山東高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)教學(xué)案設(shè)計參考-導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用含答案解析

第3課時導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

經(jīng)典題型沖關(guān)

題型一利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題

【舉例說明】

11

L若關(guān)于X的方程§X3=]X2+2X+C有三個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)C的取值范圍是

答Z2案(「干10I)

解析原方程可化為C=1?—%2—2%,

設(shè)段)=)/一]'—2x,

f(x)=x2—x—2=(x+l)(x—2),

由/'(x)>0可得x>2或xV—1,

由/'(x)V0可得-1(尤V2,

所以函數(shù)?x)在(一8,-1),(2,+8)上是增函數(shù)，

在(一1,2)上是減函數(shù)，

7

所以函數(shù)/U)的極大值為1)=不

極小值為/2)=一芋.

由題意得，函數(shù)Hx)的圖象與直線y=c有三個不同的公共點(diǎn)，所以一￥<c

4

2.(2019?全國卷I節(jié)選)已知函數(shù)/(x)=2sinx—xcosx-x,(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

證明：/(x)在區(qū)間(0,2存在唯一零點(diǎn).

證明設(shè)gQ)=f(“

則ga)=cosx+%sint-1,g'(x)=xcosx.

當(dāng)xd(0,習(xí)時，g'(X)>O；

當(dāng)工嗚兀）時，g'（x）<0,

所以g（x）在（0,劈上單調(diào)遞增，在傳，/上單調(diào)遞減.

又g（0）=0,g?>0,g（兀）=—2,

故g（x）在（0,2存在唯一零點(diǎn).

所以/（x）在區(qū)間（0,兀）存在唯一零點(diǎn).

【據(jù)例說法】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函

數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)或者通過零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)

對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函

數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

⑶構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)

①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函

數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)

系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出

導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

I【鞏固遷移】

2

1.（2019?吉安模擬）已知定義在R上的奇函數(shù)/U）滿足x>0時，危尸『一lnx

TT

+1叼，則函數(shù)g（x）=^x）—sinx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的零點(diǎn)個數(shù)是（）

A.lB.2

C.3D.5

答案C

解析根據(jù)題意，函數(shù)g（x）=y（x）—sirLr的零點(diǎn)即函數(shù)了=應(yīng)6與y=sinx的交

點(diǎn)，設(shè)/7（x）=sior,函數(shù)凡r）為R上的奇函數(shù)，則/0）=0,又由/2（0）=sin0=

2兀

0.則函數(shù)^=72與y=siru存在交點(diǎn)(0,0),當(dāng)x>0時，_/(x)=￡c—lnx+ln?,其

導(dǎo)數(shù)/'(x)=>：，分析可得在區(qū)間(0,當(dāng)上，/'(x)<0,段)為減函數(shù)，在區(qū)

間仔+8)上，F(xiàn)(x)>0,.*X)為增函數(shù)，則於)在區(qū)間(0,+8)上存在最小

值，且其最小值為年)=\x/In^+ln1=1,又由電j=s峙=1,則函數(shù)

y=於)與y=sin_r存在交點(diǎn)住1),又由y=?r)與尸sinx都是奇函數(shù)，則函

數(shù)產(chǎn)於)與y=siru存在交點(diǎn)(苫，一1).綜合可得，函數(shù)y=_/U)與尸sinx有

3個交點(diǎn)，則函數(shù)g(x)=/(x)—siiiY有3個零點(diǎn).

2.已知函數(shù)*x)=xlnx,g(x)=-*+ax—3(a為實(shí)數(shù))，若方程g(x)=2/(x)在區(qū)

間5，e上有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解由g(x)="：x),

3

可得2xlnx=—x2+ax—3,a=x+21nx+-,

3

設(shè)/:(x)=x+21nx+^(x>0),

3

//(e)—~+e+2.

且/z(e)—〃(j=4—2e+~<0.

所以人a)mE=〃(l)=4,

%(x)max=43=:+3e—2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為4VaWe+2+|,

即a的取值范圍為(4,e+2+|.

題型二利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有關(guān)問題多角探究

【舉例說明】

9角度1證明不等式(多維探究)

1.(2019?武威模擬)已知式x)=2ar+bln%—1,設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,川))處的

切線為y=0.

(1)求實(shí)數(shù)a,8的值；

、_2

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2/a)+,—mx,若IV機(jī)V3,求證：當(dāng)尤G［l,e］時，g(x)<ey

b

解(1)由已知得，/'(x)=2a+1依題意/U)=0,

且/'(1)=0,

2a~1=0,解得

所以a=f,b=-l.

2a+b=0,

(2)證明：由(1)得?r)=x—Inx—1(尤>0),

所以g(x)=5—minx—機(jī)。>0),

mx2—m

ga)=-=丁，

當(dāng)〃2>0時，由g'(x)>0得

由g'(x)<0得OVxV/i,

所以g(x)在區(qū)間(0,F)上是減函數(shù)，

在區(qū)間(赤，+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)lVmV3,xG［l,e］時，e］,

g(x)在區(qū)間［1,亞)上是減函數(shù)，在區(qū)間(赤，e］上是增函數(shù),

所以g(x)的最大值為max(g⑴,g(e)),

e，1e

又因?yàn)镮V機(jī)V3,g(e)———2m<—e—2,g(1)=^—m<0<——2,

2

所以當(dāng)1<機(jī)<3,xG[l,e]時，g(x)〈5e—2.

x2

條件探究本例中，f(x)改為，g(x)改為"g(x)=xlnx"，當(dāng)x

W(0,+8)時，求證f(x)Vg(x).

證明因?yàn)間'(x)=lnx+l.

令g'(%)<o,則t，

所以g(x)在(0,J上單調(diào)遞減，在g，+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)2gg)=一5

1---Y

又因?yàn)?'(x)=X.

令/(x)=T>0,則x<l,因?yàn)閤>0,所以/(x)在。1)上單調(diào)遞增，在(1,+

8)上單調(diào)遞減.

所以穴x)9/U)=一E

因此/U)<g(x).

9角度2已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍

2.已知函數(shù)/U)」弓

(1)若函數(shù)/U)在區(qū)間。，。十今上存在極值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

k

(2)如果當(dāng)x》l時，不等式f(x)2不恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解(1)函數(shù)/U)的定義域?yàn)?0,+°°),

,、1—1—InxInx

TtVI=：-----T----3=---

令f(x)=0,得尤=1.

當(dāng)x￡(O,l)時,f(x)>0,段)是增函數(shù);

當(dāng)xG(l,+8)時，/(x)<0,/(X)是減函數(shù);

所以X=1為函數(shù)式X)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，

所以0<a<l<a+g,

故去S<1,即正實(shí)數(shù)a的取值范圍為生1)

(2)當(dāng)時，4-----------2恒成立，

人(、(x+l)(l+lnx)

令g(x)=------：-----(尤，1),

H+lnx+1+~j.r—(x+l)(l+lnx)

貝“g，?=-------------，---------------

x-Inx

再令/z(x)=x—Inx(x?l),則/?'(x)=1—

所以⑴=1,所以g'(x)>0,

所以g(x)是增函數(shù),所以g(x)2g(1)=2,

故ZW2,即實(shí)數(shù)々的取值范圍是(一8,2].

9角度3不等式存在性成立問題

3.已知函數(shù)網(wǎng)F一(a+Dlnx/aWR),g(x)=￥+e—e*.

(1)當(dāng)xW[Le]時，求犬x)的最小值；

(2)當(dāng)a<l時,若存在XiG[e,e2],使得對任意的X26[—2,0],/⑹7的)恒成

立，求。的取值范圍.

解(D7U)的定義域?yàn)?0,十8),

,(X—l)(x-?)

f?=-―"~

①當(dāng)aWl時，xE[l,e],f(x)>0,

貝幻為增函數(shù)，_/U)mm=/U)=l—a.

②當(dāng)l<a<e時，

%e[l,a]時，f(x)<0,Kx)為減函數(shù);

x￡[a,e]時，/'(x)N0,f(x)為增函數(shù).

所以犬x)min=/⑷=a—(a+l)lna-l.

③當(dāng)a2e時,%e［l,e］時，f(x)^0,

/(x)在［1,e］上為減函數(shù).

./U)min=/(e)=e-(a+l)-1.

綜上，當(dāng)aWl時，於)min=l-a；

當(dāng)l<a<e時，./(x)min=a—(〃+l)lna—1；

當(dāng)a》e時，./U)min=e-(a+l)-?.

(2)由題意知f(M(x￡［e,eT的最小值小于g(x)(xd［—2,0］)的最小值.

由⑴知當(dāng)a<l時，,*x)在［e,e2］上單調(diào)遞增，

.A^)mm=/(e)=e-(a+1)-^.

g'(x)=(l-e>.

當(dāng)x￡［—2,0］時,g'(x)W0,g(x)為減函數(shù).

g(X)min=g(0)=L

.aiie2-2e

所以e—(a+1)—~<1,即a>,,

CCI1

fe2—2e、

所以a的取值范圍為「彳丁，1J.

【據(jù)例說法】

1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問題的常用方法

(1)直接將不等式轉(zhuǎn)化成某個函數(shù)最值問題

若證明f(x)<g(x),xG(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)—g(x),如果F'(x)<0,

則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)W0,由減函數(shù)的定義可知，xG(a,

b)時,有F(x)<0,即證明了f(x)<g(x).

(2)將待證不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值進(jìn)行比較證明

在證明不等式中，若待證不等式的變形無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可

借助兩個函數(shù)的最值證明，如要證寅x)2g(x)在D上成立，只需證明

_/U)min2g(X)max即可.如舉例說明1的條件探究.

2.不等式在某個區(qū)間上恒成立(存在性成立"可題的轉(zhuǎn)化途徑

(l)/(x)2a恒成立QAXUnNa，如舉例說明2；

存在X使7(x)2。成立於/")max2a.

(2)*X)W力恒成立

存在X使成立e/COminWA

(3)_Ax)>g(X)恒成立產(chǎn)(冷=危)一

(4)①任意XieM,任意X2eN,fixi)>^(x2)^/(xi)min>^(x2)max;②任意X|eM,

存在X2dN,/Ui)>g(X2)翎3)min>g(X2)min；③存在X\^M,存在九26乂兀⑴氣⑴)

仁V(X[)n1ax>g(X2)min；0)存在X\M,任意X?GN,/(X|)>g(X2)O_/(Xl)max>g(X2)max.

如舉例說明3.

【鞏固遷移】

o

1.(2019?渭南模擬)設(shè)函數(shù)/Cx)=(x—a)2+(31nx—3a)\若存在刈，使/(xo)W而,

則實(shí)數(shù)a的值為()

A"1B1

A104

C.^D.1

答案A

解析分別令g(x)=31nx,/?(%)=3x,

設(shè)過點(diǎn)P(x()31nM)的函數(shù)g(x)的切線/平行于直線y=3x.

33

g'M=~,由：=3,解得沏=1.，切點(diǎn)P(I,O).

xAO

點(diǎn)P到直線y=3光的距離d=嚅.

9

二存在沏=1，使人切)忘正，

過點(diǎn)P且與直線y=3x垂直的直線方程為

1

,=一善—1).

]產(chǎn)3羽13

聯(lián)立(=-/—]),解得尸石產(chǎn)記

則實(shí)數(shù)。=彌.故選A.

2.已知函數(shù)y(x)=xlnx+；ax2-],且己(1)=-1.

(1)求函數(shù)7U)的解析式；

(2)若對任意XG(O,+8；)都有?￥)一2煙十1?0,求機(jī)的取值范圍;

(3)證明：InxWx—IVe'-2.

解(1)因?yàn)?￥)=3111》+匕/一1,

所以/(x)=\nx+1+ax.

又因?yàn)?'(1)=—1,所以1+。=—1,。=—2,

所以7(x)=xlnx—x2—1.

(2)若對任意x￡(0,+8),都有段)-2〃a+1W0.

即xln%—f—2mxWO恒成立，

即m^lnx—^x恒成立.

令/2(x)=3nx—%,貝U

,111—X

ha)=妥—5=百?

當(dāng)0令<1時，h'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時,h'(x)<0,Mx)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=l時，/?(x)有最大值，/?(1)=—

所以機(jī)2一/即機(jī)的取值范圍是［一/+8).

(3)證明：由(2)可得/j(x)=1lnx—5或一=

所以InxWx-1,

現(xiàn)要證明x—1<廿一2,

即證eA—%—1>0.

令9(x)=e'—x—1,則夕’(x)=ex—1.

當(dāng)x>0時，(pf(x)>0,(p(x)單調(diào)遞增.

所以9(x)>9(0)=0.

即e'-X—1>0.

所以X—l<ev—2.

從而得到InxW%—IVe"-2.

題型三利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題

［舉例說明］

如圖所示的某種容器的體積為90兀cn?,它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成，

圓柱與圓錐的底面半徑都為rem.圓錐的高為加cm,母線與底面所成的角為

45°；圓柱的高為出cm.已知圓柱底面的造價為2。元/cm\圓柱側(cè)面造價為a

元/cm:圓錐側(cè)面造價為啦a元/cm?.

力2rm

(1)將圓柱的高/及表示為底面半徑r的函數(shù)，并求出定義域;

(2)當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑為多少？

解(1)因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為45。，

所以hi=r,

圓錐的體積為—=；兀/加=；兀凡

圓柱的體積為匕=兀內(nèi)?2.

因?yàn)椤?=90兀，所以匕二兀^出二四兀一/兀/，

所以h2~3ri

因?yàn)檠?=%/<90兀，所以r<3折6.

&,270一尸on尸

因此0<r<3\/I5,所以后=~彳一=/一至

定義域?yàn)閧r10<r<3知15}.

⑵圓錐的側(cè)面積$="也「=啦—，

圓柱的側(cè)面積刈=2兀他2,底面積§3=兀/.

容器總造價為y=\l2aSl+aS2+2aS3

=2無尸a+271rh2a+2兀廠2a=271a(/+rhi+r2)

C，U/90「Yll(w2I54、

令/W=J+￥，則/⑺=2r—

令/⑺=0，得r=3.

當(dāng)0<r<3時，f(r)<0,在(0,3)上為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)3<r<3加時，/'(r)>0,大r)在(3,3洞)上為單調(diào)增函數(shù),

因此，當(dāng)r=3時，/(r)有最小值，y有最小值90na元.

所以總造價最低時，圓柱底面的半徑為3cm.

【據(jù)例說法】

1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問題的四步驟

-一'豆訐尾標(biāo)向運(yùn)承著萎菱愛時麻溪系:司由芟底向應(yīng)而薪

之寸L學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式尸/㈤

十第二步A二i二求二函數(shù)的導(dǎo)二致/■'(*):.解方二程/'(.二、j=o二

比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和/'(.力。的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，敢

超夕二大(小)者為最大(小)值

第四步A回歸實(shí)際問題作答

2.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的方法

求實(shí)際問題中的最大值或最小值時，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立

函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，然后利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果

應(yīng)與實(shí)際情況相結(jié)合.如舉例說明.

【鞏固遷移】

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)

與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=d^+10(x—6)\其中3<x<6,a

為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.

(1)求a的值；

(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷

售該商品所獲得的利潤最大.

解(1)因?yàn)楫?dāng)x=5時，y=ll,

所以10=11,解得a=2.

(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為

y=1^+io(x—6)2.

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

/(x)=(x—3)|jZ^+10(x_6)一

=2+10(X-3)(X-6)23<X<6.

則/(X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]

=30(x—4)(x—6).

于是，當(dāng)X變化時，f(x),/(x)的變化情況如下表:

X(3,4)4(4,6)

fW+0—

於)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減

由上表可得，當(dāng)x=4時，函數(shù)7U)取得極大值，也是最大值.

所以當(dāng)x=4時，函數(shù)_/U)取得最大值且最大值等于42.

答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

課時作業(yè)

A組基礎(chǔ)關(guān)

1.方程/-6*+%:—10=0的實(shí)根個數(shù)是()

A.3B.2

C.1D.0

答案C

解析設(shè).*x)=x3—6*+9x—10,f(x)=3X2—12x+9=3(x—1)(%—3),由此

可知函數(shù)的極大值為11)=一6<0,極小值為_/(3)=—10<0,所以方程丁―6*+9*

-10=0的實(shí)根個數(shù)為1.

2.若?龍?jiān)赗上恒成立，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為()

A.(一8,1]B.[1,+0°)

C.(—8,-1]D.[-1,+8)

答案A

解析由得AWe*—x.令y（x）=e*—x,

.?./（幻=廿一1.當(dāng)/⑴<0時，解得x<0；當(dāng)/（幻〉0時，解得x〉0..\/U）在（一

°°,0）上是減函數(shù)，在（0,+8）上是增函數(shù)..,.y（x）min=/（0）=l..,.實(shí)數(shù)%的取值范

圍為（一8,1］.故選A.

3.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定

為〃元，銷售量為。件，則銷售量。（單位：件）與零售價p（單位：元）有如下關(guān)系:

2=8300-170p-p2,則最大毛利潤為（毛利潤=銷售收入一進(jìn)貨支出X）

A.30元B.60元

C.28000元D.23000元

答案D

解析設(shè)毛利潤為L。)元，則由題意知LS)=p。-20。=。5-20)=(8300—

170p-p2)Q?-20)=-p3-150/72+11700p-166000,所以2/(/?)=-3/?2-300/?+

11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=—130(舍去).當(dāng)pG(0,30)時，L'(p)>0,

當(dāng)〃e(30,+8)時，L'S)<0,故L(p)在〃=30時取得極大值，即最大值，且最

大值為"30)=23000.

4.已知函數(shù)兀Dnalnx+x2,tzGR,若.*x)在［1,e?］上有且只有一個零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A1-8,

(e4］2

B(—8,—yju{—2e-}

C.(-8,—{-2e}

答案C

解析當(dāng)尤=1時，_/U）=lW0,從而分離參數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與

函數(shù)gQ）=一支的圖象在（1,e2］上有且只有一個交點(diǎn)，令g'。）=華竽=0,

得x=#,易得g（x）在（1,五）上單調(diào)遞增，在（#,e2］上單調(diào)遞減，由于g（#）=

—2e,^(e2)=—y,當(dāng)L1時，g(x)f—8,所以直線產(chǎn)一2e或位于直線y=一三

e4

下方的直線均滿足題意，即a=-2e或4<一會故選C.

5.(2019?天津高考)已知aWR,設(shè)函數(shù)式x)=

工2-2奴+2〃，xWl,

,,若關(guān)于光的不等式/U)20在R上恒成立，則。的取

x-a\nx9x>\.

值范圍為()

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,e]D.[1,e]

答案C

解析當(dāng)xWl時，由.*x)=x2-2ar+2a20恒成立，而二次函數(shù)兀r)圖象的對

稱軸為直線％="，所以當(dāng)“21時，/U)mm=/U)=l>0恒成立，當(dāng)a<\時，Kinlin

=/(a)=2a—所以0Wa<l.綜上，a20.當(dāng)x>l時，由.*x)=x—alnx?0恒成

YY]nx—1

立,即“〈康恒成立?設(shè)則g'(")=(Ex)2?令g'(x)=6

得x=e,且當(dāng)1a<e時，g'(x)<0,當(dāng)x>e時，g'(x)>0,所以g(x)mm=g(e)

=e,所以aWe.綜上，a的取值范圍是OWaWe,即[0,e].故選C.

x3

6.已知y(尤)=Inx—4+1，g(x)=—x2—2奴+4.若X/為￡(0,2],3x2^[1,2],

使得大用)與以元2)成立，則。的取值范圍是()

1

-

-+8B25-81n2

A.

8,+8

C[—*145]D((—8,-5JA

答案A

1__,1311—d+4x—3(x—l)(x—3)

解析因?yàn)?W=--4-^-4=底=-----言----(^>0),則當(dāng)x

口0,1)時,/(x)V0；當(dāng)xe(l,2]時，/(x)>0,所以於)在(0』)上單調(diào)遞減，在(1,2]

上單調(diào)遞增，故yU)min=/U)=T?對于二次函數(shù)g(X)=—d—2cu+4,該函數(shù)開口向

下，所以其在區(qū)間[1,2]上的最小值在端點(diǎn)處取得，所以要使Vx|W(0,2],3X2E[1,2],

使得於l)，g(X2)成立，只需於l)min2g(X2)min，即32g⑴或拉g(2),所以9一1一

2a+4或［2一4—4〃+4,解得故選A.

a

7.已知方程In園一以2+邑=o有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A(0,B(0,1

c(o,D{O,

答案A

33

解析由于y=ln|x|-是偶函數(shù)，所以方程inx—af+5=0(x>0)有兩

Inx+|Inx+i%-2x(lnx+')

個根，即a=-7—有兩個根.設(shè),*x)=~7—,則f'(x)=『=—

2。0j+D,所以當(dāng)0a<(時，f(x)>0,/(x)遞增，當(dāng)時，f(x)<0,_/(x)遞減，

所以當(dāng)x=1時，兀r)取得極大值也是最大值■.又獷*+0時，/(x)f-8,l

lnx+|e2

十8時，所以要使。=——有兩個根，則0<a<y.

8.已知函數(shù)/U)=X*—a，若存在xW［l,2］,使得於)<2,則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

答案(一1,5)

解析當(dāng)x￡［l,2］時，危)=|成一知，

99

由7(x)<2可得一2Q?一以<2,即為一f一

29

設(shè)g(x)=—/一丁則導(dǎo)數(shù)為g，(x)=—2x+7,

當(dāng)x￡［i,2］時，g'a)wo,

即g(X)在［1,2］上單調(diào)遞減，所以g(X)min=-4—1=—5,

即有一a>—5,即a<5；

29

設(shè)//（%）=—尤2+?則導(dǎo)數(shù)為//（x）=-2x—7,

當(dāng)x￡［l,2］時，/?'（x）＜0,即〃（x）在［1,2］上單調(diào)遞減，

可得力（X）max=-1+2=1.即有一。＜1,即。＞一1.

綜上可得，a的取值范圍是一l＜a＜5.

9.已知函數(shù)於）=xlnx+吳沏是函數(shù)./U）的極值點(diǎn)，給出以下幾個命題：

@0＜x（）＜1;②M）＞:；⑨Uo）+x（）＜O;刨無（））+x（）＞0.

其中正確的命題是（填出所有正確命題的序號）.

答案①③

角星析函數(shù)y（x）=Alnx+/2（》＞0）,

:（x）=lnx+l+x,易得/（x）=lnx+l+x在（0,+8）遞增，.?/電=；＞（）,

Vx-?O,f（x）-*—00,

0＜xo＜g,即①正確，②不正確；

,.,lnx（）+1+x（）=0,

.,.j（x（））+x0=x（）\nx（）+3/+x（）=x（｛lnxo+1%o+1^=-^Xo＜O,即③正確，④不正

確.

10.已知函數(shù)7U）的定義域是［—1,5］,部分對應(yīng)值如表，,穴X）的導(dǎo)函數(shù)y=r（X）

的圖象如圖所示，

X-10245

於）121.521

下列關(guān)于函數(shù)7U）的命題:

①函數(shù)./U)的值域?yàn)椋?,2］；

②函數(shù)_/U)在。2］上是減函數(shù)；

③如果當(dāng)4時，/U)的最大值是2,那么r的最大值為4；

④當(dāng)l<a<2時，函數(shù)y=/(x)—a最多有4個零點(diǎn).

其中所有正確命題的序號是.

答案①②④

解析由./U)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖象可知，當(dāng)一l<x<0及2a<4時，/'(x)>0,

函數(shù)1Ax)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<2及4<r<5時，/'(x)<0,函數(shù)?x)單調(diào)遞減，當(dāng)x=0

及x=4時，函數(shù)/U)取得極大值火0)=2,14)=2,當(dāng)x=2時，函數(shù)負(fù)>)取得極小

值人2)=15又/-1)=犬5)=1,所以函數(shù)人x)的最大值為2,最小值為1,值域?yàn)椋?,2］,

①②正確；因?yàn)楫?dāng)x=0及x=4時，函數(shù)/U)取得極大值<0)=2,犬4)=2,要使當(dāng)

xw［—1,r］時，函數(shù)九》的最大值是2,則0W/W5,所以r的最大值為5,所以③

不正確；因?yàn)闃O小值/2)=1.5,極大值人0)=義4)=2,所以當(dāng)l<a<2時，>=/田一

a最多有4個零點(diǎn)，所以④正確，所以正確命題的序號為①②④.

紇組能力關(guān)

X

1.已知過點(diǎn)伙,0)與凡r)相切的直線有且僅有3條，則k的取值范

圍是()

A.(一8,2—e2)B.(一8,2—e2］

C.(—8,4—e2)D.(—8,4—e2］

答案C

解析設(shè)切點(diǎn)為Qo,i-聞，/'a)=*,則切線為>—1+言=嗡。—

M))，代入點(diǎn)(20)得左=x()+F5f—~^坦7，令g(x)=x+/7-上彳，

Xo―1沏—1x—1x—1

(2—x)(eA-x)

則g'a)=a-1)2’當(dāng)x<2時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，注意到x#l,

故g(x)的遞增區(qū)間為(一8,i),(1,2),當(dāng)x>2時，g(x)單調(diào)遞減，要使8(%)=%有

三個根，由圖象可得，Kg(2)=4-e2,故人的取值范圍為(一8,4—e2).

2.若0<力<%2<。都有但也即一Rn九2<xif2成立，則。的最大值為()

A.；B.1

C.eD.2e

答案B

解析根據(jù)題意，若0<工1<、2<。，X]一九|ln冗2<修一0n>—n'2<——

X\X2犬2犬1

lnxj+1lnx2+lInxi+1Inj^+l、〃Inx+1-一山,

---<——^―-———<0,設(shè)?x)=-則函數(shù)7W在(0,

A]A2AJ424

?—一Inx+14匚,1—(Inx+1)Inx,

a)上為增函數(shù)，對于兀v)=---，其導(dǎo)數(shù)/(%)=----7=—y,右/(JC)>0,

解得04<1,即函數(shù)人九)=皿戶的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)；若0542<。都有Wnxi

?X

—xiln龍2<^1—%2成立，即函數(shù)/U)在(0,a)上為增函數(shù)，則。的最大值為1.

3.對于定義在R上的函數(shù)7U)，若存在非零實(shí)數(shù)M，使函數(shù)./U)在(一8,沏)

和(必，+8)上均有零點(diǎn)，則稱刈為函數(shù).*x)的一個“折點(diǎn)”.現(xiàn)給出下列四個函

數(shù)：

3

①/^)=3卜一"+2；②/(x)=lg|x+2019|；(3)/(x)=y-x-l；④/^)=#+2如一

l(mGR).

則存在“折點(diǎn)”的函數(shù)是.(填序號)

答案②④

解析因?yàn)殪?=3「旺2>2,

所以函數(shù)/U)不存在零點(diǎn)，

所以函數(shù)段)不存在“折點(diǎn)”；

對于函數(shù)./W=lg|x+2019],取向=-2019,

則函數(shù)1x)在(一8,—2019)上有零點(diǎn)x=—2020,

在(一2019,+8)上有零點(diǎn)》=一2018,

所以沏=一2019是函數(shù)/)=lg|x+2019|的一個“折點(diǎn)”；

對于函數(shù)/)=不一X—1,

則/W=?-l=(x+l)(x-l).

令f(x)>0,得x>1或x<—1；

令/'(x)<0,得一la<l,

所以函數(shù)/U)在(一8,—1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一11)上單調(diào)遞減.

又火—1)=一；<0,所以函數(shù)/U)只有一個零點(diǎn)，

所以函數(shù)段)=母一X—1不存在“折點(diǎn)”；

對于函數(shù)fix)=*+2"優(yōu)一1=(x+—m2—1,

由于y(—〃。=-m~—1W—1,

結(jié)合圖象(圖略)可知該函數(shù)一定有“折點(diǎn)”.

綜上，存在“折點(diǎn)”的函數(shù)是②④.

4.(2019?石嘴山三中模擬)已知函數(shù)x%)=/+依.

(1)討論人x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)—xlnx在/2上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解(1)因?yàn)?(%)=儲+依，所以/'。)=3幺+以

①當(dāng)時，因?yàn)?'(》)=3』+。20,所以兀r)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)aVO時，令/'(尤)>0,解得光V3%或x>"3嗎

令/(x)V0,解得

則_/U)在(一8,—亨)，(亨，+8)上單調(diào)遞增，在(—手，有可

上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)間(x)=fix)—x\nx,

i

所以g(x)=x+ax-x\nx9

g(x)=7(x)—xlnx在;，2上有零點(diǎn)，等價于關(guān)于x的方程g(x)=O在;，2±

有解，

即d+ax—xlnx=0在；，2上有解，

因?yàn)閤i+ax—xlnx=0,所以a=-x2+lnx.

令/z(x)=-f+lnx,

Ll,,12X—1

則/(x)=-2x+-=----.

1A/5

令人'(x)VO,又解得2V%<2；

令(x)>0,又吳xW2,解得吳xV坐，

則力(無)在停，2上單調(diào)遞減，在/乎)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?(；)=—g}+ln1=—ln2,

/?(2)=-22+ln2=-4+l