云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共210題）

云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷1（共9套）（共210題）云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第1套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、討論函數(shù)f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)內(nèi)的不可導點的個數(shù)。標準答案：故f(x)在x=1處也不可導。故函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)的不可導點的個數(shù)為2。知識點解析：暫無解析2、求曲線y=3x2-4x+5在點(1，4)處的切線方程和法線方程。標準答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由導數(shù)的幾何意義可知曲線在點(1，4)處的切線斜率為y’(1)=2。又切線過點(1，4)，所以切線方程為y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法線的斜率為-1/y’(1)=-1/2，從而可得法線方程為y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知識點解析：暫無解析3、求經(jīng)過點(0，4)，且與曲線y=2/x相切的直線方程。標準答案：設切點為(x0，2/x0)，因為==-2/x02，所以曲線在點(x0，2/x0)處的切線方程為y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直線方程為y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知識點解析：暫無解析4、求曲線y=e-x上通過原點的切線方程及與直線x+y=2垂直的法線方程。標準答案：y’=-e-x，曲線y=e-x上任一點(x0，)處的切線方程為y-=-(x-x0)。因為切線過原點，則將x=0，y=0代入得x0=-1，則切點為(-1，e)，故過原點的切線方程為y=-ex。又曲線y=e-x上任一點(x0，)處的法線方程為y-=(x-x0)，因為所求法線與x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，則y0=1，從而所求法線方程為y=x+1。知識點解析：暫無解析5、已知曲線y=ax4+bx3+x2+3在點(1，6)處與直線y=11x-5相切，求a，b。標準答案：曲線過點(1，6)，即點(1，6)滿足曲線方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲線在點(1，6)處與y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②聯(lián)立①②解得a=3，b=-1。知識點解析：暫無解析6、設y=x3+ln3x+ln5，求y’。標準答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知識點解析：暫無解析7、設y=cos/(x2-1)，求y’。標準答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知識點解析：暫無解析8、設y=arctanx+5sinx，求y’標準答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知識點解析：暫無解析9、設y=cos3(1-2x)，求y’。標準答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知識點解析：暫無解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。標準答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知識點解析：暫無解析11、設函數(shù)f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。標準答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，則f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知識點解析：暫無解析12、已知y=arccos，求y’。標準答案：知識點解析：暫無解析13、設f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。標準答案：因為f’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知識點解析：暫無解析14、設f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。標準答案：令1/x=t，則x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知識點解析：暫無解析15、設f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(shù)(x)可導，且g(1)=1，求f’(1)。標準答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知識點解析：暫無解析16、已知y=，其中f具有一階連續(xù)導數(shù)，求y’。標準答案：知識點解析：暫無解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，計算(dy/dx)｜x=1/2。標準答案：令y=f(u)，u=2x，則dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知識點解析：暫無解析18、設y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。標準答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)y=ln(x+)的二階導數(shù)y”(1)。標準答案：知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)y=excosx的n階導數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析21、設y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。標準答案：因為y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次項為2233x6，故y(6)=22336!=77760。知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)n階可導，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計算f(n)(2)。標準答案：對f’(x)=ef(x)兩邊對x求導數(shù)得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式兩邊再對x求導數(shù)得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式兩邊再對x求導數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求導規(guī)律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知識點解析：暫無解析23、設y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所確定的函數(shù)，求dy/dx。標準答案：方程兩邊對x求導得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、函數(shù)y=(2/3)x-的駐點和極值點的個數(shù)分別是()A、1個駐點，2個極值點B、2個駐點，1個極值點C、1個駐點，1個極值點D、2個駐點，2個極值點標準答案：A知識點解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得駐點x=1，且y在x=0處不可導。當x＜0時，y’＞0，當0＜x＜1時，y’＜0，當x＞1時，y’＞0，所以x=0和x=1是函數(shù)的極值點。因此y=(2/3)x-有1個駐點，2個極值點。2、設函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y’=f’(x)的圖形如圖2-1所示，則下列結(jié)論正確的是()。A、x=-1是f(x)的駐點，但不是極值點B、x=-1為f(x)的極大值點C、x=0是f(x)的極小值點D、x=-1為f(x)的極小值點標準答案：D知識點解析：從圖形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1為f(x)的駐點。當x＜-1時，f’(x)＜0；當x＞-1時，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的極小值點，故選D。3、設函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的極大值點，且(0，f(0))不是f(x)的拐點。4、設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)可導，且f(x0)為f(x)的一個極大值，則[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2標準答案：B知識點解析：因為f(x)在點x0處可導且取得極大值，于是f’(x0)=0，故5、設兩個函數(shù)f(x)及g(x)都在點x=a處取得極大值，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在點x=a處()A、必取極大值B、必取極小值C、不可能取極值D、是否取極值不能確定標準答案：D知識點解析：A、B項反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在點x=0處取得極大值，但f(x)·g(x)=-1在點x=0處不取極值；C項反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在點x=0處取得極大值，但f(x)g(x)=x6在點x=0處取極小值。針對不同情形，F(xiàn)(x)在點x=a處是否取極佰不能確定，故選D。6、設x=x0為y=f(x)的駐點，則y=f(x)在x0處不一定()A、連續(xù)B、可導C、取得極值D、有平行于x軸的切線標準答案：C知識點解析：駐點是導數(shù)為零的點，所以A、B項一定成立，由導數(shù)的幾何意義可知D項成立。駐點不一定是極值點，故選C。7、若x=x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0)比任何點的函數(shù)值都大B、不可能存在比f(x0)大的極小值C、x0也可能是區(qū)間的端點D、以上說法都不對標準答案：D知識點解析：由題意可知在x0的某個去心鄰域內(nèi)，有f(x)＜f(x0)．極值是局部概念，可能存在比f(x0)大的極小值。但極值點不可能在區(qū)間端點取到，故選D。8、設f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導數(shù)，且xf’(x)-f(x)＜0，則f(x)/x在區(qū)間(0，a)內(nèi)()A、單調(diào)遞減B、單調(diào)遞增C、有增有減D、不增不減標準答案：A知識點解析：在區(qū)間(0，a)內(nèi)，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在區(qū)間(0，a)內(nèi)單調(diào)遞減。9、設y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，若存在唯一點x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右兩側(cè)f’(x)異號，則點x=x0必為f(x)的()A、極值點且為最值點B、極值點但不是最值點C、最值點但非極值點D、以上都不對標準答案：A知識點解析：根據(jù)題意知，x=x0為極值點，又f(x)在(a，b)內(nèi)可導，且存在唯一極值點，所以x0也為f(x)的最值點。10、設f(x)為偶函數(shù)，且二階可導，f″(0)≠0，則下列結(jié)論正確的是()A、x=0不是f(x)的駐點B、x=0不是f(x)的極值點C、x=0是f(x)的極值點D、(0，f(0))是f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由于f(x)為偶函數(shù)，因此有f(x)=f(-x)，則f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0為f(x)的駐點，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的極值點，且(0，f(0))不是f(x)的拐點。11、設f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導，且對任意的x1，x2，當x1＞x1時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意的x，f’(x)＞0B、對任意的x，f’(-x)≤0C、函數(shù)f(-x)單調(diào)遞增D、函數(shù)-f(-x)單調(diào)遞增標準答案：D知識點解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3單調(diào)遞減，排除A，B，C，故選D。D項證明如下：令F(x)=-f(-x)，當xi＞x2，則-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)單調(diào)遞增。12、函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c為實數(shù)，當a2-3b＜0時，f(x)是()A、增函數(shù)B、減函數(shù)C、常數(shù)函數(shù)D、單調(diào)性與a、b取值有關(guān)的函數(shù)標準答案：A知識點解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。當a2-3b＜0時，對于f’(x)=0，由判別式△=4(a2-3b)＜0，可知該方程無解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)為增函數(shù)。13、已知f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，則f(x)在點x=0處()A、不可導B、可導且f’(0)≠0C、取得極大值D、取得極小值標準答案：D知識點解析：因為[f(x)/(1-cosx)]＞0，在點x=0的某個去心鄰域內(nèi)有1-cosx＞0，則f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在點x=0處取極小值，故選D。14、設函數(shù)y=f(x)具有二階導數(shù)，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，則當△x＞0時，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：B知識點解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此應排除A、C項。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲線弧f(x)單調(diào)下降且為凸的，由曲線弧f(x)的圖形可知△y＜dy，故選B。15、曲線y=x3-6x2+3x+4的拐點為()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)標準答案：A知識點解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此時y=-6。當x＞2時，y”＞0；當x＜2時，y”＜0，故曲線的拐點為(2，-6)。16、曲線y=ex/(1+x)()A、有一個拐點B、有兩個拐點C、有三個拐點D、無拐點標準答案：D知識點解析：函數(shù)y的定義域為x≠-1。因為y’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定義域內(nèi)恒不等于0，且無二階不可導點，所以曲線無拐點。17、曲線y=(x+3)5+3的凸區(qū)間為()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)標準答案：A知識點解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲線的凸區(qū)間為(-∞，-3)，故選A。18、曲線y=(2-x)-1/3在(2，+∞)內(nèi)()A、單調(diào)遞增且為凸的B、單調(diào)遞增且為凹的C、單調(diào)遞減且為凸的D、單調(diào)遞減且為凹的標準答案：A知識點解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲線在(2，+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增且為凸的。19、函數(shù)y=2+cos(x/2)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)的圖形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直線標準答案：A知識點解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，當x∈(π，2π)時，y”＞0，從而函數(shù)y的圖形在(π，2π)內(nèi)為凹的。故選A。20、若曲線f(x)在(a，b)內(nèi)任意一點的切線總位于曲線弧上方，則該曲線在(a，b)內(nèi)是()A、凹的B、凸的C、單調(diào)上升D、單調(diào)下降標準答案：B知識點解析：由凹凸性的定義可知答案選B。21、若點(0，1)是曲線y=ax3+bx2+c的拐點，則有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c為任意實數(shù)D、a、b為任意實數(shù)，c=1標準答案：B知識點解析：因為(0，1)在曲線上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)為拐點，所以y”(0)=2b=0，得b=0；當a=0時，y=c=1無拐點，所以a≠0，故選B。22、曲線y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平漸近線，無垂直漸近線B、無水平漸近線，有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，也無垂直漸近線標準答案：C知識點解析：對于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因為[1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲線有水平漸近線y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲線有垂直漸近線x=-1。23、曲線y=xsin(1/x)()A、僅有水平漸近線B、僅有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，又無垂直漸近線標準答案：A知識點解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲線y=xsin(1/x)只有水平漸近線。24、曲線y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平漸近線是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1標準答案：D知識點解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲線的水平漸近線為y=-1。云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，當自變量x由x0增加到x0+△x時，記△y為f(x)的增量，dy為f(x)的微分，則()A、-1B、0C、1D、∞標準答案：B知識點解析：由微分定義得△y=f(x+△x)-f(x)=dy+0(△x)，其中0(△x)是△x→0時△x的高階無窮小，于是。2、函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù)是它在點x=x0處可微的__________條件。()A、必要不充分B、充分不必要C、充分必要D、無關(guān)標準答案：A知識點解析：函數(shù)在點x=x0處可微必連續(xù)，但連續(xù)不一定可微，所以f(x)在點x=x0處連續(xù)是它在點x=x0處可微的必要不充分條件。3、設函數(shù)y=π3-x，則dy=()A、π3-xlnπdxB、-π3-xlnπdxC、π3-xdxD、-π3-xdx標準答案：B知識點解析：因為y=π3-x，y’=-π3-xlnπ，所以dy=-π3-xlnπdx。4、已知y=，則dy｜x=4=()A、e2/4B、(e2/4)dxC、e2/2D、(e2/2)dx標準答案：B知識點解析：5、下列等式中不正確的是()A、d[1/(1+x2)]=arctanxdxB、(1/2)d(sin2x)=cos2xdxC、D、標準答案：A知識點解析：1/(1+x2)dx=d(arctanx)，所以A項錯誤。6、已知y=y(x)是由方程x2y-lny-e=0確定的函數(shù)，則dy=()A、-[(1-x2y)/2xy]dxB、[(1-x2y)/2xy2]dxC、-[2xy2/(1-x2y)]dxD、[2xy2/(1-x2y)]dx標準答案：D知識點解析：方程兩邊對x求導得2xy+x2(dy/dx)-1/(1/y)·(dy/dx)=0，整理得(dy/dx)=2xy2/(1-x2y)，則dy=[2xy2/(1-x2y)]dx。二、填空題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)7、設函數(shù)f(x)=ln(5x+2)，則=__________。標準答案：20/(5x+2)知識點解析：8、設函數(shù)f(x)在x=x0處可導，且f’(x0)≠0，則=__________。標準答案：1/[3f’(x0)]知識點解析：9、若f’(x0)=1，f(x0)=0，則hf(x0-1/h)=__________。標準答案：-1知識點解析：10、若h→0時，f(x0-3h)-f(x0)+2h是h的高階無窮小量，則f’(x0)=__________。標準答案：2/3知識點解析：由題意知[f(x0-3h)-f(x0)+2h]/h=-3[f(x0-3h)-f(x0)]/(-3h)+2=-3f(x0+2=0，即f’(x0)=2/3。11、設f(x)在x=0處可導，且f’(0)≠0，，則k=__________。標準答案：1/3知識點解析：12、設f(x)=f(x)在點x=1處可導，則a=__________，b=__________。標準答案：-π/4，π/4知識點解析：f(x)在x=1處可導，則f(x)在x=1處連續(xù)，則f(x)=f(x)=f(1)，即(ax2+b)=a+b=xcos[(π/2)x]=0=f(1)，所以a+b=0，從而b=-a。又f(x)在x=1處可導，則必有f’-(1)=f’+(1)，故2a=-π/2，則a=-π/4，b=π/4。13、設f(x)=在點x=1處可導，則a=__________，b=__________。標準答案：2e，1-e知識點解析：所以2e=a，即a=2e，b=1-e。14、設函數(shù)f(x)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)=0，f’(0)=1，若F(x)=在點x=0處連續(xù)，則常數(shù)A=__________。標準答案：3知識點解析：15、設函數(shù)f(x)=，則f’(0)=__________。標準答案：1知識點解析：16、已知函數(shù)y=x3-3x+b與x軸相切，則b2=__________。標準答案：4知識點解析：設曲線y與x軸的切點坐標是(x0，0)，在切點處有y’(x0)=3x02-3=0，即x021。又因為x03-3x0+b=0，所以b=x0(3-x02)=2x0，故b2=4x02=4。17、設曲線y=f(x)和y=x2-x在點(1，0)處有相同的切線，則f(x)在該點處的切線斜率為__________。標準答案：1知識點解析：因為曲線y=f(x)和y=x2-x在點(1，0)處有相同的切線，所以f’(1)=(x2-x)’｜x=1=(2x-1)｜x=1=1，即f(x)在該點處的斜率為1。18、已知曲線y=x2+x-2的切線x的斜率為3，則ι的方程為__________。標準答案：3x-y-3=0知識點解析：設切點為(x0，y0)。由于y’=2x+1，切線ι的斜率為3，則有y’(x0)=2x0+1=3，解得x0=1，則y0=0。因此切線Z的方程為y-0=3(x-1)，即3x-y-3=0。19、若y=x2與y=x3在某點處的切線平行，則該點的橫坐標為x=__________。標準答案：0或2/3知識點解析：設y=x2與y=x3在x=x0處的切線平行，則有2x0=3x02，即x0(3x0-2)=0，解得x0=0或2/3。20、若函數(shù)f(x)=lg(ex+2)，則[f(0)]’=__________。標準答案：0知識點解析：f(0)=lg3是一個常數(shù)，所以[f(0)]’=0。21、已知y=ln[tan(x/2)]，則y’=__________。標準答案：cosx知識點解析：y’=[1/tan(x/2)]·[tan(x/2)]’=[1/tan(x/2)]·sec2(x/2)·(1/2)=cscx。22、設y=sinx4，則dy/dx=__________。標準答案：4x3cosx4知識點解析：dy/dx=cosx4·(x4)’=4x3cosx4。23、設f(x)=x/sinx，則f’(-π/2)=__________。標準答案：-1知識點解析：由于f’(x)=[(x)’sinx-x(sinx)’]/sin2x=(sinx-xcosx)/sin2x，所以f’(-π/2)=-1。云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第4套一、證明題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、證明：若f(x)為可導的奇函數(shù)，則其導函數(shù)f’(x)為偶函數(shù)。標準答案：因為f(x)為奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x)。知識點解析：暫無解析2、已知g(x)=且f’(x)=1/[lna·f(x)]，其中a＞0且a≠1，證明：g’(x)=2g(x)。標準答案：知識點解析：暫無解析二、選擇題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)3、在區(qū)間[-1，1]上，下列函數(shù)不滿足羅爾中值定理條件的是()A、B、f(x)=ln(1+x2)C、f(x)=D、f(x)=1/(1+x2)標準答案：C知識點解析：f(x)=在[-1，0)上無意義，所以f(x)=在[-1，1]上不滿足羅爾中值定理的條件。4、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾中值定理條件的是()A、y=(1-x2)/(1+x2)，[-1，1]B、y=xe-x，[-1，1]C、y=1/(1+x)，[-1，1]D、y=lnx2，[-1，1]標準答案：A知識點解析：B選項中，y(-1)≠y(1)。C選項中，函數(shù)在x=-1處無定義。D選項中，函數(shù)在x=0處無定義。A選項中，函數(shù)在[-1，1]上連續(xù)，在(-1，1)內(nèi)可導，y(-1)=y(1)，符合羅爾中值定理的條件，故選A。5、函數(shù)f(x)=x再在區(qū)間[0，3]上滿足羅爾中值定理結(jié)論中的ξ=()A、2B、3C、0D、1標準答案：A知識點解析：6、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)平行于x軸的切線()A、不存在B、只有一條C、至少有一條D、有兩條以上標準答案：C知識點解析：由羅爾中值定理結(jié)論和其幾何意義即得C項正確。7、函數(shù)y=cos3x在區(qū)間[0，(2/3)π]上滿足羅爾中值定理結(jié)論中的ξ=()A、0B、π/4C、π/2D、π/3標準答案：D知識點解析：由于函數(shù)y=cos3x在[0，(2/3)π]上滿足羅爾中值定理的條件，因此必存在ξ∈(0，(2/3)π)，使得y’｜x=ξ=-3sin3x｜x=ξ=-3sin3ξ=0，解得ξ=π/3。8、函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-3)(x-5)，則方程f’(x)=0實根的個數(shù)為()A、2B、3C、4D、5標準答案：B知識點解析：易知f(x)在[0，5]上連續(xù)，在(0，5)內(nèi)可導，且f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0，即f(x)在[0，1]，[1，3]，[3，5]上均滿足羅爾中值定理的條件，可知存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，3)，ξ3∈(3，5)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0。又知f(x)為四次多項式，f’(x)為三次多項式，故f’(x)最多有3個零點，綜上可得f’(x)=0的實根個數(shù)為3個，故選B。9、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件的是()A、y=sinx，[0，π/2]B、y=，[-2，2]C、y=，[0，2]D、y=[-1，1]標準答案：A知識點解析：B選項中，函數(shù)在x=1處導數(shù)不存在。C選項中，函數(shù)在(1，2]上無定義。D選項中，函數(shù)在x=0處不連續(xù)。A選項中，函數(shù)在[0，π/2]上連續(xù)，在(0，π/2)內(nèi)可導，符合拉格朗日中值定理的條件，故選A。10、函數(shù)f(x)=ln2x在[1/2，e/2]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論中的ξ=()A、1/2B、e/2C、(e-1)/2D、2/(e-1)標準答案：C知識點解析：f’(x)=2/2x=1/x，f(x)在[1/2，e/2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在一點ξ∈(1/2，e/2)。使f’(ξ)=[f(e/2)-f(1/2)]/(e/2-1/2)=2/(e-1)=1/ξ，解得ξ=(e-1)/2。11、當x→0時，函數(shù)sinx+cosx-1是函數(shù)x3的()A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：B知識點解析：[(sinx+cosx-1)/x3]=[(cosx-sinx)/3x2]=∞，所以當x→0時，sinx+cosx-1是x3的低階無窮小。12、下列極限不能用洛必達法則求解的是()A、(1-e2x)/tanxB、(2x2-x-1)/(1-x)C、D、ex/xm(m＞0)標準答案：C知識點解析：C項中分子的極限(-x-1)=1≠0，分母極限(x-1)=0，不是未定式，所以不能用洛必達法則求解。故選C。13、極限(tanx-x)/x3=()A、1/3B、1/2C、1/4D、2標準答案：A知識點解析：[(tanx-x)/x3]=4[(sec2x-1)/3x2]=(tan2x/3x2)=(x2/3x2)=1/3。14、極限(ex-e-x)/x=()A、0B、1C、2D、+∞標準答案：D知識點解析：[(ex-e-x)/x]=(ex+e-x)=+∞。15、若a＞0，則極限[ln(xlnx)/xa]=()A、1B、-1C、∞D(zhuǎn)、0標準答案：D知識點解析：16、設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二階可導，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，則下列結(jié)論成立的是()A、f(0)＜0B、f’(0)＜f’(1)C、f(1)＞f(0)D、f(1)＜f(0)標準答案：D知識點解析：由f’(x)<0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是單調(diào)遞減的，故f(1)＜f(0)。由f”(x)＜0可知f’(x)在[0，1]上是單調(diào)遞減的，故f’(1)＜f’(0)。17、以下說法正確的是()A、函數(shù)f(x)的導數(shù)不存在的點一定不是f(x)的極值點B、若x=x0為函數(shù)f(x)的駐點，則x=x0必為f(x)的極值點C、若函數(shù)f(x)在點x0處有極值，且f’(x0)存在，則必有f’(x0)=0D、若函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，則f’(x0)一定存在標準答案：C知識點解析：導數(shù)為零的點稱為駐點，但駐點不一定是極值點。極值點可能是駐點，也可能是不可導點。可導一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導。故只有C項正確。18、函數(shù)y=x-ln(1+x2)的極值()A、為1-ln2B、為-1-ln2C、不存在D、為0標準答案：C知識點解析：y=x-ln(1+x2)，x∈R，y’=1-2x/(1+x2)=(x-1)2/(1+x2)0≥0，等號僅在x=1處成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)y=x-ln(1+x2)的極值不存在。19、函數(shù)y=x+1/(1+x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A、(-∞，-2)B、(0，+∞)C、(-2，-1)，(-1，0)D、(-2，0)標準答案：C知識點解析：函數(shù)的定義域為(-∞，-1)(-1，+∞)，y’=1-1/(1+x)2=[x(x+2)]/(1+x)2。當y’＜0時，解得-2＜x＜0且x=-1，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2，-1)，(-1，0)。20、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，f’(x)＞0。若f(a)·f(b)＜0，則y=f(x)在(a，b)內(nèi)()A、不存在零點B、存在唯一零點C、存在極大值點D、存在極小值點標準答案：B知識點解析：由題意知f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，且f(a)·f(b)＜0，則由零點定理以及單調(diào)性可得y=f(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一零點。21、設函數(shù)f(x)=(1+x)ex，則函數(shù)f(x)()A、只有極小值沒有極大值B、只有極大值沒有極小值C、既有極小值又有極大值D、無極值標準答案：A知識點解析：f’(x)=ex-(1+x)ex=(x+2)ex，令f’(x)=0，得唯一駐點x=-2，又x＜-2時，f’(x)＜0。x＞-2時，f’(x)＞0。從而f(x)在點x=2處取得極小值，且f(x)只有極小值，沒有極大值。22、函數(shù)y=arctanx-arccosx在區(qū)間[-1，1]上()A、單調(diào)遞減B、單調(diào)遞增C、無最大值D、無最小值標準答案：B知識點解析：y’=1/(1+x2)+＞0在-1＜x＜1時成立，于是函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間端點處取得最值。23、下列函數(shù)在給定區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)的是()A、f(x)=x3，[-1，1]B、f(x)=x2-x，[-1，1]C、f(x)=sinx，[0，π]D、f(x)=｜cosx｜，[0，π]標準答案：A知識點解析：A選項中函數(shù)在[-1，1]上是單調(diào)遞增的。B選項中，y’=2x-1，令y’=0得x=1/2，當-1＜x＜1/2時，y’＜0；當(1/2)＜x＜1時，y’＞0，故函數(shù)在(-1，1/2)內(nèi)是減函數(shù)，在(1/2，1)內(nèi)是增函數(shù)。C選項中，函數(shù)在(0，π/2)內(nèi)是增函數(shù)，在(π/2，π)內(nèi)是減函數(shù)。D選項中，函數(shù)在(0，π/2)內(nèi)是減函數(shù)，在(π/2，π)內(nèi)是增函數(shù)，故選項B、C、D在給定區(qū)間上均不是單調(diào)的，選A。三、解答題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)24、已知下列命題：命題A：函數(shù)f(x)在點x0處可導；命題B：函數(shù)f(x)在點x0處可微；命題C：函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)；命題D：函數(shù)f(x)在點x0處極限存在；命題E：函數(shù)f(x)在點x0處有定義。試給出以上五個命題之間的相互推導關(guān)系。標準答案：注：命題D和命題E之間沒有任何關(guān)系，即函數(shù)在一點處有無極限與函數(shù)在該點處有無定義沒有任何關(guān)系。知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第5套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設函數(shù)y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所確定，求dy/dx。標準答案：對方程兩端關(guān)于x求導，得cos(x2+y2)·(2x+2y·(dy/dx))+ex-y2-x·2y·(dy/dx)=0。整理得dy/dx=[y2-ex-2xcos(x2+y2)]/[2ycos(x2+y2)-2xy]。知識點解析：暫無解析2、設s=s(t)是由方程sin(ts)+ln(s-t)=t確定的函數(shù)，求(ds/dt)｜t=0。標準答案：sin(ts)+ln(s-t)=t兩邊對t求導，得cos(ts)·(s+f·ds/dt)+[1/(s-t)]·(ds/dt-1)=1。而當t=0時，s=1，代入上式得(ds/dt)｜t=0=1。知識點解析：暫無解析3、已知由方程x2+xy+y2=4所確定的隱函數(shù)為y=y(x)，求dy/dx與d2y/dx2。標準答案：方程兩端對x求導，得2x+y+x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0，解得dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)，從而d2y/dx2=[(2+dy/dx)(x+2y)-(2x+y)(1+2(dy/dx))]/(x+2y)2=-[6(x2+xy+y2)]/(x+2y)3=-24/(x+2y)3。知識點解析：暫無解析4、設y=xx+xa+ax+aa(x＞0，a＞0且a≠1)，求dy/dx。標準答案：由于(xx)’=(exlnx)’=exlnx(xlnx)’=exlnx(1+lnx)=(1+lnx)xx，(xa)’=axa-1，(ax)’=axlna，(aa)’=0，故dy/dx=(1+lnx)xx+axa-1+axlna。知識點解析：暫無解析5、求函數(shù)y=的導數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析6、求冪指函數(shù)y=(lnx)x的導數(shù)。標準答案：b=(lnx)x兩端取對數(shù)得lny=xln(lnx)，上式兩端對x求導數(shù)得(1/y)y’=ln(lnx)+[x(1/lnx)]·(1/x)=ln(lnx)+1/lnx，于是y’=(lnx)x[ln(lnx)+1/lnx]。知識點解析：暫無解析7、設y=(1+x)1/cosx，求y’。標準答案：因為y=(1+x)1/cosx=e[ln(1+x)/cosx]，所以知識點解析：暫無解析8、已知y=，求y’。標準答案：等式兩邊取對數(shù)，得lny=2ln(x+2)+(1/2)ln(x-3)-3ln(1-x)-x，知識點解析：暫無解析9、設y=y(x)由所確定，求dy/dx。標準答案：知識點解析：暫無解析10、設y=y(x)由所確定，求dy/dx。標準答案：dx/dt=5t4，dy/dt=lnt+t·(1/t)=lnt+1，故dy/dx=(1+lnt)/5t4。知識點解析：暫無解析11、設y=y(x)由所確定，求dy/dx。標準答案：dx/dt=3cost,dy/dt=-2sintcostdy/dx=-2sintcost/3cost=(-2/3)sint。知識點解析：暫無解析12、設y=y(x)由方程所確定，求(dy/dx)｜x=1。標準答案：dx/dt=2et+2tet=2(t+1)et，dy/dt=3t2-3，dy/dx=(3t2-3)/[2(t+1)et]=3(t-1)/2et。當x=1時，t=0，所以(dy/dx)｜x=1=[3(t-1)/2et]｜t=0=-3/2。知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)y=y(x)參數(shù)方程所確定，求d2y/dx2。標準答案：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t2+2t)/[1-1/(1+t)]=(t+1)(3t+2)=3t2+5t+2，d2y/dx2=[(d/dt)(dy/dx)]/(dx/dt)=(6t+5)/[1-1/(1+t)]=[(6t+5)(t+1)]/t。知識點解析：暫無解析14、求曲線在t=0的對應點處的切線方程和法線方程。標準答案：將t=0代入方程，得切點(2，1)。又dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-e-t/2et=-1/2e2t，故曲線在t=0的對應點處的切線斜率k切=(-1/2e2t)｜t=0=-1/2，法線斜率k法=2，所以所求切線方程為y-1=(-1/2)(x-2)，即x+2y-4=0，法線方程y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0。知識點解析：暫無解析15、求曲線y+2exy=2在點(0，0)處的切線方程。標準答案：曲線方程兩邊對x求導，得y’+2(y+xy’)exy=0，所以y’=-2yexy/(1+2xexy)，因為y’｜(0，0)=0，所以曲線在點(0，0)處的切線方程為y=0。知識點解析：暫無解析16、設y=cosx/(3+sinx)(0＜x＜π)，求其反函數(shù)x=φ(y)在y=0處的導數(shù)。標準答案：y’=[-sinx(3+sinx)-cos2x]/(3+sinx)2=[(-3sinx-1)/(3+sinx)2](0＜x＜π)，令y=0得x=π/2，y’(π/2)=-1/4，所以x=φ(y)在y=0處的導數(shù)為1/[y’(π/2)]=-4。知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)f(x)=求f(x)的導數(shù)。標準答案：當x＞0時，f’(x)=cosx；當x＜0時，f’(x)=2x。當x=0時，f(0)在x=0處的導數(shù)不存在。所以f(x)在x=0處的導數(shù)不存在。知識點解析：暫無解析18、已知函數(shù)y=y(x)由方程ey=sin(x+y)確定，求dy。標準答案：將ey=sin(x+y)兩邊對x求導得ex·y’=cos(x+y)·(1+y’)，知識點解析：暫無解析19、設y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)確定的隱函數(shù)，求dy。標準答案：利用一階微分形式的不變性得2dy-dx=(dx-dy)ln(x-y)+(x-y)·[1/(x-y)](dx-dy)，所以[3+ln(x-y)]dy=[2+ln(x-y)]dx，因此dy=[(2+ln(x-y))/(3+ln(x-y))]dx。知識點解析：暫無解析求下列函數(shù)的微分：20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、y=log2(1+x2)標準答案：dy=[1/(1+x2)ln2](1+x2)’dx=[2x/(1+x2)ln2]dx。知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、曲線y=的垂直漸近線為()A、x=1B、y=0C、y=1D、x=0標準答案：D知識點解析：因為，所以x=0為曲線的垂直漸近線。2、曲線y=(1/x)+ln(1+ex)的水平和垂直漸近線的總條數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：因為y=[1/x+ln(1+ex)]=+∞，y=+ln[(1/x)+ln(1+ex)]=0，所以y=0是曲線的水平漸近線。因為y=[1/x+ln(1+ex)]=∞，所以x=0是曲線的垂直漸近線。綜上所述，曲線y=1/x+ln(1+ex)有水平與垂直漸近線共2條。3、要制作一個圓柱形有蓋鐵桶，其容積為V，要想所用鐵皮最省，則底面半徑和高的比例為()A、1：2B、1：1C、2：1D、標準答案：A知識點解析：設圓柱形鐵桶的底面半徑為r，高為h，則有V=πr2h，鐵皮的表面積S=2πrh+2πr2=2V/r+2πr2，S’(r)=-2V/r2+4πr=(4πr3-2V)/r2，令S’(r)=0，得r=，由于駐點唯一，且實際問題最值一定存在，所以r=必是最小值點，此時h=，則r：h=1:2。二、填空題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)4、函數(shù)f(x)=x3-(3/2)x2在區(qū)間[0，3/2]上滿足羅爾中值定理結(jié)論的ξ__________。標準答案：1知識點解析：f’(x)=3x2-3x=3x(x-1)，因為f(x)在[0，3/2]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點ξ∈(0，3/2)，使得3ξ(ξ-1)=0，解得ξ=1。5、函數(shù)f(x)=sin2x在區(qū)間[-π/4，π/4]上滿足羅爾中值定理結(jié)論的ξ=__________。標準答案：0知識點解析：f’(x)=sin2x，因為函數(shù)在[-π/4，π/4]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點ξ∈(-π/4，π/4)，使得sin2ξ=0，所以ξ=0。6、函數(shù)f(x)=e2x在區(qū)間[0，1]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的ξ=__________。標準答案：(1/2)ln[(e2-1)/2]知識點解析：f’(x)=2e2x，f(x)在[0，1]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，所以ξ=(1/2)ln[(e2-1)/2]。7、函數(shù)f(x)=(x-1)/x在[1，2]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的ξ=__________。標準答案：知識點解析：f’(x)=1/x2，f(x)在[1，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點ξ∈(1，2)，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)(2-1)，即1/ξ2=1/2-0，解得ξ=。8、設函數(shù)f(x)=x2+px+q，則函數(shù)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的ξ=__________。標準答案：(a+b)/2知識點解析：f’(x)=2x+p，由拉格朗日中值定理得存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(b2+pb+q-a2-pa-q)/(b-a)=b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=(a+b)/2。9、如果f(x)=c2+kx+3在區(qū)間[-1，3]上滿足羅爾中值定理的條件，則k=__________。標準答案：-2知識點解析：f(x)=x2+kx+3在[-1，3]上連續(xù)，在(-1，3)內(nèi)可導，若f(x)在[-1，3]上滿足羅爾中值定理的條件，則f(-1)=f(3)，即4-k=12+3k，解得k=-2。10、已知當x→0時，sinx-x是atanx3的等價無窮小，則a=__________。標準答案：-1/6知識點解析：11、(x2-1)/e2x=__________。標準答案：0知識點解析：[(x2-1)/e2x]=(2x/2e2x)=(2/4e2x)=0。12、ln(cosx)/x2=__________。標準答案：-1/2知識點解析：13、f(x)=ln(1+x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________。標準答案：(0，+∞)知識點解析：f(x)=ln(1+x2)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x2)，令f’(x)＞0得x＞0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)。14、f(x)=arctanx2的單調(diào)遞減區(qū)間為__________。標準答案：(-∞，0)知識點解析：f(x)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x4)，令f’(x)<0得x＜0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)。15、f(x)=x2-3x2+6x-2在[-1，1]上的最大值為__________。標準答案：2知識點解析：f’(x)=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]＞0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故f(x)在[-1，1]上的最大值為f(1)=1-3+6-2=2。16、點(1，3)是曲線y=ax3+bx2+1的拐點，則a=__________，b=__________。標準答案：-1，3知識點解析：由已知得y’=3ax2+2bx，y″=6ax+2b，因為點(1，3)是曲線y=ax3+bx2+1的拐點，則有y(1)=a+b+1=3，y″(1)=6a+2b=0，解得a=-1，b=3。17、已知函數(shù)f(x)=e-xln(ax)在x=1/2處取得極值，則正數(shù)a=__________。標準答案：2e2知識點解析：f(x)=e-xln(ax)，a＞0，x＞0，f’(x)=-e-xln(ax)+e-x·(1/x)，又x=1/2為函數(shù)f(x)的極值點，所以f(1/2)=0，從而得a=2e2，經(jīng)驗證，當a=2e2時，在x=1/2兩側(cè)鄰域內(nèi)f’(x)異號，即x=1/2是函數(shù)的極值點。18、當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數(shù))，則p=__________。標準答案：-1知識點解析：f’(x)=3x2+3p，f(x)在點x=1處取得極值，則f’(1)=3+3p=0，所以P=-1。19、若f(x)=xex，則f(n)(x)的極小值點為__________。標準答案：x=-(n+1)知識點解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f″(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f?(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，令(f(n)(x))’=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0，則x=-(n+1)，顯然當x＞-(n+1)時，f(n+1)(x)＞0；當x＜-(n+1)時，f(n+1)(x)＜0，因此f(n)(x)的極小值點為x=-(n+1)。20、函數(shù)y=x3-12x在區(qū)間[-3，33上的最小值為__________。標準答案：-16知識點解析：令y’=3x2-12=0，解得x=2或x=-2。又y(-3)=9，y(-2)=16，y(2)=-16，y(3)=9，比較可得y在[-3，3]上的最小值為-16。21、函數(shù)y=(x-2)2(x+1)2/3在區(qū)間[-2，2]上的最大值是__________，最小值是__________。標準答案：16，0知識點解析：由于y’=[2(x-2)(4x+1)]/[3(x+1)1/3]，因此函數(shù)y在區(qū)間(-2，2)內(nèi)有駐點x=-1/4、不可導點x=-1，依次求出函數(shù)在駐點、不可導點及區(qū)間端點處的值為y(-1/4)=(-9/4)2(3/4)2/3，y(-1)=0，y(-2)=16，y(2)=0，通過比較這些值的大小可知，函數(shù)y在[-2，2]上的最大值為y(-2)=16，最小值為y(-1)=y(2)=0。22、若函數(shù)f(x)在[0，1]上滿足f”(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小順序為__________。標準答案：f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)知識點解析：f″(x)＞0，則f’(x)在[0，1]上單調(diào)遞增。又由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)，故有f’(1)＞f’(ξ)>f’(0)，即f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)。23、曲線f(x)=arctanx+2x+3，則其拐點坐標為__________。標準答案：(0，3)知識點解析：函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=[1/(1+x2)]+2，f″(x)=-2x/(1+x2)2，令f″(x)=0，得x=0，f(0)=3，又當x＜0時，f(x)＞0；當x＞0時，f(x)＜0，故點(0，3)是其拐點。24、設點(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點，且函數(shù)f(x)存在二階導數(shù)，則f”(x0)=__________。標準答案：0知識點解析：拐點為二階導數(shù)為0的點或是二階不可導點，又由題意可知函數(shù)在x=x0處二階可導，故f″(x0)=0。云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第7套一、證明題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、欲做一個容積為Vm3的無蓋圓柱形儲糧桶，底面用鋁制，側(cè)壁用木板制，已知每平方米鋁的價格是木板的價格的5倍，問怎樣設計圓柱形桶的尺寸，才能使費用最少?標準答案：設儲糧桶的底面半徑為rm，高為hm，木板的單價為a元/m2，則有V=πr2h，記制作儲糧桶的費用為S(r)。則S(r)=5a·πr2+a·2πr·h=5a·πr2+a·2πr·V/πr2=a(5πr2+2V/r)，r＞0，S’=a(10πr-2V/r2)，令S’=0得r=由于駐點唯一，且實際問題存在最值，所以S在r=處取得最小值，此時h=5，因此當儲糧桶底面半徑為m，高為5m時，所用材料費用最少。知識點解析：暫無解析2、設有底面為等邊三角形的直三棱柱，體積為V，要使其表面積為最小，問底面三角形的邊長應為多少?(提示：直三棱柱的體積V=S·h，其中S為底面積，h為高)標準答案：設底面三角形的邊長為x，直三棱柱高為y，則V=x2y，y=，表面積知識點解析：暫無解析3、要做一個圓錐形的漏斗，其母線長20cm，要使其體積為最大，問其高應為多少?(提示：圓錐的體積V=(1/3)S·h，其中S為底面積，h為高)標準答案：知識點解析：暫無解析4、設一物體下端為直圓柱，上端為半球體，如果此物體的體積為V，這個物體的尺寸是多少時，才能使其表面積最小?(提示：球的表面積S=4πr2，球的體積V=(4/3)πr3，其中r為球的半徑)標準答案：設圓柱底面半徑為r，高為h，則該物體的體積V=πr2h+(2/3)πr2，表面積S=3πr2+2πrh，h=V/πr2-(2/3)r，代入S得S=(5/3)πr2+2V/r，所以S’=(10/3)πr-2V/r2，令S’=0得唯一駐點r=，此時h=，由于駐點唯一，且該實際問題最值一定存在，故r=也為最小值點，所以直圓柱的底面半徑和高均為，表面積取得最小值。知識點解析：暫無解析5、一艘輪船甲以20海里/時的速度向東行駛，同一時間另一艘輪船乙在其正北82海里處以16海里/時的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時間后，兩船相距最近?標準答案：設經(jīng)過t小時兩船相距S海里，如圖2-1所示，則S=，即S2=(82-16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2·(82-16t)·(-16)+2·20t·20，令(S2)’=0，得駐點t=2，由于駐點唯一，實際問題最值存在，故t=2也為最小值點，故經(jīng)過兩小時后兩船相距最近。知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)6、求曲線f(x)=的單調(diào)區(qū)間和極值。標準答案：x=1為函數(shù)的駐點，x=0與x=2為導數(shù)不存在的點。令f’(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞2；令f’(x)＜0，解得x＜0或1＜x＜2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)和(1，2)；極大值為f(1)=1，極小值為f(0)=f(2)=0。知識點解析：暫無解析7、求函數(shù)f(x)=log4(4x+1)-(1/2)x-log42的單調(diào)區(qū)間和極值。標準答案：f(x)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=4xxln4/(4x+1)ln4-1/2=(4x-1)/2(4x+1)。令f’(x)=0，解得x=0，當x＜0時，f’(x)＜0；當x＞0時，f’(x)＞0。所以f(x)在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；f(0)=0是f(x)的極小值。知識點解析：暫無解析8、求函數(shù)y=e2x/x的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。標準答案：函數(shù)y的定義域為(-∞，0)(0，+∞)，且y’=(2xe2x-e2x)/x2=(2x-1)e2x/x2。令y’=0，得x=1/2，當x＞1/2時，y’＞0；當x＜1/2且x≠0時，y’＜0，故y=e2x/x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1/2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)，(0，1/2)。又因為y″=(4x2-4x+2)e2x/x3=4[(x-1/2)2+1/4]e2x/x3，所以當x＞0時，y″＞0；當x＜0時，y″＜0，故函數(shù)y=e2x/x的凹區(qū)間為(0，+∞)，凸區(qū)間為(-∞，0)。知識點解析：暫無解析9、已知函數(shù)f(x)=x-4lnx，求f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值和凹凸區(qū)間。標準答案：函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f’(x)=1-4/x=(x-4)/x。令f’(x)=0，解得駐點x=4。當0＜x＜4時，f’(x)＜0；當x＞4時，f’(x)＞0，f”(x)=4/x2＞0恒成立，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間是(4，+∞)，單調(diào)減少區(qū)間是(0，4)；f(x)在x=4處取得極小值，極小值為f(4)=4-8ln2；曲線f(x)的凹區(qū)間為(0，+∞)。知識點解析：暫無解析10、求曲線y=x4-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點。標準答案：函數(shù)y=x4-2x3+1的定義域為(-∞，+∞)。且y’=4x3-6x2，y”=12x2-12x=12x(x-1)，令y”=0，得x1=0，x2=1。當x＜0或x＞1時，y”＞0；當0＜x＜1時，y”＜0。當x=0時，y=1；當x=1時，y=0，所以曲線y的凹區(qū)間是(-∞，0)，(1，+∞)，凸區(qū)間為(0，1)，點(0，1)和點(1，0)是這條曲線的兩個拐點。知識點解析：暫無解析11、求曲線f(x)=x+2x/(x2-1)的凹凸區(qū)間和拐點。標準答案：函數(shù)f(x)的定義域為x≠±1，f’(x)=1+[2(x2-1)-4x2]/(x2-1)2=(x4-4x2-1)/(x2-1)2。令f”(x)=0，得x=0，此時y=0。當x＞1或-1＜x＜0時，f(x)＞0；當0＜x＜1或x＜1時，f″(x)＜0，所以曲線f(x)的凹區(qū)間為(-1，0)，(1，+∞)；凸區(qū)間為(0，1)，(-∞，-1)，拐點為(0，0)。知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)y=x2+2/x的極值、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、拐點和漸近線。(只考慮水平和垂直漸近線)標準答案：函數(shù)的定義域為(-∞，0)(0，+∞)，y’=2x-2/x2=2(x3-1)/x2，令y’=0，得x=1。當x＞1時，y’＞0；當x＜1且x≠0時，y’＜0，所以函數(shù)y=x2+2/x在點x=1處取得極小值，且極小值為y(1)=3；函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(1，+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為(-∞，0)，(0，1)。因為y″=2(x3+2)/x3，令y”=0，得x=，此時y=0。當x＜時，y”＞0；當＜x＜0時，y”＜0；當x＞0時，y”＞0，所以點(，0)是拐點。函數(shù)的凹區(qū)間為(-∞，)，(0，+∞)；凸區(qū)間為(，0)。又因為(x2+2/x)=∞，(x2+2/x)=∞，所以曲線y=x2+2/x有垂直漸近線x=0，沒有水平漸近線。知識點解析：暫無解析13、已知點(1，1)是曲線y=ae1/x+bx2的拐點，求常數(shù)a，b的值。標準答案：由題意知ae+b=1，①又因為y’=(-a/x2)e1/x+2bx，y”=(2a/x3)e1/x+(a/x4)e1/x+26，點(1，1)是曲線的拐點，且函數(shù)在該點處二階可導。所以y”｜x=1，即2ae+ae+2b=3ae+2b=0，②由①和②解得a=-2/e，b=3。知識點解析：暫無解析14、設x=±1是f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點，求曲線f(x)的拐點。標準答案：f’(x)=3x2+2ax+b，由于x=±1是f(x)的兩個極值點，則，解得a=0，b=-3，故f’(x)=3x2-3，f″(x)=6x，當x＞0時，f(x)＞0；當x＜0時，f”(x)＜0，且x=0時，f(0)=0，所以f(x)的拐點為(0，0)。知識點解析：暫無解析15、設函數(shù)y=alnx+6x2+5x在x=1處取得極值且x=1/2為其拐點的橫坐標，求a，b的值。標準答案：由題意知y的定義域為(0，+∞)，y’=a/x+2bx+5，y”=-a/x2+26，又由已知條件可得y’(1)=a+2b+5=0，y″(1/2)=-4a+2b=0，聯(lián)立解得a=-1，b=-2。知識點解析：暫無解析16、試確定常數(shù)a，b，c，使曲線y=ax2+bx+cex有拐點(1，e)，且在該點處的切線與直線x+y=0平行。標準答案：已知直線的斜率k=-1，由條件y(1)=e，y’(1)=-1，y”(1)=0即可確定待定常數(shù)。又y’=2ax+b+cex，y”=2a+cex，由以上條件可得方程組解得a=-1-e，b=-1，c=2(1+1/e)。知識點解析：暫無解析17、設f(x)=ax3-3ax2+b(a＞0)在區(qū)間[-1，3]上的最大值為1，最小值為-3，試求常數(shù)a和b的值。標準答案：f’(x)=3ax2-6ax，令f’(x)=0，解得駐點x1=0，x2=2，因此函數(shù)在[-1，3]上的最值可能在x=0，由于a＞0，因此f(0)=f(3)=b為函數(shù)f(x)在[-1，3]上的最大值，f(-1)=f(2)=-4a+b為f(x)在[-1，3]上的最小值，即有b=1，-4a+b=-3，解得b=1，a=1。知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)f(x)滿足df(x)/de-x=x，求曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間。標準答案：由題意得df(x)=xde-x=-xe-xdx，即f’(x)=-xe-x，f″(x)=(x-1)e-x，故f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二階可導，當x＞1時，f″(x)＞0；當x＜1時，f(x)＜0，所以曲線y=f(x)的凹區(qū)間為(1，+∞)，凸區(qū)間為(-∞，1)。知識點解析：暫無解析19、已知f(x)=sinx/[x(x-1)]，求曲線f(x)的水平漸近線和垂直漸近線。標準答案：因為[sinx/x(x-1)]，所以y=0為曲線的水平漸近線；因為[(sinx/x·1/(x-1))]=-1，[sinx/x(x-1)]，所以x=1為曲線的垂直漸近線。知識點解析：暫無解析20、設k＞0，求函數(shù)f(x)=ln(1+2x)+kx2-2x的極值，并判斷是極大值還是極小值。標準答案：函數(shù)f(x)的定義域為(-1/2，+∞)。f’(x)=2/(1+2x)+2kx-2=[4kx2+(2k-4)x]/(1+2x)=[2kx(2x+(k-2)/k)]/(1+2k)，令f’(x)=0，解得x=0或x=(2-k)/2k。f″(x)=2k-4/(1+2x)2，故x=0時，f″(0)=2k-4；x=(2-k)/2k時，f″[(2-k)/2k]=k(2-k)，當2k-4＞0，即k＞2時，f(0)>0，x=0為極小值點，極小值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＜0，x=(2-k)/2k為極大值點，極大值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；當2k-4＜0，即0＜k＜2時，f″(0)＜0，x=0為極大值點，極大值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＞0，x=(2-k)/2k為極小值點，極小值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；當k=2時，f’(x)=8x2/(1+2x)≥0，函數(shù)f(x)不存在極值。知識點解析：暫無解析已知函數(shù)y=x3/(x-1)2，求：21、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；標準答案：所給函數(shù)的定義域為(-∞，1)(1，+∞)。y’=[x2(x-3)]/(x-1)3，令y’=0，得駐點x=0及x=3。y″=6x/[(x-1)4]，令y″=0，得x=0。列表討論如下：由上表可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，1)，(3，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3)；極小值為y｜x=3=27/4；知識點解析：暫無解析22、函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點；標準答案：由上表可知函數(shù)的凸區(qū)間是(-∞，0)，凹區(qū)間(0，1)，(1，+∞)，拐點為點(0，0)；知識點解析：暫無解析23、函數(shù)圖形的垂直漸近線。標準答案：由x3/(x-1)2=+∞知，x=1是函數(shù)圖形的垂直漸近線。知識點解析：暫無解析云南專升本數(shù)學（一元函數(shù)微分學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設函數(shù)f(x)可導，則y=f{f[f(x)]}的導數(shù)為()A、f’[f(x)]B、f’{f’[f’(x)]}C、f’{f[f(x)]}f’(x)D、f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)標準答案：D知識點解析：y’={f{f[f(x)])}’=f’{f[f(x)])f’[f(x)]f’(x)，故選D。2、若函數(shù)f(x)=5x，則f’(x)=()A、5x-1B、x5x-1C、5xln5D、5x標準答案：C知識點解析：f’(x)=(5n)’=5xln5。3、設f(x)=e2+，則f’(x)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：f’(x)=(e2)’+()’=1/2。4、設函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x，則f’(π/2)=()A、0B、-2C、π/2D、2π標準答案：B知識點解析：因為f’(x)=2sinxcosx+2cos2x，所以f’(π/2)=2sin(π/2)cos(π/2)+2cosπ=-2。5、若f(x-1)=x2-1，則f’(x)=()A、2x+2B、x(x+1)C、x(x-1)D、2x-1標準答案：A知識點解析：因為f(x-1)=x2-1=(x-1)(x-1+2)，故f(x)=x2+2x，則f’(x)=2x+2。6、已知f(x)在其定義域內(nèi)為可導的偶函數(shù)，且f’(-3)=-7，則f’(3)=()A、-7B、7C、3D、-3標準答案：B知識點解析：因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)，則f’(x)=f’(-x)，故f’(3)=-f’(-3)=7。7、設函數(shù)f(x)可導，則y=f(2/π)的導數(shù)y’=()A、(2/x2)f’(2/x)B、(x/2)f’(2/x)C、(-1/x2)f’(2/x)D、(-2/x2)f’(2/x)標準答案：D知識點解析：y=f(2/x)，則y’=f’(2/x)·(2/x)’=(-2/x2)f’(2/x)。8、設函數(shù)g(x)可微，h(x)=e3+2g(x)，h’(2)=4，g’(2)=2，則g(2)=()A、ln2-1B、-ln2-1C、-3/2D、3/2標準答案：C知識點解析：由已知條件h(x)=e3+2g(x)可得h’(x)=2e3+2g(x)g’(x)。令x=2，并將h’(2)=4，g’(2)=2代入得4=4e3+2g(2)，從而g(2)=-3/2。9、設函數(shù)y=x2+3x+5，則y”=()A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：y’=2x+3，y”=2。10、設y=，則y”=()A、2/xB、1/2x2C、-1/2xD、-1/2x2標準答案：D知識點解析：y″=-1/2x2。11、已知函數(shù)．y=ln(1+2x)，則y?=()A、8/(1+2x)3B、-8/(1+2x)3C、16/(1+2x)3D、-16/(1+2x)3標準答案：C知識點解析：y’=2/(1+2x)，y”=[2(1+2x)-1]’=-2(1+2x)-2·2=-4(1+2x)-2，y?=(-4)·(-2)·(1+2x)-3·2=16(1+2x)-3=16/(1+2x)3。12、已知函數(shù)y=cos2x，則y(n)=()A、sin2xB、2nsin[2x+(2/2)π]C、cos2xD、2ncos[2x+(n/2)π]標準答案：D知識點解析：(cos2x)’=-2sin2x=2cos(2x+π/2)，(cos2x)”=-2·2sin2(2x+π/2)=22cos(2x+2π/2)，…，(cos2x)(n)=2ncos(2x+nπ/2)。13、已知函數(shù)f(x)=x212+3x210-2x120-5x110+x10-1，則f(211)(2)=()A、2212B、2211C、2．211!D、2．212!標準答案：D知識點解析：因為(xn)(m)=，故f(211)(x)=[212!/(212-211)!]·x+0=212!·x，因此f(211)(2)=2·212!。14、設y=ex+e-x，則y(100)=()A、ex+e-xB、ex-e-xC、-ex+e-xD、-ex-e-x標準答案：A知識點解析：因為(ex)(