新人教A版必修一 函數(shù)及其表示 教案

函數(shù)及其表示

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

函數(shù)及其表示A了解函數(shù)的相關(guān)概念及常用的表示少考

方法。

函數(shù)的相關(guān)概念Blo理解函數(shù)的定義及構(gòu)成函數(shù)的要少考

素；

2o會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值

域；

3.亍解同一函數(shù)的定義，會(huì)判斷兩

個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

函數(shù)的表示方法C在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要少考

選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表

法、解析法)表示函數(shù)。

知識(shí)提要

函數(shù)及其表示

函數(shù)及其表示主要包括函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法以及映射.

函數(shù)的相關(guān)概念

?函數(shù)的概念設(shè)a,B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系小使對(duì)于集合a中的任意

一個(gè)數(shù)居在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(%)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱六4TB為從集合A到集合B

的一"個(gè)函數(shù)(function).記作：

y=f{x),x6A.

其中，式叫做自變量，自變量取值的范圍(數(shù)集A)叫做這個(gè)函數(shù)的定義域.y叫做因變量，與x

的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)在x處的函數(shù)值，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合

{y\y=fM,xeA}

叫做這個(gè)函數(shù)的值域.

?相同函數(shù)的概念如果兩個(gè)函數(shù)的自變量取值集合相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱

這兩個(gè)函數(shù)為相同函數(shù).相同函數(shù)的圖象是一致的，圖象一致的函數(shù)必然是相同函數(shù).

?連續(xù)數(shù)集的區(qū)間表示研究函數(shù)時(shí)常用到區(qū)間的概念.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b,我

們規(guī)定：

①滿足不等式a《無(wú)4b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為［a,b］；

②滿足不等式a<x<6的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

③滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合以及滿足不等式a<x4b的實(shí)數(shù)x的集合都叫做半

開半閉區(qū)間，分別表示為［a,6)和(a,這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).

?實(shí)數(shù)集的區(qū)間表示實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-8,+8),“8”讀作“無(wú)窮大”.我們可以把

滿足工》a,%><b,x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為［a,+8),(a,+8),(-oo,h］,

(一8").

函數(shù)的表示方法

?函數(shù)的表示方法有三種：解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法用圖

象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

精選例題

函數(shù)及其表示

1o若函數(shù)/(%)=2%-1,則/(3)=.

【答案】5

2.函數(shù)f(%)由下表確定：

x1234

f(x)3579

則下列函數(shù):①x+l；②2x+l；③無(wú)2+2;④|中能作為函數(shù)/Q)表達(dá)式的是.

【答案】②

3o已知集合M={1,2,3,m},N=［4,7,n4,n2+3n}(m,neN),映射=3x+1是從M到N的

一個(gè)函數(shù)，則771-71=.

【答案】3

臬已知函數(shù)〃)={；(%*,w(-g=---------

【答案】-2

232

5.由等式+Atx+A2x+23=（X+I）+gt（x+l）+?2（X+1）+〃3定義映射

f-（41，幾2，幾3）T（41，"2,附），則/（l，2,3）=（）.

【答案】（-2,3,1）

6.在下列從4到B的對(duì)應(yīng)：

①a=R,B=R,對(duì)應(yīng)法則六比7y=/；

②人二&B=R,對(duì)應(yīng)法則

③4=（0,+8）,B={y\y0},對(duì)應(yīng)法則f:xfy=±依；

@A=N*,B={-1,1},對(duì)應(yīng)法則廣x7y=（-1尸.

其中是函數(shù)的有.

【答案】①④

7.下列集合4到集合B的對(duì)應(yīng)f中：

①人二]—1,0,1},B={-1,0,1）./：4中的數(shù)平方；

②4={0,1},B=[-1,0,1},中的數(shù)開方；

③4=Z,B=Q/：A中的數(shù)取倒數(shù)；

@A=R,8={正實(shí)數(shù)},/：4中的數(shù)取絕對(duì)值，

是從集合A到集合B的函數(shù)的為.

【答案】①

【分析】其中②，由于1的開方數(shù)不唯一，因此/不是4到8的函數(shù)；

其中③,4中的元素。在B中沒有對(duì)應(yīng)元素；

其中④，4中的元素。在B中沒有對(duì)應(yīng)元素.

8.已知-y=\x\+1是從集合R到R+的一個(gè)映射，則元素4在R中的原象是—

【答案】3或-3

9o已知fC一1）=2x+3,貝仔（4）=.

【答案】23

10.已知集合4={1,2,巾}與集合B={4,7,13},若六萬(wàn)+y=3x+1是從4到8的映射，則

m=.

【答案】4

【分析】由八無(wú)）=3x+1,得3X1+1=4,

3x24-1=7,由集合中元素的互異性得3nl+1=13,m=4.

11.某學(xué)習(xí)小組共有5名學(xué)生，一次期末考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)成績(jī)?nèi)绫砀袼?

7斗目

姓軍、語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)總分

張軍100100100300

李偉909090270

劉平110110110330

王剛808080240

李明707070210

試問：若以5名同學(xué)組成集合4各科成績(jī)組成集合8,總分組成集合C.

（1）集合4到集合8是映射嗎?集合B到集合4呢？

【解】集合4到集合5不是映射，因?yàn)槊棵瑢W(xué)對(duì)應(yīng)三個(gè)成績(jī)；

而集合B到集合2是映射，其中每三個(gè)成績(jī)對(duì)應(yīng)一名同學(xué)，是多對(duì)一，符合映射定義.

（2）集合4到集合C是映射嗎？是一一映射嗎？若是映射，是函數(shù)嗎？

【解】集合4到集合C是映射，且是一一映射，

因?yàn)榧狭χ忻恳幻瑢W(xué)在集合C中都有唯一一個(gè)總分與之對(duì)應(yīng)，故是映射，

又集合C中的每一個(gè)總分，在集合4中都有唯一的同學(xué)（原象）對(duì)應(yīng).故是一一映射.

該映射不是函數(shù)，

因?yàn)榧?不是數(shù)集.

12?如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形邊上有一點(diǎn)P（不包含48兩點(diǎn)），P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

是B-C-。-A.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為％,△4PB的面積為%求y與％之間的函數(shù)解析式.

【解】當(dāng)0<%<4時(shí),SMPB=iX4%=2%；

當(dāng)4<%<8時(shí),S-PB=|x4x4=8；

當(dāng)8V%(12時(shí)，S^APB=|x4-(12-x)=24-2%.

,2x,0<%<4,

所以y=8,4<%48,

24—2x,8<%<12,

13o畫出下列函數(shù)的圖象.

(1)丫=%+1(|%]42且％€2)

【解】y=%+1(|%|42且％￡Z),圖象對(duì)應(yīng)的是五個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(—2,-1),

(—1,0),(0,1),(1,2),(2,3),圖象如下:

⑵y=4

【解】y=￥=｛量/0的圖象如下圖所示:

3-N

2-七

ll------------

14.如圖，直線11%軸，從原點(diǎn)開始向右平行移動(dòng)到％=8處停止，他掃過△力。B所得圖形的面

積為S,他與％軸的交點(diǎn)為(%,0).

(1)求函數(shù)S=f(%)的解析式;

【解】由題設(shè)％的范圍為[0,8],求面積S的解析式，需分段考慮:0<%<4和4<x<8.

當(dāng)0<%<4時(shí)，直線。4的解析式為一次函數(shù)y=x,S=f(x)=1x2；

2

當(dāng)4<%<8時(shí)，直線的解析式為一次函數(shù)y=-％+8,S=/(%)=SLAB0-1(8-%)=

--%2+Qx—16.

2

(-X2,0<%<4

所以S=f(x)=<2

(2)求函數(shù)S=f(%)的定義域，值域；

【解】S=/(%)的定義域?yàn)閇0,8],

當(dāng)0<%<4時(shí),/(%)e[0,8),

當(dāng)4<%<8時(shí)，/(%)G[8,16].

所以函數(shù)的值域是[0,8)U[8,16]=[0,16].

(3)作出函數(shù)S=f(%)的圖象.

【解】

15o甲地到乙地的高速公路長(zhǎng)1500km,現(xiàn)有一輛汽車以100km/h的速度從甲地勻速行駛到

乙地，寫出汽車離開甲地的距離skm關(guān)于時(shí)間th的函數(shù)，并求出定義域.

【解】因?yàn)槠囋诩住⒁覂傻貏蛩傩旭偅?/p>

所以s=100t,

因?yàn)槠嚨男旭偹俣葹?00km/h,兩地的距離為1500km,

所以從甲地到乙地所用的時(shí)間為15h,

故所求函數(shù)為s=loot,te[0,15].

16.若六%-y=3x+1是從集合4={1,2,3,哥到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一個(gè)映射，求自

然數(shù)a,k的值及集合48.

【解】依題意，當(dāng)尤=1時(shí)，、=4;當(dāng)萬(wàn)=2時(shí)，y=7；當(dāng)％=3時(shí)，y=10.

由于a是自然數(shù)，所以：/：10,則a2+3a=10,

解得a=2或a=—5(舍去)，則8={4,7,10,16}.

由于心力1,2,3,所以當(dāng)x=k時(shí)，y=16,得k=5,A={1,2,3,5).

17.判斷以下各式是否表示y關(guān)于x的函數(shù)：

(1)y=4x2—5；

【解】是函數(shù)，

(2)y-+x;

【解】不是函數(shù)關(guān)系；

(3)y=Vx—3+V2—x；

【解】因?yàn)闊o(wú)的取值范圍是空集，所以不是函數(shù)關(guān)系；

(4)x2+y2=9.

【解】對(duì)于一個(gè)x的值有兩個(gè)y的值與它對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，所以不是函數(shù)關(guān)系.

18.某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品時(shí)的能耗y與產(chǎn)品件數(shù)%之間的關(guān)系式為：y=ax+\且當(dāng)x=2

時(shí),y=100；當(dāng)％=7時(shí)，y=35.且此產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)不超過20件.

(1)寫出函數(shù)y關(guān)于x的解析式；

2a+弓=100,

(4a+b=200,

【解】將I：-ion-4代入y=ax+'中,

(y=100,(y=35'x7a+T=35(49a+b=245

(a=1,

lb=196.

所以所求函數(shù)解析式為y=%+詈(％eN,0<x<20).

(2)用列表法表示此函數(shù)，并畫出圖象.

【解】當(dāng)久e1,2,3,4,5,…,20時(shí)，歹!］表:

Xi2345678910

y19710068.35344.238.73532.530.829.6

X11121314151617181920

y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8

依據(jù)上表，畫出函數(shù)y的圖象如圖所示,是由20個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)列.

200-

180-

160-

140-

120-

100-?

80-

60-,?

40-*?..

20-......*........

GI；2；弋

19o已知函數(shù)f(%)=+%.

(1)求八一1)的值;

【解】f(-D=o.

(2)求f[/(2)]的值;

【解】f[/⑵]=[/⑵]+/⑵=⑵+2)2+22+2=42.

(3)求/。-1)的表達(dá)式.

【解】f(x—1)=(X—1)2+x—l=x2—X.

20.設(shè)4={(x,y)|x+y<3,且|x|<2,x€Z,y€N+},B={0,1,2},/:{x,y}x+y,判斷/

是否為A到B的映射.

【解】列舉法寫出集合4

A={(0,1),(0,2),(1,1),(-1,1),(-1,2),(—1,3)},B=[0,1,2),/為4到B的映射.

函數(shù)的相關(guān)概念

1.已知函數(shù)f(%)與g(%)分別由下表給出，那么g(f(2))=.

x1234

f(x)2341

x1234

g(O2143

【答案】4

2o設(shè)函數(shù)f(%)=爐+3/+1.已知。。0,_§,/(%)—/(a)=(%—h)(x—d)2,x6則實(shí)

數(shù)a=,b=.

【答案】-2；1

【分析】本題考查對(duì)函數(shù)形式的理解與判斷，可以借助方程來(lái)處理，要注意a、b是方程的根.

【解】因?yàn)?/p>

/(%)—/(a)=(%3+3x24-1)—(a3+3a2+1)

=(%3—a3)+(3x2—3a2)

=(x—a)[x2+(a+3)%+(a2+3a)].

由題意可得a、b是方程%2+(a+3)%+(M+3q)=o的兩個(gè)根，于是看

a2+(a+3)a+(a24-3a)=0,

CLb——(a+3),

ab=a23a.

解得a=-2(Q=0舍去)/=1.

3.設(shè)函數(shù)f(久)=x3cosx+1.若f(a)=11,則/(-a)=.

【答案】-9

【分析】由題可得，/(a)=a3cosa+1=11,則/'(—a)=—c^cosa+1=-9.

4.下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)中是集合力到集合B的函數(shù)的有.

⑴設(shè)4={1,2,3,4},B=[3,4,5,6,7,8,9},對(duì)應(yīng)法則f:xt2x+1；

(2)設(shè)4={0,1,2},B={-1,0,1,2},對(duì)應(yīng)法則f:XTy=2x—l；

(3)設(shè)4=N*,B={0,1}對(duì)應(yīng)法則/':xfx除以2所得的余數(shù)；

(4)A=B=R,對(duì)應(yīng)法則f:x7y=±V%-

【答案】⑴(3)

5.設(shè)函數(shù)/'(X)=生，若/(a)=2,則實(shí)數(shù)a=________.

1-X

【答案】-1

6.給定k€N*,設(shè)函數(shù)滿足:對(duì)于任意大于k的正整數(shù)n,f(n)=n-k.

(1)設(shè)k=1,則其中一個(gè)函數(shù)f在n=1處的函數(shù)值為;

(2)設(shè)k=4,且當(dāng)n44時(shí)，24f(n)43,則不同的函數(shù)/■的個(gè)數(shù)為.

【答案】m(me^*)；16

【解】(1)由題可知/'(n)e"*,而k=l時(shí)，n〉l則

f(n)—n—1EN*,

故只須f(l)e"*,故

/(I)—m,(mE"*);

(2)由題可知k=4,n>4,貝l]

/(n)=n—46N*,

而n<4時(shí)，

2<f(n)<3,

即f(n)e{2,3},即

ne{l,2,3,4),/(n)6{2,3},

故不同的函數(shù)/的個(gè)數(shù)為24=16.

7o設(shè)函數(shù)/(%)滿足f(x)>0和f(a+b)=f(a)"(b),且f(2)=4,則雜+編+…+

/(2012)_

7(2011)

【答案】2012

【分析】由f(a+b)=f(a)"(b),令a=1,b=1,可得f(l)=2,

令。=九，b=1,得/(n+1)=f(n)"(1),所以戲；：).=f⑴=2,

所以黑+黑+…+9W=2+2+…+2=2x1006=2012.

/(I)f(3)/(2011)

8.已知f(0)=1,f(n)=nf(n—l)(nGN+),貝(Jf(4)=.

【答案】24

【分析】利用條件將值代入進(jìn)行推導(dǎo)f(l)=/(0)=1,f(2)=2xf(l)=2/(3)=3x

/(2)=6,f(4)=4xf⑶=24.

9o下列各對(duì)函數(shù)中，圖象完全相同的是.

①y二%與)7=Vx2；

@y=(與y=x°；

③丫=(?)2與y=\x\;

@y=V%+1,A/%—1與y=J(%+1)(%—1).

【答案】②

10?函數(shù)=，則/[/(-2)]=________

1x(%—2),%V0

【答案】1

Ho已知.(%)=產(chǎn)1+RXJ^/(l)+/(a+l)=5,求a的值.

—4),%<U,

【解】f(l)=1x(1+4)=5,

因?yàn)閒(1)+f(a+1)=5,所以f(a+1)=0.

當(dāng)a+l》0,即a》-1時(shí)，有(a+l)(a+5)=0,所以a=-1或a=-5(舍去).

當(dāng)a+1<0,即a<—1時(shí)，有(a+l)(a—3)=0,無(wú)解.

綜上可知a=-1.

x+4,%(0,

12?已知函數(shù)/。)=?/一2x,0V%44,

—x+2,x>4,

(1)求/'(『(『(5)))的值;

【解】因?yàn)?>4,

所以f(5)=-5+2=-3.

因?yàn)橐?<0,

所以/V⑸)=/(-3)=—3+4=1,

因?yàn)?<1<4,

所以/(f(f(5)))=/(1)=12-2X1=-1,

即/'(TV⑸))=T.

(2)畫出函數(shù)的圖象.

【解】

13.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：

①+y)=f(x)?f(y)對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立;

②存在實(shí)數(shù)x2,使f(Xi)K

(1)求證:/(0)=1.

【答案】略.

【解】得f(0)=[f(0)]2,

解之下(0)=0或/(0)=1.

若/(0)=0,則f(X)=/(%+0)=f(x)-/(0)=0,

這與條件②矛盾.

所以/'(0)豐0,所以/'(0)=1.

(2)求證：/(x)>0.

【答案】略.

【解】因?yàn)閒⑺=/(|+|)=[/g)]2>o,

故只需證明/停)40.

假設(shè)存在比0,使/'(￡)=(),

則/(0)=f停_?=/停)/(—用=0，

這與/(。)工0矛盾.

所以/?不°,所以f(無(wú))>0?

14o已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n都有+n)=/Gn)/(n),且當(dāng)x>0時(shí),

0<于(x)<1.

(1)證明：/(0)=1,且無(wú)<0時(shí)，f(x)>1；

【解】令m=0,n=l,貝葉(0+1)=/(0)/(1),

??,當(dāng)x>0時(shí)，0</(%)<1,故/(I)>0,

f(0)=1,

,?,當(dāng)x>0時(shí)，0</(無(wú))<1,

二當(dāng)％<0時(shí)，-%>0,則/'(-%+x)=/■(-%)/'(無(wú))，

?心=應(yīng)=」>1

(2)證明：/(x)在R上單調(diào)遞減；

【解】任取久1，&eR,且<x2,則

八比2)-/Ui)=/[(無(wú)2一比1)+無(wú)1]一f01)

=/'(無(wú)2-Xl)f3)-/(無(wú)1)

=[/(無(wú)2—尤1)-

X2—>0,則不—%I>0,

0<f(jx2—久1)<1,故/'(無(wú)2—%1)-1<0.

又/■(無(wú)1)>0,.,?[/(比2-％1)-1]/■(無(wú)1)<0,故/01)>/'(久2).

/(X)是R上的單調(diào)減函數(shù).

(3)設(shè)力={(x,y)|/'(久2)/(y2)>?])},B={(x)y)?y(ax-y+2)=l,aeR},若

AnB=0,試確定a的取值范圍.

【解】

A={(x,y)I/(x2)/(y2)>/(I)}={(x,y)I/(x2+y2)>/(I)}

由(2)知，/(%)是R上的減函數(shù)，.,?/+必<1.

vB={(x,y)|/(ax—y+2)=1,a6R}={(x,y)Ia%—y+2=0,a€R}.

又???ACB=0,.??方程組產(chǎn)六1c無(wú)解，

即直線ax-y+2=。與單位圓％2+y2<1的內(nèi)部無(wú)公共點(diǎn)，

???萼=>1,得一代<a<V3.

Va2+1

故a的取值范圍是—V5<a<V3.

15o已知幕函數(shù)f(%)=-3為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)(mGN*且m>2).

(1)求/(%);

【解】因?yàn)榘藷o(wú))在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，所以巾2—巾—3<0,即上/<根<匕/.

又租GN*且m>2,所以zn=2,于是血？—m—3=4—2—3=—1,所以/(%)=%-1,符

合題意.

(2)比較f(—2011)與/(一2012).

【解】因?yàn)榇四缓瘮?shù)為奇函數(shù)，所以

/(-2011)=-/(2011)=-2011-1=_募門-2012)=-/(2012)=-2012-1=一薪因

為一^7<—所以/'(-2011)</'(-2012).

16o由下列式子是否能確定y是x的函數(shù)?

(1)x2+y2=2；

【解】由/+y2=2得丫=±V^二因此由它不能確定y是％的函數(shù)，如當(dāng)％=1時(shí)，由它

所確定的y的值有兩個(gè)為±1.

(2)V^=I+Jy-l=1；

__________________2

【解】由〃-1+Jy-1=1,得y=(1—V%—1)+1,所以當(dāng)％在｛%I%>1｝中任取一

個(gè)值時(shí)，由它可以確定唯一的y的值與之對(duì)應(yīng)，故由它可以確定y是久的函數(shù).

(3)y=V%—2+V1—%.

【解】由得X60，故由它不能確定y是X的函數(shù).

17.已知/(%)=(x2+%+l)n(nGN*),g(%)是關(guān)于％的2n次多項(xiàng)式；

CD若/(/%(%)=0(%3)恒成立，求g(l)和(一1)的值；并寫出一個(gè)滿足條件的gQ)的表達(dá)

式，無(wú)需證明.

【解】令%=1,則/⑴g(l)=g⑴，即g⑴?[/⑴-1]=0,

因?yàn)閒(1)—1=3九一1。0,所以g(l)=0；

令》=—1,則f[(—l)2]g(—1)=g[(—1)3],即f(l)g(_l)=g(-l),

即g(—l)?[/(I)-1]=o,因?yàn)閒(l)-1=3、-LW0,所以g(-l)=o；

例如g(%)=(%2—l)n(nGN*).

(2)求證：對(duì)于任意給定的正整數(shù)心都存在與%無(wú)關(guān)的常數(shù)劭，口1，。2，…，。九，

2n2n-122n-2nrn+1n

使得/(%)=a0(l+x)+a^x+x)+a2(%+x)H-----Fan_r(x~+x)+anx.

【解】當(dāng)n=l時(shí)，/(%)=%2+%4-1=(%2+1)+x,故存在常數(shù)a。=I,%=1,

2

使得f(%)=a0(l+%)+arx.

假設(shè)當(dāng)n=Z(fceN*)時(shí)，都存在與%無(wú)關(guān)的常數(shù)的,。1"2，…，以，

使得

2fc2fc-122k2fc-1fc+1k

/(%)=a0(l+x)4-ar(%4-x)+a2(x+x~)+—Fafc_1(x+x)+akx,

即

2k2fe2fc-122k-2fc-1fe+1

(%+%+l)=a0(l+%)+(%+x)+a2(%+x)4----卜afe_1(x+x)

k

+akx.

則當(dāng)ri=k+1時(shí)，

f(%)=(%2+%+l)fc+1=(x24-%+1)?(%2+%+l)fc

22fckfc+1k

=(%+x+1)-[a0(l+x)+%(%+x2T)4--卜以一式/T+x)+akx]

krkk+12fc

=(a0+%%+—.ak_rx~+akx+ak_rx+—F+a0x)+

kk+1k+22k2k+1

(aox++...+ak_rx+akx+ak_rx+…+arx+a0x)+

23k+rk+2k+32k+12fc+2

(a0x+arxH----Fak_rx+akx+ak_rx+…+arx+a0x)

23/c-1

=a0++a0)x+(a2+4-a0)x+(a34-a2+^)%4----1-(afc_1+ak_2+afc_3)x+

kfc+1k+2

(.++ak_2)x+(2a._x+ak)x+(afc+a上+ak_2)x4----F

2k2k+12k+2

(a3+%+aJ/kT+(a2+%+a0)x4-+a0)x+a0x

2k+22k+122k

=a0(l+x)+(%+a0)(x+%)+(a2+%+a0)(x+%)4----卜

k+2k+1

(以+afe_i+a”2Kx卜+x)+(2昨i+afe)x.

—Q.Qfa1=CLQ+a1，=2+1+Q?n(24TH.4k),a/c+i=2a4―i+。之；

故存在與%無(wú)關(guān)的常數(shù)a。',a/,a?'，…，耿'，以+J,使得

2fe+22k+122fcfefc+2k+1

/(x)=a0'(l+x)+a/(%+x)+a2'(x+x)+…+afc'(x+x)+ak+1'x.

綜上而述，第于任意給定的正整數(shù)n,都存在與%無(wú)關(guān)的常數(shù)的，Qi，叫…，。九，

2n2n-122n2n-1n+1n

使得/(%)=a0(l4-x)+%(%+%)+a2(x+x-)4----卜an-i(x+x)+anx.

18o對(duì)于數(shù)對(duì)序歹！Jp：(cii，瓦),(。2/2),…，(即,％),Q,瓦GR+,i=1,2,3,…，n),記/o(y)=

0(y》0)

五(y)=max{bkxk+fk-^y-afcxk)}(y>0,1<A：<n),其中m為不超過工的最大整

xk=0,l,2,3,---,mo-k

數(shù).(注：max{瓦打+加_1()/一以工。}表示當(dāng)繪取0,1,2,3八..,血時(shí)，bkxk+

Xfc=0,l,2,3/-^

fk-i(.y-%右)中的最大數(shù))

已知數(shù)對(duì)序列P:(2,3),(3,4),(3,p),回答下列問題：

(1)寫出)(7)的值

【解】左⑺=max{3%i}=max{0,3,6,9}=9,

%1=0,1,2,3

當(dāng)/=3時(shí)，A(7)=9

(2)求2(7)的值,以及此時(shí)的%i，%2的值;

【解】人(7)=max{4&+/i(7-3冷)}=max{0+^(7),4+^(4),8+/1M)}

X2=0,1,2

當(dāng)%2—1時(shí),九(4)=max{3%i}=max{0,3,6}=6,當(dāng)％i=2時(shí)/[(4)=6

X1

當(dāng)％2=2時(shí)，/i(l)=max{2%i}=0,

-%1=0

即當(dāng)％1=0時(shí),/i(l)=0

%(7)=max{9,44-6,8+0}=10,

即當(dāng)％2=1，=2時(shí)似7)=10.

(3)求得為(11)的值時(shí)，得到比i=4,x2=0,x3=1,試寫出p的取值范圍.(只需寫出

結(jié)論，不用說明理由)

【解】4<p<4.5

19.已知/(x)=x2-l,g(x)=fn2

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；

【解】由已知，得g⑵=⑵=3,

因此/(g(2))=/(I)=o,=g(3)=2.

(2)求和g(f(%))的解析式.

【解】當(dāng)》>0時(shí)，g(x)=x-1,故=(%-1)2-1=/—2%;

當(dāng)％<0時(shí),g(%)=2—%，故f(g(%))=(2—%)2—1=%2—4%+3.

所以f(g(W)=E：C

—4汽+3,%<0.

當(dāng)%>1或％<一1時(shí)，f(%)>0,故=/(%)-1=%2-2；

當(dāng)一1V%<1時(shí)，f(%)<0,故(%))=2-f(x)=3—x2.

所以…=仁X>1或無(wú)<-1,

-1<X<1.

20o設(shè)/'(無(wú))=x2+px+q,集合4=[x|/(x)=x],B=[x\/(/(x))=x}.

(1)求證：AQB；

【解】設(shè)tea,則有f(t)=t,所以〃/(t))=/(t)=t,所以teB,所以AMB.

(2)如果a={-1,3},求B.

【解】因?yàn)閍={—1,3},所以/(—1)=—1,/(3)=3,所以有

(1-p+q=-1,

(9+3p+q=3,

解得

仔=T，

[q=-3._

22

=x可化為(/-x-3)-(x-x-3)-3=x,解得/=-1,x2=3,無(wú)3=V3,x4=

-V3,所以B={一8,—1,百,3}.

函數(shù)的表示方法

1.如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城

所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信

息：(1)騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h,晚到lh；(2)騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩

托車者是勻速運(yùn)動(dòng)；(3)騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者.其中正確信息的序號(hào)

8o

7o

6o

5o

4o

3o

2o

1o

【答案】⑴(2)(3)

【分析】觀察圖象，先看時(shí)間易知(1)正確.騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直

線，所以是勻速運(yùn)動(dòng)，而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運(yùn)動(dòng)，因

此(2)正確.再觀察圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5，故(3)也正確.

2。設(shè)函數(shù)/(x)=2x+L則方程/(2%+1)=x的解為

【答案】x=-l

3.已知/⑺=三，則〃1)+f⑵+/(|)+/⑶+/(|)+…+7(2012)+

/島)二------

【答案】2011.5

【分析】根據(jù)題意，可得：

/?+/(-)?)2

\XJ1+X2Y/1\Z

X21

=----------1----------

1+X21+X2

故所求的值為f(l)+2011x1=2011.5.

4o已知函數(shù)/(x)滿足對(duì)任意的％eR都有f(|+%)+/(|-%)=2成立，則/g)+/(1)+…+

啕=——?

【答案】7

5o三角形三邊長(zhǎng)分別為3cm,5cm,xcm,則此三角形周長(zhǎng)y(cm)與x(cm)的函數(shù)關(guān)系式

是.

【答案】y=x+8(2<x<8)

6o與函數(shù)y=10坨(，-1)相等的函數(shù)是(填序號(hào)).

①y=x-l；②y=|無(wú)-1|；③y=;④y=

【答案】③

7.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意a,beR都有/(a+b)=f(a)f(b),且f⑴=2,則螺+螺+黑+…+

/(2006)_

/(2005)------------------,

【答案】2006

【分析】由/(a+力)=/(。)/(力).令。=n,b=1.

所以fd+i)=f(mf(i),即需2=/(i)=2.

所以蝗+黑+…+華粵=1003X2=2006.

/(I)/'(3)1(2005)

8。對(duì)任意的正數(shù)函數(shù)/(無(wú))滿足八盯)=/(%)+f(y),且-8)=3,則f(2)=.

【答案】1

【分析】因?yàn)閒(8)=f(2x4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=3,所以f(2)=1.

90某工廠八年來(lái)某種產(chǎn)品總產(chǎn)量c與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖，下列四種說法：①前三

年中產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；②前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；③第三年后，這種產(chǎn)品停

止生產(chǎn)；④第三年后，年產(chǎn)量保持不變.其中說法正確的是.

【答案】②③

10o如果函數(shù)八比)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b都有/'(a+b)=〃a)/(b),且f(l)=2,則螺+螺+

r(4),r(5)r(2oio)

------------FH---------=

/'(3)7(4)7(2009)------------'

【答案】4018.

【分析】令6=1,則f(a+l)=f(a)/(l)=2f(a),所以需2=2.

11.若函數(shù)y=八比）的定義域?yàn)閧久I—34》46,且無(wú)片4},值域?yàn)閧y|-24y44,且y40},試

在下面圖中畫出此函數(shù)的圖象.

X

【解】本題答案不唯一，函數(shù)圖象可畫為如圖所示.

12.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.對(duì)任意看,％2e[o,4,都有

fd+x2)=/(%!)-/(%2),且/(I)=a>0.

⑴求咱

【解】???對(duì)任意%L%2E[。，1，都有f(%1+%2)=f(%1)?f(%2)，

xG[0,1],

.??/a)=/?-/?=[/?,

嗚=/(*)=嗚?咋)=“[?

又/■⑴=a>0,二/g=di,/(J=返

(2)求證:/(x)=f(x+2),xGR.

【解】?；y=y(x)關(guān)于直線比=1對(duì)稱，

fW=f(1+1—%).即/(x)=/(2—x),xeR.

又由/(x)為偶函數(shù)知/'(-X)=/(x),xGR,

f(—x)=/(2-x),xGR...①

將①中—X以％代換，得f(x)=f(x+2),xeR.

13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a,b￡R都滿足/(a瓦)=

af(b)+bf(a).

⑴求f(0),f(l)的值;

【解】令a=b=0,/(0)=0+0=0；令a=b=Lf(l)=/(l)+/(l),所以

/(D=0.

(2)判斷f(x)的奇偶性.

【解】/(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閒(—x)=/((—x)=—/(%)+獷(—1),

而0=/(I)=/((-I)x(-1))=-/(-I)-/(-I),所以/(—1)=0,所以/(—x)=-f(x)+

0=—f(x),即-x)為奇函數(shù).

14.已知函數(shù)y=/'(n)滿足/'(1)=1,f(n+1)=f(ri)+2n,nGN*.

(1)求)⑵、(⑶、(⑷、/(5).

(2)探索f(n+l)-門＞)有何規(guī)律，能否根據(jù)規(guī)律寫出門＞)的解析式?

(可運(yùn)用公式1+2+3+4+…+租=竺用)

【解】(1)/(2)=/(l)+2xl=l+2=3,

/⑶=/■⑵+2x2=3+4=7,

/(4)=/(3)+2x3=7+6=13,

/(5)=/(4)+2X4=13+8=21.

f(ji+1)—/(n)=2n(nGN*).

f⑵一f(l)=2xl,

f⑶—/⑵=2x2,

f⑷一/⑶=2x3,

f(n)-f(n—1)=2(n-1),

以上各式相加，得/(n)-/(l)=2[1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),所以fS)=/(l)+

n(n—1)=n2—n+1.

i5o若函數(shù)/(%)=工一I)滿足f(f(%))=%，求常數(shù)c的值.

【解】於)=急，所以穴/⑺)=9=事=

所以2c+6=0且篙=1，解得c=-3.

2

16.已知函數(shù)/(無(wú))=不v群.

(1)求函數(shù)f(%)的定義域;

【解】要使函數(shù)有意義，應(yīng)有1--AO,解得

xW±1,

所以函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閧%|xw±1,%eR}.

(2)計(jì)算f(2)+/G)和/(3)+f(J)之值；

【解】/⑵+/G)=2+；一1和/⑶+/(|)=+；T

(3)由(2)猜想出一般性結(jié)論，并予以證明.

【解】由(2)可知，/G)+/(x)=40,xH±1).

證明:因?yàn)?x)=三，

所以/。=備=二，米)+/0=覆=一1?

17o已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/(%)的全體：在定義域。內(nèi)存在&,使得/Oo+l)=

/0。)+/(1)成立.

(1)函數(shù)八比)=［是否屬于集合M?說明理由；

【解】D=(一8,0)u(0,+8),

若/。)=}WM,則存在非零實(shí)數(shù)%0,使得

%11

—TT=1-1，

%。+1%。

即

詔+%o+1=0,

因?yàn)榇朔匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)-

(2)若函數(shù)八比)=kx+b屬于集合M「試求實(shí)數(shù)k和b滿足的約束條件.

【解】D=R,由/(x)=k%+beM,存在實(shí)數(shù)與，使得

k(x。+1)+b=kxQ+力+/c+b,

解得

b=0,

所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍是kWR,b=0.

18.已知函數(shù)/(x)=黑,

(1)求f(%)的定義域.

【解】要使函數(shù)/。)=署有意義，只需1—/40,解得XH±1,

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧%Ix*±l}.

(2)若f(a)=2,求a的值.

【解】因?yàn)椤?)=署,且/(。)=2,

所以/⑷=罌=2,即a?.解得a=±亨.

(3)求證:=

【解】由已知得/G)=*=分，-〃)=-罌=含

所以/(￡)=-/(江

ex4-1,0<%<c,

19o已知函數(shù)/(%)=滿足｛2)='.

2%+1,c<%<1.O

(1)求常數(shù)C的值;

【解】因?yàn)?<c<l,所以

c2<c.

由/(C2)=?即

O

9

c34-1

8,

解得C=

(2)解不等式f(x)>[+1.

【解】由(1)得

(\1

I-x+1,0<x<―,

/?=2]2

"一鈕+1,-<x<1.

由f(x)>1+1得:

O

當(dāng)0<x<1時(shí)