云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷2（共140題）

云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷2（共6套）（共140題）云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、曲線y=2lnx+x2+5的凸區(qū)間是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，1)知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)?0，+∞)，y’=2/x+2x，y”=-2/x2+2=2(x2-1)/x2，當(dāng)y”＜0時(shí)，0＜x＜1，所以曲線y的凸區(qū)間為(0，1)。2、已知點(diǎn)(1，1)是曲線y=x2+alnx的拐點(diǎn)，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)?0，+∞)，由y=x2+alnx得y2=2x+a/x，y”=2-a/x2。由于點(diǎn)(1，1)是曲線的拐點(diǎn)，且函數(shù)在定義域內(nèi)二階可導(dǎo)，因此y”｜t=0=2-a=0，解得a=2。3、設(shè)f(x)=ax3-6ax2+b在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2，最小值為-30，又知a＞0，則a=__________，b=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2，2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=3ax2-12ax，令f’(x)=0，則x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]上，故舍去。f(-1)=-a-6a+6=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因?yàn)閍＞0，故當(dāng)x=0時(shí)，f(x)最大，即b=2；當(dāng)x=2時(shí)，f(x)最小，所以b-16a=-30，即16a=2+30=32，故a=2。4、設(shè)曲線y=x3+ax2-6x+1的拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，則其拐點(diǎn)是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，-7)知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，y’=3x2+2ax-6，y”=6x+2a，由于曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，因此y”｜x=1=6+2a=0，解得a=-3。此時(shí)y”=6x-6。當(dāng)x＜1時(shí)，y″＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y”＞0。且當(dāng)x=1時(shí)，y=-7，因此點(diǎn)(1，-7)是曲線的拐點(diǎn)。已知函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)函數(shù)f’(x)的圖形如圖2-2所示，則5、函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=-2，x=0，x=2知識(shí)點(diǎn)解析：由圖形可知f’(-2)=f’(0)=f’(2)=0，所以駐點(diǎn)為x=-2，x=0，x=2。6、f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(-∞，-2)，(2，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樵?-∞，-2)，(2，+∞)內(nèi)f’(x)＞0，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(2，+∞)。7、f(x)的極大值點(diǎn)為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤＜-2時(shí)f’(x)＞0；-2＜x＜0時(shí)f’(x)＜0，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是x=-2。8、f(x)的極小值點(diǎn)為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?＜x＜2時(shí)，f(x)＜0；x＞2時(shí)f’(x)＞0，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)是x=2。9、曲線y=f(x)的凸區(qū)間為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(5)(-∞，-1)，(0，1)知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f’(x)在(-∞，-1)，(0，1)內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以在(-∞，-1)，(0，1)內(nèi)f″(x)＜0，所以曲線的凸區(qū)間為(-∞，-1)，(0，1)。10、曲線y=f(x)的凹區(qū)間為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(6)(-1，0)，(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f’(x)在(-1，0)，(1，+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以在(-1，0)，(1，+∞)內(nèi)f″(x)＞0，所以曲線的凹區(qū)間為(-1，0)，(1，+∞)。11、曲線y=(2x2-5)/(x-9)的垂直漸近線為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=9知識(shí)點(diǎn)解析：[(2x2-5)/(x-9)]=∞，故x=9為曲線的垂直漸近線。12、設(shè)曲線y=(x3+2x+3)/(1-2x3)，則該曲線的水平漸近線為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：y=[(x3+2x+3)/(1-2x3)]，故曲線的水平漸近線為y=-1/2。二、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)用洛必達(dá)法則求下列極限：13、(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)標(biāo)準(zhǔn)答案：[(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)]=[(2x-4)/(3x2-6x)]=[2/(6x-6)]=1/3；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、(ex-1)/(x2-x)標(biāo)準(zhǔn)答案：(ex-1)/(x2-x)=[ex/(2x-1)]=-1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、[1/x-(1/x2)ln(1+x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：[1/x-(1/x)ln(1+x)]=[x-ln(1+x)]/x2=[1-1/(1+x)]/2x=[1/2(1+x)]=1/2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、[x/(x-1)-1/lnx]標(biāo)準(zhǔn)答案：[x/(x-1)-1/lnx]=[xlnx-x+1]/[(x-1)lnx]=[(lnx+1-1)/(lnx+1-1/x)]=[(1/x)/(1/x+1/x2)]=1/2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、[ln(ex+x)/x]標(biāo)準(zhǔn)答案：[ln(ex+x)/x]=[(ex+1)/(ex+x)]=[ex/(ex+1)]=ex/ex=1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、xcot2x標(biāo)準(zhǔn)答案：xcot2x=(x/tan2x)=(1/2sec22x)=1/2；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、(lnx)1/lnx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、[(π/2-x)tanx]標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、[(xcotx-1)/x2]標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、(x+ex)1/x標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、填空題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設(shè)y=[ln(1+x)]/(1+x)，則y’｜x=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)y=1/x3-2+0．2x5+e5，則y’__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-3/x4-1/+x4知識(shí)點(diǎn)解析：y’=-3/x4-2/2+0．2·54+0=-3/x4-1/+x4。3、設(shè)y=，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、已知y=ln(cos4x)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-4tan4x知識(shí)點(diǎn)解析：y’=(1/cos4x)·(cos4x)’=(-sin4x/cos4x)·4=-4tan4x。5、已知y=arccos(2x+3)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、已知y=e-x/2cos3x，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=(e-x/2)’cos3x+e-x/2(cos3x)’=(-1/2)e-x/2cos3x-3e-x/2sin3x=(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)。7、已知f(x)=1/(1+x)滿足f(x0)=2，則f’(x0)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-4知識(shí)點(diǎn)解析：f(B5x0)=1/(1+x0)=2，所以x0=-1/2。又f’(x)=-1/(1+x)2，所以f’(x0)=f’(-1/2)=4。8、設(shè)f’(x)=g(x)，則(d/dx)[f(sin2x)]=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g(sin2x)sin2x知識(shí)點(diǎn)解析：(d/dx)[f(sin2x)]=f’(sin2x)·(sin2x)’=2sinxcosx·f’(sin2x)=g(sin2x)sin2x。9、設(shè)f(x)=x2e1/x，而h(t)滿足條件h(0)=3，h’(t)=sin2(t+π/4)，則(d/dt)[h(t)]｜t=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(5/2)e1/3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(x)=2xe1/x-e1/x，所以(d/dt)f[h(t)]｜t=0={f’[h(t)]·h’(t)}｜t=0=f’[h(0)]·sin2(0+π/4)=f’(3)·(1/2)=(5/2)e1/3。10、設(shè)y=f(3x)，其中f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3f’(3x)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=f’(3x)·(3x)’=3f’(3x)。11、已知(d/dx)[f(1/x2)]=1/x，則f’(1/2)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?d/dx)[f(1/x2)]=-f’(1/x2)(2/x3)=1/x，所以f’(1/x2)=(-x2/2)。令x2=2，則f’(1/2)=-1。12、設(shè)f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y=ef(2sinx)，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx知識(shí)點(diǎn)解析：y’=[ef(2sinx)]’=ef(2sinx)·[f(2sinx)]’·ef(2sinx)·f’(2sinx)·(2sinx)’=ef(2sinx)·f’(2sinx)·2cosx=2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx。13、若f(t)=(1+1/x)2tx，則f’(t)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2t+1)e2t知識(shí)點(diǎn)解析：f(t)=t(1+1/x)2tx=t[(1+1/x)x]=te2t，f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t。14、設(shè)函數(shù)y=cos(3+2x)，則y?=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：8sin(3+2x)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥=cos(3+2x)，所以y’=-2sin(3+2x)，y”=-4cos(3+2x)，y?=8sin(3+2x)。15、已知y=，則y”=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[-a2/(a2-x2)]3/2知識(shí)點(diǎn)解析：y’==[-a2/(a2-x2)]3/216、已知y=(1+x2)arccotx，則y”=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2arccotx-2x/(1+x2)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=2xarccotx+(1+x2)[-1/(1+x2)]2xarccotx-1，y”=2arccotx-2x/(1+x2)。17、設(shè)y=cos2x·lnx，則y”=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2cos2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2，y’=-2cosx·sinx·lnx·lnx+cos2x·(1/x)=-sin2x·lnx+cos2x·(1/x)知識(shí)點(diǎn)解析：y”=-2cos2x·lnx-sin2x·(1/x)-2cosx·sinx·(1/x)-2cosx·-cos2x·(1/x2)=-2sin2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2。18、已知y=x2ex，則y(10)｜x=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：90知識(shí)點(diǎn)解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2-1]，y”=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x2+4x+2)=ex[(x+2)2-2]，y?=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2-3]，y(10)=ex[(x+10)2-10]，所以y(10)｜x=0=90。19、設(shè)y=(x2+x+1)66，則y(168)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y=(x2+x+1)66中x的最高次項(xiàng)為x132，所以y(168)=0。20、設(shè)y=x3+sinx，則y(10)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-sinx知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?x3)’=3x2，(x3)”=6x，(x3)?=6，…，(x3)k=0(k≥4)，(sinx)(n)=sin(x+nπ/x)，所以y(10)=(x3+sinx)(10)=0+sin(x+5π)=-sinx。21、已知y(n-2)=f(3x)，其中f任意階可導(dǎo)，則y(n)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]知識(shí)點(diǎn)解析：y(n-1)=f’(3x)·(3x)’=3xln3·f’(3x)，y(n)=[3xln3·f’(3x)]’=3xln23f’(3x)+32xln23f”(3x)=3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]。22、設(shè)y=y(x)是由方程y2+2lny=x2所確定的函數(shù)，則dy/dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xy/[y2+1]知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2y(dy/dx)+(2/y)(dy/dx)=2x，整理得dy/dx=xy/(y2+1)。23、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程exy+y2=cosx確定，則dy/dx=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-(yexy+sinx)/(xexy+2y)知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得exy[y+x(dy/dx)]+2y(dy/dx)=-sinx，整理得dy/dx=-(yexy+sinx)/(xexy+2y)。云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、證明題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、某廠生產(chǎn)x臺(tái)電視機(jī)的成本C(x)=500+250x-0．01x2，銷售收益是R(x)=400x-0．02x2，如果生產(chǎn)的所有電視機(jī)都能售出，問(wèn)應(yīng)生產(chǎn)多少臺(tái)，才能獲得最大利潤(rùn)?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x)=(400x-0．02x2)-(500+250x-0．01x2)=150x-0．01x2-500，而L’(x)=150-0．02x，令L’(x)=0，可得駐點(diǎn)x=7500，由于駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題最值存在，從而x=7500是最大值點(diǎn)。故當(dāng)生產(chǎn)7500臺(tái)電視機(jī)時(shí)，該廠能獲得最大利潤(rùn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)互相分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量(單位：噸)分別是Q1=(18-x)/2，Q2=12-x,其中x(單位：萬(wàn)元/噸)為該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格。該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本(單位：萬(wàn)元)函數(shù)是C=2(Q1+Q2)+5。試確定x的值，使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件得利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=(Q1+Q2)x-C=(Q1+Q2)x-2(Q1+Q2)-5=[(18-x)/2+(12-x)](x-2)-5=(-3/2)x2+24x則L’=-3x+24，令L’=0，得駐點(diǎn)x=8。根據(jù)實(shí)際情況，L存在最大值，且駐點(diǎn)唯一，則駐點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，又Lmax=(-3/2)×82+24×8-47=49。故當(dāng)兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格為8萬(wàn)元/噸時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)最大利潤(rùn)為49萬(wàn)元。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、某企業(yè)計(jì)劃在一年內(nèi)生產(chǎn)一批服裝a件，分若干批進(jìn)行生產(chǎn)，設(shè)生產(chǎn)每批服裝需要固定支出1000元，而每批生產(chǎn)直接消耗的費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比，已知當(dāng)每批服裝生產(chǎn)數(shù)量是40件時(shí)，直接消耗的生產(chǎn)費(fèi)用是800元，問(wèn)每批服裝生產(chǎn)多少件時(shí)，才能使總費(fèi)用y最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)每批生產(chǎn)x件，則一年內(nèi)生產(chǎn)a/x批，每批直接消耗的生產(chǎn)費(fèi)用為P，則p=kx2，又因?yàn)槊颗a(chǎn)品數(shù)量是40件時(shí)，直接消耗的生產(chǎn)費(fèi)用為800元，所以800=402k，即k=1/2，所以p=(1/2)x2，該產(chǎn)品的總費(fèi)用y=(1000+(1/2)x2)·(a/x)=1000a/x+ax/2，0＜x≤a，令y’=(-1000a/x2)+a/2=0，得x=20，y”=2000a/x3，y”(20)＞0，所以x=20為唯一極小值點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題中最少費(fèi)用必存在，故唯一的極小值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，所以當(dāng)x=20≈45時(shí)，總費(fèi)用最少。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、已知方程x4-6x2-9x=0有一正根x=3，證明：方程4x3-12x-9=0必有一個(gè)小于3的正根。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x4-6x2-9x，則f’(x)=4x3-12x-9，由題意可知f(3)=0，又有f(0)=0，f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，故由羅爾中值定理可知至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=4ξ3-12ξ-9=0，即方程4x3-12x-9=0必有一個(gè)小于3的正根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)f(x)在[1，e]上可導(dǎo)，且f(1)=0，f(e)=1。試證明f’(x)=1/x在(1，e)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=f(x)-lnx，由題意可知F(x)在[1，e]上連續(xù)，在(1，e)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)=0，F(xiàn)(e)=0，F(xiàn)’(x)=f’(x)-1/x。由羅爾中值定理得至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)-1/ξ=0。所以f’(x)=1/x在(1，e)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且恒有f″(x)＜0，證明：若方程f(x)=0在(a，b)內(nèi)有根，則最多有兩個(gè)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法：假設(shè)f(x)=0在(a，b)內(nèi)有三個(gè)根x1，x2，x3，且設(shè)a＜x1＜x2＜x3＜b，即有f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，分別在區(qū)間[x1，x2]與[x2，x3]上應(yīng)用羅爾中值定理，有f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)。又f’(x)在[ζ1，ζ2]上顯然也滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，于是有f”(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)(a，b)，這與條件f″(x)＜0矛盾，故若方程f(x)=0在(a，b)內(nèi)有根，則最多有兩個(gè)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)f(x)，g(x)均在[3，7]上連續(xù)，在(3，7)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)≠0，f(3)=0，f(7)=0。證明：存在一點(diǎn)ξ∈(3，7)，使得f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)/g(x)。顯然F(x)=f(x)/g(x)在[3，7]上連續(xù)，在(3，7)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g2(x)又F(3)=0，F(xiàn)(7)=0，故根據(jù)羅爾中值定理得存在一點(diǎn)ξ∈(3，7)，使得F’(ξ)=0，即[f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]/g2(ξ)=0。因?yàn)間(x)≠0，故f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上連續(xù)，在區(qū)間(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2。證明：至少存在一點(diǎn)ξ(0，2)，使得f’(ξ)=ξ。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-(1/2)x2，則F’(x)=f’(x)-x，F(xiàn)(0)=0，F(xiàn)(1)=3/2，F(xiàn)(2)=-2，且F(x)在區(qū)間[1，2]上連續(xù)，則由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)f∈(1，2)，使得F(c)=0。故F(x)=f(x)-(1/2)x2在區(qū)間[0，c]上滿足羅爾中值定理的條件，因此至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，c)(0，2)，使得F’(ξ)=f’(ξ)-ξ=0，即f’(ξ)=ξ。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)/(x-1)=0，證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且=0，則f(x)=0=f(1)。構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=sinx·f(x)，則F’(x)=cosx·f(x)+sinx·f’(x)，且F(0)=F(1)=0，故由羅爾中值定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、若f(x)有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，設(shè)F(x)=x3f(x)，試證明在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F?(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知F(x)有三階導(dǎo)數(shù)，又F(0)=0，F(xiàn)(1)=f(1)=0，由羅爾中值定理得存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0。又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，對(duì)F’(x)在[0，ξ1]上應(yīng)用羅爾中值定理得存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)，使F″(ξ2)=0。又F”(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f”(x)]｜x=0=0，對(duì)F”(x)在[0，ξ2]上應(yīng)用羅爾中值定理得存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)，使F?(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，k為正整數(shù)，求證：存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)。使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=f(x)(1-x)k，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)’(x)=f’(x)(1-x)k-kf(x)(1-x)k-1=(1-x)k-1[f’(x)-xf’(x)-kf(x)]。又F(0)=0，F(xiàn)(1)=0，則F(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1-ξ)k-1[f’(ξ)-ξf’(ξ)-kf(ξ)]=0。又(1-ξ)k-1≠0，故ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且在(a，b)內(nèi)g”(x)≠0，g(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，證明：在開(kāi)區(qū)(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)=f(a)g’(a)=g(a)f’(a)=0，F(xiàn)(b)=f(b)g’(b)-g(b)f’(b)=0，故F(x)在[a，b]上滿足羅爾中值定理的條件，從而至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)使F’(ξ)=0。又F’(x)=f’(x)g’(x)+f(x)g”(x)-g’(x)f’(x)-g(x)f(x)=f(x)g”(x)-f”(x)g(x)，從而f(ξ)g”(ξ)=f″(ξ)g(ξ)。又g”(x)≠0，g(x)≠0，故有f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、已知f(x)在[1，3]上連續(xù)，在(1，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)f(2)＜0，f(2)f(3)＜0，證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，3)，使得f’(ξ)-f(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知f(1)與f(2)異號(hào)，f(2)與f(3)異號(hào)，因此由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，至少存在兩點(diǎn)ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e-x3f(x)，則F(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，在(ξ1，ξ2)內(nèi)可導(dǎo)，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，因此由羅爾中值定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)，使得F’(ξ)=0。又因?yàn)镕’(x)=e-xf’(x)-e-xf(x)=e-x[f’(x)-f(x)]，因此有e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，又e-ξ＞0，則f’(ξ)-f(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)=4，f(2)=2，試讓明必存在一點(diǎn)ξ∈(0，2)，使f’(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，2]上連續(xù)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)，且在[0，1]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，故m≤[f(0)+f(1)]/2≤M。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理相關(guān)推論知至少存在一點(diǎn)c∈[0，1]，使得f(c)=[f(0)+f(1)]/2=2，又f(2)=2。所以函數(shù)f(x)在[c，2]上滿足羅爾中值定理的條件，于是必存在一點(diǎn)ξ∈(c，2)(0，2)，使f’(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，試證明對(duì)任意給定的正數(shù)a和b，在(0，1)內(nèi)必存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f’(x2)=a+b。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閍，b＞0，故0＜a/(a+b)＜1。又因f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1，故由介值定理知必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=a/(a+b)。分別對(duì)f(x)在[0，ζ]，[ζ，1]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得f(ζ)-f(0)=(ζ-0)f’(x1)，f(1)-f(ζ)=(1-ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ξ＜x2＜1)，即[a/(a+b)]/f’(x1)=ζ，[1-a/(a+b)]/f’(x2)=1-ζ?？紤]到1-a/(a+b)=b/(a+b)，并將上兩式相加，得[a/(a+b)]/f’(x1)+[b/(a+b)]/f’(x2)=1。等式兩邊同時(shí)乘以(a+b)，則存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f(x2)=a+b。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)0＜a＜b，證明不等式2a/(a2+b2)＜(lnb-lna)/(b-a)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)函數(shù)f(x)=lnx(x≥a＞0)，則由拉格朗日中值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使(lnb-lna)/(b-a)=(lnx)’｜x=ξ=1/ξ，由于0＜a＜ξ＜a，故1/ξ＞1/b，又2a/(a2+b2)＜2a/2ab=1/b，從而(lnb-lna)/(b-a)＞2a/(a2+b2)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)0＜a＜b＜1，證明不等式arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx，則f’(x)=1/(x+x2)，在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ξ2)＜1/(1+a2)＜1/(a2+b2)＜1/2ab(0＜a＜ξ＜b＜1)，所以arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在[0，c]上有定義，f’(x)存在且單調(diào)遞減，f(0)=0，證明：對(duì)于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知f(x)在[0，c]上連續(xù)，在(0，c)內(nèi)可導(dǎo)。當(dāng)a=0時(shí)，f(a+6)≤f(a)+f(b)顯然成立。當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)閇0，a][0，c]，則對(duì)f(x)在[0，a]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得f(a)-f(0)=f’(ξ)(a-0)。0＜ξ＜a，即有f(a)=af’(ξ)。再對(duì)f(x)在[b，a+b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得f(b+a)=f(b)+f’(η)a，b＜η＜a+b。因?yàn)閒’(x)單調(diào)遞減，且ξ＜a≤b＜η，則有f’(ξ)＞f’(η)，而a＞0，故af’(ξ)＞af’(η)，于是f(a+b)＜f(b)+af’(ξ)=f(b)+f(a)。綜上可知結(jié)論得證。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、解答題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)給定曲線y=1/x2，19、求曲線在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’=-2/x3可知曲線y=1/x2在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線方程為y-1/x02=(-2/x03)(x-x0)，即y=(-2/x03)x+3/x02；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求曲線的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的最短長(zhǎng)度。標(biāo)準(zhǔn)答案：切線方程y=(-2/x03)+3/x02中分別令y=0，x=0，可求得該切線在x軸，y軸上的截距分別為X=(3/2)x，Y=3/x02設(shè)該切線被兩坐標(biāo)軸所截線段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則L2=X2+Y2=(9/4)x02+(9/x04)令[d(L2)/dx0]=(9/2)x0-36/x05=0，得駐點(diǎn)x0=±。又d2(L2)/dx02=9/2+180/x06，顯然[d2(L2)/dx02]＞0，由此可知，L2在x0=±處取得極小值，由實(shí)際問(wèn)題最值存在得L2在x0=±取得最小值Lmin2=27/4，則所求最短長(zhǎng)度為L(zhǎng)min=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，證明：21、存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=f(x)-1+x，0≤x≤1，則F(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)。因?yàn)镕(0)=-1＜0，F(xiàn)(1)=1＞0，所以由零點(diǎn)定理得存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，ξ]上連續(xù)，在區(qū)間(0，ξ)內(nèi)可導(dǎo)，于是由拉格朗日中值定理得存在η∈(0，ξ)(0，1)，使得f’(η)=[f(ξ)-f(0)]/(ξ-0)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ。同樣，由題設(shè)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[ξ，1]上連續(xù)，在區(qū)間(ξ，1)內(nèi)可導(dǎo)，于是由拉格朗日中值定理得存在ζ∈(ξ，1)(0，1)，使得f’(ζ)=[(1)-f(ζ)]/(1-ζ)=[1-f(ζ)]/(1-ζ)=ζ/(1-ζ)。因?yàn)棣恰?0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，于是存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、證明題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)。證明：若f(x)不恒為常數(shù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(a)=f(b)，且f’(x)不恒為常數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，則f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)。不妨設(shè)f(x0)＜f(a)，則對(duì)函數(shù)f(x)在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得至少存在ξ∈(x0，b)(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(x0)]/(b-x0)=[f(a)-f(x0)/(b-x0)]＞0。同理可證對(duì)于f(x0)＞f(a)的情形結(jié)論也成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)f(x)在[a，b]上有連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，b-a≥4，求證：存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(＜)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=arctanf(x)，根據(jù)條件b-a≥4可知b-a＞π，且arctanf(b)-arctanf(a)≤｜arctanf(b)｜+｜arctanf(a)｜＜π，對(duì)函數(shù)arctanf(x)在區(qū)間[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在ξ∈(a，b)，使得[arctanf(x)]’｜x=ξ=f’(ξ)/[1+f2(ξ)]=[arctanf(b)-arctanf(a)]/(b-a)＜1。故存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(ξ)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)/x=1，又f(1)=1，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f″(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)二階可導(dǎo)，[f(x)/x]=1得f(0)=0，f’(0)=1，故由拉格朗日中值定理得存在c∈(0，1)，使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，又f’(0)=f’(c)=1，所以由羅爾中值定理得存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得f(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、已知F(x)=arctanx-arcsin，x∈(-∞，+∞)，證明：F(x)=0恒成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：則f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、證明：當(dāng)x＞1時(shí)，2＞3-1/x。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，(1+x)ln(1+x)＞arctanx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，則f(x)在[0，+∞]上連續(xù)，且x＞0時(shí)，f’(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x2)=ln(1+x)+x2/(1+x2)＞0，則f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f(0)=0，f″(x)在(0，+∞)內(nèi)恒大于零，證明g(x)=f(x)/x在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。標(biāo)準(zhǔn)答案：g’(x)=[f’(x)-f(x)]/x2，令φ(x)=f’(x)x-f(x)，因?yàn)棣铡?x)=f″(x)x+f’(x)-f’(x)=f″(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0時(shí)φ(x)單調(diào)遞增，即φ(x)＞φ(0)=0，所以g’(x)＞0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、證明：當(dāng)0＜x＜π/2時(shí)，sinx+tanx＞2x。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則f(x)在[0，π/2)上連續(xù)，f’(x)=cosx+sec2x-2，f″(x)=sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x-1)＞0x∈(0，π/2)，因此f’(x)在(0，π/2)內(nèi)單調(diào)遞增，故f’(x)＞f’(0)=0，因此f(x)在(0，π/2)內(nèi)單調(diào)遞增，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x，x∈(0，π/2)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、已知函數(shù)f(x)=(alnx-xlna)/x，x∈(e，+∞)，證明：當(dāng)a＞b＞e時(shí)，ab＜ba。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=[(a/x-lna)x-(alnx-xlna)]/x2=[a(1-lnx)]/x2。因?yàn)閤＞e，所以1-lnx＜0，且由題意知a＞0，故f’(x)＜0，故f(x)在(e，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，又e＜b＜a，則f(a)＜f(b)。而f(a)=0，則f(b)＞0，即alnb-blna＞0。即alnb＞blna，故ab＜ba。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、當(dāng)x＞0時(shí)，證明：。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、當(dāng)0＜x＜π時(shí)，證明sinx/2＞x/π。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=sin(x/2)-x/π，則F(0)=F(π)=0。而F’(0)=1/2-1/π＞0，F(xiàn)’(π)=-1/π＜0，判斷不出F’(x)的正負(fù)。注意到F″(x)＜0，則F(x)在0＜x＜π時(shí)是凸的。由于F(0)=F(π)-0，故F(x)＞0，即sin(x/2)＞x/π，得證。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、當(dāng)x＞0時(shí)，證明：x-x/2＜ln(1+x)＜x。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=ln(1+x)-x+x2/2，則f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，f’(x)=1/(1+x)-1+x=x2/(1+x)，x＞0時(shí)，f’(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，f(x)＞f(0)=0。所以x＞0時(shí)，ln(1+x)＞x-x2/2。令g(x)=x-ln(1+x)，則g(x)在[0，+∞)上連續(xù)，g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)。x＞0時(shí)，g’(x＞0，g(x)為增函數(shù)，g(x)＞g(0)=0，所以x＞0時(shí)，x＞ln(1+x)。綜上所述，當(dāng)x＞0時(shí)，x-x2/2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、證明：方程x3-3x+1=0有且僅有三個(gè)實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x3-3x+1，則f’(x)=3(x+1)(x-1)。當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí)，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增。因?yàn)閒(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，f(1)=1＜0，f(2)=3＞0，所以由零點(diǎn)定理及f(x)的單調(diào)性知，在(-2，-1)，(-1，1)及(1，2)內(nèi)，函數(shù)f(x)各只存在一個(gè)零點(diǎn)。故方程x3-3x+1=0有且僅有三個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、證明：方程5x+arctanx+4sinx-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=5x+arctanx+4sinx-1，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=-1＜0，f(1)=4+4sin1+arctan1＞0，即f(0)·f(1)＜0，所以由零點(diǎn)定理可知，存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0。又f’(x)=5+1/(1+x2)+4cosx＞0，則f(x)是單凋遞增的，故存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即方程5x+arctanx+4sinx-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、證明：方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx-x/e+1/2，f(x)=-∞，f(e2)=5/2-e＜0，而f(e)=1/2>＞0，所以f(x)在(0，e)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，在(e，e2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。又f’(x)=1/x-1/e，令f’(x)=0，得x=e。當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)增加；當(dāng)x＞e時(shí)，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少。所以f(x)在(0，e)，(e，e2)內(nèi)各僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，arctanx+1/x＞π/2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx+1/x，則f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，且f’(x)=1/(1+x2)-1/x2，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)閇*]91f(x)=π/2，所以f(x)＞π/2，即arctanx+1/x＞π/2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)17、已知曲線y=1/x2+2x2，則曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A、(-1/2，0)B、(1，3)C、(1，0)D、(0，0)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y’=-2/x3+4x，y’(1)=2，所以曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程為y-3=2(x-1)，即y=2x+1，令y=0，得x=-1/2，所以曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1/2，0)。18、若函數(shù)y=f(x)滿足f’(x0)=1/6，則當(dāng)△x→0時(shí)，該函數(shù)在點(diǎn)x=x0處的微分dy是()A、與△x等價(jià)的無(wú)窮小B、與△x同階非等價(jià)的無(wú)窮小C、與△x低價(jià)的無(wú)窮小D、比△x高階的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按照微分定義可知在點(diǎn)x=x0處，dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x=(1/6)△x，當(dāng)△x→0時(shí)，dy與△x為同階非等價(jià)的無(wú)窮小，故選B。三、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)19、設(shè)y=ecos2x，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2sin2xecos2xB21知識(shí)點(diǎn)解析：y’=ecos2x(cos2x)’=ecos2x(-sin2x)·(2x)’=-2sin2xecos2x。20、設(shè)函數(shù)y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定的函數(shù)，則dy/dx｜x=0=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：把x=0代入方程ln(x2+y)=x3y+sinx，得lny=0，則y=1。方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得1/(x2+y)(2x+dy/dx)=3x2y+x3(dy/dx)+cosx，把x=0，y=1代入上式，得(dy/dx)｜x=0=1。四、解答題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)21、a，b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)=在x=1處可導(dǎo)?標(biāo)準(zhǔn)答案：欲使f(x)在x=1處可導(dǎo)，首先應(yīng)使f(x)在x=1處連續(xù)．因?yàn)閒(1)=1，且故當(dāng)a=-1，b=2時(shí)，f(x)在x=1處可導(dǎo)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)函數(shù)x=x(y)由方程x=cos(xy)確定，求dx/dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同時(shí)微分，可得dx=-[sin(xy)]·d(xy)=-[sin(xy)]·(ydx+xdy)，整理后得xsin(xy)dy=[-1-ysin(xy)]dx，從而(dx/dy)=-[xsin(xy)/(1+ysin(xy))]。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，則=()A、f’(x0)B、3f’(x0)C、-3f’(x0)D、-f’(x0)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[f(x0-3h)-f(x0)]/h=-3[f(x0-3h)-f(x0)]/-3h=-3f’(x0)，故選C。2、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則=()A、(4/3)f’(0)B、(3/4)f’(0)C、(5/3)f’(0)D、f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(0)=0，且存在，則=()A、f’(5)B、f’(0)C、5f’(0)D、(1/5)f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、若f(x)在x=a處可導(dǎo)，則下列選項(xiàng)不一定正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)≠0，則下列極限存在且為零的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=處可導(dǎo)，且f(0)=0，則[xf(x)-2f(x2)]/x2()A、-2f’(0)B、-f’(0)C、f’(0)D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則[xf(x)-2f(x2)]/x2=[f(x)-f(0)]/x-2[f(x2)-f(0)]/x2=f’(0)-2f’(0)=-f’(0)。7、設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意x均滿足f(x+1)=af(x)，且f’(0)=b，其中a、b為非零常數(shù)，則()A、f(x)在x=1處不可導(dǎo)B、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=aC、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=bD、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=ab標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)，其中n為正整數(shù)，則f’(1)=()A、(-1)n-1(n-1)!B、(-1)n(n-1)!C、(-1)n-1n!D、(-1)nn!標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則“f’(x)存在且等于A”是“f’(x0)存在且等于A”的()A、充分而非必要條件B、必要而非充分條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)f(x)=｜x3-1｜φ(x)，其中φ(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，則φ(1)=0是f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)的()A、充分必要條件B、充分但非必要條件C、必要但非充分條件D、既非充分又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)f(x)在x0處有定義，但f(x)不存在，則()A、f’(x0)必存在B、f’(x0)必不存在C、f(x)必連續(xù)D、f(x)=∞標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)不存在，則f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，因此C項(xiàng)不正確。f(x)不存在時(shí)，可能f(x)=∞，也可能f(x)≠f(x)，D項(xiàng)不正確；由于可導(dǎo)必連續(xù)，則不連續(xù)必不可導(dǎo)，所以A項(xiàng)不正確，故選B。12、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，且f(x)=4，則f(1)=()A、4B、1C、1/4D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于y=f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，則y=f(x)在點(diǎn)x=1處必連續(xù)，所以有f(1)=f(x)=4。13、下列函數(shù)中，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的是()A、y=｜tanx｜B、C、y=tanx2D、y=1/x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A中，y=｜tanx｜在點(diǎn)x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相同，則y=｜tanx｜在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)；選項(xiàng)B中，y=在(-∞，0)內(nèi)無(wú)定義，則y=在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)；選項(xiàng)C中，y’=2xsec2x2，y’(0)=0，故y在x=0處可導(dǎo)；選項(xiàng)D中，y=1/x在點(diǎn)x=0處無(wú)定義；所以y=1/x在x=0處不可導(dǎo)。14、設(shè)f(x)=x2/3sinx，則f(x)在點(diǎn)x=0處()A、可導(dǎo)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、不連續(xù)D、無(wú)意義標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)f(x)=則f(x)在x=1處的()A、左、右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存在C、左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存在D、左、右導(dǎo)數(shù)都不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f’(1)=1，f+(1)=[(x2-1)/(x-1)]=(x+1)=2，f’-(1)=[(x-1)/(x-1)]=1，故選A。16、已知f(x)=，則f(x)在x=0處()A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：17、設(shè)函數(shù)f(x)=則f(x)在x=1處()A、可導(dǎo)且f’(1)=0B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、不連續(xù)D、可導(dǎo)且f’(1)=-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：18、設(shè)f(x)=在x=0處可導(dǎo)，則()A、a=1，b=0B、a=0，b為任意常數(shù)C、a=b=1D、a=1，b為任意常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：19、函數(shù)y=x2/3在x=0處()A、可導(dǎo)B、不連續(xù)C、不可導(dǎo)但有切線D、不可導(dǎo)且無(wú)切線標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)在R內(nèi)連續(xù)，則在x=0處也連續(xù)。y’=(2/3)x-1/3在x=0處無(wú)意義，所以函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)，但在該點(diǎn)處有切線x=0，故選C。20、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足[f(3)-f(3-2x)]/x=-1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線斜率為()A、3B、-3C、1/2D、-1/2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：[f(3)-f(3-2x)]/x=2[f(3-2x)-f(3)]/(-2x)=2f’(3)=-1，故f’(3)=-1/2，即曲線在點(diǎn)(3，f(3))處的切線斜率為-1/2。21、設(shè)曲線y=e2x+x-1在點(diǎn)(0，0)處與直線ι相切，則直線ι的斜率為()A、不存在B、1C、3D、-2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：y=2e2x+1，則y’(0)=3。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知直線ι的斜率為3。22、已知曲線y=4x-x2上兩點(diǎn)(4，0)，B(2，4)，且曲線上點(diǎn)P處的切線恰好平行于弦AB，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A、(1，3)B、(3，3)C、(6，-12)D、(2，4)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：弦AB所在直線的斜率為k=(4-0)/(2-4)，y’=4-2x。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則y0=4x0-x02，y’(x0)=4-2x0=-2，所以x0=3，y0=3。23、曲線y=sinx在點(diǎn)x=0處的法線方程為()A、x+2y+π/4=0B、x-y=0C、x-2y=0D、x+y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：x=0時(shí)，y=sin0=0。又y’=cosx，則曲線y=sinx在點(diǎn)(0，0)處的切線斜率k切=y’｜x=0=1，故法線斜率k法=-1，法線方程為y-0=-(x=0)，即x+y=0。云南專升本數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、證明題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、欲做一個(gè)容積為Vm3的無(wú)蓋圓柱形儲(chǔ)糧桶，底面用鋁制，側(cè)壁用木板制，已知每平方米鋁的價(jià)格是木板的價(jià)格的5倍，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)圓柱形桶的尺寸，才能使費(fèi)用最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)儲(chǔ)糧桶的底面半徑為rm，高為hm，木板的單價(jià)為a元/m2，則有V=πr2h，記制作儲(chǔ)糧桶的費(fèi)用為S(r)。則S(r)=5a·πr2+a·2πr·h=5a·πr2+a·2πr·V/πr2=a(5πr2+2V/r)，r＞0，S’=a(10πr-2V/r2)，令S’=0得r=由于駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題存在最值，所以S在r=處取得最小值，此時(shí)h=5，因此當(dāng)儲(chǔ)糧桶底面半徑為m，高為5m時(shí)，所用材料費(fèi)用最少。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)有底面為等邊三角形的直三棱柱，體積為V，要使其表面積為最小，問(wèn)底面三角形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少?(提示：直三棱柱的體積V=S·h，其中S為底面積，h為高)標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為x，直三棱柱高為y，則V=x2y，y=，表面積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)20cm，要使其體積為最大，問(wèn)其高應(yīng)為多少?(提示：圓錐的體積V=(1/3)S·h，其中S為底面積，h為高)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)一物體下端為直圓柱，上端為半球體，如果此物體的體積為V，這個(gè)物體的尺寸是多少時(shí)，才能使其表面積最小?(提示：球的表面積S=4πr2，球的體積V=(4/3)πr3，其中r為球的半徑)標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則該物體的體積V=πr2h+(2/3)πr2，表面積S=3πr2+2πrh，h=V/πr2-(2/3)r，代入S得S=(5/3)πr2+2V/r，所以S’=(10/3)πr-2V/r2，令S’=0得唯一駐點(diǎn)r=，此時(shí)h=，由于駐點(diǎn)唯一，且該實(shí)際問(wèn)題最值一定存在，故r=也為最小值點(diǎn)，所以直圓柱的底面半徑和高均為，表面積取得最小值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、一艘輪船甲以20海里/時(shí)的速度向東行駛，同一時(shí)間另一艘輪船乙在其正北82海里處以16海里/時(shí)的速度向南行駛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，兩船相距最近?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)兩船相距S海里，如圖2-1所示，則S=，即S2=(82-16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2·(82-16t)·(-16)+2·20t·20，令(S2)’=0，得駐點(diǎn)t=2，由于駐點(diǎn)唯一，實(shí)際問(wèn)題最值存在，故t=2也為最小值點(diǎn)，故經(jīng)過(guò)兩小時(shí)后兩船相距最近。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)6、求曲線f(x)=的單調(diào)區(qū)間和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=1為函數(shù)的駐點(diǎn)，x=0與x=2為導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。令f’(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞2；令f’(x)＜0，解得x＜0或1＜x＜2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)和(1，2)；極大值為f(1)=1，極小值為f(0)=f(2)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、求函數(shù)f(x)=log4(4x+1)-(1/2)x-log42的單調(diào)區(qū)間和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，f’(x)=4xxln4/(4x+1)ln4-1/2=(4x-1)/2(4x+1)。令f’(x)=0，解得x=0，當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)＞0。所以f(x)在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；f(0)=0是f(x)的極小值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、求函數(shù)y=e2x/x的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)y的定義域?yàn)?-∞，0)(0，+∞)，且y’=(2xe2x-e2x)/x2=(2x-1)e2x/x2。令y’=0，得x=1/2，當(dāng)x＞1/2時(shí)，y’＞0；當(dāng)x＜1/2且x≠0時(shí)，y’＜0，故y=e2x/x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1/2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)，(0，1/2)。又因?yàn)閥″=(4x2-4x+2)e2x/x3=4[(x-1/2)2+1/4]e2x/x3，所以當(dāng)x＞0時(shí)，y″＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，y″＜0，故函數(shù)y=e2x/x的凹區(qū)間為(0，+∞)，凸區(qū)間為(-∞，0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、已知函數(shù)f(x)=x-4lnx，求f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值和凹凸區(qū)間。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f’(x)=1-4/x=(x-4)/x。令f’(x)=0，解得駐點(diǎn)x=4。當(dāng)0＜x＜4時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x＞4時(shí)，f’(x)＞0，f”(x)=4/x2＞0恒成立，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間是(4，+∞)，單調(diào)減少區(qū)間是(0，4)；f(x)在x=4處取得極小值，極小值為f(4)=4-8ln2；曲線f(x)的凹區(qū)間為(0，+∞)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、求曲線y=x4-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)y=x4-2x3+1的定義域?yàn)?-∞，+∞)。且y’=4x3-6x2，y”=12x2-12x=12x(x-1)，令y”=0，得x1=0，x2=1。當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)，y”＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y”＜0。當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=0，所以曲線y的凹區(qū)間是(-∞，0)，(1，+∞)，凸區(qū)間為(0，1)，點(diǎn)(0，1)和點(diǎn)(1，0)是這條曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求曲線f(x)=x+2x/(x2-1)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤≠±1，f’(x)=1+[2(x2-1)-4x2]/(x2-1)2=(x4-4x2-1)/(x2-1)2。令f”(x)=0，得x=0，此時(shí)y=0。當(dāng)x＞1或-1＜x＜0時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)0＜x＜1或x＜1時(shí)，f″(x)＜0，所以曲線f(x)的凹區(qū)間為(-1，0)，(1，+∞)；凸區(qū)間為(0，1)，(-∞，-1)，拐點(diǎn)為(0，0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求函數(shù)y=x2+2/x的極值、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和漸近線。(只考慮水平和垂直漸近線)標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，0)(0，+∞)，y’=2x-2