全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第10章圓錐曲線與方程第3講拋物線1備考試題文含解析

第十章圓錐曲線與方程第三講拋物線練好題·考點(diǎn)自測1.[改編題]下列結(jié)論說法正確的個(gè)數(shù)為()(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡肯定是拋物線;(2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),則直線與拋物線肯定相切;(3)若一拋物線過點(diǎn)P(-2,3),則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2=2px(p>0);(4)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形;(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線,且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,14aA.1 B.2 C.4 D.52.[2024全國卷Ⅱ,9,5分][文]若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2pA.2 B.3 C.4 D.83.[2024北京,7,4分]設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是拋物線上異于O的一點(diǎn),過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線()A.經(jīng)過點(diǎn)O B.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OP D.垂直于直線OP4.[2024安徽省四校聯(lián)考]已知拋物線C:x=4y2的焦點(diǎn)為F,若斜率為18的直線l過點(diǎn)F,且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.658 B.65C.12916 D.5.[2024山東,13,5分]斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

6.[2024全國卷Ⅲ,16,5分]已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=.

7.[2024四川成都摸底]已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)A在準(zhǔn)線l上,線段AF與拋物線C相交于點(diǎn)B,且|AF||BF|-|拓展變式1.(1)[2024四省八校聯(lián)考]拋物線C:x2=4y上一點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)F的距離為4,若直線PF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,則|QF|等于()A.13 B.23 C.(2)[2024湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知?jiǎng)訄AP恒過定點(diǎn)(14,0),且與直線x=-14相切,則動(dòng)圓P的圓心軌跡M2.(1)[2024全國卷Ⅲ,7,5分][文]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(14,0) B.(12,0)(2)[2024全國卷Ⅱ,12,5分][文]過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A.5 B.22 C.23 D.333.(1)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為()A.334 B.938(2)[2024全國卷Ⅰ,10,5分]已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.104.[2024浙江,21,15分]如圖10-3-7,已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn).過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F的右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.①求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;②求S1S2的最小值及此時(shí)點(diǎn)圖10-3-75.[2024湖北省襄陽市調(diào)研]動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-2的距離小1,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,過點(diǎn)F的直線交曲線C于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),過點(diǎn)A,B分別作曲線C的切線,且兩切線相交于點(diǎn)M.(1)求曲線C的方程.(2)求證:AB·MF=0.(3)求△ABM面積的最小值.答案第十章圓錐曲線與方程第三講拋物線1.A當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線l上時(shí),平面內(nèi)與肯定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線,故(1)錯(cuò)誤;直線與拋物線的準(zhǔn)線垂直時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn),但直線與拋物線相交,故(2)錯(cuò)誤;拋物線y2=2px(p>0)開口向右,過一、四象限,故(3)錯(cuò)誤;拋物線是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故(4)錯(cuò)誤;y=ax2化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=1ay,焦點(diǎn)為(0,142.D由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p2,0),橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2p,0),所以p2=3.B連接PF,由題意及拋物線的定義可知|PQ|=|FP|,則△QPF為等腰三角形,故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.故選B.4.A解法一由題意可得F(116,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則x1=4y12,x2=4y22,整理得x1∵M(jìn)(x0,y0)在直線l上,∴y0=18(x0-116),∴x0=12916,從而線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為x0解法二(結(jié)論解法)由題意知,p=18,以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,設(shè)直線l的傾斜角為θ,則tanθ=18,線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=|AB|5.163由題意得直線方程為y=3(x-1),聯(lián)立方程,得y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,∴xA+xB=106.2解法一由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y=k(x-1)(k≠0),由y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.由y=k(x-1),y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0,則y1+y2=4k,y1y2=-4.由∠AMB=90°,MA=(x1+1,y1-1),MB=(x2+1,y2-1),得MA·MB=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,將x解法二設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,所以y12-y22=4(x1-x2),則k=y1-y2x1-x2=4y1+y2.取AB的中點(diǎn)M'(x0,y0),分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足分別為A',B',因?yàn)椤螦MB=90°,點(diǎn)M在準(zhǔn)線x=-1上,所以|MM'|=12|解法三拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由題意可知,以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M(-1,1),(利用焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論(詳見主書P200規(guī)律總結(jié)2.(8))故線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0=1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則k=y1-解法四拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),M(-1,1),依據(jù)阿基米德三角形的性質(zhì)(詳見主書P201)有MF⊥AB,則kAB=-1kMF=【素養(yǎng)落地】本題以拋物線為載體,考查考生用代數(shù)方法解決幾何問題的實(shí)力,入口較低,讓每個(gè)考生都敢做,出口較多,不同水平的考生采納的方法不同,有很好的區(qū)分功能,同時(shí)考查了考生的轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)力及數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).7.y2=2x如圖D10-3-1,設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E,則|DF|=p.由拋物線的定義知|BE|=|BF|.因?yàn)閨AF||BF|-|AF|=1,即|AB|+|BF||BF|-|AF|=1,|AB||BF|=|AF|,|AB||BE|=|圖D10-3-1【易錯(cuò)警示】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視拋物線的定義在解題中的應(yīng)用,進(jìn)而不會(huì)利用三角形的相像比把等式|AF||BF|-1.(1)C由題意知F(0,1),直線PF的斜率存在且不為零,設(shè)直線PF的方程為y-1=kx,與拋物線的方程聯(lián)立并消去x,得y2-(4k2+2)y+1=0,所以yPyQ=1.由拋物線的定義,知|PF|=yP+1=4(題眼),所以yP=3,所以yQ=13,所以|QF|=yQ+1=43(2)y2=x由題意知,動(dòng)圓P的圓心到點(diǎn)(14,0)的距離與到直線x=-14的距離相等,則圓心P的軌跡是以(14,0)為焦點(diǎn),直線x=-14為準(zhǔn)線的拋物線,故p=12,所以動(dòng)圓P2.(1)B解法一將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,可得y=±2p,不妨設(shè)D(2,2p),E(2,-2p),由OD⊥OE,可得OD·OE=4-4p=0,解得p=1,所以拋物線C的方程為y2=2x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0)解法二由題可知點(diǎn)D,E關(guān)于x軸對稱,設(shè)DE與x軸交于P,且D在第一象限,因?yàn)镺D⊥OE,所以∠DOP=45°,故xD=yD=2,代入y2=2px可得p=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0)解法三過拋物線的頂點(diǎn)O垂直的兩條弦OD⊥OE,則DE直線過定點(diǎn)(2p,0),則可知2p=2?p=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0)(2)C解法一依題意,得F(1,0),則直線FM的方程是y=3(x-1).由y=3(x-1),y2=4x,得x=13或x=3.由M在x軸的上方,得M(3,23),由MN⊥l,得|MN|=|MF|=3+1=4,又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°,因此△解法二依題意,得直線FM的傾斜角為60°,則|MN|=|MF|=21-cos60°=4,又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是邊長為4的等邊三角形,點(diǎn)M到直線NF的距離為4×32=233.(1)D解法一由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(34,0),因此直線AB的方程為y=33(x-34),與拋物線方程聯(lián)立,消去x,化簡得4y2-123y-9=0,故|yA-yB因此S△OAB=12|OF||yA-yB|=12×解法二(結(jié)論解法)由拋物線焦點(diǎn)弦的結(jié)論可得S△AOB=p2(2)A解法一(斜率式)焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),易知直線l1,l2的斜率均存在且不為0,分別設(shè)為k1,k2,則直線l1的方程為y=k1(x-1),由y2=4x,y=k1(x-1),消去y并整理得k12x2-(2k12+4)x+k12=0,Δ>0,所以x1+x2=2k12+4k12則|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=2k12+4k12+2+4k12+4=4k12+4k12+8≥24解法二(傾斜角式)設(shè)l1的傾斜角為θ,則l2的傾斜角為θ±π2,易知θ≠0且θ≠π2,由拋物線焦點(diǎn)弦長公式得|AB|=2psin2θ=4sin2θ,則|DE|=2psin2(θ±π2)4.①由題意得p2=1,即p=2所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.②設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,則xA=t2.由于直線AB過點(diǎn)F,故直線AB的方程為x=t2-12ty+1,代入y2=4x,得y故2tyB=-4,即yB=-2t,所以B(1t2又xG=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x軸上,故2t-2t得C((1t-t)2,2(1t-t)),G所以直線AC的方程為y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).因?yàn)镼在焦點(diǎn)F的右側(cè),所以t2>2.從而S1S2令m=t2-2,則m>0,S1S2=2-mm2+4當(dāng)m=3時(shí),S1S2取得最小值1+325.(1)由題意知,動(dòng)點(diǎn)P在直線y=-2上方,即條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F(0,1)為焦點(diǎn),直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,于是曲線C的方程為x2=4y.(2)由題意得,直線AB斜率肯定存在,故設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,由y=kx+1,x2=4y消去y設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB=4k,xAxB=-4.由x2=4y得y=14x2,求導(dǎo)得y'=12所以直線AM的方程為y-14xA2=12xA直線BM的方程為y-14xB2=12xB由①-