(1+x2)d(1+x2)ln(1+x2)-∫xdx=(1/2)(x2+1)ln(1+x2)-(1/2)x2+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(lnx)=[ln(1+x)/x]，計(jì)算∫f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則x=et，f(t)=[ln(1+et)/et]，所以∫f(x)dx=∫[(ln(1+ex))/ex]dx=-∫ln(1+ex)de-x=-e-xln(1+ex)+∫[1/(1+ex)]dx=-e-xln(1+ex)+∫[1-ex/(1+ex)]dx=-e-xln(1+ex)+x-ln(1+ex)+C=x-(1+e-x)ln(1+ex)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求不定積分∫[arctanx/x2(1+x2)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫[arctanx/(x2(1+x2))]dx=∫(arctanx/x2)dx-∫[arctanx/(1+x2)]dx=-∫arctanxd(1/x)-∫arctanxd(arctanx)=(-1/x)arctanx+∫(1/x)·[1/(1+x2)]dx-(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+∫[1/x-x/(1+x2)]dx-(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+∫(1/x)dx-(1/2)∫[1/(1+x2)]d(1+x2)+(1/2)arctan2x=(-1/x)arctanx+ln-(1/2)arctan2x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t，則x=t2，dx=2tdt，∫dx=∫2tetdt=∫2tdet=2tet-∫2etdt=2tet-2et+C=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求不定積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t(t＞1)，則x=ln(t2-1)，dx=[2t/(t2-1)]dt。于是∫[xex/]dx=∫[(t2-1)ln(t2-1)/t]·[2t/(t2-1)]dt=2∫ln(t2-1)dt=2tln(t2-1)-2∫tdln(t2-1)=2tln(t2-1)-4∫[t2/(t2-1)]dt=2tln(t2-1)-4∫[(1+1/(t2-1)]dt=2tln(t2-1)-4t-2∫[1/(t-1)-1/(t+1)]dt=2tln(t2-1)-4t-2ln(t-1)+2ln(t+1)+C=2tln(t2-1)-4t+2ln[(t+1)/(t-1)]+C=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算∫[(x+1)/(x2+4x+9)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=(1/2)∫[(2x+2)/(x2+4x+9)]dx=(1/2)∫[((2x+4)-2)/(x2+4x+9)]dx=(1/2)∫[(d(x2+4x+9))/(x2+4x+9)]dx-∫[1/(x2+4x+9)]dx=(1/2)ln｜x2+4x+9｜-∫[1/((x+2)2+5)]d(x+2)=(1/2)ln｜x2+4x+9｜-=(1/2)ln(x2+4x+9)-知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求不定積分∫[(5x-2)/(x-1)2(2x+1)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(5x-2)/[(x-1)2(2x+1)]=A/(x-1)+B/(x-1)2+C/(2x+1)通分可得5x-2=A(x-1)(2x+1)+B(2x+1)+C(x-1)2=(2A+C)x2+(-A+2B-2C)x+B+C-A，則有，可解得A=1，B=1，C=2。于是∫[(5x-1)/(x-1)2(2x+1)]dx=∫[1/(x-1)+1/(x-1)2-2/(2x+1)]dx=ln｜x-1｜-1/(x-1)-ln｜2x+1｜+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求不定積分∫[1/(x3+1)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?/(x3+1)=1/[(x+1)(x2-x+1)]=(1/3)∫[1/(x+1)-(x-2)/(x2-x+1)]，所以∫[1/(x3+1)]dx=(1/3)∫[1/(x+1)-(x-2)/(x2-x+1)]dx=(1/3)∫[1/(x+1)]dx-(1/6)∫[(2x-1-3)/(x2-x+1)]dx=(1/3)ln｜x+1｜-(1/6)ln(x2-x+1)+(1/2)∫[1/((x-1/2)2)+3/4)]dx=(1/3)ln｜x+1｜-(1/6)ln(x2-x+1)+arctan[(2x-1)/]+C=(1/6)ln[(1+x)2/(x2-x+1)]+arctan[(2x-1)/]+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、定積分∫0π/4xcos2xdx=()A、π/2-1/4B、π/8-1/2C、π/4-1/8D、π/8-1/4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫0π/4xcos2xdx=(1/2)∫0π/4xd(xin2x)=(1/2)xsin2x｜0π/4-(1/2)∫0π/4sin2xdx=(π/8)+(1/4)cos2x｜0π/4=π/8-1/42、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)=x(1-x)5+(1/2)∫01f(x)dx，則f(x)=()A、2x(1-x)5+1/21B、x(1-x)5+1/42C、2x(1-x)5D、x(1-x)5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令∫01f(x)dx=A，則題中等式兩邊從0到1積分得∫01f(x)dx=∫01x(1-x)5dx+∫01(1/2)Adx，即A=∫01x(1-x)5dx+(1/2)A，所以A=2∫01x(1-x)5dx。令1-x=t，則x=1-t，dx=-dt，當(dāng)x=0時(shí)，t=1；當(dāng)x=1時(shí)，t=0。故A=-2∫10t5(1-t)dt=2∫01t5(1-t)dt=2((1/6)t6-(1/7)t7)｜01=1/21，故f(x)=x(1-x)5+1/42。3、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則∫n1/n(1-1/t2)f(t+1/t)dt=()A、0B、1C、n-1/nD、n+1/n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令u=t+1/t，則du=(1-1/t2)dt，當(dāng)t=n時(shí)，u=n+1/n；當(dāng)t=1/n時(shí)，u=1/n+n。因此∫1/nn(1-1/t2)f(t+1/t)dt=∫1/n+nn+1/nf(u)du=0。4、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上連續(xù)，且∫03x2f(x)dx=2，則∫027f()dx=()A、2B、4C、6D、8標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫027∫03f(t)·3t2dt=3∫03t2f(t)dt=6。5、下列積分不是廣義積分的是()A、∫01/2[dx/(1-x2)2]B、∫1e(dx/xlnx)C、∫-11D、∫0+∞e-xdx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)B，為廣義積分；對(duì)于選項(xiàng)D，∫0+∞e-xdx為無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分。故選A。6、下列廣義積分收斂的是()A、∫1+∞B、∫1+∞(ln2x/x)C、∫1+∞D(zhuǎn)、∫1+∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由∫1+∞(1/xp)dx當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散，p＞1時(shí)收斂，可知A項(xiàng)發(fā)散，D項(xiàng)收斂。B選項(xiàng)，∫1+∞[x/(1+x2)]dx=(1/2)ln(1+x2)｜1+∞=+∞，故此積分發(fā)散。C選項(xiàng)，∫1+∞(1/x)ln2xdx=∫1+∞ln2xd(lnx)=(1/3)(lnx)3｜1+∞=+∞，故此積分發(fā)散。7、若廣義積分∫1+∞kx-7dx=1，其中k為常數(shù)，則k=()A、1B、6C、1/6D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤?+∞kx-7dx=(-k/6x6)｜1+∞=k/6=1，所以k=6。8、下列廣義積分發(fā)散的是()A、∫0+∞6xedxB、∫2+∞[1/(x-1)2]dxC、∫e+∞D(zhuǎn)、∫-∞+∞2xdx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：9、廣義積分∫0+∞xne-xdx=__________。(其中n為正整數(shù))()A、n!B、(n+1)!C、(n-1)!D、n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：∫0+∞xne-xdx=-∫0+∞xnd(e-x)=-(xne-x)｜0+∞+n∫0+∞xn-1e-xdx=n∫0+∞xn-1e-xdx，∫0+∞xn-1e-xdx=-∫0+∞xn-1d(e-x)=-(xn-1e-x)｜0+∞+(n-1)∫0+∞xn-2e-xdx，依次類(lèi)推可得原式=n!∫0+∞e-xdx=-n!e-x｜0+∞=n!。10、設(shè)p＞0，若廣義積分∫12[1/(x-1)p]dx收斂，則戶的取值范圍為()A、0＜p≤1B、p≥1C、0＜p＜1D、p＞1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：11、下列廣義積分收斂的是()A、∫01B、∫01[1/(x-1)(x-2)]dxC、∫0+∞D(zhuǎn)、∫-∞0[1/(1-4x)]dx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：D項(xiàng)，∫-∞0[1/(1-4x)]dx=(-1/4)∫-∞0[1/(1-4x)]d(1-4x)=(-1/4)ln(1-4x)｜-∞0=+∞，發(fā)散。因此，選項(xiàng)A符合題意。12、下列廣義積分等于零的是()[*]A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：13、下列廣義積分收斂的是()A、∫-∞+∞sinxdxB、∫-11(1/x)dxC、∫-10D、∫-∞0e-xdx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：14、下列廣義積分發(fā)散的是()A、∫0+∞xdxB、∫01C、∫01[1/x(1+ln2x)]dxD、∫1+∞lnxdx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：15、圖3-1中陰影部分的面積總和可表示為()[*]A、∫abf(x)dxB、｜∫abf(x)dx｜C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：面積為正值，故圖中當(dāng)f(x)＜0時(shí)，其相應(yīng)部分的面積應(yīng)表示為，故選D。所求面積也可表示為∫ab｜f(x)｜dx。16、曲線y=x(x-2)(3-x)與x軸所圍成圖形的面積可以表示為()A、-∫02x(x-2)(3-x)dxB、∫02x(x-2)(3-x)dx-∫23x(x-2)(3-x)dxC、-∫02x(x-2)(3-x)dx+∫23x(x-2)(3-x)dxD、∫03x(x-2)(3-x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y與x軸的交點(diǎn)為(0，0)，(2，0)和(3，0)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＜0；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，y＞0，故曲線與x軸所圍成圖形的面積可以表示為S=-∫02x(x-2)(3-x)dx+∫23x(x-2)(3-x)dx。17、由y=lnx，y軸與直線y=a，y=b(b＞a＞0)所圍成圖形的面積為()A、b-aB、lnb-lnaC、eb-eaD、ea-eb標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：所圍成圖形的面積S=∫abeydy=ey｜ab=eb-ea。18、由曲線y=1/x，直線y=4x，x=2所圍成圖形的面積為()A、∫1/22(1/x-4x)dxB、∫1/22(4x-1/x)dxC、∫1/22(2-1/y)dy+∫1/22(2-y/4)dyD、∫1/22(2-1/x)dx+∫1/22(2-4x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=1/x與直線y=4x，x=2所圍成的圖形如圖3-3陰影部分所示，則該圖形的面積為S=∫1/22(4x-1/x)dx=∫1/22(2-1/y)+∫28(2-y/4)dy19、由橢圓曲線x2+y2/9=1圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積V=()A、2πB、πC、4πD、(7/2)π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：V=π∫-33(1-y2/9)dy=π(y-y3/27)｜-33=4π20、由曲線y=sin3/2x(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積Vx=()A、4/3B、(4/3)πC、(2/3)π2D、(2/3)π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：Vx=∫0π(sin2/3x)2dx=π∫0πsin3xdx=-π∫0π(1-cos2x)d(cosx)=-π(cosx-(1/3)cos3x)｜0π=(4/3)π二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)21、已知∫12φ(x)dx=4，∫16φ(x)dx=9，則∫26φ(x)dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分的可加性可得∫26φ(x)dx=∫16φ(x)dx-∫12φ(x)dx=9-4=5。22、定積分∫-11dx=的幾何意義是__________，其值為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：π/2知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=與x軸圍成圖形的面積，π/2題中所述定積分表示曲線y=與x軸所圍成的圖形的面積，即以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的上半圓域的面積，故原式=(1/2)π·12=π/2。23、(d/dx)∫12arccotx2dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎ǚe分∫12arccotx2dx是一個(gè)常數(shù)，故(d/dx)∫12arccotx2dx=0。24、設(shè)f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，且∫01f(x)dx=1，則∫-10f(x)dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)是奇函數(shù)，則∫-11f(x)dx=0，因此∫-10f(x)=-∫01f(x)dz=-1。云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第6套一、證明題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、求由曲線y=x2(x≥0)，直線y=1及y軸所圍成的平面圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x2(x≥0)，y=1及Y軸圍成的平面圖形如圖3-5所示。其面積為S=∫01(1-x2)dx=[x-(1/3)x3]｜01=2/3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、求曲線y=e-x與直線y=0之間位于第一象限的平面圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3-6，曲線y=e-x與直線y=0(x軸)之間在第一象限的平面圖形的面積為A=∫0+∞e-xdx=-e-x｜0+∞=1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、計(jì)算由拋物線y=x2-1與y=7-x2所圍成的平面圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：這兩條拋物線所圍成的圖形如圖3-7所示。解方程組兩組解，即這兩條拋物線的交點(diǎn)為A(-2，3)及B(2，3)。因此，所求平面圖形的面積為A=∫-22(7-x2-x2+1)dx=∫-222(4-x2)dx=2(4x-(1/3)x3)｜-22=64/3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、求由曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，x=π/2所圍成的平面圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：在區(qū)間[0，π/2]上兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=π/4，如圖3-8所示，故所求平面圖形的面積為S=∫0π/4(cosx-sinx)dx+∫π/4π/2=(cosx+sinx)｜0π/4-(sinx+cosx)｜π/4π/2=(-1)-(1-)=2(-1)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、計(jì)算由曲線y2=9-x，直線x=2及y=-1所圍成的平面圖形上面部分(面積大的那部分)的面積A。標(biāo)準(zhǔn)答案：所圍成的圖形如圖3-9所示，聯(lián)立解得交點(diǎn)為(2，)，(2，-)，故所求面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、已知曲線y=ax-x2(a＞0)與x軸圍成的平面圖形被曲線y=bx2(b＞0)分成面積相等的兩部分，求a，b的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由x-x2=bx得兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0，x2=a/(b+1)。由題設(shè)有2∫0a/(b+1)(ax-x2-bx2)dx=∫0a(ax-x2)dx，即(1/3)·[1/(b+1)2]，解得6=-1，a為大于零的任意常數(shù)。undefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、求曲線y=lnx在區(qū)間(2，6)內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線x=2，x=6和曲線y=lnx所圍成的平面圖形的面積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求切線與y=lnx相切于點(diǎn)(c，lnc)，其中2＜c＜6，y’｜x=c=(1/x)｜x=c=1/c，則切線方程為y-lnc=(1/c)(x-c)，故切線與直線x=2，x=6和曲線y=lnx所圍成的平面圖形的面積為A=∫26[(1/c)(x-c)+lnc-lnx]dx=16/c+4lnc-6ln6+2ln2，又dA/dc=-16/c2+4/c=(-4/c2)(4-c)，令dA/dc=0，解得駐點(diǎn)c=4。當(dāng)c＜4時(shí)，dA/dc＜0；當(dāng)c＞4時(shí)，dA/dc＞0，故c=4時(shí)，A取得極小值。由于駐點(diǎn)唯一，故當(dāng)c=4時(shí)，A取得最小值，此時(shí)切線方程為y=(1/4)x-1+ln4。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、已知∫0xf(x-t)f(t)dt=1-cosx，證明：∫0π/2f(x)dx=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤?x(x-t)f(t)dt=1-cosx，于是有x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=1-cosx，上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得∫0xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=sinx，從而有∫0xf(t)dt=sinx，故∫0π/2f(x)dx=∫0π/2f(t)dt=sin(π/2)=1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)9、討論∫e+∞[dx/x(lnx)k]的斂散性，其中k為常數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)k=1時(shí)，∫e+∞[dx/x(lnx)k]=∫e+∞(dx/xlnx)=∫e+∞[d(lnx)/lnx]=lnlnx｜e+∞=+∞，發(fā)散；當(dāng)k≠1時(shí)，∫e+∞[dx/x(lnx)k]=∫e+∞[d(lnx)/(lnx)k]=[(lnx)1-k/(1-k)]｜e+∞=綜上所述，當(dāng)k＞1時(shí)，∫e+∞[dx/x(lnx)k]收斂，且收斂于1/(k-1)；當(dāng)k≤1時(shí)，∫e+∞[dx/x(lnx)k]發(fā)散。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、求曲線y=e2x與其在點(diǎn)(1，e2)處的法線及y軸所圍成圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=2e2x，故曲線在點(diǎn)(1，e2)處的切線斜率為y’｜x=1=2e2，法線斜率k=-1/2e2，則法線方程為y-e2=(-1/2e2)(x-1)，即y=(-1/2e2)+e2+1/2e2，則所圍成圖形的面積為S=∫01[(-1/2e2)x+e2+1/2e2-e2x)dx=[(-1/4e2)x2+e2x+(1/2e2)x-(1/2)e2x]｜01=(1/2)e2+1/4e2+1/2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求曲線y=4x-x2和直線y=x圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線與直線圍成的平面圖形如圖3-11所示。由方程組解得曲線y=4x-x2和直線y=x的交點(diǎn)為O(0，0)與C(3，3)。故所求體積為V=π∫03(4x-x2)2dx-π[(16/3)x3-2x4+(1/5)x5]｜03-9π=(108/5)π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、已知曲線y=x3(x≥0)，直線x+y=2以及y軸圍成一平面圖形D，求平面圖形D繞．y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。標(biāo)準(zhǔn)答案：平面圖形D如圖3-12所示，所求旋轉(zhuǎn)體體積為V=∫01π·dy+∫12π(2-y)2dy=(3π/5)y5/3｜01+(π/3)(y-2)｜12=3π/5+π/3=(14/15)π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、已知曲線x=y+ey，直線x=y，y=1，y=2圍成一平面圖形D，求平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積Vy。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)y∈[1，2]時(shí)，y+ey＞y，所以Vy=π∫12[(y+ey)2-y2]dy=π∫12(2yey+e2y)dy=π[2(y-1)ey+(1/2)e2y]｜12=π[(1/2)e4+(3/2)e2]知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求曲線y=4-(x-3)2與x軸所圍成的平面圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積Vx、Vy。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線與x軸所圍成的平面圖形如圖3-13所示。Vx=∫15πy2dx=π∫15[4-(x-3)2]2dx=π[16x-(8/3)(x-3)3+(1/5)(x-3)5]｜15=(512/15)πVy=2π∫15xydx=2π∫15x[4-(x-3)2]2dx=2π[(-1/4)x4+2x3-(5/2)x2]｜15=64π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知曲線y=a(a＞0)與曲線y=ln在點(diǎn)(x0，y0)處有公共切線，求：15、常數(shù)a及切點(diǎn)(x0，y0)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可得解此方程組可得a=1/e，x0=e2，y0=1，于是切點(diǎn)為(e2，1)；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積S。標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出曲線y=(1/e)與曲線y=ln的圖形，則兩曲線與x軸圍成的平面圖形(如圖3-10)的面積為S=∫01(e2y-e2y2)dy=[(1/2)e2y-(1/3)e2y3]｜01=(1/6)e2-1/2(如圖3-10的面積為S=∫01(e2y-e2y2)dy=[(1/2)e2y-(1/3)e2y3]｜01=(1/6)e2-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成圖形的面積為S1，它們與直線x=1所圍成圖形的面積為S2，并且a＜1。17、試確定a的值，使S1+S2達(dá)到最小，并求出最小值；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閍＜1，所以可分成0＜a＜1，a≤0兩種情況，分別畫(huà)出兩種情況下的圖形(如圖3-14)，求出S1+S2的最小值后，即可確定a的值。當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S=S1+S2=∫0a(ax-x2)dx+∫a1(x2-ax)dx=a3/3-a/2+1/3，令S’=a2-1/2=0，求得a=1/。又S”(1/)=＞0，知S(1/)=(2-)/6是極小值，也是最小值；當(dāng)a≤0時(shí)，S=S1+S2=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=-a3/6-a/2+1/3，因?yàn)镾’=(-1/2)a2-1/2=(-1/2)(a2+1)＜0，S單調(diào)遞減，故a=0時(shí)，S取得最小值，此時(shí)S=1/3。比較可知，當(dāng)a=1/時(shí)，s(1/)=(2-)/6是最小值；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知曲線y=x2，19、求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥’=2x，y’(1)=2，所以曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求該曲線和該切線及直線y=0所圍成的平面圖形的面積S；標(biāo)準(zhǔn)答案：所圍平面圖形如圖3-15所示。則S=∫01[(1/2)(y+1)-]dy=[(1/4)(y+1)2-(2/3)y3/2]｜x01=1/12；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求上述平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V。標(biāo)準(zhǔn)答案：切線y=2x-1與x軸的交點(diǎn)為(1/2，0)，則V=∫01π(x2)2dx-(π/3)·12·(1-1/2)=π/30。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)f(x)=。22、求曲線y=f(x)的水平漸近線方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：所以曲線y=f(x)的水平漸近線方程為y=1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求由曲線y=f(x)和直線x=1，x=2及y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積V。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得所求體積V=π∫12f2(x)dx=π∫12[(x3+1)/x(x+1)2]dx=π∫12[(x2-x+1)/x(x+1)]dx=π∫12[x/(x+1)-1/(x+1)+1/x(x+1)]dx=π∫12[(x+1-1)/(x+1)-1/(x+1)+(x+1-x)/x(x+1)]dx=π∫12[1+1/x-3/(x+1)]dx=π[x+lnx-3ln(x+1)]｜12=(1+4ln2-3ln3)π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第7套一、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、不定積分∫[(x+1)/(x2-2x+5)]dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1/2)ln(x2-2x+5)+arctan[(x-1)/2]+C知識(shí)點(diǎn)解析：∫[(x+1)/(x2-2x+5)]dx=(1/2)∫[(2x-2+4)/(x2-2x+5)]dx=(1/2)∫[(2x-2)/(x2-2x+5)]dx+2∫[1/(x2-2x+5)]dx=(1/2)∫[d(x2-2x+5)/(x2-2x+5)]+2∫[d(x-1)/((x-1)2+22)]=(1/2)ln(x2-2x+5)+arctan[(x-1)/2]+C2、不定積分∫[(1+2x3)/x2(1+x2)]dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1/x+arctanx+C知識(shí)點(diǎn)解析：∫[(1+2x2)/x2(1+x2)]dx=∫[((1+x2)+x2)/(x2(1+x2))]dx=∫(1/x2)dx+∫[1/(1+x2)]dx+∫[1/(1+x2)]dx=-1/x+arctanx+C3、不定積分=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2/3)(x-3)3/2+6+C知識(shí)點(diǎn)解析：令t=，則x=t2+3，dx=2tdt，于是∫[x/]dx=∫[(t2+3)/t]·2tdt=2∫(t3+3)dt=2(t3/3+3t)+C=(2/3)t3+6t+C=(2/3)(x-3)3/2+6+C4、不定積分=__________。(a＞0)標(biāo)準(zhǔn)答案：(a2/2)arcsin(x/a)-(1/2)x+C知識(shí)點(diǎn)解析：=a2∫[(1-cos2t)/2]dt=a2(t/2-sin2t/4)+C=a2(t/2-(sint·cost)/2)+C=(a2/2)arcsin(x/a)-(1/2)x+C5、設(shè)f(x)=e-x，則∫xf’(x)dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+1)e-x+C知識(shí)點(diǎn)解析：∫xf’(x)dx=∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=xe-x-∫e-xdx=(x+1)e-x+C6、已知f″(x)連續(xù)，則不定積分∫xf″(x)dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf’(x)-f(x)+C知識(shí)點(diǎn)解析：∫xf″(x)dx=∫xddf’(x)=xf’(x)-∫f’(x)dx=xf’(x)-f(x)+C7、不定積分∫xln(x-1)dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(x2/2)ln(x-1)-x2/4-x/2-ln(x-1)/2+C知識(shí)點(diǎn)解析：∫xln(x-1)dx=∫ln(x-1)d(x2/2)=(x3/2)ln(x-1)-(1/2)∫x2·[1/(x-1)]dx=(x2/2)ln(x-1)-∫(1/2)∫[(x2-1+1)/(x-1)]dx=(x2/2)ln(x-1)-(1/2)∫[x+1+1/(x-1)]dx=(x2/2)ln(x-1)-x2/4-x/2-ln(x-1)/2+C8、不定積分∫xtan2xdx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xtanx+ln｜c(diǎn)osx｜-(1/2)x2+C知識(shí)點(diǎn)解析：∫xtan2xdx=∫x(sec2x-1)dx=∫xd(tanx)-(1/2)x2=xtanx-∫tanxdx-(1/2)x2=xtanx+ln｜c(diǎn)osx｜-(1/2)x2+C二、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)9、計(jì)算不定積分∫(x-1/2-e3x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫(x-1/2-e3x)dx=∫x-1/2dx-∫e3xdx=2x1/2-(1/3)e3x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、計(jì)算不定積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：=∫(x5/6-x-5/6)dx=(6/11)x11/6-6x1/6+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、計(jì)算不定積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求不定積分∫[e2x/(1+e4x)]dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫[e2x/(1+e4x)]dx=(1/2)∫[1/(1+(e2x))2]de2x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)