第4講基本不等式(學生版)

第4講基本不等式【課前測試】1、若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為____，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為_____．2、已知x，y為正實數(shù)，則eq\f(4x,x＋3y)＋eq\f(3y,x)的最小值為()A.eq\f(5,3)B.eq\f(10,3) C.eq\f(3,2) D．3【知識梳理】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(簡記：和定積最大)3．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．【課堂講解】考點一利用基本不等式求最值—公式法例1、設正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a2+b2最小值是，最大值是．變式訓練：1、已知正數(shù)a、b滿足2a+3b＝，則ab的最大值為（）A． B． C． D．2、若實數(shù)a、b滿足a+b＝1，則3a+3b的最小值是（）A．18 B．2 C．6 D．2考點二利用基本不等式求最值—拼湊法例2、(1)已知0＜x＜，則x（4﹣3x）的最大值為.(2)已知x∈（2，+∞），函數(shù)y＝x+的最小值為（）A．4 B．6 C．2 D．8變式訓練：1、設0＜x＜，求函數(shù)y＝4x（3﹣2x）的最大值．2、已知x＜3，求f（x）＝+x的最大值；3、已知0＜x＜，則函數(shù)y＝x（1﹣4x）的最大值為．4、設x＞0，則函數(shù)y＝x+﹣的最小值為（）A．0 B． C．1 D．5、已知x為正實數(shù)且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值為．類型三利用基本不等式求最值—常數(shù)代換法例3、(1)已知正實數(shù)x，y滿足2x+y＝2，則+的最小值為．(2)若正實數(shù)a，b，滿足a+b＝1，則+的最小值為（）A．2 B．2 C．5 D．4變式訓練：1、已知x，y∈R+，且x+y＝4，求+的最小值．2、若x，y∈R+，且x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是（）A．5 B． C． D．3、若正數(shù)x，y滿足2x+y﹣3＝0，則的最小值為（）A．4 B．2 C．3 D．4、設正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最小值為．5、已知正數(shù)x，y滿足x+2y＝3，則的最小值．6、設實數(shù)a，b滿足條件b＞0且a+b＝3，則的最小值為（）A． B． C． D．類型四利用基本不等式求最值—消元法例4、已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y＝4，則x+y的最小值為．變式訓練：1、若正數(shù)x，y滿足x2+xy﹣2＝0，則3x+y的最小值是（）A．4 B． C．2 D．42、如果正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y＝4，則3x+2y的最小值為．類型五利用基本不等式求最值—整體法例5、已知正數(shù)a，b滿足a+2b+ab＝6，則a+2b的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8變式訓練：1、已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，則x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C． D．2、已知x，y都是正實數(shù)，且x+y﹣3xy+5＝0，求xy的最小值．3、已知實數(shù)x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則x+y的最大值為．類型六利用基本不等式求最值—換元法例6、已知實數(shù)x，y滿足2x＞y＞0，且＝1，則x+y的最小值為（）A． B． C． D．變式訓練：1、設a，b為正實數(shù)，則+的最小值為．2、若正數(shù)a，b滿足，的最小值為（）A．1 B．6 C．9 D．16類型七利用基本不等式求最值—輪換對稱法例7、若a＞0，b＞0，且，則a2+b2的最小值為（）A．2 B． C．4 D．變式訓練：1、已知a，b都是正數(shù)a+b＝1，則（a+）（b+）的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．2、已知a＞0，b＞0，則的最小值是（）A．2 B． C．4 D．5考點八利用基本不等式求最值—多次利用例8、已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為________。變式訓練：1、已知a＞b＞0，則2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值為()A．6B．4C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)2、若a，b∈R，ab>0，則eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值為________.考點九利用基本不等式求最值—代換減元例9、已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為()A．3B．6C．9D．12變式訓練：1、若a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝2，則eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.62、若a，b都是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，則a2+b3、設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為__________．考點十基本不等式的綜合應用求參數(shù)值或取值范圍例10、已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8變式訓練：1、若不等式x2－ax＋1≥0對一切x∈(0,1)恒成立，則a的取值范圍是________．2、已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，則m的最大值為()A．9B．12C．18D．243、已知不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0對一切x∈(1，＋∞)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．【作業(yè)布置】1、已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則eq\r(a)＋eq\r(b＋1)的最大值為()A.eq\r(3) B.eq\r(2)＋1C.eq\r(6) D.eq\r(3)＋12、若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為()A．8 B．6C．4 D．23、若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C．2 D.eq\f(5,4)4、若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)5、若x＋2y＝4，則2x＋4y的最小值是()A．4 B．8C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)6、若正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值為()A．16 B．9C．6 D．17、已知a>b>0，則a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值為()A.eq\f(3\r(10),2) B．4C．2eq\r(3) D．3eq\r(2)8、設x＞0，y＞0，且x+y＝3，則2x+2y的最小值是（）A．8 B．6 C．3 D．49、已知正實數(shù)a，b滿足a+b＝2，則的最小值為（）A． B．3 C． D．10、若正數(shù)x，y滿足x+4y﹣xy＝0，則的最大值為（）A． B． C． D．111、設實數(shù)a，b滿足b＞0，且a+b＝2．則+的最小值是（）A． B． C． D．12、已知a＞0，b＞0，則的最小值為（）A．4 B．7.5 C．8 D．1613、已知x，y為正實數(shù)，且滿足x2+4y2+xy＝5，則x+2y的最大值是（）A． B．2 C． D．214、已知a>0，b>0，2a＋b＝4，則eq\f(3,ab)的最小值為_______．15、若a，b都是正數(shù)，且a＋b＝1，則(a＋1)(b＋1)的最大值為________．16、正實數(shù)x，y滿足4x2＋y2＋xy＝1，則xy的最大值為________；2x＋y的最大值為________．17、已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，則m的取值范圍為________．18、正實數(shù)x，y滿足2x+y＝2，則+的最小值為．19、已知正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最小值為．20、設a，b為正實數(shù)，則的最小值為．21、設正數(shù)a，b滿足，，則+的最大值是．22、已知實數(shù)x，y滿足2x＞y＞0，且，則x+y的最小值為．23、已知實數(shù)若x、y滿足x＞y≥0，則的最小值是．24、設x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為．25、設x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy＝1，則2x+y的最大值是．26、若正實數(shù)x，y滿足2x+y+6＝xy，則xy的最小值是．27、已知實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且x+y＝1，則的最小值為．28、已知正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最小值為