2024年全國(guó)一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題3

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題3試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——大題》題目主要按長(zhǎng)短順序排版，具體有：短，中，長(zhǎng)，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。短3：（2024年冀J12大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研）19.已知圓.點(diǎn)在圓上，延長(zhǎng)到，使，點(diǎn)在線段上，滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，再根據(jù)為的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)，結(jié)合橢圓的定義即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式分析即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)椤敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，再根據(jù)為的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)，結(jié)合橢圓的定義即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式分析即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，而，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；

【小問2詳解】由（1）得是橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)，由三點(diǎn)共線，得，而，所以，所以，由三點(diǎn)共線，得，而，所以，所以，所以，即，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，則，，所以，由，得，即，所以，所以恒成立，所以，則，所以，則，的方程為，所以，原點(diǎn)到直線的距離，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．（2024年冀J16邯鄲三調(diào)）18.已知橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)．

（1）求的方程；（【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，待定系數(shù)法解方程即可；（2）設(shè)其中一條的斜截式方程，首先由直線與圓相切，得出直線的斜率與截距關(guān)系；再設(shè)而不求，用韋達(dá)定理表示出兩條直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)，再利用條件知兩弦垂直，故四邊形的面積，利用弦長(zhǎng)將面積表示成其中一條直線斜率的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【小問1詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)，，所以解得故的方程為．【小問2詳解】由題知的斜率存在且不為0．設(shè)．因?yàn)榕c圓【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，待定系數(shù)法解方程即可；（2）設(shè)其中一條的斜截式方程，首先由直線與圓相切，得出直線的斜率與截距關(guān)系；再設(shè)而不求，用韋達(dá)定理表示出兩條直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)，再利用條件知兩弦垂直，故四邊形的面積，利用弦長(zhǎng)將面積表示成其中一條直線斜率的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【小問1詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)，，所以解得故的方程為．【小問2詳解】由題知的斜率存在且不為0．設(shè)．因?yàn)榕c圓相切，所以，得．聯(lián)立與的方程，可得，設(shè)，，則，．所以，將代入，可得．用替換，可得．四邊形的面積．令，則，可得，再令，，則，可得，即四邊形面積的最小值為．（2024年冀J11衡水一模）17.已知橢圓過和兩點(diǎn).分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)（不在軸上），過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分類討論直線斜率是否為0，從而假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于的關(guān)系式，再分析即可得解；【小問1詳解】由題意可知，將點(diǎn)代入橢圓方程，得【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分類討論直線斜率是否為0，從而假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于的關(guān)系式，再分析即可得解；【小問1詳解】由題意可知，將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，易得，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，綜上，，即的范圍是.（2024年粵J105湛江二模）18.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，

（1）求雙曲線的方程，（【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）利用雙曲線的定義與點(diǎn)在雙曲線上得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）假設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程得到，再由題設(shè)條件得到直線與的方程，推得兩者的交點(diǎn)在定直線上，從而得解.【小問1詳解】依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）利用雙曲線的定義與點(diǎn)在雙曲線上得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）假設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程得到，再由題設(shè)條件得到直線與的方程，推得兩者的交點(diǎn)在定直線上，從而得解.【小問1詳解】依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年粵J104名校一聯(lián)考）16.現(xiàn)有一“v”型的擋板如圖所示，一橢圓形物件的短軸頂點(diǎn)被固定在A點(diǎn)．物件可繞A點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．AP間距離可調(diào)節(jié)且與兩側(cè)擋板的角度固定為60°．已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2．

（1）在某個(gè)角度固定橢圓，則當(dāng)橢圓不超過擋板時(shí)AP間距離最短為多少；（【答案】（1）（2），證明見解析【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)和過點(diǎn)P的直線，切線的斜率分別為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而可得【答案】（1）（2），證明見解析【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)和過點(diǎn)P的直線，切線的斜率分別為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而可得，結(jié)合或，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）當(dāng)恒為正實(shí)數(shù)R時(shí)，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，進(jìn)而.由（1）可得或，利用換元法，結(jié)合建立不等式組，化簡(jiǎn)可得，解之即可求解.【小問1詳解】由題意，如圖，該橢圓的方程為，，分別為橢圓的2條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率分別為.設(shè)，當(dāng)時(shí)，其中1個(gè)不存在，另1個(gè)趨于；當(dāng)時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P的直線為，，所以，整理，得，①由是方程①的2個(gè)實(shí)根，得，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在圓的外部，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，則，此時(shí)，所以.又或，所以或，整理，得或.要求的最小值，只需考慮為鈍角的情況，即且，得.令，則且，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故，得.綜上，的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)恒為正實(shí)數(shù)R時(shí)，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.由（1）知，或，由，得或，即或，整理，得或，令，則，得或，.當(dāng)即時(shí)，或，令，則，得或，又，得或，而，所以，整理，得，即.當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上，，則，即，解得，所以R的最小值為，即的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問題的方法：一般題目中沒有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．（2024年閩J13廈門二檢）17.（15分）雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在C上.

（1）求C的方程；（17.方法一：（1）依題意：，……2分解得：，，……3分所以雙曲線方程為.……4分（2）設(shè)，，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得，17.方法一：（1）依題意：，……2分解得：，，……3分所以雙曲線方程為.……4分（2）設(shè)，，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得，……6分聯(lián)立，則，，.……8分由對(duì)稱性知，若以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必為原點(diǎn).……9分……10分……11分.……12分又，所以，所以，故以MN為直徑的圓過原點(diǎn).……13分②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程，此時(shí)圓方程為，恒過原點(diǎn).綜上所述，以MN為直徑的圓過原點(diǎn).……15分方法二：（1）同方法一；（2）設(shè)，，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得，……6分聯(lián)立，則，，.……8分以，為直徑的圓的方程為，即，……9分因?yàn)椋?，…?1分且，所以所求的圓的方程為，……12分所以MN為直徑的圓過原點(diǎn).……13分②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程，此時(shí)圓方程為，恒過原點(diǎn).綜上所述，以MN為直徑的圓過原點(diǎn).……15分（2024年湘J42岳陽三檢）18．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．(18．(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）先有兩點(diǎn)間距離公式求出圓心的軌跡方程，再由斜率的定義表示出斜率，利用軌跡方程化簡(jiǎn)斜率之差即可證明；（2）先設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示出線段中點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到的軌跡方程是，再與動(dòng)圓的方程聯(lián)立，得到、、的橫坐標(biāo)分別為，，，最后利用的展開式系數(shù)與相同，得到系數(shù)為零即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題有，化簡(jiǎn)并整理成，圓心的軌跡的方程為，，又，所以，所以.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，消并整理成，在判別式大于零時(shí)，，又，所以，所以，，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，消得，所以18．(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）先有兩點(diǎn)間距離公式求出圓心的軌跡方程，再由斜率的定義表示出斜率，利用軌跡方程化簡(jiǎn)斜率之差即可證明；（2）先設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示出線段中點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到的軌跡方程是，再與動(dòng)圓的方程聯(lián)立，得到、、的橫坐標(biāo)分別為，，，最后利用的展開式系數(shù)與相同，得到系數(shù)為零即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題有，化簡(jiǎn)并整理成，圓心的軌跡的方程為，，又，所以，所以.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，消并整理成，在判別式大于零時(shí)，，又，所以，所以，，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，消得，所以的軌跡方程是，圓過定點(diǎn)，設(shè)其方程為，由，得，設(shè)、、的橫坐標(biāo)分別為，，，因?yàn)椤?、異于，所以，，都不為零，故的根為，，，令，即有，所以，故的重心的橫坐標(biāo)為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是圓過定點(diǎn)，設(shè)其方程為，然后與的軌跡方程聯(lián)立，表示出重心橫坐標(biāo)的方程，然后利用待定系數(shù)法求出結(jié)果.（2024年湘J47長(zhǎng)沙雅禮二模）17．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；（17．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計(jì)算，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，即可計(jì)算出面積．【詳解】（1）由已知得，，解得，又，17．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計(jì)算，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，即可計(jì)算出面積．【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由得，①設(shè)、的坐標(biāo)分別為，（），中點(diǎn)為，則，，因?yàn)槭堑妊鞯牡走?，所以．所以的斜率為，解得，此時(shí)方程①為．解得，，所以，，所以，此時(shí)，點(diǎn)到直線：的距離，所以△的面積．考點(diǎn)：1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、點(diǎn)到直線的距離.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于難題．解決本類問題時(shí)，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過程中要充分利用三角形是等腰三角形，進(jìn)而知道定點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線垂直，這是解決問題的關(guān)鍵．（2024年魯J46煙臺(tái)二模）19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)在定直線上，并求出該直線方程；（19．(1)證明見解析，(2)12【分析】（1）由題得出橢圓方程，設(shè)直線方程為，寫出兩點(diǎn)處的切線方程，由對(duì)稱性得，點(diǎn)處于與軸垂直的直線上，法一：兩切線方程聯(lián)立得，再代入即可證明；法二：由點(diǎn)在兩切線上得直線的方程，結(jié)合直線過點(diǎn)，即可得出；（2）由（1）得出直線的方程，設(shè)直線和交于點(diǎn)，得出為線段的中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)公式得出進(jìn)而得出，由兩直線夾角公式得出，得出，根據(jù)基本不等式求解即可．19．(1)證明見解析，(2)12【分析】（1）由題得出橢圓方程，設(shè)直線方程為，寫出兩點(diǎn)處的切線方程，由對(duì)稱性得，點(diǎn)處于與軸垂直的直線上，法一：兩切線方程聯(lián)立得，再代入即可證明；法二：由點(diǎn)在兩切線上得直線的方程，結(jié)合直線過點(diǎn)，即可得出；（2）由（1）得出直線的方程，設(shè)直線和交于點(diǎn)，得出為線段的中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)公式得出進(jìn)而得出，由兩直線夾角公式得出，得出，根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以橢圓方程為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消可得，，所以，因?yàn)檫^點(diǎn)的切線為，過點(diǎn)的切線為，由對(duì)稱性可得，點(diǎn)處于與軸垂直的直線上，法一：聯(lián)立，消去得，，將代入上式得，所以點(diǎn)在直線上．法二：因?yàn)辄c(diǎn)在兩切線上，所以，所以直線的方程為，又直線過點(diǎn)，所以，解得．（2）將代入得，，直線的方程為，設(shè)直線和交于點(diǎn)，聯(lián)立，解得，又，所以為線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為12．（2024年魯J38濟(jì)寧三模）18．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率，直線FB過點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)給定條件，借助傾斜角的關(guān)系可得，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求解即得.【詳解】（1）令，由，得，則直線的斜率，由直線過點(diǎn)，得直線的方程為，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，由直線的斜率18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)給定條件，借助傾斜角的關(guān)系可得，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求解即得.【詳解】（1）令，由，得，則直線的斜率，由直線過點(diǎn)，得直線的方程為，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，由直線的斜率知直線的傾斜角為，于是，即有，顯然均不等于，則，即直線的斜率滿足，由題設(shè)知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，由，消去x并整理得，，顯然，設(shè)，則，由，得，即，則，整理得，即，于是，而，解得，，所以直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2問，由，結(jié)合直線傾斜角及斜率的意義求得是解題之關(guān)鍵.（2024年魯J42青島二適）16．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓E的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1．

(1)求橢圓E的方程；（16．(1)(2)或【分析】（1）利用橢圓焦半徑公式及性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線l方程，B、C坐標(biāo)，根據(jù)平行關(guān)系得出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理解方程即可.【詳解】（1）設(shè)焦距為，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)橢圓上一點(diǎn)，易知，則，顯然時(shí)，由題意得解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)?，所以所以?6．(1)(2)或【分析】（1）利用橢圓焦半徑公式及性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線l方程，B、C坐標(biāo)，根據(jù)平行關(guān)系得出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理解方程即可.【詳解】（1）設(shè)焦距為，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)橢圓上一點(diǎn)，易知，則，顯然時(shí)，由題意得解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)?，所以所以①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，把①式代入上式得，得，解得，所以直線的方程為：或.

（2024年浙J40臺(tái)州二評(píng)）18．已知橢圓：，直線：交橢圓于M，N兩點(diǎn)，T為橢圓的右頂點(diǎn)，的內(nèi)切圓為圓Q.

(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（18．(1)(2)(3)【分析】（1）化簡(jiǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)的關(guān)系即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先聯(lián)立方程求得，，求出直線的方程，然后利用待定系數(shù)法求得內(nèi)切圓的方程；（3）設(shè)過P作圓Q的切線方程為，利用相切關(guān)系求得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)切圓的半徑利用三角形中等面積法求解即可.【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）將代入橢圓方程得，由對(duì)稱性不妨設(shè)，，直線的方程為，即，設(shè)圓Q18．(1)(2)(3)【分析】（1）化簡(jiǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)的關(guān)系即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先聯(lián)立方程求得，，求出直線的方程，然后利用待定系數(shù)法求得內(nèi)切圓的方程；（3）設(shè)過P作圓Q的切線方程為，利用相切關(guān)系求得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)切圓的半徑利用三角形中等面積法求解即可.【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）將代入橢圓方程得，由對(duì)稱性不妨設(shè)，，直線的方程為，即，設(shè)圓Q方程為，由于內(nèi)切圓Q在的內(nèi)部，所以，則Q到直線和直線的距離相等，即，解得，，所以圓方程為.（3）顯然直線和直線的斜率均存在，設(shè)過P作圓Q的切線方程為，其中k有兩個(gè)不同的取值和分別為直線和的斜率.由圓Q與直線相切得：，化簡(jiǎn)得：，則，由得，可得，所以.同理，，所以直線的方程為，所以與圓Q相切，將代入得，所以，又點(diǎn)P到直線的距離為，設(shè)的周長(zhǎng)為，則的面積，解得.所以的周長(zhǎng)為.

（2024年浙J31五校聯(lián)考）16．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最大值和最小值分別為和．

(1)求該橢圓的方程；（16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）設(shè)出橢圓上的點(diǎn)，求出的最值，進(jìn)而求出即可.（2）利用橢圓的對(duì)稱性及橢圓定義求解即得.（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出三角形面積的表達(dá)式，再求出最大值即得.【詳解】（1）令，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，則，則，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以橢圓的方程為.（2）記橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓對(duì)稱性知，，16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）設(shè)出橢圓上的點(diǎn)，求出的最值，進(jìn)而求出即可.（2）利用橢圓的對(duì)稱性及橢圓定義求解即得.（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出三角形面積的表達(dá)式，再求出最大值即得.【詳解】（1）令，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，則，則，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以橢圓的方程為.（2）記橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓對(duì)稱性知，，所以.（3）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線AB的方程為，，由消去x得，，則，，因此，令，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，所以面積的最大值.（2024年蘇J35南京二模）18．已知拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)F，且．過F的直線1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與E的兩條近線交于P，Q兩點(diǎn)(均位于y軸右側(cè)).

(1)求E的漸近線方程；（18．(1)(2)【分析】（1）由兩曲線有公共的焦點(diǎn)F，且，得，，可求漸近線方程；（2）通過設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理，表示出和，由求的取值范圍．【詳解】（1）拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)F，設(shè)雙曲線18．(1)(2)【分析】（1）由兩曲線有公共的焦點(diǎn)F，且，得，，可求漸近線方程；（2）通過設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理，表示出和，由求的取值范圍．【詳解】（1）拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)F，設(shè)雙曲線E的焦距為，則有，又，則.由，得，所以E的漸近線的方程為（2）設(shè)，，1與E的兩條近線交于P，Q兩點(diǎn)均位于y軸右側(cè)，有，由，解得，，.設(shè)，由，消去得，則有，，由，，有，即，由，有，所以.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．（2024年粵J138汕頭金南三模）19．已知?jiǎng)訄A（為圓心）過定點(diǎn)，且與定直線相切．

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即得動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由計(jì)算可得；（3）根據(jù)題設(shè)先求出的解析式，可將距離最小值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值問題，分類討論即得.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)圓（為圓心）過定點(diǎn)，且與定直線相切，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，所以由拋物線定義知：圓心的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，拋物線方程形如，又，則，故圓心的軌跡方程為．（2）如圖，由題知，直線的方程為，由，解得或，所以19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即得動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由計(jì)算可得；（3）根據(jù)題設(shè)先求出的解析式，可將距離最小值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值問題，分類討論即得.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)圓（為圓心）過定點(diǎn)，且與定直線相切，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，所以由拋物線定義知：圓心的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，拋物線方程形如，又，則，故圓心的軌跡方程為．（2）如圖，由題知，直線的方程為，由，解得或，所以，，所以.

（3）設(shè)，則，又，則，因二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，故當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí).所以.（2024年粵J137梅州二模）15．已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程：（15．(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以15．(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．（2024年粵J136茂名高州一模）21．已知拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，其為準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.當(dāng)時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（21．(1)(2)【分析】（1）首先利用勾股定理求出，，再由等面積法求出，即可得解；（2）設(shè)直線的解析式為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意，即可得到，再由得到線段的比例關(guān)系，從而求出，再計(jì)算出，最后根據(jù)及韋達(dá)定理計(jì)算可得.【詳解】（1）方法一：，，，，解得，，在中，根據(jù)等面積法，，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：設(shè)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為.當(dāng)21．(1)(2)【分析】（1）首先利用勾股定理求出，，再由等面積法求出，即可得解；（2）設(shè)直線的解析式為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意，即可得到，再由得到線段的比例關(guān)系，從而求出，再計(jì)算出，最后根據(jù)及韋達(dá)定理計(jì)算可得.【詳解】（1）方法一：，，，，解得，，在中，根據(jù)等面積法，，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：設(shè)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，，，.，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，依題意，直線的斜率不為，設(shè)直線的解析式為，，.聯(lián)立，消去得，顯然，，.由，則，可得，，整理得.①易知直線的解析式為，令，可得，同理可得.，，即，.，，，即，..所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年粵J135茂名二測(cè)）17．已知橢圓，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).

(1)若直線的傾斜角為，求；（17．(1)(2)或【分析】（1）由橢圓方程，即可求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式可求得；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)橢圓的弦長(zhǎng)公式可求得|AB|，計(jì)算的中點(diǎn)，利用最大求得直線方程【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，因此，的方程為，聯(lián)立方程，消去得解得所以因此，；（2）設(shè)17．(1)(2)或【分析】（1）由橢圓方程，即可求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式可求得；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)橢圓的弦長(zhǎng)公式可求得|AB|，計(jì)算的中點(diǎn)，利用最大求得直線方程【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，因此，的方程為，聯(lián)立方程，消去得解得所以因此，；（2）設(shè)，由題意得，直線的斜率不為0，故設(shè)為，聯(lián)立方程消去得，，，因此，所以，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，所以設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)最大時(shí)，也最大，此時(shí)直線的方程為，即或（2024年粵J133江門開平忠源）18．已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，其漸近線方程為.

(1)求雙曲線的方程；（18．(1)