2021年新高考地區(qū)數(shù)學押題25 空間向量與立體幾何（解答題）解析版

精選25空間向量與立體幾何（解答題）

若利用空間向量求角，各類角都可以轉化為向量的夾角來運算.

（1）求兩異面直線。、6的夾角8,須求出它們的方向向量浣、％的夾角，則

cosO=|cos<m,n>|；

（2）求直線/與平面a所成的角夕，可先求出平面a的法向量7與直線/的方向向量正的

夾角,則sin0=|cos<m,?>|；

auu

（3）求二面角。-/-，的大小夕，可先求出兩個平面的法向量〃1、々所成的角，則

|cos0\=|cos<^X>|,并要根據(jù)圖形確定所求二面角的平面角是銳角還是鈍角.

1.如圖，在四棱錐P—A6CD中，上41_平面ABCD,底面ABCD為矩形，PA=1,直

線PB、與平面ABCD所成角分別為30。、45°,E為CD的中點.

（1）已知點尸為中點，求證：CV〃平面Q4E；

（2）求二面角P—5D—A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）乂.

7

【解析】（1）取A3中點G,連結GF,CG,因為在四棱錐P-ABCD中，上4，平面ABCD,

底面A6CD為矩形，E為CD的中點，所以CG〃A￡,FG//PA,

因為CGa面Q4E，AEu面Q4E，F(xiàn)G<z面Q4E，Q4u面B4E，

所以CG〃平面Q4E，EG〃平面E4E，

因為CGc/G=G,。6,而(=面。尸6,所以平面CFG〃平面B4￡,

因為CEu平面CNG,所以C/〃平面Q4E.

(2)由上4_L面ABCD,所以NP3A為與面ABCD所成角，ZPBA=30°

所以NPZM為與面ABC。所成角，NPDA=45。

由￡4=1,所以AB=g,AD=l,以A為坐標原點，AB,AD,AP為X,y,z正方向建立

空間直角坐標系，則4(0,0,0),3(6,0,0),。(0,1,0),。(0,0,1),

小C

、[PB-n=0

平面PBD中：而=(百,0,—1),而=(0』,—1),設法向量萬=(%y,z），則<_.,

PDn=0

^2%_2—o

<，取z=J5"，則％=1,y=則為=(l,g\J^),

y-z=0

又？A_L平面A3CD，故平面ABD的法向量為慶=(。,。/)，

設二面角F—9—A的平面角為。，所以COS6=?2L=4=V21

\mUn\v77.

2.如圖，四棱錐尸一ABCD中,底面ABC。為菱形，平面ABC。，E為P￡)的中

點.

BC

(1)證明：依〃平面AEC；

（2）設P4=l,NA3C=60°,三棱錐E—ACD的體積為二巳，求二面角O—AE—C的余

8

弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）恒.

13

【解析】（1）連接3。交AC于點。，連接0E,則。為5。中點，

E為的中點，所以PB//OE,OEu平面ACE,P5<Z平面ACE,

所以〃平面近；

;工

設菱形的邊長為。，

（2）ABCDVpARrn=^P-ACD=^E-ACD=-y'

匕>-ABCO=QABC。,PA=Q*2*4a'x1=,則a=6.

JJI4」2

取BC中點M,連接以點A為原點,以40方向為X軸，以A￡>方向為y軸，

￡>(0,6,01A(0,0,0),石[。，卓；

以AP方向為z軸，建立如圖所示坐標系

I22J

cRW，o]，通=[o'E』，衣=[14A

、22J（22）I22J

設平面的法向量為]=（蒼由

ACEy,z）,nx_LAC,nx_LAC,

1

—y+—z=0

得J22,令x=l,則y=3,z=3,「.％=6,3),

3上百c

-x-\-----y=0

[22?

—*—(-Z2i,%1,13

平面ADE的一個法向量為兀=（1,0,0）,—】‘〃2>一同.同一gZ?-13，

即二面角O—AE—C的余弦值為恒.

13

3.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD.

（1）證明：平面APC，平面3PD；

（2）若PBLPD,ZDAB=60°,AP=AB=2,求二面角A—PD—C的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）證明：記ACn5Z）=O,連接P0.

因為底面ABCD是菱形，所以。是應＞,AC的中點.

因為PB=PD，所以因為ACnPO=O,所以3D，平面APC.

因為5Du平面5PD,所以平面APCL平面3PZ）.

（2）因為底面ABCD是菱形，XDAB=60°，AP—AB—2,

所以AMD是等邊三角形，即50=43=2.因為？B_LPE＞，所以尸。=,3。=1.

2

又AO=A5sin60°=百，AP=2,所以POz十人。？=,即

如圖，以。為坐標原點，QA,O3,OP所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐

標系。—孫Z,則A(G,0,0),。(0,—1,0),尸(0,0,1),c(—6,0,0,),

所以次=(G,l,0),5?=(0,1,1),DC=(-A1,O).

一DAri=0J3x+y=0

設平面AP￡)的法向量為4=(x,y,z),由〈一2八，得《,

yDP-nx-0[y+z=0

令y=—G，得E=(l,_G,G).同理，可求平面PDC的法向量成二(1,6,—石).

/一一\a區(qū)1x1+(—G)x6+6x(-6)5

'-/InxIIn2?在“回+6后+(-6)27

所以，二面角A—尸￡＞—C的余弦值為-g.

4.如圖一所示，四邊形ABC。是邊長為行的正方形，沿將C點翻折到G點位置（如

圖二所示），使得平面GO6和AD3垂直.E,歹分別為3G，AG的中點.

（1）求證：BD±AQ；

（2）求平面￡>E尸與平面鉆D所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2t

【解析】(1)取3。中點。，連結AO,G。，

■.■AB=AD=ClB=ClD,：.BD±AO,BDCQ,

AO,ClOu平面ACQ,.?.JBD，平面AGO,QAC；u平面ACQ,，AC；.

(2)?.?二面角A—BD—G是直二面角，，NCQA=90。，，CQ，AO,，Q4,OB,0CY

兩兩垂直，以。為原點，OA.OB,。。1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則0(0,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),。(0,-1，0),C,(0,0,1),

■：E,F分別為BQ,AQ的中點..?.E(0,g,；),F(1,0,1),

—.11—.31

DF=(-,1,~),DE=(0,-,-),設萬=(x,》，z)是平面DEF的一個法向量，

,令y=l,得為=(1,1,-3),

—?31

DE-fi=—y+—z=0

22

_L平面MD,.?.平面ABD的一個法向量困1=（0,0,1）,

\n-OCl\_3>/11

設平面。石尸與平面至￡）所成的銳二面角為8，則cos6=

\n\\OCx\11

二平面DEF與平面曲所成的銳二面角的余弦值為主叵

5.如圖，四棱錐S-ABCD的側面5AD是正三角形，AB//CD,且ABLA。，

AB=2CD=4,E是S3中點.

B

（1）求證：CE//平面SAD；

（2）若平面SAD,平面ABCD,且叼=4點，求平面E4C與平面ACB夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）逅

4

【解析】⑴取SA的中點R，連接所，因為E是S3中點，所以EF//AB,且AB=2EF，

因為AB//CD,AB=2CD,所以EF/ADC,EF=DC,

即四邊形EEOC是平行四邊形，所以EC//FD,

因為EC<Z平面5AD,EDu平面&4￡>，所以CE//平面出⑦；

(2)取AD中點。，連接SO,BO,因為&4D是正三角形，所以SOLA。，

因為平面540,平面ABC。，AB±AD,所以SO,平面ABCD,A3,平面9田,

所以ABLS4,故&!=,Sfi2_AB2=4,

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-孫z,

則0(0,0,0),A(0,—2,0),8(4,—2,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),5(0,0,2^),EQ,-1,5,

所以屈=(0,—3,百)，CA=(-2,-4,0),

設平面ACE的法向量為玩=(x,y,z),則一3y+J^z=0,-2x-4y=0,

令y=l得沅=卜2,1,6)，易知平面ACB的法向量為萬=(0,0,1),

貝Ucos嫉,a=平J=￡=逅，所以平面E4c與平面ACB夾角的余弦值為逅.

'/\m\\n\27244

6.直三棱柱ABC-^B.Q被平面A與C截去一部分后得到如圖所示幾何體，ZABC=90°,

BC=BBX=2,￡1是BXC中點.

(1)求證：平面45￡_L平面AgC；

(2)若三棱錐石—A4C體積為立，求二面角A-A'-C的正弦值.

3

【答案】（1）證明見解析；（2）逅.

3

【解析】（1）?^BC=BB[,EBi=EC,所以

在直三棱柱中，由5片，平面ABC可得BBJAB,

又A5L5C,BCp[BBi=B,所以A3,平面3月。，所以

因為43「8石=3,所以用CJ■平面ABE,

由B[Cu平面AB。可得平面AXBXC，平面ABE-

(2)由題意，-L，s,LBB1ABX1=—Y,解得A8=血，

￡,—ADCCZA/IDCcl=-X2c

3263

以5為原點，BABCB用分別為蒼y，z軸建立直角坐標系，如圖,

則A(衣0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),4(0,0,2),E(。,LD,

設面441E的一個法向量為而=(x,%z),麗=(0,0,2),率=(-^,1,-1),

則."/Izlr——07;——O,取x=g,而=(叵2,o),

fn-\E=-，2%+y-z=0

設面CAE的一個法向量為A=(%,K,Z]),CE=(O,-1,1),C4f=(J5,—2,2),

n-CE=—y+Z]=0_

則<___L}，?。?Z]=1,n=(0,1,1)

m?CA]=-2M+24=0

,/--\m?n2v3

所以cos(加?〃)==———=—j=—產=——，

''\m\-\n\v2-A/63

_A/6

所以二面角A—4E—C的正弦值sina

7.如圖（1）所示，A。是口6。。中邊上的高線，且A5=2AO=2AC,將QBCD沿

A。翻折，使得平面ACDJ_平面ABD,如圖（2）.

（1）求證：AB±CD；

（2）圖（2）中，E是3。上一點，連接AE、CE,當AE與底面ABC所成角的正切值為

二時，求直線AE與平面BCE所成角的正弦值.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）二上.

15

【解析】（1）由圖（1）知，在圖（2）中，ACA.AD,AB±AD,

因為平面ACD_L平面ABD,平面ACE）n平面ABD=AD，

ABI平面ABD,二AB,平面AC￡）,又COu平面AC。，所以A5LCD；

（2）以A為原點，AC,AB，AD所在的直線分別為x,》，z軸建立如圖所示的空間

坐標系，設AC=1,則4（0,0,0）,5（0,2,0）,C（l,0,0）,D（0,0,l）,

設E（x,y,z）,由瓦=2麗（0<X<l）,得（x,y,z—1）=（0,24—X）,得￡（0,241—4）,

AE=（O,22,l-2）,?.?平面ABC的一個法向量為蒞=（0,0,1）,

1—，—.

由AE與底面ABC所成角的正切值為—,可得tan<AD,AE>=2,

_.一]1-2_1

于是cosvARAE〉：忑'即J3）；+（1_"=不解得1

則E0』,5。啜BC=(l,-2,0),詼=0,七,

x-2y=0

設平面5CE的法向量〃=(x,y,z),貝卜

—y+—z=0

2

令y=l,得x=2,z=2,則3=(2,1,2)是平面BCE的一個法向量，

_i-,|AE-n|_2

設直線AE與平面BCE所成的角是8,貝產11夕=|cos<AE,n\=萬百曰=-j=~

故直線AE與平面BCE所成角的正弦值為.

15

8.如圖，PD±平面ABCD,ADLCD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,點、E,F,M分別為AP,CD,BQ的中點.

(1)求證：EE口平面MFC；

(2)求二面角Q—PM—C的正弦值；

(3)若N為線段CQ上的點，且直線ON與平面PMQ所成的角為求線段QN的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)(3)墾

23

【解析】(1)連接應0,因為A5〃CD,PQ//CD,所以A3〃PQ,因為AB=PQ,所

以PA3Q為平行四邊形.由點E和舷分別為AP和3Q的中點，可得反以〃且

=因為A5〃CD,CD=2AB,b為CD的中點，所以C歹〃AB且CE=AB,

可得￡M〃C「且EM=CN,即四邊形呼CM為平行四邊形，所以EE口MC,又

EF<Z平面MFC,OVfu平面MFC,所以EF〃平面MFC.

（2）因為尸￡＞，平面ABCD,AD1CD,可以建立以。為原點，分別以成反，瓊的

方向為x軸，》軸，z軸的正方向的空間直角坐標系.依題意可得

￡＞（0,0,0）,A（2,0,0）,5（2,1,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,Q（0,l,2）,M（1,L1）.

PM=（1,1,-1）,PQ=（0,1,0）,OY=（1,-1,1）,PC=（0,2,-2）

設4=（無，y,z）為平面PMQ的法向量，

n,-PM=0[x+y-z=03

則」—，即＜c，不妨設z=l，可得々=（1,0,1

[nlPQ=0[y=01l/

設瓦"=（x,y,z）為平面MPC的法向量，

nTPC=0f2y-2z=0_,、

則」一，即〈c，不妨設z=l，可得%=（0,1,1.

n2CM=01尤-y+z=0'）

COS點元=將/=；，于是sin1,石=孝.所以，二面角Q—PM—C的正弦值為孝.

（3）設的=2〃（0W/IW1）,即酬=2配=（0,幾—22）,則N（0,A+L2-22）.

從而麗=（0,2+L2-22）.由⑵知平面PMQ的法向量為1=（1,0,1）,

兀、___?\DN-n^\1_|2-22|

由題意，si”=gs°N,”卜甌同，印廠收+丁+（2―2獷⑻

整理得3^2—1（U+3=O，解得4=3或;1=3,

因為0W2W1所以;1=；,所以的=；區(qū)，QN=：亦卜乎.

9.如圖，在三棱柱A3C—4與。1中，四邊形A41GC是邊長為遂的正方形，CQ1BC,

BC=1,AB=2.

G

（1）證明：平面ABC，平面ABC；

BM

（2）在線段上是否存在點般，使得若存在，求大的值；若不存在，

D/\

請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）

4

【解析】（1）在DABC中，AC＜，BC=1,AB=2,AC2+BC2=AB1,所

以ACLBC,又C￡CCJAC=。，所以3C，面AC￡4,又ACu面AC￡A,

所以BC，AC,又四邊形441GC是邊長為出的正方形，所以AG，4C,又

BCnAC=C,所以AC]，面AXCB，又AC]u平面ABCX,所以平面A.BC±平面ABC,；

BM1

（2）在線段43上存在點V，使得CM且h=了，

nAj4

理由如下：由（1）得，以點C為原點，CAC3,CC1所在直線分別為蒼％Z軸建立空間直

角坐標系，如圖所示，則A（G,0,0）,0（0,0,0）,6（0,1,0）,A（AO,A/3）,q（o,o,^）,

設〃（羽y,z）,=4可，所以（x,y-l,z）=/（石,一1,，解得彳=履，y=l-^,

z=g九,所以由=(641-464),QB=(0,1,-A/3),要使CML5G，則需

—.—,1BM1

C"g=。，即-3=。，解得八"故兩="

10.如圖，￡是以A8為直徑的半圓O上異于A、8的點，矩形ABCD所在的平面垂直于半

圓。所在的平面，S.AB=2AD=2.

（1）求證：EALEC；

TT

（2）若異面直線AE和DC所成的角為二,求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦

6

值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

7

【解析】（1）因為平面ABCD垂直于圓。所在的平面,

兩平面的交線為AB,BCc平面ABCD,BCLAB,

所以垂直于圓。所在的平面.又E4在圓。所在的平面內,

所以5CLE4.因為NAEB是直角，所以鹿，石4，

又BCr）BE=E,所以EAJ_平面EBC,所以E4LEC.

（2）如圖，以點。為坐標原點，A5所在的直線為》軸，

過點。與平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系O-孫z.

由異面直線AE和。。所成的角為AB//DC,知NBAE=工，所以25。石=工,

663

<J711

所以石252,0，由題設可知。（°，—草），。（°，1，1），

3

%+5%-Zo=o

DEp=02

設平面DCE的一個法向量為萬=（%,%,Z。），由<

CE-p=0V31

xz=0

o--yo-o

得z0=x（），%=0，取%=2,得z0=A/3.

所以萬=（2,0,73）.又平面AEB的一個法向量為互=（0,0,1）,

p-q_V3_721

所以cos<?，/>=

⑶⑷匹瓦7

平面。CE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值叵.

7

11.四棱錐P—ABCD中，24,平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形，ZZMB=60°,

PA=AB=AD=2,點E是棱PC上一點.

（1）求證：平面B4C_L平面5。石；

（2）當E為PC中點時，求二面角A—5E—。的余弦值;

（3）若直線BE與平面PAC所成的角為45。時，求CE.

【答案】（1）證明見解析；（2）立；（3）1或2.

7

【解析】（1）因為平行四邊形ABCD中，AB=AD，

所以四邊形ABC。是菱形，所以因為上4,平面ABCD,所以B4L5D.

因為所以3D，平面PAC.所以平面B4C，平面5￡石.

（2）在平面ABCD內，過點A作AQ〃3Q,則AQ_LAC,因為R4J_平面ABCD,

AQu平面ABCD,所以PALAQ.如圖建立空間直角坐標系，則

A(0,0,0),B(l,A0),C(O,2AO),D(-1,^,0),P(0,0,2).

當E為尸C中點時，E（0,6/）.所以屈=（0,6,1）,福=（1,石,0）,50=（-2,0,0）,

百%+Z1=0,

BE=(-1,0,1).設平面ABE的方向量為I=(/%,zj

%+6%=0.

令石=百，得X=T,Z]=JL所以加=（、瓦—1,、回）.

UU-2X?—0,

設平面的方向量為巧=（X2，%，Z2），貝卜

—%2+Z2—0.

nA-n2-1幣

則Z=Z2=0,令%=1，則后=(0,L0).所以，cos?)2=同同=7T丁

因為二面角A—5E—。為銳二面角，得二面角A—BE—。的余弦值為正

7

(3)設區(qū)=4方(0<4<1),則

BE=BC+ACP=(-1,73,0)+2(0,-2A/3,2)=(-1,73-2732,22).

由（1）得，3D，平面？AC.所以，平面總。的一個方向量為麗=（—2,0,0）,

2=2,

即16彳2—124+2=0.解得4=',2,=-.所以CE=LcP=l或CE=^CP=2.

4242

12.如圖，在三棱錐P-ABC中，側面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，

AP的中點，過跖V的平面與側面交于跖.

(1)求證：MN//EF；

(2)若平面尸6。，平面川。，AB=AC=3，求直線QS與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)冥H0.

35

【解析】(1)因為M，N分別為A3,AP的中點，所以MN//PB,

又平面PBC,PBu平面尸BC,所以〃平面PBC,

因為平面肱VE尸。平面PBC=￡F,所以MNHEF.

(2)因為平面P6CJ_平面ABC,取6c中點。，

連接PO,AO,因為OPfiC是等邊三角形，所以POL5C,

所以POL平面ABC,故P0J_49,因為AB=AC,

所以AOLBC,以。為坐標原點，分別以08,AO,0P為x,y,2軸建立如圖所示

的空間直角坐標系，可得。(0,0,0),P(0,0,百)，A(0,-2A/2,0),3(1,0,0),C(-l,0,0),

C

A

y

所以而=（1,0,-百），中=（0,—20,一百），PC=（-1,0,-73）,

-lyfly-b2=0

設平面PAC的法向量為〃=（x,y,z），貝1卜

—X—y(3z—0

/

令y=4i,得x=4,z=—勺8,所以］二

4,-

3

--4+4=27210,—

c°s〈’">=一萬8=35，所以直線P3與平面PAC所成角的正弦值為獨W..

2x-----35

3

13.如圖，四邊形ABCD為矩形，AA8E和△BCR均為等腰直角三角形，且平面

ABCD,CF±平面ABCD.

（1）求證：ED〃平面BCF；

AD

（2）設一=2,求二面角5—石戶―。的正弦值.

AB

【答案】（1）證明見解析；（2）疸.

7

【解析】（1）?.?四邊形ABC。為矩形，,AD〃BC,

???4￡）?平面8。尸，8。匚平面8。p，，4?！ㄆ矫?6,

QAE人平面ABCD,CB，平面ABC。，.?.E4//FC

???E4a平面BCF,bCu平面BCF,EA//平面BCF,

又AD,E4u平面ADE,且AOcE4=A，二平面ADE〃平面BCF,

由石。u平面ADE可得EDH平面BCF；

（2）由（1）知E4J_平面ABCD,平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形，

以A為原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為》軸，以AE所在直線為z軸，建

立空間直角坐標系，如圖，設A3=l,則AO=2,

.?.A（0,0,0）,B（l,0,0）,￡＞（0,2,0）,E（0,0,l）,F（l,2,2）,

設平面。石廠的一個法向量為1=(%,yz),且詼=(0,—2,1),而=(1,0,2)

DEn=0_2y+z-0一’.

則—.即4二取z=2得”（TL2），

DFn=0

設平面5即的一個法向量為而=(%,如zj,BE=(-1,0,1),BF=(0,2,2)

BE-m=0—X+Z,—0u

則一即《〔2乂+21。’取寸1得*(1'T』)'

BF-m=0

m-n-4-1+2=一:，設二面角5一歷一。的平面角為,

/.cos（m,ri）=

|m|-|H|代'X0T

則sin6

14.如圖，在四棱錐尸-A3C。中，平面底面ABC。，其中底面ABCD為等腰梯

形，AD!IBC,PA=AB=BC=CD,PA±PD,ZB4D=60°,。為尸。的中點.

B

(1)證明：CQ//平面已旬；

（2）求二面角P—AQ—C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）—上短.

37

【解析】（1）取中點N,連結QN,BN.

因為。，N是PD，Q4的中點，所以QN//AD,且QN=gAD.

因為ZB4T>=60°,所以己4=!5，所以BC=LA。,

22

所以QN=3C,又AD!IBC,所以QN//3C,所以BCQN為平行四邊形,

所以6N/ABC.又5Nu平面B4B，且CQ<Z平面上鉆，所以。?！ㄆ矫鍮4B；

（2）取AD中點M，連接8M，取AM的中點。，連接80,P0.設Q4=2,

由（1）得Q4=AM=PM=2,所以AAR0為等邊三角形,

所以P0_LAAf,同理所以50_LAAf,因為平面E4D_L平面ABC。，平面上平面

ABCD=AD,尸Ou平面QAD，所以POL平面ABCD.

_____UUU1_____

以。為坐標原點，分別以。8，0D-0P所在直線為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標

系0fz，則4（0,—1,0）,C（A2,0）,P（0,0,⑹，00，；，*，AC=（V3,3,0）,

I22J

k227

Jkngx+3y=0

設平面ACQ的法向量m=(x,y,z),則＜___,所以｛5，

')m-AQ=0\+組z=0

〔2-2

取y=-V3，得加二(3,—6,5),又平面PAQ的法向量7=(1,0,0),

一一m-n3^/57

所以cos＜根,〃＞=欣用二不一,由圖得二面角P-AQ-C的平面角為鈍角,

所以，二面角尸―AQ-C的余弦值為一主巨.

37

15.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA=AD=CD=2AB=2,AB±AD,CD±AD,

上4,底面ABCD,舷為PC的中點.

(1)求證：&W〃平面R4D；

(2)在側面Q4D內找一點N,使平面PBD；

(3)求直線PC與平面尸所成角的正弦.

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析；(3)*

3

為PC的中點，E為PD的中點，則上M〃CD且￡70=工8,

2

在平面ABCD中，AB1AD,CDLAD,:.AB//CD,由已知條件可得AB=工CD,

2

:.EM//AB且EM=AB,所以，四邊形石為平行四邊形，.

平面R4D,胡匚平面/^一二物"/平面上位)；

(2)底面ABCD,ABYAD,

以A為原點，以AB、AD.AP所在直線為x軸、》軸、z軸建立空間直角坐標系,

則3(1,0,0)、C(2,2,0)、0(0,2,0),尸(0,0,2)、1(1,1,1),在平面PAD內設N(0,y,z),

W=(-l,y-l,z-l),而=(1,0,-2),Dfi=(l,-2,0),

由拓7_L而，可得加?麗=—l—2z+2=0，，z=g，

由2^_L麗，可得麗?麗=—l—2y+2=0,.,.、=，，所以，

乙、乙乙

所以，當N是AE的中點，此時MN_L平面PBD；

（3）VPC=（2,2,-2）,由⑵可知，平面PBD的一個法向量為麗=——g,一；

PCMN-2y/2

cos<PC,MN

—V,

故直線PC與平面PBD所成角的正弦值為顯

3

16.已知在四棱錐P—ABCD中，A。/ABC,AB=3C=CD,NA3C=120°,G是的中

點，H為AC的中點，是等邊三角形，平面八山，平面ABCD.

B

（1）求證：GH7/平面上4D；

（2）求二面角D—AG—C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

5

【解析】（1）取A。的中點為。，連結

因為AD/ABC,AB=8。=。，ZABC=120°,AB=BC=CD=-AD,

2

四邊形ABC。與四邊形OBCD均為菱形，為08中點，GHHOP,

曲仁平面24。,0「<=平面^4。，，6"http://平面24。

（2）取的中點為E,以。為空間坐標原點，分別以OE,00,0尸的方向為x軸、y軸、

z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O-孫z.

(%,y,z).

4y=0

nAD=0

由<

n-AG=O

y/3x+3y=0

m-AC=0

設平面的CAG一法向量〃z=（x,y,z），由<__.=>

in-AG-0

、22

"?m_V15J15

則加=cos(n,m二二面角D-AG-C的平面角的余弦值為三一.

5，

Hm5

17.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，平面B45,平面A5CD,PA1,AB,B4=A￡>=4,

BC//AD,ABLAD,AB=BC=2,PE=2PC（O<2<1）

⑴若求直線小與平面山所成角的正弦值；

【解析】(1)?.?平面上43,平面ABCZ),平面MBc平面=PA±AB,PAu

平面MB，.?.B4L平面ABCD,

?.?AB±AD,以點A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x、》、z軸建立空

間直角坐標系，如下圖所示：

則4(0,0,0)、5(2,0,0)、。(2,2,0)、尸(0,0,4)、0(0,4,0),

當彳=；時，￡(1,1,2),則方后=(1,—3,2),

設平面43E的法向量為送=(x,y,z),AB=(2,0,0),衣=(1,1,2),

in?AB—02x=0x=0

由＜一一，可得1，得《,取z=—L則％=0,丁=2,

m?AE=0x+y+2z=0[y=-2z

所以，平面ABE1的一個法向量為浣=(0,2,—1),

DEn—84770

cos<DE,n>=

HR714x7535

因此，直線OE與平面ABE所成角的正弦值為地0；

35

（2）設平面AEC的一個法向量為Z=（X］，X，Z］）,赤=（0,0,4）,AC=（2,2,0）,

a-AP=0[4Z]=0y,=一%八

由_，得ccc可得〈八，令Xi=1，則X=T，A=0,

a-AC=0+2yt=0[4=0

所以，平面AEC的一個法向量為Z=（LT0），

設平面ABE的一個法向量為3=(8％*2),PE=2PC=2(2,2,-4)=(22,22,^2),

AE=AP+PE=(0,0,4)+(2A,2A,-42)=(2A,2A,4-42),AB=(2,0,0),

b-AB=0[2,x,=0

由〈_____，得〈c/c1(A)八c,令%=2%-2,則％=o，Z2=X,

=

b-AE=02/1%2+22%+(4-4/1Jz20

所以，平面ABE的一個法向量為B=(0,22—2,2),

,川?|曲|2-22|2^/34

由于cos6\=cos<a,b>\=昂A=—~

1114W0xj:4("1li==——17—,

整理得342+24—1=0，?.-0<2<l,解得；l=g.

18.如圖，在四棱錐S-ABCD中，側面SCO為鈍角三角形且垂直于底面ABC。，底面為

直角梯形且NA6C=90°,AB=AD=-BC,CD=SD,點舷是S4的中點.

2

（1）求證：30,平面SCD；

（2）若直線S。與底面ABCD所成的角為60。，求S。與平面AffiD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

14

【解析】（1）取的中點E,連接OE,

設A3=AD=a,BC=2a,依題意，四邊形ABED為正方形，

且有BE=DE=CE=a,BD=CD=y/2a，

所以BD?+CD?=BC2,則

因為平面SCO,底面ABC。，平面scon底面A3CD=CD，SHLCD,SHu平面

SCD,SHL底面ABC。，

故DH為斜線SO在底面ABCD內的射影，ZSDH為斜線SD與底面A3CD所成的角,

即NSDH=60°.由(1)得，S￡>=J5a，所以在Rt口SHD中，SD=?，SH=^-a，

在口4)〃中，NADH=45°,AD=a,DH=—a，由余弦定理得

2

所以4272+082=")2,從而NAHD=90。，過點。作Db